7.3《一元一次不等式組》典型例題精析

1、7.3元一次不等式組1. 了解一元一次不等式組和它的解集的概念，會解一元一次不 等式組，并能利用數(shù)軸確定它的解集.2. 會運(yùn)用一元一次不等式組解決簡單的應(yīng)用問題，提高學(xué)生分 析問題、解決問題的能力.3. 學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值，培養(yǎng)理論 聯(lián)系實(shí)際的習(xí)慣.1 .一元一次不等式組的概念由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一元一次不等式組成的不等式組，叫做一元一次不等式組.2x + xv 72,例如，就是一元一次不等式組.再例如2x + x+ 6 72x + 2v 12, 3x 1 v 7-2x,2x + 6 0, x + 1 0,6 x 24,是一元一次不等式組.2 + x3x 1v32等

2、也都3.5 xv 5 x等式必須是一元一次不等式；(2)這幾個(gè)一元一次不等式必須是(1)組成不等式組的每個(gè)不“關(guān)于同一個(gè)未知數(shù)”的不等x+ 15(3)這里的“幾個(gè)”可以是兩個(gè)、三個(gè)或三個(gè)以上，女口：x 70,x 20,等都是一元一次不等式組.x + 38,3x 26【例1】下列不等式組是一元一次不等式組的是（）.2x + 10,2x + 10x 25yx+ 1 2,x + 10,C. 2x+ 30 x5x2解析：A中的不等式x2+ 1v 0與D中的不等式-一x0都不是x元一次不等式；B中的不等式的次數(shù)雖然都是1次的，但是含有兩個(gè) 未知數(shù)，故A, B, D均不是一元一次不等式組.答案：C判斷一個(gè)

3、不等式組是一元一 次不等式組，需滿足兩個(gè)條件：一是組成不等式組的不等式必須都是 一元一次不等式且未知數(shù)都相同；二是不等式組中不等式的個(gè)數(shù)至少 有2個(gè).2. 一元一次不等式組的解集組成一元一次不等式組的各個(gè)一元一次不等式的解集的公共部 分，叫做這個(gè)一元一次不等式組的解集.當(dāng)不等式組中各個(gè)不等式的解集沒有 公共部分時(shí)，我們稱這個(gè) 不等式組無解（即解集為空集）.（1）幾個(gè)不等式解集的公共部分，通常利用數(shù)軸來確定.公共部 分是指數(shù)軸上被各個(gè)不等式解集的區(qū)域都覆蓋住的部分，若無公共部分，則說這個(gè)不等式組無解或者說解集是空集.（2） 元一次不等式組的解集在數(shù)軸上的四種表示（av b）如下表所示：不等式組（

4、其中av b）圖示解集口訣錯誤！x b同大取大錯誤！x a同小取小錯誤！a x_ 1，的解集在數(shù)軸上XV 4表示應(yīng)為 ( ) 解析：x 3一1由不等式組x 2, x3，A. 不等式組的解集是5v xv 3x5x2，B. 不等式組的解集是3v x v-2x3x2C. 不等式組- 的解集是x= 2x 2x 3解析： 根據(jù)“同大取大，同小取小，大小、小大取中間，大大小小無解”判定.A.不等式組屬于“同大取大”，所以解集為 x 5;B. 不等式組屬于“大大、小小無解”，所以無解；C. 不等式組屬于“大小、小大取中間”，所以解集表示為 2x 7.解：解不等式得x-3.解不等式得xv4將不等式、 的解集表

5、示在數(shù)軸上，如下圖所以原不等式組的解集為3 x v4.解一元一次不等式組中每一個(gè)不等式的解集， 然后通過將每個(gè)不等式的解集表示在數(shù)軸上， 認(rèn)真 觀察并找出公共部分確定不等式組的解集5x+ 1x4，2x+ 76+ 3x.分析：本題應(yīng)根據(jù)解一元一次不等式組的步驟： (1) 分別求出不 等式組中各個(gè)不等式的解集； (2) 利用數(shù)軸表示各個(gè)不等式的解集， 并求出各個(gè)不等式解集的公共部分解：解不等式，得x1.解不等式, 得 XV 1.在同一條數(shù)軸上表示不等式的解集，如圖：故原不等式組的解集是1V X V 1.求三個(gè)或三個(gè)以上的不等式組成的不等式組的解集時(shí)， 也是先求出各個(gè)不等式的解集， 再借助數(shù) 軸把各

6、不等式的解集在數(shù)軸上表示出來， 然后再確定公共部分 注意 空心點(diǎn)和實(shí)心點(diǎn)的畫法4. 列一元一次不等式組解決實(shí)際問題的一般步驟(1) 審：弄清題意，明確已知量和未知量及各數(shù)量之間的關(guān)系;(2) 設(shè)：設(shè)未知數(shù)(只能設(shè)一個(gè)未知數(shù))；(3) 找：找出表示實(shí)際問題題意的所有不等關(guān)系；(4) 列：根據(jù)這些不等關(guān)系列出不等式組；(5) 解：解這個(gè)不等式組，求出解集；(6) 答：寫出符合題意的答案(包括單位名稱等).(1)列不等式組解決實(shí)際問 題的關(guān)鍵是找出所有不等關(guān)系，這需要運(yùn)用數(shù)學(xué)思維方式抓住表示不 等的關(guān)鍵詞語，以及隱含的不等關(guān)系.(2) 解決實(shí)際問題時(shí)，應(yīng)根據(jù)實(shí)際意義檢驗(yàn)結(jié)果的合理性.【例4】已知一件

7、文化衫價(jià)格為18元，一個(gè)書包的價(jià)格是一件 文化衫的2倍還少6元.(1) 求一個(gè)書包的價(jià)格是多少元？(2) 某公司出資1 800元，拿出不少于350元但不超過400元的 經(jīng)費(fèi)獎勵山區(qū)小學(xué)的優(yōu)秀學(xué)生，剩余經(jīng)費(fèi)還能為多少名山區(qū)小學(xué)的學(xué) 生每人購買一個(gè)書包和一件文化衫？分析：(1) 一個(gè)書包的價(jià)格是一件文化衫的 2倍還少6元，即一 個(gè)書包的價(jià)格是18X2-6 = 30(元)； 由題意可知，剩余經(jīng)費(fèi)最少 為 1 800 400= 1 400(元)，最多為 1 800 350= 1 450(元)，所以 為這些學(xué)生每人購買一個(gè)書包和一件文化衫的總花費(fèi)在1 400元 1450元之間，也就是說總花費(fèi)大于或等于1

8、 400元，小于或等于1 450 元.解：(1)因?yàn)?18X 2 6= 30(元),所以一個(gè)書包的價(jià)格是30元.(2)設(shè)還能為x名學(xué)生每人購買一個(gè)書包和一件文化衫，根據(jù)題 意得：118+ 30 x 1 800 400,X26，解得18+ 30 x 1 800 350,5x3024.15于是這個(gè)不等式組的解集為29gW x _ 1【例5】解不等式組2并寫出它的所有2x+ 1 5 x 1,整數(shù)解.x解：因?yàn)椴坏仁? 1的解集為x 2;不等式2x + 1 5（x 1）的解集為x2,所以不等式組的解集為2v x a,（1）化為兩個(gè)不等式組成的不等式組,來求解；y vb（2）將不等式的左、中、右三部分都

9、加（或減）同一個(gè)整式或都乘 以（或除以）同一個(gè)正數(shù)（或負(fù)數(shù)），注意乘（除以）負(fù)數(shù)時(shí)兩個(gè)不等號的 方向都要改變，經(jīng)過若干次變形，將不等式化為中間只含未知數(shù) x,左右兩邊都不含未知數(shù)的形式，從而求出不等式的解集.2x 1【例6】求不等式4V二一V 2的解集.2x一 1解：(方法一)不等式4V 一一 V 2可化為不等式組:2x 13 4,2x 13解不等式，得x 117.5解不等式，得XV 115所以不等式組的解集是一-2-vxv 2(方法二)去分母，得12V 2x 1V 6.移項(xiàng)，得11v 2xv 5.115系數(shù)化為1,得V x V 77. 根據(jù)條件確定一元一次不等式組中字母系數(shù)的取值范圍由不等式

10、組的解集或整數(shù)解的個(gè)數(shù)確定待定系數(shù)的取值范圍時(shí)， 常用的方法是先求出含有待定系數(shù)的不等式組的解集，然后結(jié)合數(shù)軸或?qū)⒔o出的條件代入，即可確定待定系數(shù)的取值范圍，這是要注意端 點(diǎn)的取舍.確定不等式組中字母參數(shù)的值或取值范圍時(shí)，常要用到以下方 法：(1) 對照比較法一一對照原不等式的化簡、求解以及條件中字母 的取值范圍從而確定未知字母的范圍.(2) 分類討論法一一根據(jù)不等式組解集的四種情況，靈活選擇.(3) 數(shù)形結(jié)合利用數(shù)軸來確定.數(shù)軸能夠?qū)崿F(xiàn)數(shù)與形的結(jié)合， 能夠使不等式組的解集形象地展現(xiàn)出來，尤其是不等式組的特殊解能 夠很容易求出來._x + 92,則mxm+ 1的取值范圍是().A. me2 B

11、 . n2C. me 1D . n 1x2,解析：原不等式組可變形為彳因?yàn)椴坏仁浇M的解集為xrn 1,x2,根據(jù)“同大取大”法則可知，m+ K2,解得me 1.故本題選C. 答案：Cx a 1,【例7-2】不等式組門的解集中每一個(gè)x的值均不x a2在3a 1,一解析：先化簡不等式組得c由題意知原不等式組有解xa + 2,集，即a 1xv a+ 2有解，又由題意知原不等式組的解均不落在 3x7的范圍內(nèi)，從而有a + 27,所以解得a 8.答案：a88. 與一元一次不等式組有關(guān)的綜合題一元一次不等式組常和方程（組）綜合在一起出現(xiàn)，考查方程（組） 與不等式組的解法.一般解法有兩種：（1）正確求出方程

12、（組）的解，并根據(jù)要求列出不等式組，求出不 等式組的解集.（2）求出不等式組的解集，確定特殊解，再根據(jù)要求代入方程組， 求出方程組的解.x y = m- 5,【例8】若關(guān)于x, y的二元一次方程組）中，xx + y = 3m+ 3的值為負(fù)數(shù)，y的值為正數(shù)，求m的取值范圍.解:對于xy = m- 5,x + y = 3m+ 3, + ，得 2x = 4m-2，所以 x= 2m- 1. ，得 2y = 2m+ 8,所以 y= n+ 4.因?yàn)閤的值為負(fù)數(shù)，即xv0, y的值為正數(shù)，即y0,所以2 m-1 v 0, m+ 4 0,1解得4v nv 21故m的取值范圍為一4v m 29. 一元一次不等式

13、組的實(shí)際應(yīng)用列不等式組解實(shí)際問題與列方程組解實(shí)際問題的方法、步驟類 似，關(guān)鍵是由實(shí)際問題中的不等關(guān)系列出不等式(組),建立解決問題 的數(shù)學(xué)模型，通過解不等式(組)可以得到實(shí)際問題的答案.(1) 根據(jù)題意設(shè)未知數(shù)，常常直接設(shè)未知數(shù)，或把與未知量聯(lián)系 緊密的量設(shè)為未知數(shù).(2) 建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)不等關(guān)系列出不等式(題中出現(xiàn)“至多、至少、不大于、小于”等特征詞)，要根據(jù)題意列出所有不等式，一個(gè)意思列一個(gè)不等式，盡量簡化.(3) 解不等式組，結(jié)合問題的實(shí)際背景，找出適合題意的解，比 如求人數(shù)或物品的數(shù)目、產(chǎn)品的件數(shù)等，只能取非負(fù)整數(shù).(4) 對于方案設(shè)計(jì)題要結(jié)合不等式組的解集，確定未知數(shù)的具體

14、 數(shù)值，一般要根據(jù)實(shí)際取解集中的整數(shù)，有幾個(gè)整數(shù)值，即有幾種方 案.【例9】某商場“家電下鄉(xiāng)”指定型號冰箱、彩電的進(jìn)價(jià)和售價(jià) 如下表所示：類別冰箱彩電進(jìn)價(jià)(元/ 臺)2 3201 900售價(jià)(元/ 臺)2 4201 980為滿足市場需求，商場決定用不超過 85 000元采購冰箱、彩電5共40臺，且冰箱的數(shù)量不少于彩電數(shù)量的7.6(1) 請你幫助該商場設(shè)計(jì)相應(yīng)的進(jìn)貨方案；(2) 哪種進(jìn)貨方案商場獲得利潤最大(利潤=售價(jià)-進(jìn)價(jià))，最大 利潤是多少？解：(1)設(shè)冰箱米購x臺，則彩電米購(40 X)臺，根據(jù)題意，得2 320x + 1 90040 x 40 x .623解不等式組，得18石wx2I7,因?yàn)閤為正整數(shù)，所以 x=