完整word版高中數(shù)學(xué)必修2立體幾何專題二面角典型例題解法總結(jié)

1、 二面角的求法 一、 定義法： 這兩個(gè)半平面叫這條直線叫做二面角的棱從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角, , 做二面角的面，在棱上取點(diǎn)，分別在兩面內(nèi)引兩條射線與棱垂直，這兩條垂線所成的角的大小就是二面角 的平面角。上的一已知ABM中從二面角1SAMB中半平面本定義為解題提供了添輔助線的一種規(guī)律。如例，）AM的垂線（如GF）作棱；在另一半平面點(diǎn)（B）向棱AM作垂線，得垂足（F）ASM內(nèi)過(guò)該垂足（F）便形成該二面角的一個(gè)平面角，再在該平面角內(nèi)建立一個(gè)可解三角形，然后借助BF、GF這兩條垂線（ 直角三角函數(shù)、正弦定理與余弦定理解題。2?ADABCDSD?ABCDS?ABCD ，如圖，四

2、棱錐例1 為矩形，底面中，底面 SCDC2?SDABM? 在側(cè)棱，點(diǎn)=60M上，SC 的中點(diǎn)I）證明：M在側(cè)棱（S?AM?B的大小。）求二面角 （II 證（I）略 ABMBBF?AMAMFF為作交中過(guò)點(diǎn)，則點(diǎn)于點(diǎn)解（II）：利用二面角的定義。在等邊三角形 GF?AMGF交ASASM內(nèi)作于G， FAM的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)在平面，連結(jié)AC，ADCADS，AS-AC，且M是SC的中點(diǎn)， G F 的中點(diǎn)，為GFAS，又AMSCAM， GFAM，F(xiàn) AS的中點(diǎn)。AMS的中位線，點(diǎn)G是GF是2?GF2SM?GFB?，即為所求二面角. ，則 則206AC?SA?60ABM?ABM2AM?2AM?AB?是等邊，三角，

3、形，又，31160?4BG?3?BF?AG90?GABGAB2AB? ，。在中，222 111?3?2226?2GF?FB?BG22?cos?BFG? 32GF?FB6G 3?2?F 6)?arccos(B?SAM? 二面角的大小為3 ?60?ABC, BC，練習(xí)1如圖，已知四棱錐P-ABCD底面ABCD為菱形，PA平面ABCD，,EF分別是 . PC的中點(diǎn) AEPD; （）證明：所成最大角的正切值A(chǔ)D與平面P為（）若HPD上的動(dòng)點(diǎn)，EH6. AF為C，求二面角的余弦值E2 ，APD后推出AE平面：第1題容易發(fā)現(xiàn)，可通過(guò)證AE分析AD題，則首先必須在找到最大角正切值有關(guān)的線段計(jì)算出各線段的長(zhǎng)度

4、之后，考慮到運(yùn)2使命題獲證，而第進(jìn)而計(jì)算二面角的余弦值。與SC，上找到可計(jì)算二面角的平面角的頂點(diǎn)用在二面角的棱AFS，和兩邊SE15二面角的余弦值為 ）（答案：5 二、三垂線法三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個(gè)平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂 直通常當(dāng)點(diǎn)P在一個(gè)半平面上則通常用三垂線定理法求二面角的大小。上的一已-C中半平面BFC本定理亦提供了另一種添輔助線的一般規(guī)律。如（例2）過(guò)二面角B-FC1，連結(jié)起點(diǎn)與終FC的垂線，得垂足P的垂線，得垂足O；再過(guò)該垂足O作棱知點(diǎn)B作另一半平面FCC11。再解直角三角形求二、射影OP）PB，便形成了三垂線定理的基本構(gòu)圖（斜線PB、垂線

5、BO點(diǎn)得斜線段 面角的度數(shù)。 AA=2, ABCD為等腰梯形，AB/CD，AB=4, BC=CD=2, 2如圖，在直四棱柱ABCD-ABCD中，底面例11111DC AB的中點(diǎn)。分別是棱AD、AA、E、E、F 1 1 11AB 1 1 ；）（1 證明：直線EE/平面FCC11D B-FC（2） 求二面角-C的余弦值。 EC 1 1 E B A F DC 1 1 ）略證（1所以,的中點(diǎn)是棱BC=CD=2, 、FABAB=4, 解（2）因?yàn)锳 F B 1 1 1 又因?yàn)檎切蜝F=BC=CF,BCF,O,則OBCF,的中點(diǎn)取CFP平面CCABCD,所以中DCBABCD-A為直四棱柱,CCD EC

6、 111111 1 OE垂足為內(nèi)作FOP在平面過(guò)F,平面所以BO,OBCCOCCCF,111 A B F BCF的一個(gè)平面角為二面角則連接P,BP,OPBB-FC-C, 在1OPOF12?3OB?OP?2? F,OPF, 中FCCRt在,為正三角形中,CC , 11CCCF2222?211 21417OP222?OP?BP3OB?OPB?cos角二面,Rt在OPF中,所以22BP71427. 的余弦值為B-FC-C17 P?ABCDABCD是矩形已知練習(xí)2如圖，在四棱錐中，底面 ?60PAB?22,?2,PA?2,PD?AB?3,AD? AD?PAB；（）證明平面 PCAD所成的角的大??；與（

7、）求異面直線 P?BD?A的大小 （）求二面角 分析：本題是一道典型的利用三垂線定理求二面角問(wèn)題，在證明AD平面PAB后，容易發(fā)現(xiàn)平面PAB平面ABCD，點(diǎn)P 就是二面角P-BD-A的半平面上的一個(gè)點(diǎn)，于是可過(guò)點(diǎn)P作棱BD的垂線，再作平面ABCDP?BD?A的大的垂線，于是可形成三垂線定理中的斜線與射影內(nèi)容，從而可得本解法。（答案：二面角39arctan）小為 4P 三補(bǔ)棱法 本法是針對(duì)在解構(gòu)成二面角的兩個(gè)半平面沒(méi)有明確交線的求二面角題目時(shí)，要將兩平面的圖形補(bǔ)充完整，使之有明確的交線（稱為補(bǔ)棱），然后借助前述的定義法與三垂線法解題。即當(dāng)二平面沒(méi)有明確的交線時(shí)，一般用補(bǔ)棱法解決 例3如圖所示，四

8、棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的菱形，D E 2. A底面ABCD，P60，E是CD的中點(diǎn)，PABCD; AB（）證明：平面PBE平面P C A . 所成二面角（銳角）的大小和平面PBE（）求平面PADB P 沒(méi)有明確的交線，依本法顯然分析：本題的平面PAD和平面PBE再在完整圖形中.），連結(jié)PFF要補(bǔ)充完整（延長(zhǎng)AD、BE相交于點(diǎn)G .上找一個(gè)適合的點(diǎn)形成二面角的平面角解之。（）證略PF的. ，連結(jié)PFAD解: （）延長(zhǎng)、BE相交于點(diǎn)F ，由（）知過(guò)點(diǎn)A作AHPB于HF . PBE所以AB,AH平面平面平面PBEPH ，60ABF在Rt中，因?yàn)锽AFD E . =2=APABAF所

9、以，=2C . GPFAF在等腰RtP中，取的中點(diǎn)，連接AGA PF則AGHG.連結(jié)，由三垂線定理的逆定理得，B . 所成二面角的平面角（銳角）PBEAGH是平面PAD和平面PFHG.所以 2 2.AG?PA AF中， 在等腰RtP 2 gg5AP2ABAP2AB.AH? AB中，在RtP 5PB522ABAP? 52 10AH5?sin?AGH?. AHG中， 所以，在Rt 5AG2 10.arcsin 故平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小是 5 A 1，側(cè)棱與底aC的棱長(zhǎng)都是已知斜三棱柱練習(xí)3ABCAB111 BC 110 ABC。面成60BCC的角，側(cè)面B底面11 BC；（1

10、）求證：AC1 與平面）求平面ABC ABC所成的二面角（銳角）的大小。（211 A L B C L 的平行線提示：本題需要補(bǔ)棱，可過(guò)A點(diǎn)作CBO （答案：所成的二面角為45）s射影=cosq 四、射影面積法（） S凡二面角的圖形中含有可求原圖形面積和該圖形在另一個(gè)半平面上的射影圖形面積的都可利用射影S射? ）求出二面角的大小。面積公式（cos S斜P(pán) o90?ACB?2P?ABCAC?BC? 例4如圖，在三棱錐，中，AC?PCAB?AP?BP ，A B AB?PC ；（）求證：C?B?APC （）求二面角的大??； ACPABP與平面APC的大小，如果利用射影面積法解題，不難想到在平面分析：本

11、題要求二面角B S中建立一對(duì)原圖形與射影圖形并分別求出S與P 射原 于是得到下面解法。E （）證略解：BPCAPC?ACQ?BCBPAP? ，（），B A PC?AC?PC?BC又， oC?PCACI90?ACB?BCAC? ，即又，且，C CE?PACBE，?BCEAP 中點(diǎn)取連結(jié)平面AP?BE?QAB?BP ，PACQECBE 是內(nèi)的射影，在平面APCE? 內(nèi)的射影，ABEACE是在平面ACP22222ECAE?6?22BEAEAC?BP?AP?CBABAB?，于是可求得：，1112CE?SS?2?AE? 則，ACE?射2211C D 3?EB?2?6AES?S? ABE?原22B A S

12、13E 射?cos?CB?AP? 的大小為二面角，則設(shè)3S3原D1 C1 3?arccos?C?B?AP 二面角的大小為AB31 1 5 圖 所成銳CDECC的中點(diǎn)，求平面AB和底面ABABCD： 如圖5，E為正方體ABCD的棱4練習(xí)1111111111 角的余弦值. 則必須先作要找到二面角的平面角，交線即二面角的棱沒(méi)有給出，與底面ABCD分析 平面ABE11111上的射影是三角形DE在平面ABC兩個(gè)平面的交線，這給解題帶來(lái)一定的難度。考慮到三角形AB11111 ，從而求得兩個(gè)三角形的面積即可求得二面角的大小。ABC1112. cos）=（答案：所求二面角的余弦值為3 五、向量法向量法解立體幾

13、何中是一種十分簡(jiǎn)捷的也是非常傳統(tǒng)的解法，可以說(shuō)所有的立體幾何題都可以用向量法求解，用向量法解立體幾何題時(shí)，通常要建立空間直角坐標(biāo)系，寫(xiě)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將幾何圖中的線 段寫(xiě)成用坐標(biāo)法表示的向量，進(jìn)行向量計(jì)算解題。?的中點(diǎn)，EC，MABCD, 平面AD/BC/FE，AB為AD例4：如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 1 AF=AB=BC=FE= AD 2 所成的角的大??；BF與DE(I) 求異面直線? ；平面 (II) 證明平面AMDCDE A-CD-E的余弦值。 求二面角 ，?1ABA依題意得為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)現(xiàn)在我們用向量法解答：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，以點(diǎn)?，F(xiàn)，E，D10，02，00B

14、1，C110，11，000 11?.，M，1? 22?，1，?1，BF?，?1，0，1解：DE?0 （ I ） 11DE0?0?BF?.?，于是cosBFDE? 222?DEBF060DEBF. 所成的角的大小為與所以異面直線11?，?，1，由AM0AM，20?CE?，可得?1AD?CE?0，0，1? ，（II）證明： 22?.AMD，故CE?平面A.因此，CE?AM，CE?AD.又AM?AD?0CE?AD? 而CE?平面CDE，所以平面AMD?平面CDE. ?u?CE?0，?解：設(shè)平面CDE的法向量為u?(x，y，z)，則 （III） ? ?u?DE?0.?x?z?0，?于是令x?1，可得u?(1，1，1）. ?y?z?0.?v?(0，0，1).ACD的一個(gè)法向量為又由題設(shè)，平面 ABC?ABCAABB?ABC. 、如圖，在直三棱柱側(cè)面中，平面練習(xí)511111AB?BC；（）求證： ?BCAA?BC?AAC的（）若直線二面角與平面,所成的角