專題4：帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱美賞析

1、1.xX i X X X X氏3.如圖所示，水平放置的厚度均勻的鋁箔，置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)方向垂直于紙面向里，一帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后棗莊三中20132014學(xué)年度高二物理學(xué)案專題4:帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱美賞析（1）日期：2013年12月9_日學(xué)號(hào)：姓名：大自然奇妙而又神秘的對(duì)稱美普遍存在于各種物理現(xiàn)象、物理過(guò)程和物理規(guī)律中。從某種意義上講，物 理學(xué)的每一次重大突破都有美學(xué)思想在其中的體現(xiàn).用對(duì)稱性思想去審題，從對(duì)稱性角度去分析和解決 問題，將給人耳目一新的感覺。希望同學(xué)們通過(guò)對(duì)帶電粒子在電磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)問題的分析，分析問題時(shí) 注意將圖仔細(xì)畫好，體會(huì)其中的美學(xué)思想和對(duì)稱美的感受。如圖所示，在

2、半徑為 R的圓范圍內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng)，一個(gè)電子從M點(diǎn)沿半徑方向 以v射入，從N點(diǎn)射出，速度方向偏轉(zhuǎn)了60。則電子從M到N運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是( )A2二 R b 2二 R c 注 口 "二 Rv3v 3v 3v2.如圖所示，以ab為分界面的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向均垂直于紙面向里，其磁感應(yīng)強(qiáng) 度bi=2B2,現(xiàn)有一質(zhì)量為 m,帶電量為+q的粒子從O點(diǎn)沿圖示方向以速度v進(jìn)入B1中，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=粒子重新回到 O點(diǎn)（重力不計(jì)）第23頁(yè)共20頁(yè)在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子每次穿過(guò)鋁箔時(shí)損失的能量都相同，如圖中兩圓弧半徑 R1=20cm, R2=19cm,則該粒子總共能穿過(guò)鋁箔的次數(shù)是多少？4 .如圖所示，在x軸

3、上方有垂直于xy平面的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)弓雖度為B,在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電 場(chǎng),場(chǎng)強(qiáng)為E, 一質(zhì)量為m ,電量為一q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn) O沿著y軸正方向射出，射出之后，第三次到 達(dá)x軸時(shí)，它與。點(diǎn)的距離為L(zhǎng),求此時(shí)粒子射出時(shí)的速度和運(yùn)動(dòng)的總路程（重力不計(jì)）5 .如圖（甲）所示，兩塊水平放置的平行金屬板，板長(zhǎng)L=1.4m,板距d=30cm。兩板間有B=1.25T,垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在兩板上加如圖（乙）所示的脈沖電壓。在 t=0時(shí)，質(zhì)量m=2X 10-15kg,電量為q=i X10-10C的正離子，以速度為 4X 103m/s從兩板中間水平射入。試求：粒子在板間做什么運(yùn)動(dòng)，及運(yùn)動(dòng)的

4、總時(shí)間？并畫出其軌跡。（計(jì)算時(shí)取4 % = 12.5）3 V1 *5 = = ：£ : i !0 12 3 4 5/10-*s（乙）6 .如圖所示，一個(gè)初速為0的帶正電的粒子經(jīng)過(guò) M, N兩平行板間電場(chǎng)加速后，從 N板上的孔射出，當(dāng)帶電粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)，長(zhǎng)方形abcd區(qū)域中出現(xiàn)大小不變，方向垂直于紙面且交替變化的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T,每經(jīng)過(guò)t=l X10-3s,磁場(chǎng)方向變化一次，粒子到達(dá)P點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)的磁場(chǎng)方向指向紙外，在Q處有一靜止的中性粒子，PQ距離s=3.0m,帶電粒子的比荷是1.0X104c/kg,不計(jì)重力。求：（1）加速電壓為200V時(shí)帶電粒子能否與中性粒子碰撞？ （

5、2）畫出它的軌跡。7 .如圖（甲）所示，x >0的區(qū)域內(nèi)有如圖7 （乙）所示大小不變、方向隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)為正方向. 現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、 電量為q的帶正電的粒子， 在t = 0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn) O 以速度v沿著與x軸正方向成 75。角射入.粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后到達(dá) P點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a, a），此 時(shí)粒子的速度方向與 OP延長(zhǎng)線的夾角為30°.粒子只受磁場(chǎng)力作用.（1）若B o = B 1為已知量，試求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R和周期T。的表達(dá)式；（2）說(shuō)明粒子在OP間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟所加磁場(chǎng)變化周期 T之間應(yīng)有什么樣關(guān)系才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)；（

6、3）若B。為未知量，那么所加磁場(chǎng)的變化周期T、磁感應(yīng)強(qiáng)度B 0的大小各應(yīng)滿足什么條件，才能使粒8 .如圖所示，一理想磁場(chǎng)以 x軸為界上，下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度是上方磁感應(yīng)強(qiáng)度B的兩倍，今有一質(zhì)量為m,帶電量為+q的粒子，從原點(diǎn) O沿y軸正方向以速度 v0射入磁場(chǎng)中，求（1）此粒子從開始進(jìn)入磁 場(chǎng)到第四次通過(guò) x軸的位置和時(shí)間，（2）此粒子從開始進(jìn)入磁場(chǎng)到第n次通過(guò)x軸的位置和時(shí)間。（重力不計(jì)）9 .如圖所示，在X O y平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m、電量為e的電子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同的速率v 。沿不同方向平行xOy平面射入第I象限.現(xiàn)加一垂直xOy平面向里、磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求符合條件的磁

7、場(chǎng)的最小面積.（不考慮求這些入射電子穿過(guò)磁場(chǎng)都能平行于X軸且沿X軸正方向運(yùn)動(dòng). 電子之間的相互作用）棗莊三中20132014學(xué)年度高二物理學(xué)案專題5:帶電粒子在電磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱美賞析（2）日期：2013年12月日學(xué)號(hào)：姓名：物理學(xué)家溫伯格說(shuō):“目前物理學(xué)中最有希望的探索方法就是透過(guò)現(xiàn)象世界與表層結(jié)構(gòu)的迷 霧去發(fā)現(xiàn)隱藏在事物深處的對(duì)稱性”.由此可見，對(duì)稱性思想在物理學(xué)中的應(yīng)用是廣泛的， 也是很重要的，所以我們?cè)谄綍r(shí)的生活和學(xué)習(xí)中要逐漸培養(yǎng)美學(xué)思維能力。10 .如圖所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d,外筒 的外半徑為r.在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行

8、于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.在兩 極間加上電壓，使兩筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng).一質(zhì)量為m、帶電量+q的粒子，從緊靠?jī)?nèi) 筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速度為零.如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S,則兩極之間的電壓 U應(yīng)是多少？（不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中）a11 .如圖所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng).左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場(chǎng)寬度為 L;中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為 B,方向垂直紙面向里.一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場(chǎng)的O點(diǎn)，然后重復(fù)上述運(yùn)左邊緣

9、的O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，又回到 動(dòng)過(guò)程.求：（1）中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d;（2）帶電粒子從 。點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到 O點(diǎn)的所用時(shí)間t.12 .如圖所示，一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q的正離子， 從A點(diǎn)正對(duì)著圓心O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒 中.圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞兩次后仍從A點(diǎn)射出，設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損失，不計(jì)粒子的重力。求正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t及磁感應(yīng)強(qiáng)度 的大小B。13 .如圖所示，有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直x Oy所在的紙面向外.某時(shí)刻在x = L0、y =0處，一質(zhì)子沿y軸的負(fù)方向進(jìn)入

10、磁場(chǎng)；同一時(shí)刻，在* = 一！,。、y=0處，一個(gè)a粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，速度方向與磁場(chǎng)垂直.不考慮質(zhì)子與a粒子間的相互作用，質(zhì)子的質(zhì)量為m、電量為e。(1)如果質(zhì)子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O,它的速度為多大？(2)如果a粒子與質(zhì)子在坐標(biāo)原點(diǎn) O相遇，a粒子的速度為多大？方向如何？14 .如圖所示，在xOy平面上一HVyVH的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從X軸的負(fù)半軸的遠(yuǎn)處以相同的速率v。沿X軸正向平行地向y軸射來(lái).試設(shè)計(jì)滿足以下條件最小的磁場(chǎng)區(qū)域，使得(1)所有電子都能在磁場(chǎng)力作用下通過(guò)原點(diǎn) O; (2)這一片電子最后擴(kuò)展到一 2HVyV 2H范圍內(nèi)，繼續(xù)沿 x軸正向平 行地以相同的速率v °向遠(yuǎn)處射出

11、.已知電子的電量為e、質(zhì)量為m,不考慮電子間的相互作用。 提示：由9題可以受到啟發(fā)(a)15 .受控?zé)岷司圩円迅叨燃儍舻捏?、瓶混合材料加熱?億度以上，即達(dá)到所謂熱核溫度。在這樣的超高溫度下，笊、瓶混合氣體已完全電離，成為笊、瓶原子核和自由電子混合而成的等離子體。從常溫下處 于分子狀態(tài)的笊、瓶材料開始，一直到上述熱核溫度的整個(gè)加熱過(guò)程中，必須把這個(gè)尺寸有限的等離子 體約束起來(lái)，使組成等離子體的原子核在發(fā)生足夠多的聚變反應(yīng)之前不至于失散，可一般的容器無(wú)法使 用，因?yàn)槿魏尾牧系娜萜鞅诙疾豢赡艹惺苓@樣的高溫。而磁約束是目前的重點(diǎn)研究方案，利用磁場(chǎng)可以 約束帶電粒子這一特性，構(gòu)造一個(gè)特殊的磁容器建成

12、聚變反應(yīng)堆。圖所示是一種簡(jiǎn)化示意圖，有一個(gè)環(huán)形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域的截面內(nèi)半徑Ri = V3 m,外半徑R2 = 3 m,磁感應(yīng)強(qiáng)度B = 0.5 T,被約束的粒子的比荷 m=4.0X107 C/kg,不計(jì)粒子重力和粒子間相互作用。(1)若帶電粒子從中間區(qū)域沿半徑方向射入磁場(chǎng)，則粒子不能穿越磁場(chǎng)外邊界的最大速率Vm是多少？(2)若帶電粒子以(1)問中最大速率Vm從圓心。出發(fā)沿圓環(huán)半徑方向射入磁場(chǎng)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出其運(yùn)動(dòng)軌跡，并求出粒子從出發(fā)到第一次回到出發(fā)點(diǎn)所用的時(shí)間。16 .如圖所示，正方形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)邊界長(zhǎng)為a、由光滑絕緣壁圍成，質(zhì)量為 m、電量為q的帶正電的粒子垂直于磁場(chǎng)方向和邊界，從下邊界正中央的A

13、孔射入磁場(chǎng)中.粒子碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損失，不計(jì)重力和碰A孔處射出，粒子撞時(shí)間，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑小于a。欲使粒子仍能從的入射速度應(yīng)為多少？在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少 ？X X X X17 .如圖所示，兩平行金屬板 A、B長(zhǎng)l=8cm,兩板間距離d= 8cm, B板比A板電勢(shì)高300V,即Uba = 300V。一帶正電的粒子電量 q=10-10C,質(zhì)量m = 10-20kg,從R點(diǎn)沿電場(chǎng)中心線垂直電場(chǎng)線飛入電場(chǎng)，初速度vo= 2X106m/s,粒子飛出平行板電場(chǎng)后經(jīng)過(guò)無(wú)場(chǎng)區(qū)域后，進(jìn)入界面為MN、PQ間勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，從磁場(chǎng)的PS邊界出來(lái)后剛好打在中心線上離PQ邊界4L/3處的

14、S點(diǎn)上。已知 MN邊界與平行板的右端相距為L(zhǎng),兩界面MN、PQ相距為L(zhǎng),且L = 12cm。求(粒子重力不計(jì))(1)粒子射出平行板時(shí)的速度大小v;(2)粒子進(jìn)入界面 MN時(shí)偏離中心線 RO的距離多遠(yuǎn)？(3)畫出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡，并求勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小。v0S.參考答案一 ."扇面”圖形1.例1如圖所示，在半彳至為R的圓范圍內(nèi)有勻強(qiáng)磁場(chǎng),半徑方向以v射入，從N點(diǎn)射出, 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）2 二 RB 3v二 RC 3v3 二 RD3v一個(gè)電子速度方向偏轉(zhuǎn)了6 0°則電子從M點(diǎn)沿解析選D過(guò)M, N兩點(diǎn)分別做OM±OM, ON±ON.則粒子運(yùn)動(dòng)軌道形成一

15、 扇面“圖形，如圖所示，圓心角/MO N= 6 0 =又由r=mBqR0 = . 3 R tan30°JT2 .3 R fT=,所以電子從M到N運(yùn)動(dòng)時(shí)間3R3v估選D。3 t=T = x2 二 2 二2二 m /曰和T=,得Bq“心臟”圖形2.例2如圖所示，以ab為分界面的兩個(gè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)，方向均垂直于紙面向里,其磁感應(yīng)強(qiáng)度bi=2B2現(xiàn)有一質(zhì)量為 m,帶電量為+q的粒子,從O點(diǎn)沿圖示方向以速度v進(jìn)入B1中，經(jīng)過(guò)時(shí)間t=粒子重新回到解析粒子重新回到。點(diǎn)（重力不計(jì)）。點(diǎn)時(shí)其運(yùn)動(dòng)軌道如圖所示，形成一“心臟”圖形.由圖可知,粒子在Bi中運(yùn)動(dòng)時(shí)間2 -：m ti =T i=Biq所以粒子運(yùn)動(dòng)的總

16、時(shí)間,2二 m 二 m 2 二m5t= ti+ t2=+=或B1qB2qB2qXXXX ： X |XXXXXXXXXXXX)xXXXXX1XXXBlb町a(chǎn)粒子在B2中的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為二 mT2=B?q“螺旋線”圖形Bq3.例3如圖所示，水平放置的厚度均勻的鋁箔，置于勻強(qiáng)磁場(chǎng)中垂直于紙面向里，一帶電粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后在磁場(chǎng)中做勻速圓粒子每次穿過(guò)鋁箔時(shí)損失的能量都相同 ，如圖中兩圓弧半徑R=19cm,則該粒子總共能穿過(guò)鋁箔的次數(shù)是多少 ？磁場(chǎng)方向周運(yùn)動(dòng)，R=20cm,解析由R=2 _ 2 _ 2mv 12m q B R 及 Ek= mv得：Ek= 所以每次動(dòng)能損失：E Ek= Ek1-Bq2m2 _ 2

17、- 2 q2B2R1 EK2=2m222q B R22m共能穿過(guò)鋁箔的次數(shù)：EiRi220.2. EkRi2 - R22 0.22 -0.12為10.3故n=10次粒子在每次跡形成如圖所示的一條“螺旋線”圖形穿過(guò)鋁箔后其軌四“拱橋”圖形4.例4如圖所示，在x軸上方有垂直于 xy平面的勻強(qiáng)磁強(qiáng)度為B,在x軸下方有沿y軸負(fù)方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng) 質(zhì)量為m,電量為一q的粒子從坐標(biāo)原點(diǎn) O沿著y軸 出，射出之后，第三次到達(dá)x軸時(shí)，它與。點(diǎn)的距離 時(shí)粒子射出時(shí)的速度和運(yùn)動(dòng)的總路程（重力不記）解析 畫出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，形成“拱橋“圖形。道半徑R=L,所以由牛頓定律知粒子運(yùn)動(dòng)速率為4對(duì)粒子進(jìn)入電場(chǎng)后沿 y

18、軸負(fù)方向做減速運(yùn)動(dòng)的最大路程 y由m 4m動(dòng)能定理知：12口qB2L2 一上“一一 mv =qEy ,得 y= 所以粒子運(yùn)動(dòng)的總路程為232mEs=qBX.；L16mE 2五“葡萄串”圖形5.例5如圖（甲）所示，兩塊水平放置的平行金屬板，板長(zhǎng) L=1.4m,板距d=30cm。兩板間有B=1.25T,垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)。在兩板上加如圖（乙）所示的脈沖電壓。在 t=0時(shí)，質(zhì)量 m=2X 10-15kg,電量 為q=1 x 10-10C的正離子，以速度為 4 x 103m/s從兩板中間水平射入。試求：粒子在板間做什么運(yùn)動(dòng)？畫 出其軌跡。解析 在第一個(gè)10-4S內(nèi)，電場(chǎng)，磁場(chǎng)同時(shí)存在，離子受電場(chǎng)

19、力，洛侖茲力分別為FuqE= qU =5M0-7N,方向d由左手定則知向上，粒子做勻速直線運(yùn)動(dòng)。位移 s=vt=0.4m.第二個(gè)10-4s內(nèi)，只有磁場(chǎng)，離子做勻速圓周運(yùn)10-4s,即跡如圖動(dòng)，r=一%=6.4 X 10 2m < 9 ,不會(huì)碰板，時(shí)間 t=2B=1xBq4B1q正巧在無(wú)電場(chǎng)時(shí)離子轉(zhuǎn)滿一周。易知以后重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)， 故軌所示，形成“葡萄串”圖形總時(shí)間:t =6.5 X 10-4s六“字母S”圖形兩平行板時(shí)，長(zhǎng)方形 強(qiáng)磁場(chǎng)，磁粒子到達(dá)P子，PQ距（1）加速6.例6如圖所示，一個(gè)初速為0的帶正電的粒子經(jīng)過(guò) M, N b自間電場(chǎng)加速后，從 N板上的孔射出，當(dāng)帶電粒子到達(dá)P點(diǎn)m 1一

20、一rFabcd區(qū)域中出現(xiàn)大小不變，方向垂直于紙面且交替變化的勻；互I'I感應(yīng)強(qiáng)度B=0.4T,每經(jīng)過(guò)t= 1 X10-3S,磁場(chǎng)方向變化一次，；點(diǎn)時(shí)出現(xiàn)的磁場(chǎng)方向指向紙外，在Q處有一靜止的中性粒5；離s=3.0m,帶電粒子的比荷是 1.0X104c/kg,不計(jì)重力。求：電壓為200V時(shí)帶電粒子能否與中性粒子碰撞？ （2）畫出它的軌跡12解析 （1 ）粒子在 M , N板間加速時(shí)由動(dòng)能定理得到達(dá)P點(diǎn)時(shí)的速度：qU =-mv 即：v= j內(nèi)_=中，2父200 M 1.0 M104 m/s=2x103m/s方向水平向右。此時(shí) P點(diǎn)出現(xiàn)垂直于紙面向外的磁場(chǎng)，所 m以粒子由于受到洛倫茲力做圓周運(yùn)

21、動(dòng)的周期為：T= &m= - M0-3s=2tBq 2在PQ右邊做勻速以粒子做半圓周即粒子運(yùn)動(dòng)半周磁場(chǎng)方向改變，此時(shí)粒子速度方向變?yōu)樗较蛴遥柿Ｗ佑謭A周運(yùn)動(dòng)，以后重復(fù)下去，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r=0.5m所Bq運(yùn)動(dòng)個(gè)數(shù)為n= - = 3.0m =3所以帶電粒子能與中性粒子相遇。2r 2 0.5m（2）依（1）知帶電粒子的軌跡如圖所示，形成“葡萄串”圖形7.四、一條波浪圖7 （甲）所示，x >0的區(qū)域內(nèi)有如圖 7 （乙）所示大小不變、方向隨時(shí)間周期性變化的磁場(chǎng)，磁場(chǎng)方向垂直紙面向外時(shí)為正方向. 現(xiàn)有一個(gè)質(zhì)量為m、 電量為q的帶正電的粒子， 在t = 0時(shí)刻從坐標(biāo)原點(diǎn) O

22、以速度v沿著與x軸正方向成 75。角射入.粒子運(yùn)動(dòng)一段時(shí)間后到達(dá) P點(diǎn)，P點(diǎn)的坐標(biāo)為（a, a），此 時(shí)粒子的速度方向與 OP延長(zhǎng)線的夾角為30°.粒子只受磁場(chǎng)力作用.T乙(1)若B 0=B i為已知量，試求帶電粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑R和周期T。的表達(dá)式；(2)說(shuō)明粒子在OP間運(yùn)動(dòng)的時(shí)間跟所加磁場(chǎng)變化周期T之間應(yīng)有什么樣關(guān)系才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)；(3)若B。為未知量，那么所加磁場(chǎng)的變化周期T、磁感應(yīng)強(qiáng)度B 。的大小各應(yīng)滿足什么條件，才能使粒子完成上述運(yùn)動(dòng)？(寫出T、B 。應(yīng)滿足條件的表達(dá)式)解析 (1)由牛頓第二定律，可得qvBi = mv2/R,R = mv/qB i,粒子運(yùn)

23、動(dòng)的周期To=2 7tR/v=2 7tm/qB i.(2)根據(jù)粒子經(jīng)過(guò) 。點(diǎn)和P點(diǎn)的速度方向和磁場(chǎng)的方向可判斷：粒子由。點(diǎn)到P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程可能在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期之內(nèi)完成；當(dāng)磁場(chǎng)方向改變時(shí)，粒子繞行方向也改變，磁場(chǎng)方向變化具有周期性，粒子繞行 方向也具有周期性，因此粒子由。點(diǎn)到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程也可能在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期的奇數(shù)倍時(shí)間完成.(3)若粒子由。點(diǎn)到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期之內(nèi)完成，則磁場(chǎng)變化周期與粒子運(yùn)動(dòng)周期應(yīng)滿足：T/2>T o/6,由圖8可知粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R = OP= 拒&，又 R = mv/qB 。To = 2 7tm/qB o, 所以T、B。分別滿足：B

24、 o = m v / q X a = m v / 2 q a ,T >2 兀 m/3qB o = 2 兀 a / 3V.若粒子由。點(diǎn)到P點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程在磁場(chǎng)變化的半個(gè)周期的奇數(shù)倍時(shí)間完成，則磁場(chǎng)變化周期與粒子運(yùn)動(dòng) 周期應(yīng)滿足由圖8可知又所以T、B。分別滿足B o = (2k 1) m v / 2 q a ,T &避 Tta/3(2k 1) v .其中 k= 2, 3,(2k 1) T/2= (2k 1) T。/6, k=2, 3,a = (2k 1) R,R = mv/qB o, To = 2 7ml / q B o.強(qiáng)度是從原點(diǎn)到第四欣賞帶電粒子在磁場(chǎng)中周期性的運(yùn)動(dòng)像一條緩緩前行

25、的波浪，浪花點(diǎn)點(diǎn) 七“心連心”圖形8. 例7如圖所示，一理想磁場(chǎng)以 x軸為界上，下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)方磁感應(yīng)強(qiáng)度 B的兩倍，今有一質(zhì)量為 m,帶電量為+q的粒子, 沿y軸正方向以速度vo射入磁場(chǎng)中，求此粒子從開始進(jìn)入磁場(chǎng)通過(guò)x軸的位置和時(shí)間（忽略重力）解析由r= mv_知粒子在 x軸上方做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑 Bqx軸下方做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑r2=m0所以ri=2現(xiàn)作出帶2Bq動(dòng)的軌跡如圖所示，形成“心連心”圖形所以粒子第四次經(jīng)過(guò)2mv02 二m 2 二m 3 二m時(shí)間分別為：x=2r產(chǎn)0, t=Ti+T2=+=-BqBq 2 Bq Bqmvo 十r1=,在Bq電粒子的運(yùn)軸的位置和9. 一、一片綠葉

26、例1如圖1所示，在X O y平面內(nèi)有很多質(zhì)量為m、電量為e的電子，從坐標(biāo)原點(diǎn)O不斷以相同的速率v o沿不同方向平行x O y平面射入第I象限.現(xiàn)加一垂直x O y平面向里、磁感應(yīng)弓11度為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，要求這些入射電子穿過(guò)磁場(chǎng)都能平行于x軸且沿x軸正方向運(yùn)動(dòng).求符合條件的磁場(chǎng)的最小面 積.（不考慮電子之間的相互作用）也v0解析 如圖2所示，電子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)， 半徑為R = mv o/e B.在由。點(diǎn)射入第I象限的所有 電子中，沿y軸正方向射出的電子轉(zhuǎn)過(guò)1/4圓周，速度變?yōu)檠豿軸正方向，這條軌跡為磁場(chǎng)區(qū)域的上邊界. 下面 確定磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界.設(shè)某電子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的圓心O '

27、和O點(diǎn)的連線與y軸正方向夾角為0 ,若離開磁場(chǎng)時(shí)電子速度變?yōu)檠豿軸正方向，其射出點(diǎn)（也就是軌跡與磁場(chǎng)邊界的交點(diǎn)）的坐標(biāo)為（x、y）.由圖中幾何關(guān)系可得x = Rsin 0 , y = R Rcos 0 ,消去參數(shù)0可知磁場(chǎng)區(qū)域的下邊界滿足的方程為2 一，一、2_2,_一、x +（Ry） =R （x>0, y>0）.這是一個(gè)圓的方程，圓心在（0, R）處.磁場(chǎng)區(qū)域?yàn)閳D中兩條圓弧所圍成的面積.磁場(chǎng)的最小面積為S = 2X （ （ 1/4）兀 R? （1/2） R?）=（兀一2） m 2Vo'/（Ze”？）.欣賞 由兩條圓弧所圍的磁場(chǎng)區(qū)域像一片嫩綠的樹葉，青翠欲滴！二、一朵梅花1

28、0. 例2如圖3所示，兩個(gè)共軸的圓筒形金屬電極，其上均勻分布著平行于軸線的四條狹縫a、b、c和d ,外筒的外半徑為r .在圓筒之外的足夠大區(qū)域中有平行于軸線方向的均勻磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大 小為B.在兩極間加上電壓，使兩筒之間的區(qū)域內(nèi)有沿半徑向外的電場(chǎng).一質(zhì)量為m、帶電量+q的粒 子，從緊靠?jī)?nèi)筒且正對(duì)狹縫a的S點(diǎn)出發(fā)，初速度為零.如果該粒子經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的運(yùn)動(dòng)之后恰好又回到出發(fā)點(diǎn)S,則兩極之間的電壓 U應(yīng)是多少？(不計(jì)重力，整個(gè)裝置在真空中)解析 如圖4所示，帶電粒子從 S點(diǎn)出發(fā)，在兩筒之間的電場(chǎng)作用下加速，沿徑向穿出狹縫a而進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，在洛倫茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng).粒子再回到S點(diǎn)的條件是能沿徑向

29、穿過(guò)狹縫d.只要穿過(guò)了 d,粒子就會(huì)在電場(chǎng)力作用下先減速，再反向加速，經(jīng)d重新進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)，然后粒子以同樣方式經(jīng)過(guò)c、b,再 經(jīng)回到S點(diǎn).設(shè)粒子進(jìn)入磁場(chǎng)區(qū)的速度大小為v ,根據(jù)動(dòng)能定理，有qU= ( 1/2) m v .設(shè)粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R,由洛倫茲力公式和牛頓第二定律，有q v B = m v'/R.由前面的分析可知，要回到 S點(diǎn)，粒子從a到d必經(jīng)過(guò) 3/4圓周，所以半徑 R必定等于筒的外半徑r, 即R = r .由以上各式解得：U=qB2r 2/Zm.欣賞 粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡構(gòu)成了一朵怒放的梅花，香氣迎風(fēng)而來(lái)！三、一滴水珠11. 例3如圖5所示，空間分布著有理想邊界的勻強(qiáng)電場(chǎng)和

30、勻強(qiáng)磁場(chǎng).左側(cè)勻強(qiáng)電場(chǎng)的場(chǎng)強(qiáng)大小為E、方向水平向右，電場(chǎng)寬度為L(zhǎng);中間區(qū)域勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B ,方向垂直紙面向外；右側(cè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,方向垂直紙面向里.一個(gè)質(zhì)量為m、電量為q、不計(jì)重力的帶正電的粒子從電場(chǎng)的左邊緣的 O點(diǎn)由靜止開始運(yùn)動(dòng)，穿過(guò)中間磁場(chǎng)區(qū)域進(jìn)入右側(cè)磁場(chǎng)區(qū)域后，又回到 。點(diǎn)，然后 重復(fù)上述運(yùn)動(dòng)過(guò)程.求：(1)中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度d;(2)帶電粒子從 。點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)到第一次回到 O點(diǎn)的所用時(shí)間解析(1)帶電粒子在電場(chǎng)中加速，由動(dòng)能定理，可得帶電粒子在磁場(chǎng)中偏轉(zhuǎn)，由牛頓第二定律，可得t.q E L = ( 1/2) m vc2/門qvB = mv /R)由以上兩式，可

31、得R= ( 1/B)2fnEL可見在兩磁場(chǎng)區(qū)粒子運(yùn)動(dòng)半徑相同，如圖6所示，三段圓弧的圓心組成的三角形401O2O 3是等邊三角形,其邊長(zhǎng)為2R.所以中間磁場(chǎng)區(qū)域的寬度為d = R s i n 60=(1/2B) 丫 q(2)在電場(chǎng)中t i=2v / a = 2mv / qE = 2在中間磁場(chǎng)中在右側(cè)磁場(chǎng)中t2=2X (1/6) T=2：tm/3qB, t 3 = (5/6)T=5jtm/3qB,2mL則粒子第一次回到。點(diǎn)的所用時(shí)間為t = t i+tz+t 3 = 2、。召+7tt m/3q B.欣賞 粒子在兩磁場(chǎng)區(qū)的運(yùn)動(dòng)軌跡形成了一滴水珠，晶瑩明亮 五、一顆明星12. 例5如圖9所示，一個(gè)質(zhì)

32、量為m、電量為q的正離子，從A點(diǎn)正對(duì)著圓心 O以速度v射入半徑為R的絕緣圓筒中.圓筒內(nèi)存在垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B.要使帶電粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞兩次后仍從 A點(diǎn)射出，求正離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t .設(shè)粒子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損 失，不計(jì)粒子的重力.解析 由于離子與圓筒內(nèi)壁碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損失，每次碰撞后離子的速度方向都沿半徑方向指向圓心，并且 離子運(yùn)動(dòng)的軌跡是對(duì)稱的，如圖10所示.每相鄰兩次碰撞點(diǎn)之間圓弧所對(duì)的圓心角為 120。.由幾何知識(shí)可知，離 子運(yùn)動(dòng)的半徑為r = R t 6 6 60 = "J：R,一、一一r ，一 ，ri、，_一2 ,離子運(yùn)動(dòng)的周

33、期為T=2 7tm/qB,又 qvB = mv /R,所以離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t=3X (1/6) T= "6兀R/ 3 v .欣賞離子運(yùn)動(dòng)的軌跡構(gòu)成了一顆星星，閃閃發(fā)光 ！ 六、一彎殘?jiān)?3. 例6如圖11 (a)所示，有一勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,方向垂直x O y所在的紙面向外.某時(shí)a粒子間的相互作用，質(zhì)子的質(zhì)量為m、電量為c.刻在x = L o、y = 0處，一質(zhì)子沿y軸的負(fù)方向進(jìn)入磁場(chǎng)；同一時(shí)刻，在*=一！. o、y=0處，一個(gè)a 粒子進(jìn)入磁場(chǎng)，速度方向與磁場(chǎng)垂直.不考慮質(zhì)子與(1)如果質(zhì)子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn) O,它的速度為多大？(2)如果a粒子與質(zhì)子在坐標(biāo)原點(diǎn) O相遇，a粒

34、子的速度為多大？方向如何？解析 (1)根據(jù)質(zhì)子進(jìn)入磁場(chǎng)的位置和速度方向可知，質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的圓心必在x軸上，又因質(zhì)子經(jīng)過(guò)坐標(biāo) 原點(diǎn)，故其軌道半徑 R p=(1/2)Lo,由 Rp = mvp/eB,得 vp=cBL。/2m.(2)質(zhì)子運(yùn)動(dòng)的周期T p=2 7tm/cB. a粒子的電量為2 e ,質(zhì)量為4 m ,運(yùn)動(dòng)的周期T 8 = 4兀m/ e B= 2T p.質(zhì)子在t = ( 1/2) Tp, (3/2) Tp, ( 5/2) T p時(shí)刻通過(guò) O點(diǎn)，若a粒子與質(zhì)子在 O點(diǎn)相遇，a粒子必在質(zhì)子經(jīng)過(guò) O點(diǎn)的同一時(shí)刻到達(dá)， 這些時(shí)刻分別對(duì)應(yīng)于t=(1/4) Tp, (3/4) Tp如果a粒子在時(shí)刻t=

35、( 1/4) T p到達(dá)O點(diǎn)，它運(yùn)行了( 1/4) T "圓周所對(duì)應(yīng)的弦；如果 a粒子在 時(shí)刻t= ( 3/4) T p到達(dá)O點(diǎn)，它運(yùn)行了( 3/4) T "圓周所對(duì)應(yīng)的弦，如圖 11 (b)所示(t= ( 5/4)T p等情況不必考慮).由圖可知， a粒子軌道半徑R 8 = (/2) Lo,由R a=4mv 8/2cB=2mv «/ e B ,得 v 8 = BL o / 4m,方向有兩個(gè)，即與 x軸正方向夾角分別為0i= (1/4)兀，02=( 3/4)兀.欣賞粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡形成了一彎殘?jiān)拢钊烁∠肼?lián)翩！七、一只蝴蝶X軸的負(fù)半軸的遠(yuǎn)處以相同的速率Vo沿X軸正向

36、平行地向y軸射來(lái).試設(shè)計(jì)一個(gè)磁場(chǎng)區(qū)域，使得14. 例7 如圖12 (a)所示，在x Oy平面上一HVyVH的范圍內(nèi)有一片稀疏的電子，從(1)所有電子都能在磁場(chǎng)力作用下通過(guò)原點(diǎn)O;(2)這一片電子最后擴(kuò)展到一 2HVyV 2H范圍內(nèi)，繼續(xù)沿 x軸正向平行地以相同的速率v。向遠(yuǎn)處射出.已知電子的電量為e、質(zhì)量為m,不考慮電子間的相互作用.解析 根據(jù)題意，電子在 O點(diǎn)先會(huì)聚再發(fā)散，因此電子在第I象限的運(yùn)動(dòng)情況可以依照例1來(lái)分析.即只有當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向里、沿 y軸正方向射入的電子運(yùn)動(dòng)軌跡為磁場(chǎng)上邊界(如圖中實(shí)線 1所示)、沿其它方向 射入第I象限磁場(chǎng)的電子均在實(shí)線2 (磁場(chǎng)下邊界)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)上才平行 x

37、軸射出磁場(chǎng)，這些點(diǎn)應(yīng)滿足x 2十(y-2H) 2= (2H)實(shí)線1、2的交集即為第I象限內(nèi)的磁場(chǎng)區(qū)域.由ev oBi=mv2°/R,得 B =m v o /2 e H, 方向垂直x O y平面向里.顯然，電子在第出象限的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，可以看成是第I象限的逆過(guò)程.即只有當(dāng)磁場(chǎng)垂直紙面向外，平行于x軸向右且距x軸為H的入射電子運(yùn)動(dòng)軌跡則為磁場(chǎng)下邊界(如圖中實(shí)線1'所示)、沿與x軸平行方向入射的其他電子均在實(shí)線 2'(磁場(chǎng)上邊界)各對(duì)應(yīng)點(diǎn)發(fā)生偏轉(zhuǎn)并會(huì)聚于 O點(diǎn)，這些點(diǎn)應(yīng)滿足x 2十 ( y H) =H .實(shí)線1'、2'的交集即為第m象限內(nèi)的磁場(chǎng)區(qū)域.所以B 3

38、= mv o/cH,方向垂直x O y平面向外.同理，可在第H、IV象限內(nèi)畫出分別與第I、出象限對(duì)稱的磁場(chǎng)區(qū)域，其中B2=mv o/cH,方向垂直xOy平面向里；B 4 = mv o/2cH,方向垂直x O y平面向外. 欣賞 全部磁場(chǎng)區(qū)域的分布極像一只漂亮的蝴蝶，賞心悅目！八、一幅窗簾15. 例8如圖13所示，正方形勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)邊界長(zhǎng)為a、由光滑絕緣壁圍成，質(zhì)量為m、電量為q的帶正電的粒子垂直于磁場(chǎng)方向和邊界，從下邊界正中央的 A孔射入磁場(chǎng)中.粒子碰撞時(shí)無(wú)能量和電量損失，不計(jì)重力和碰撞時(shí)間，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑小于a .欲使粒子仍能從A孔處射出，粒子的入射速度應(yīng)為多少？

39、在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間是多少 ？XXXXB QX X X M解析 欲使粒子仍能從 A孔處射出，粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可能是如圖14甲、乙所示的兩種情形.對(duì)圖14甲所示的情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R,則 R=a/2 (2n + 1) , n = 0, 1-2，_-，一又 qvB = mv /R, T=2 7tm/qB,所以 v = qBa/ 2(2n +1)m,t = (4n+1) T=2 (2n + 1)兀 m/qB, n= 0, 1, 2, 對(duì)圖14乙所示情形，粒子運(yùn)動(dòng)的半徑為R',則甲R(shí)'=a / 4k, k = 1 , 2,又 qv'B = mv'2/R', 所以

40、v'=qB a/ 4km,t'= 2kT+2a/v'= 4k （兀+ 2）m/qB, k= 1, 2,欣賞粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡組成了一幅美麗的窗簾，可謂巧奪天工 ！4、（20分）如圖所示，兩平行金屬板 A、B長(zhǎng)l = 8cm,兩板間距離d = 8cm, B板比A板電勢(shì)高300V , 即Uba = 300V。一帶正電的粒子電量 q=10-10C,質(zhì)量m= 10-20kg,從R點(diǎn)沿電場(chǎng)中心線垂直電場(chǎng)線飛入 電場(chǎng)，初速度vo = 2X106m/s,粒子飛出平行板電場(chǎng)后經(jīng)過(guò)無(wú)場(chǎng)區(qū)域后，進(jìn)入界面為MN、PQ間勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，從磁場(chǎng)的 PS邊界出來(lái)后剛好打在中心線上離PQ邊界4L/3處白S點(diǎn)上。已知MN邊界與平行板的右端相距為L(zhǎng),兩界面MN、PQ相距為L(zhǎng)