專(zhuān)升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料(超新超全)

1、專(zhuān)升本高數(shù)復(fù)習(xí)資料（超新超全）嚴(yán)格依據(jù)大綱編寫(xiě)：筆記目錄第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1 . 了解極限的概念（對(duì)極限定義，-等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn) 處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2 .了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3 .理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān) 系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代 換求極限。4 .熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1 .理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)

2、系，掌握判斷函數(shù)（含分段函數(shù)）在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2 .會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3 .掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4 .理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。第二章一元函數(shù)微分學(xué)第一節(jié)導(dǎo)數(shù)與微分復(fù)習(xí)考試要求L理解導(dǎo)數(shù)的概念及其幾何意義，了解可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系，會(huì)用定義求函數(shù)在一 點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)。2 .會(huì)求曲線上一點(diǎn)處的切線方程與法線方程。3 .熟練掌握導(dǎo)數(shù)的基本公式、四則運(yùn)算法則以及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法。4,掌握隱函數(shù)的求導(dǎo)法與對(duì)數(shù)求導(dǎo)法。會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。5 .了解高階導(dǎo)數(shù)的概念。會(huì)求簡(jiǎn)單函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)。6 .理解微分的概念，掌握微分法則，了解可微和

3、可導(dǎo)的關(guān)系，會(huì)求函數(shù)的一階微分。 第二節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求1 .熟練掌握用洛必達(dá)法則求華曰“0 8”、“8-8”型未定式的極限的方法。2 .掌握利用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性及求函數(shù)的單調(diào)增、減區(qū)間的方法。會(huì)利用函數(shù)的 單調(diào)性證明簡(jiǎn)單的不等式。3 .理解函數(shù)極值的概念，掌握求函數(shù)的駐點(diǎn)、極值點(diǎn)、極值、最大值與最小值的方法, 會(huì)解簡(jiǎn)單的應(yīng)用題。4 .會(huì)判斷曲線的凹凸性，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)。5 .會(huì)求曲線的水平漸近線與鉛直漸近線第三章一元函數(shù)積分學(xué)第一節(jié)不定積分復(fù)習(xí)考試要求L理解原函數(shù)與不定積分的概念及其關(guān)系，掌握不定積分的性質(zhì)。2 .熟練掌握不定積分的基本公式。3 .熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第

4、二換元法（僅限三角代換與簡(jiǎn)單的根式代換）。4 .熟練掌握不定積分的分部積分法。5 ,掌握簡(jiǎn)單有理函數(shù)不定積分的計(jì)算。第二節(jié)定積分及其應(yīng)用復(fù)習(xí)考試要求L理解定積分的概念及其幾何意義，了解函數(shù)可積的條件2 .掌握定積分的基本性質(zhì)3 .理解變上限積分是變上限的函數(shù)，掌握對(duì)變上限積分求導(dǎo)數(shù)的方法。4 .熟練掌握牛頓-萊布尼茨公式。5 .掌握定積分的換元積分法與分部積分法。6理解無(wú)窮區(qū)間的廣義積分的概念，掌握其計(jì)算方法。7 .掌握直角坐標(biāo)系下用定積分計(jì)算平面圖形的面積以及平面圖形繞坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)所生成 的旋轉(zhuǎn)體的體積。第四章多元函數(shù)微分學(xué)復(fù)習(xí)考試要求1 .了解多元函數(shù)的概念，會(huì)求二元函數(shù)的定義域。了解二元函

5、數(shù)的幾何意義。2 . 了解二元函數(shù)的極限與連續(xù)的概念。3 .理解二元函數(shù)一階偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念，掌握二元函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。掌 握二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)的求法，掌握二元函數(shù)的全微分的求法。4 .掌握復(fù)合函數(shù)與隱函數(shù)的一階偏導(dǎo)數(shù)的求法。5 .會(huì)求二元函數(shù)的無(wú)條件極值和條件極值。6 .會(huì)用二元函數(shù)的無(wú)條件極值及條件極值解簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。第五章概率論初步復(fù)習(xí)考試要求L 了解隨機(jī)現(xiàn)象、隨機(jī)試驗(yàn)的基本特點(diǎn)；理解基本事件、樣本空間、隨機(jī)事件的概念。2 .掌握事件之間的關(guān)系：包含關(guān)系、相等關(guān)系、互不相容關(guān)系及對(duì)立關(guān)系。3 .理解事件之間并（和）、交（積）、差運(yùn)算的意義，掌握其運(yùn)算規(guī)律。4 .理解概率的古

6、典型意義，掌握事件概率的基本性質(zhì)及事件概率的計(jì)算。5 .會(huì)求事件的條件概率；掌握概率的乘法公式及事件的獨(dú)立性。6 . 了解隨機(jī)變量的概念及其分布函數(shù)。7 .理解離散性隨機(jī)變量的意義及其概率分布掌握概率分布的計(jì)算方法。8 .會(huì)求離散性隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。第一章極限和連續(xù)第一節(jié)極限復(fù)習(xí)考試要求1 .了解極限的概念（對(duì)極限定義等形式的描述不作要求）。會(huì)求函數(shù)在一點(diǎn) 處的左極限與右極限，了解函數(shù)在一點(diǎn)處極限存在的充分必要條件。2 .了解極限的有關(guān)性質(zhì)，掌握極限的四則運(yùn)算法則。3 .理解無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念，掌握無(wú)窮小量的性質(zhì)、無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān) 系。會(huì)進(jìn)行無(wú)窮小量階的比較（高階、

7、低階、同階和等價(jià)）。會(huì)運(yùn)用等價(jià)無(wú)窮小量代 換求極限。4 .熟練掌握用兩個(gè)重要極限求極限的方法。主要知識(shí)內(nèi)容（一）數(shù)列的極限1 .數(shù)列定義按一定順序排列的無(wú)窮多個(gè)數(shù)稱(chēng)為無(wú)窮數(shù)列，簡(jiǎn)稱(chēng)數(shù)列，記作xn,數(shù)列中每一個(gè)數(shù)稱(chēng)為數(shù)列的項(xiàng)，第 n項(xiàng)xn為數(shù) 列的一般項(xiàng)或通項(xiàng)，例如（1） 1, 3, 5,，（2n-1 ）,（等差數(shù)列）（2）畀,春（等比數(shù)列）（3）?*曰（遞增數(shù)列）（4） 1, 0, 1, 0,?，（震蕩數(shù)列）都是數(shù)列。它們的一般項(xiàng)分別為（2n-1） ,5。對(duì)于每一個(gè)正整數(shù)n,都有一個(gè)xn與之對(duì)應(yīng)，所以說(shuō)數(shù)列xn可看作自變量n的函數(shù) xn=f （n）,它的定義域是全體正整數(shù)，當(dāng)自變量 n依次取1

8、,2,3一切正整數(shù)時(shí)，對(duì) 應(yīng)的函數(shù)值就排列成數(shù)列。在幾何上，數(shù)列xn可看作數(shù)軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它依次取數(shù)軸上的點(diǎn)x1,x2,x3，xn,。2.數(shù)列的極限定義對(duì)于數(shù)列xn,如果當(dāng)n-s時(shí)，xn無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)n趨 于無(wú)窮大時(shí)，數(shù)列xn以常數(shù)A為極限，或稱(chēng)數(shù)列收斂于 A,記作立一咻.哈所 比如：畀"小無(wú)限的趨向03L,無(wú)限的趨向1否則，對(duì)于數(shù)列xn,如果當(dāng)n-s時(shí)，xn不是無(wú)限地趨于一個(gè)確定的常數(shù)，稱(chēng)數(shù)列 xn沒(méi)有極限，如果數(shù)列沒(méi)有極限，就稱(chēng)數(shù)列是發(fā)散的。比如：1, 3, 5,，（2n-1 ）,1 # 一“1, 0, 1, 0,丁數(shù)列極限的幾何意義：將常數(shù) A及數(shù)列的項(xiàng)

9、一依次用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，若數(shù)列xn 以A為極限，就表示當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，點(diǎn)xn可以無(wú)限靠近點(diǎn)A,即點(diǎn)xn與點(diǎn)A之 間的距離|xn-A|趨于0。比如：白上*無(wú)限的趨向0無(wú)限的趨向1(二)數(shù)列極限的性質(zhì)與運(yùn)算法則1.數(shù)列極限的性質(zhì)定理1.1 (惟一性)若數(shù)列xn收斂，則其極限值必定惟一。定理1.2 (有界性)若數(shù)列xn收斂，則它必定有界。注意：這個(gè)定理反過(guò)來(lái)不成立，也就是說(shuō)，有界數(shù)列不一定收斂。比如：1 , 0, 1, 0,學(xué)有界：0, 12 .數(shù)列極限的存在準(zhǔn)則定理1.3 (兩面夾準(zhǔn)則)若數(shù)列xn,yn,zn滿足以下條件：(1)工三三£8.5-547 ,(2)必由，則配定理1.4若數(shù)列

10、xn單調(diào)有界，則它必有極限。3 .數(shù)列極限的四則運(yùn)算定理。定理1.5a -兒則 Hem -及JN(1)11rli2/土 A(3)當(dāng)？*u時(shí)，.丁西一方(三)函數(shù)極限的概念1 .當(dāng)xx0時(shí)函數(shù)f (x)的極限(1)當(dāng)x-x0時(shí)f (x)的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f (x)的極限是A,記作風(fēng)出或f (x) -A (當(dāng)xx0時(shí))例 y=f (x) =2x+1x-1,f (x) f ?x<1x11&$27® Esse_x>1x-1X"'l I I.Q IDQjT】

11、J-3 2 3 02 5J025(2)左極限當(dāng)xx0時(shí)f (x)的左極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x從x0的左邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)x-x0時(shí)，函數(shù)f (x)的左極限是A,記作民歡"或 f (x0-0) =A(3)右極限當(dāng)xx0時(shí)，f (x)的右極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x從x0的右邊無(wú)限地趨于x0時(shí)，函數(shù)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)A,則稱(chēng)當(dāng)x-x0時(shí)，函數(shù)f (x)的右極限是A,記作與"2 或 f (x0+0) =A例子：分段函數(shù) 解：當(dāng)x從0的左邊無(wú)限地趨于0時(shí)f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)1。我們稱(chēng)當(dāng)x-0時(shí)

12、, f (x)的左極限是1,即有】哧_n式Ijj雪* 】當(dāng)x從0的右邊無(wú)限地趨于0時(shí)，f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù)-1。我們稱(chēng)當(dāng)x-0時(shí), f (x)的右極限是-1 ,即有，罌明.酬陽(yáng)顯然，函數(shù)的左極限摘右極限蜴尼與函數(shù)的極限陽(yáng)©之間有以下關(guān)系: 定理1.6當(dāng)xx0時(shí)，函數(shù)f (x)的極限等于A的必要充分條件是/Tjt)- Iud ft x)- A rr守*/竄反之，如果左、右極限都等于 A,則必有阻融”3x-1 時(shí) f(x) ? J? -1 曲田.乂？-x-1f(x) -2對(duì)于函數(shù)如當(dāng)x-1時(shí)，f (x)的左極限是2,右極限也是2。2 .當(dāng)x-00時(shí)，函數(shù)f (x)的極限(1)當(dāng)x

13、s時(shí)，函數(shù)f (x)的極限y=f(x)x f0°f(x) ?y=f(x)=1 +xoof(x)=1+1li rn0 * ) 定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x-s時(shí)，f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)xoo時(shí)，函數(shù)f (x)的極限是A,記作幅3/或f (x) 7A (當(dāng)x-8時(shí))(2)當(dāng)x-+s時(shí)，函數(shù)f (x)的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)x-+s時(shí)，f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)x f+s時(shí)，函數(shù)f (x)的極限是A,記作明由上這個(gè)定義與數(shù)列極限的定義基本上一樣，數(shù)列極限的定義中n-+s的n是正整數(shù)；而在這個(gè)定義中，則要明確寫(xiě)出 x-+s,且其中的x不

14、一定是正整數(shù)，而為任意實(shí)數(shù)。y=f(x)x打力打廣Xf+oo,班歲上尸)口f+OO f(x)x f ?f(x)=2+ -2例：函數(shù)f解：f (x)(x) =2+e-x,當(dāng) x7+°0時(shí)，f (x) =2+e-x=2+, x一+oo, f (x) =2+ - 2所以地(3)當(dāng)xf-°°時(shí)，函數(shù)f (x)的極限定義對(duì)于函數(shù)y=f (x),如果當(dāng)X-8時(shí)，f (x)無(wú)限地趨于一個(gè)常數(shù) A,則稱(chēng)當(dāng)xf _oo時(shí)，f (x)的極限是A,記作xf-oof(x) ?則 f(x)=2+ 之(XVO)X一 _OO,-X +OOf(x 尸 2+ 之一2，兵以*方2例：函數(shù)"

15、2噎-，當(dāng)X-8時(shí)，f(X)- ?解：當(dāng) X - -00 時(shí)，-Xf+00加e七一2,即有由上述X8, x+oo, X7-00時(shí)，函數(shù)f (X)極限的定義，不難看出：X-00時(shí)f(X) 的極限是A充分必要條件是當(dāng)X7+00以及X-OO時(shí)，函數(shù)f (x)有相同的極限Ao例如函數(shù)“加6,當(dāng)x_oo時(shí)，f (x)無(wú)限地趨于常數(shù)1,當(dāng)X7+OO時(shí)，f (X)也無(wú)限地趨于同一個(gè)常數(shù)1,因此稱(chēng)當(dāng)X-8時(shí)期-的極限是1,記作bm (L+ ) - 1 X其幾何意義如圖3所示。f(x)=1+ *Lid (I*) - 】一 xhm2 JT想U(xiǎn) + $ly=arctanxI-一 1 用bm arctanj-a li

16、en ittznx- -工 I*2,既2工不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛蠰id arefcan x -"T2Imi arrtai X -iT府2即雖然當(dāng)x-OO時(shí)，f (x)的極限存在，當(dāng)x 十8時(shí)，f (x)的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng)x7°°時(shí)，y=arctanx的極限不存在。x)=1 +Lrnjl 曾 )-bn(L+ )-Jy=arctanxlam artai工-一工，11m axtmjrst2膽一不存在。但是對(duì)函數(shù)y=arctanx來(lái)講，因?yàn)橛?如產(chǎn)閉.螞產(chǎn)彳吟即雖然當(dāng)x-oo時(shí)，f (x)的極限存在，當(dāng)x 十8時(shí)，f

17、 (x)的極限也存在，但這兩個(gè)極限不相同，我們只能說(shuō)，當(dāng) x7°°時(shí)，y=arctanx的極限不存在。 (四)函數(shù)極限的定理定理1.7 (惟一性定理)如果媲川存在，則極限值必定惟一。定理1.8 (兩面夾定理)設(shè)函數(shù) mu在點(diǎn)廂的某個(gè)鄰域內(nèi)(廂可除外)滿足條件:(1) 則有l(wèi)im fM * Ao(1)(2)riw/rxLri/L £(- L*”回,(2) f f注意：上述定理1.7及定理1.8對(duì)始也成立。 下面我們給出函數(shù)極限的四則運(yùn)算定理 定理1.9如果既"刈“則liffi fM ffOO-Clitn /(J» (Km 貝切-月？(3)上述運(yùn)算

18、法則可推廣到有限多個(gè)函數(shù)的代數(shù)和及乘積的情形，有以下推論：/ d 卜叫印垃，:二.乜和:二皿則士，士舶麻(1)/ c、 lirak /Crtl-s - hm，(2)/ O LimL/Wr-lhm/wr(3)用極限的運(yùn)算法則求極限時(shí)，必須注意：這些法則要求每個(gè)參與運(yùn)算的函數(shù)的極限存在，且求商的極限時(shí)，還要求分母的極限不能為零。另外，上述極限的運(yùn)算法則對(duì)于iS的情形也都成立。(五)無(wú)窮小量和無(wú)窮大量1.無(wú)窮小量(簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮小)定義對(duì)于函數(shù)如果自變量x在某個(gè)變化過(guò)程中，函數(shù)小的極限為零，則稱(chēng)在該變化過(guò)程中，山為無(wú)窮小量，一般記作ira/(J)=0-常用希臘字母2 來(lái)表示無(wú)窮小量。定理1.10函數(shù)用以A

19、為極限的必要充分條件是：，可表示為A與一個(gè)無(wú)窮小量之和。lim/tx)-用 + 環(huán)G為無(wú)竊小)注意：(1)無(wú)窮小量是變量，它不是表示量的大小，而是表示變量的變化趨勢(shì)無(wú)限趨于為零。(2)要把無(wú)窮小量與很小的數(shù)嚴(yán)格區(qū)分開(kāi)，一個(gè)很小的數(shù)，無(wú)論它多么小也不是無(wú)窮 小量。(3) 一個(gè)變量是否為無(wú)窮小量是與自變量的變化趨勢(shì)緊密相關(guān)的。在不同的變化過(guò)程中，同一個(gè)變量可以有不同的變化趨勢(shì)，因此結(jié)論也不盡相同。例如：S! sljii >12Ua振蕩型發(fā)散國(guó)工(4)越變?cè)叫〉淖兞恳膊灰欢ㄊ菬o(wú)窮小量，例如當(dāng)x越變?cè)酱髸r(shí)，就越變?cè)叫?，但它不是無(wú)窮小量。(5)無(wú)窮小量不是一個(gè)常數(shù)，但數(shù)“ 0”是無(wú)窮小量中惟一的一

20、個(gè)數(shù)，這是因?yàn)?吃。2 .無(wú)窮大量(簡(jiǎn)稱(chēng)無(wú)窮大)定義；如果當(dāng)自變量 (或s)時(shí)，3的絕對(duì)值可以變得充分大(也即無(wú)限地增大)，則稱(chēng)在該變化過(guò)程中，為無(wú)窮大量。記作 2。注意：無(wú)窮大(S)不是一個(gè)數(shù)值，是一個(gè)記號(hào)，絕不能寫(xiě)成或小。3 .無(wú)窮小量與無(wú)窮大量的關(guān)系無(wú)窮小量與無(wú)窮大量之間有一種簡(jiǎn)單的關(guān)系，見(jiàn)以下的定理。定理1.11在同一變化過(guò)程中，如果 加為無(wú)窮大量，則表為無(wú)窮小量；反之，如果 上為 無(wú)窮小量，且 W 則焉為無(wú)窮大量。當(dāng)無(wú)窮大婚備無(wú)窮小當(dāng)i川)3為無(wú)窮小看$ 無(wú)窮大4 .無(wú)窮小量的基本性質(zhì)性質(zhì)1有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；性質(zhì)2有界函數(shù)(變量)與無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量；特別地，

21、常量與無(wú)窮小量的 乘積是無(wú)窮小量。im i. sin - = 0工工由JHP1性質(zhì)3有限個(gè)無(wú)窮小量的乘積是無(wú)窮小量。性質(zhì)4無(wú)窮小量除以極限不為零的變量所得的商是無(wú)窮小量。5 .無(wú)窮小量的比較定義設(shè)凡f是同一變化過(guò)程中的無(wú)窮小量，即 如,即。(1)如果嶗二”則稱(chēng)工是比較高階的無(wú)窮小量，記作的；(2)如果.薩則稱(chēng)口與為同階的無(wú)窮小量；(3)如果.尸則稱(chēng)口與戶為等價(jià)無(wú)窮小量，記為(4)如果嶗小則稱(chēng)工是比較低價(jià)的無(wú)窮小量。當(dāng)支十/bm =bm升前二3bm “ 丁工-】im f 京 +=07 xi Q工bm-J_ = bm(+x) = l界十#玨1->6等價(jià)無(wú)窮小量代換定理:lim = Mm如果當(dāng)

22、時(shí)I既均為無(wú)窮小量，又有工-吐出/且心二/存在，則M扃“溫 工品”均為無(wú)窮小又有落色.史 # = ? 7 5a . .as 八& h萼k二訕烏/血芻Inn烏=Jo,-這個(gè)性質(zhì)常常使用在極限運(yùn)算中，它能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算的作用。但是必須注意：等價(jià)無(wú)窮小量代換可以在極限的乘除運(yùn)算中使用。 常用的等價(jià)無(wú)窮小量代換有：當(dāng)口日寸,sinx x;tan x;arctanx x;arcsinx -CC?1 M 2 g；hl口+外e 茶x；（六）兩個(gè)重要極限1.重要極限I重要極限I是指下面的求極限公式. sinx . Can K. . orc Au j .utn. = I htn = 1 hsu= JX I

23、 .3X, 白吧E r 用力K I bm, kma->0 #3-Hl X CDS X. sin. x .1=did 1 Lunf I G中6其=1tT6工T。. art jia x-1.bfn= Um =Jiiti= I3-+Q 某t川/已工Isinl這個(gè)公式很重要，應(yīng)用它可以計(jì)算三角函數(shù)的 6型的極限問(wèn)題。其結(jié)構(gòu)式為:* tL a -1 T OHm-=1T i -1sin(j2-l)Jim -1 limiL x1 山川r. / 卜 sui.(jr -1)書(shū)("D R7=皿(什。hm吟"一T ' T J-l;2.重要極限n重要極限n是指下面的公式:iim a

24、-i-r-«口 B 用|右 w(t+A" =«3=fr XL-fO其中e是個(gè)常數(shù)(銀行家常數(shù))，叫自然對(duì)數(shù)的底，它的值為e=2.718281828495045其結(jié)構(gòu)式為：IIle 0 +吠工)產(chǎn)期=.重要極限I是屬于(型的未定型式，重要極限II是屬于“產(chǎn)”型的未定式時(shí)，這兩個(gè)重要極限在極限計(jì)算中起很重要的作用，熟練掌握它們是非常必要的。(七)求極限的方法：1 .利用極限的四則運(yùn)算法則求極限；2 .利用兩個(gè)重要極限求極限；3 .利用無(wú)窮小量的性質(zhì)求極限；4 .利用函數(shù)的連續(xù)性求極限；5 .利用洛必達(dá)法則求未定式的極限；6 .利用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限?；緲O限公式

25、(1)= e 1 2 J 1 中(3)(4)二%3 4/題 +口3廂 44 4例1.無(wú)窮小量的有關(guān)概念(1) 9601下列變量在給定變化過(guò)程中為無(wú)窮小量的是A:- 1 ,B.。所一刀.曷答Ca.jKr可發(fā)散J1工T此一 T佃,齡T=>+oazJ-3x-3 I -4 -t- -r8l-T ri, r-D.：:.(2) 0202當(dāng)一時(shí)，如才與x比較是A.高階的無(wú)窮小量B.等價(jià)的無(wú)窮小量C.非等價(jià)的同階無(wú)窮小量 D.低階的無(wú)窮小量答B(yǎng)解：當(dāng)一，呵】+”與X是K > OJjl(l-F-X)- X皿 3= 5 2t+<)工一01 i口 x1 1=1i.E I口= 3n km. (1+j

26、) 極限的運(yùn)算：./+知-I0611,+弘-i一工嗎孫-叱小川，1ti-nJ口 H+1bm ix+1)解：答案-1例2.一型因式分解約分求極限(1) 0208解：.+ s-6 . (j+3(j- 2) . j?-+3 5 hm -=；=bm = ha =-工r_2 工工一國(guó)r-t2(ff + 3)(ff-2)工f?界+2 4(2) 0621計(jì)算愿擊答工,.,.行-燉+9 3解：一'：'：-:.二0例3. w型有理化約分求極限(1) 0316計(jì)算慳留答4解:. im LLx-fl (a-2)(77+ ->2)1.,/2jc +1 3(2) 9516據(jù)而罰答百#77=飛辰n期

27、產(chǎn) 司的解：一二心心?。?，：力 , 取一蹴+揚(yáng)-Hm R->4 (1=4(心工*1+司. 2(72+75) =Jim 工4 (<27+1 +3)_逑_逑 例4.當(dāng)時(shí)求三型的極限(1) 0308'一般地，有F 小/!應(yīng)jfi 4"4/ 工-國(guó)號(hào)開(kāi)萬(wàn)+或小”+、hm ,尸=hm1時(shí)3工/中翻 XTR1-4 Hm (1-4)*丹_ 284.13+» Lltd 0 + ) N L x例5.用重要極限I求極限,aox 后.句)_11 0416計(jì)算叱答解析解一:令一足K TO0Pl T 口m -L巴| " m _ L2口黑 R4網(wǎng)網(wǎng)用成立的是(1) 96

28、03下列極限中,A bin jIL T- = l 已A. B., tail N _. tftfL K hm* aC. D.0006-答B(yǎng)1J用牛：,- ”：, ” -例6.用重要極限II求極限tLTU=tf. |而 fl.p(力產(chǎn)Q 機(jī)由河能片口：FD (1 + 川工5】加(1+-F =* Gmfl *戶=嘰Id解二：1而0+竽-產(chǎn) 1° ¥ Bbm(3 +dx)a =*03060601(2) 0118計(jì)算一產(chǎn)答卜 解：例7.用函數(shù)的連續(xù)性求極限0407小分一答0解：丁- 1力口+尸)例8.用等價(jià)無(wú)窮小代換定理求極限I - eos Jc0317 =*0 j + aii k答

29、0解：當(dāng)f15-百口原式" hm - ! Lm -i 0JT-sO工4 5U1工 ±TT0刖看例9.求分段函數(shù)在分段點(diǎn)處的極限(1) 0307設(shè)則加在的左極限Zr+L z <Ln(+3r), riObin /(x)w iflT答1解析"叫曲"型wo*/(H+q)=】im /(j)= bm lii<l+2)=0(2) 0406設(shè)川/ + L彳”，X ,則鳴儂答1r 扇力IC. I /(O-O) = 1itfL /(>)= biil (> +13 = 1解析 e / p + Q) = Bi 印 J (sr) H li.M,TO、/一處

30、=/抑十仍=1lim /(« 上一口例10.求極限的反問(wèn)題(1)已知崛*7則常數(shù)”解析解法一："期+.如口，即+, 解法二：令記"-Ib八J期一 I止得I ,解得I.解法三：(洛必達(dá)法則)理言由答,即，得”.(2)若曾總署7求a,b的值.0解析«型未定式.當(dāng)I日寸，四/7"-1 .令于是斤十淑+白r 萬(wàn)一口"4加 1+jw .箕im -后-',得.即1+工工+占="以上+為=1 + 4工-5 ,所以 .1- sino-j ： 寸04021=(答：ln20017回當(dāng)，貝(J k=/也丫小璋=e=產(chǎn)解析山的-吟-一八；-

31、la0=ln23 = 3bi2前面我們講的內(nèi)容：極限的概念；極限的性質(zhì)；極限的運(yùn)算法則；兩個(gè)重要極限；無(wú)窮小量、無(wú)窮大量的概念；無(wú)窮小量的性質(zhì)以及無(wú)窮小量階的比較。第二節(jié)函數(shù)的連續(xù)性復(fù)習(xí)考試要求1 .理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與間斷的概念，理解函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)與極限存在之間的關(guān)系，掌握判斷函數(shù)(含分段函數(shù))在一點(diǎn)處連續(xù)性的方法。2 .會(huì)求函數(shù)的間斷點(diǎn)。3 .掌握在閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)會(huì)用它們證明一些簡(jiǎn)單命題。4 .理解初等函數(shù)在其定義區(qū)間上的連續(xù)性，會(huì)利用函數(shù)連續(xù)性求極限。主要知識(shí)內(nèi)容(一)函數(shù)連續(xù)的概念1.函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)定義1設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的改變

32、量x (初值為x0)趨近于0時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)的改變量 y也趨近于0,即!如他J叫/寸人)-/ D則稱(chēng)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處連續(xù)。函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0連續(xù)也可作如下定義：定義2設(shè)函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng) xx0時(shí)，函數(shù)y=f (x) 的極限值存在，且等于x0處的函數(shù)值f (x0),即1 .定義3設(shè)函數(shù)y=f (x),如果"則稱(chēng)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)；如果螞二所小 則稱(chēng)函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處右連續(xù)。由上述定義2可知如果函數(shù)y=f (x)在點(diǎn)x0處連 續(xù)，則f (x)在點(diǎn)x0處左連續(xù)也右連續(xù)。2 .函數(shù)在區(qū)間a , b上連續(xù)定義如果函數(shù)f (

33、x)在閉區(qū)間a , b上的每一點(diǎn)x處都連續(xù)，則稱(chēng)f (x)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)，并稱(chēng)f (x)為a, b上的連續(xù)函數(shù)。這里，f (x)在左端點(diǎn)a連續(xù)，是指滿足關(guān)系：在右端點(diǎn)b連續(xù)，是指滿足關(guān) 系：器內(nèi)即f (x)在左端點(diǎn)a處是右連續(xù)，在右端點(diǎn)b處是左連續(xù)。可以證明：初等函數(shù)在其定義的區(qū)間內(nèi)都連續(xù)。3 .函數(shù)的間斷點(diǎn)定義如果函數(shù)f (x)在點(diǎn)x0處不連續(xù)則稱(chēng)點(diǎn)x0為f (x) 一個(gè)間斷點(diǎn)。由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知，若 f (x)在點(diǎn)x0處有下列三種情況之一：(1)在點(diǎn)x0處，f (x)沒(méi)有定義；(2)在點(diǎn)x0處，f (x)的極限不存在；(3)雖然在點(diǎn)x0處f (x)有定義，且始欣存在，但則

34、點(diǎn)x0是f (x) 一個(gè)間斷點(diǎn)。 邛gZ & ME ".，、一好皿，則f (x)在A.x=0,x=1處都間斷B.x=0,x=1處都連續(xù)C.x=0處間斷，x=1處連續(xù)D.x=0處連續(xù)，x=1處間斷解：x=0 處，f (0) =0/tp-OJ-1/(0+n)-f 7。-0)斗(0+0)x=0為f (x)的間斷點(diǎn)x=1 處，f ( 1) =1lira門(mén)力啞工-1+ 0) - Im f(力 liig -j)- a-fci!r11T1rf (1-0) =f (1+0) =f (1)f (x)在x=1處連續(xù)答案C9703設(shè)'"：二:，在x=0處連續(xù)，則k等于A.0 B.

35、 C. D.2分析：f (0) =k1. 3 工. 日-普而。2)心商點(diǎn)那穴蝦姐-T答案Bb m三口例30209設(shè)"刈在x=0處連續(xù)，則a=解：f (0) =e0=1止舊年/電啊1 /(0 * D - lid i £厘國(guó)+ E) 口.f (0) =f (0-0) =f (0+0).a=1 答案1(二)函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的性質(zhì)由于函數(shù)的連續(xù)性是通過(guò)極限來(lái)定義的，因而由極限的運(yùn)算法則，可以得到下列連續(xù) 函數(shù)的性質(zhì)。定理1.12 (四則運(yùn)算)設(shè)函數(shù)f (x) , g (x)在x0處均連續(xù)，則(1) f (x) 士 g (x)在 x0 處連續(xù)(2) f (x) - g (x)在 x0

36、 處連續(xù)(3)若g (x0) #0,則盥在x0處連續(xù)。定理1.13 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù)u=g (x)在x=x0處連續(xù)，y=f (u)在u0=g (x0) 處連續(xù)，則復(fù)合函數(shù)y=fg (x)在乂=乂0處連續(xù)。在求復(fù)合函數(shù)的極限時(shí)，如果u=g (x),在x0處極限存在，又y=f (u)在對(duì)應(yīng)的"吃 處連續(xù)，則極限符號(hào)可以與函數(shù)符號(hào)交換。即蛀兀圻加;即/!始則凱月引尚一71既就喇7卬港理114 (反函數(shù)的連續(xù)性)設(shè)函數(shù) y=f (x)在某區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或嚴(yán)格單調(diào)減少)，則它的反函數(shù)x=f-1 (y)也在對(duì)應(yīng)區(qū)間上連續(xù)，且嚴(yán)格單調(diào)增加(或 嚴(yán)格單調(diào)減少)。(三)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在閉區(qū)間a , b上連續(xù)的函數(shù)f (x),有以下幾個(gè)基本性質(zhì)，這些性質(zhì)以后都要用到。定理1.15 (有界性定理)如果函數(shù)f (x)在閉區(qū)間a, b上連續(xù)，則f (x)必在a , b上有界。定理1.16 (最大值和最小值定理)如果函數(shù) f (x)在閉區(qū)