ch11-2偏導(dǎo)數(shù)ppt課件

1、一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法11.2 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)設(shè)Dyxyxfz ),(),(的的內(nèi)內(nèi)點(diǎn)點(diǎn)，是是點(diǎn)點(diǎn)DyxP),(視視作作常常數(shù)數(shù)，將將 y，一一個(gè)個(gè)改改變變量量給給xx ，使使DyxxP ),(則則zx ),(),(yxfyxxf 的的點(diǎn)點(diǎn)關(guān)關(guān)于于稱稱為為函函數(shù)數(shù)在在xP偏增量偏增量類似地，類似地，的偏增量的偏增量點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)關(guān)于函數(shù)在函數(shù)在yPzy ),(),(yxfyyxf 處處，在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)),(),(00yxPyxfz 極限極限xzxx 0limxyxfyxxfx ),(),(lim00000存存在在，的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，處處關(guān)關(guān)于于在在則則稱稱此

2、此極極限限值值是是xyxPyxfz),(),(000 記記為為：，也可以記為也可以記為),(),(0000yxfyxzxx 定義定義),(00yxxz ),(00yxxf 或者或者),(00yxzx),(00yxfx同同理理可可定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx處處對(duì)對(duì) y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 為為 yyxfyyxfy ),(),(lim00000 記為記為，也也可可以以記記為為),(),(0000yxfyxzyy ),(00yxyz ),(00yxyf 或者或者),(00yxzy),(00yxfy如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)任任一一點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處對(duì)

3、對(duì)x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在，那那么么這這個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)就就是是x、y的的函函數(shù)數(shù)，它它就就稱稱為為函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量x的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 同同理理可可以以定定義義函函數(shù)數(shù)),(yxfz 對(duì)對(duì)自自變變量量 y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)， 記記為為：，或或),(),(yxfyxzxx xz xf 或者或者),(yxzx),(yxfx記記為為：，或或者者),(),(yxfyxzyy),(yxzy ),(yxfy yz yf 關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：關(guān)于偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說明：;)1(看看作作分分子子與與分分母母之之商商是是一一個(gè)個(gè)整整體體記記號(hào)號(hào)，不不能能xz 的的二二元元函函數(shù)數(shù)；仍仍

4、然然是是yxyzxz,)2( 點(diǎn)點(diǎn)的的函函數(shù)數(shù)值值。在在處處的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，是是函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(),(),(),()3(0000yxyxfyxfyxyx（4偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)仍仍然然適適用用；數(shù)數(shù)的的則則和和求求導(dǎo)導(dǎo)公公式式對(duì)對(duì)多多元元函函所所以以一一元元函函數(shù)數(shù)的的求求導(dǎo)導(dǎo)法法于于求求一一元

5、元函函數(shù)數(shù)的的導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，多多元元函函數(shù)數(shù)求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)相相當(dāng)當(dāng))5(（6求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求。求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求。例例 1 1 求求 223yxyxz 在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)解解 xz;32yx yz.23yx )2, 1(xz,82312 )2, 1(yz.72213 例例 2 2 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 .證明證明 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立二二元元函函數(shù)數(shù)，所所確確定定的的是是由由方

6、方程程設(shè)設(shè)例例1lnsin3 xzzyxz及及求求yzxz 解解求偏導(dǎo)：求偏導(dǎo)：方程兩端同時(shí)對(duì)方程兩端同時(shí)對(duì) xxcosxzzy 1z xzx 0 得到得到zyxxzxz cos求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)：方方程程兩兩端端同同時(shí)時(shí)對(duì)對(duì) yzln yzzy 1yzx 0 得到得到zyxzyz ln例例 4 4 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程RTpV （R為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pTTVVp.證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT .),()0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(22的的偏偏導(dǎo)

7、導(dǎo)數(shù)數(shù)求求設(shè)設(shè)yxfyxyxyxxyyxf 例例 5 5解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx22222)(2)(),(yxxyxyxyyxfx ,)()(22222yxxyy 22222)(2)(),(yxxyyyxxyxfy ,)()(22222yxyxx 并討論函數(shù)的連續(xù)性。并討論函數(shù)的連續(xù)性。,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx按定義可知：按定義可知：xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0, 00lim0 xxyfyffyy )0 , 0(), 0(lim)0 , 0(0, 00lim0 yy,)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222

8、 yxyxyxxyyyxfx.)0 , 0(),(0)0 , 0(),()()(),(22222 yxyxyxyxxyxfy時(shí)時(shí)連連續(xù)續(xù)在在顯顯然然，)0 , 0(),(),( yxyxf時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)時(shí)，趨趨近近于于沿沿著著直直線線當(dāng)當(dāng))0 ,0(),(kxyyxP 222220001lim),(limkkxkxkxyxfxkxx 二二重重極極限限不不存存在在，結(jié)結(jié)論論：續(xù)續(xù)。偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，不不一一定定連連數(shù)數(shù)也也不不一一定定存存在在。反反之之，函函數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)，偏偏導(dǎo)導(dǎo)）處處連連續(xù)續(xù)，在在點(diǎn)點(diǎn)（例例如如：00),(22yxyxf xxfxx 00)(lim

9、)0 , 0(20 xxx 0lim不不存存在在也也不不存存在在。同同理理，)0 , 0(yf）處處偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在，在在（ 00),(22yxyxf 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義表表示示一一個(gè)個(gè)曲曲面面，),(yxfz xyz0y0M),(0yxfz 0 x),(0yxfz 取曲面上一點(diǎn)取曲面上一點(diǎn)) ),(,(00000yxfyxM，作平面作平面過過00yyM 則交線則交線 0),(yyyxfz上上的的曲曲線線是是平平面面),(00yxfzyy 于于是是，0),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx即即軸的斜率軸的斜率處的切線對(duì)處的切線對(duì)就是曲線在就是曲線在 tan0 xM

10、。軸軸夾夾角角處處切切線線與與在在點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線例例 yxyxzC)21,1,2(24212:622 解解)1 , 2(yz )1 , 2(y , 1 , 1tan 即即。夾角夾角4 00000),(),(Mxxyxfzyxfy在在的的幾幾何何意意義義是是曲曲線線 .軸軸的的斜斜率率處處的的切切線線對(duì)對(duì) y),(),(yxfyxxf xyxfx ),(),(),(yxfyyxf yyxfy ),( 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏微微分分 二二元元函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)x和和對(duì)對(duì)y的的偏偏增增量量由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得由一元函數(shù)微分學(xué)中增量與微分的關(guān)系得二、全微分的概念二、全微分

11、的概念1、定義、定義全增量的概念全增量的概念時(shí)時(shí)，量量在在兩兩個(gè)個(gè)自自變變量量同同時(shí)時(shí)有有增增yxyxfz ,),(函數(shù)值的增量函數(shù)值的增量),(),(yxfyyxxfz 處的處的在點(diǎn)在點(diǎn)稱為稱為),(),(yxyxf全增量全增量全微分的定義全微分的定義的的全全增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz ),(),(yxfyyxxfz 可表示為可表示為)( oyBxAz ，不依賴于不依賴于其中其中yxBA ,有關(guān)，有關(guān)，僅與僅與yx,，22)()(yx 可可微微分分，在在則則稱稱),(),(yxyxfz 稱稱為為而而yBxA 的的全全微微分分，在在),(),(yxyxfz ，或或記記

12、作作),(ddyxfz即即yBxAz d2、可微的條件、可微的條件1定理定理處處可可微微，在在點(diǎn)點(diǎn)若若函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz 則則函函數(shù)數(shù)處處連連續(xù)續(xù)；在在點(diǎn)點(diǎn)),()1(yx必必存存在在，且且的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)yzxzyx ,),()2(yyzxxzzddd 可可微微的的必必要要條條件件）( 若若函函數(shù)數(shù)在在某某區(qū)區(qū)域域 D 內(nèi)內(nèi)各各點(diǎn)點(diǎn)處處處處可可微微分分，則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在 D 內(nèi)內(nèi)可可微微分分. 證明證明)1(可可微微，在在點(diǎn)點(diǎn)若若),(),(yxyxfz 則有則有)( oyBxAz 無關(guān)，無關(guān)，與與其中其中yxBA ,，22)()(yx 因因而而有有zyx 00li

13、m)(lim00 oyx )(lim0 o 0 從從而而),(),(lim00yxfyyxxfyx 0 即即),(),(lim00yxfyyxxfyx 處連續(xù)處連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)所以所以),(),(yxyxfz )2(可可微微，在在點(diǎn)點(diǎn)若若),(),(yxyxfz 則有則有)(),(),( oyBxAyxfyyxxf 無關(guān)，無關(guān)，與與其中其中yxBA ,，22)()(yx |)(|),(),(xoxAyxfyxxf 因因而而有有xxoxAxyxfyxxfxx |)(|lim),(),(lim00A 即即Axz 同理可得：同理可得：Byz yyzxxzzddd 當(dāng)當(dāng)0 y時(shí)時(shí)，上上式式仍仍成成立立，此

14、此時(shí)時(shí)|x ,一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(處處有有 0)0 , 0()0 , 0( yxff 點(diǎn)點(diǎn)的的可可微微性性：在在以以下下討討論論)0 , 0(),(yxf)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 如如果果考考慮慮點(diǎn)點(diǎn)),(yxP 沿沿著著直直線線xy 趨趨近近于于)0 , 0(，那那么么 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 說說明明它它不不能能隨隨著著0 而而

15、趨趨于于 0,0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx 函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(處處不不可可微微.說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全說明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全 微分存在，微分存在，定定理理（充充分分條條件件）如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)xz 、yz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx連連續(xù)續(xù)，則則該該函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx可可微微分分注意：注意：的的充充分分條條件件，偏偏導(dǎo)導(dǎo)連連續(xù)續(xù)僅僅是是函函數(shù)數(shù)可可微微而而非非必必要要條條件件全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù).dzzudyyudxxu

16、du 有：有：對(duì)于對(duì)于),(zyxfu 多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)存在、可微之間的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在例例 7 7 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyez 在點(diǎn)在點(diǎn))1 , 2(處的全微分處的全微分. 解解,xyyexz ,xyxeyz ,2)1 ,2(exz ,22)1 ,2(eyz .222dyedxedz 所求全微分所求全微分例例 8 8 求函數(shù)求函數(shù))2cos(yxyz ，當(dāng)，當(dāng)4 x， y，4 dx， dy時(shí)的全微分時(shí)的全微分. 解解),2sin(yxyxz ),2sin(2)2cos(yxyyxyz dyy

17、zdxxzdz),4(),4(),4( ).74(82 例例 9 9 計(jì)計(jì)算算函函數(shù)數(shù)yzeyxu 2sin的的全全微微分分. 解解, 1 xu,2cos21yzzeyyu ,yzyezu 所求全微分所求全微分.)2cos21(dzyedyzeydxduyzyz 例例 1010 試證函數(shù)試證函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,1sin),(22yxyxyxxyyxf在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在，但偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn))0 , 0(不連續(xù)，而不連續(xù)，而f在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微. 證證令令,cos x,sin y那那么么22)0,0(),(1

18、sinlimyxxyyx 1sincossinlim20 0 ),0 , 0(f )0 , 0(xfxfxfx )0 , 0()0 ,(lim0, 000lim0 xx同理同理. 0)0 , 0( yf故故函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn))0 , 0(連連續(xù)續(xù),當(dāng)當(dāng))0 , 0(),( yx時(shí)時(shí)， ),(yxfx,1cos)(1sin22322222yxyxyxyxy 當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)),(yxP沿沿直直線線xy 趨趨于于)0 , 0(時(shí)時(shí),),(lim)0,0(),(yxfxxx,|21cos|22|21sinlim330 xxxxxx不存在不存在.所所以以),(yxfx在在)0 , 0(不不連連續(xù)續(xù).同理可證同理

19、可證),(yxfy在在)0 , 0(不連續(xù)不連續(xù).)0 , 0(),(fyxff 22)()(1sinyxyx )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 1sinyx x 0 0故故),(yxf在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(可微可微. 0)0,0( df)()(22yxo )0 , 0()0 , 0(yfxffyx 說明說明: 此題表明此題表明, 偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)只是可微的充分條件.可知當(dāng)可知當(dāng)三、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用三、全微分在數(shù)值計(jì)算中的應(yīng)用1. 近似計(jì)算近似計(jì)算由全微分定義由全微分定義xy)(),(),(oyyxfxyxfzyx),(yyxxfyyxfxyxfyx),(),(較小時(shí)較小時(shí),yyxfxyxfzzyx),(),(dzd及及有近似等式有近似等式:),(yxf(可用于近似計(jì)算可用于近似計(jì)算; 誤差分析誤差分析) (可用于近似計(jì)算可用于近似計(jì)算) 的的近近似似值值計(jì)計(jì)算算例例02. 2)96. 0(10解解，設(shè)設(shè)yxyxf ),(，取取10 x，