【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin(ωx-φ)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案-理-新人教A版

1、【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin( 3冷。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 -理-新人教A 版學(xué)案20函數(shù)y = ( 3X +小)的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：1.了解函數(shù)y=( 3x+ 6)的物理意義；能畫出y=(cox+ 6)的圖象，了解 參數(shù)A 3 , 6對函數(shù)圖象變化的影響.2. 了解三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模 型，會用三角函數(shù)解決一些簡單實際問題主梳理3 / 181 .用五點法畫y=(cox+() 一個周期內(nèi)的簡圖用五點法畫y=( 3x+ G) 一個周期內(nèi)的簡圖時，要找五個特征點.如下表所示.XQ x + 3y=(3 X + 3 )0A0一 A

2、02 .圖象變換：函數(shù) y =(3x+()( A>0,>0)的圖象可由函數(shù) y= x的圖象作如下變 換得到：(1)相位變換：y=(*+6),把丫= x圖象上所有的點向(巾>0)或向(巾<0)平行移動個單位.(2)周期變換：y = (x+ 6)>y = (cox+ 6),把y=(x+ 6)圖象上各點的橫坐標(biāo) (0< 3<1)或(3>1)到原來的倍(縱坐標(biāo)不變).(3)振幅變換：y=(x+ 6 ) >y=(x + 6 ),把y=(x + 6 )圖象上各點的縱坐 標(biāo)(A>1)或(0<A<1)到原來的倍(橫坐標(biāo)不變).3 .當(dāng)函數(shù)

3、 y=( cox+巾)(A>0, 3>0), xC(8,+8)表示一個振動量時，則叫做 振幅，T=叫做周期，f=叫做頻率，叫做相位，叫做初相.函數(shù)y = ( 3 x + 6 )的最小正周期為.y =(x + 6 )的最小正周期為.1 . (2011 池州月考)要得到函數(shù)丫=的圖象，可以把函數(shù) y= 2x的圖象()A.向左平移個單位B.向右平移個單位C.向左平移個單位D.向右平移個單位2 .已知函數(shù)f (x)= (xCR, 3 >0)的最小正周期為 兀.將y = f (X)的圖象向左平移| 6| 個單位長度，所得圖象關(guān)于y軸對稱，則6的一個值是()3 .已知函數(shù)f(x)=( 3

4、x+)(xCR, 3>0)的最小正周期為 兀，為了得到函數(shù)g(x)= cox 的 圖 象， 只 要 將 y =f (x)的 圖 象()A.向左平移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度4. (2011 太原高三調(diào)研)函數(shù)y =的一條對稱軸方程是()A. x=B. x =C. x=D. x=5. (2011 六安月考)若動直線x = a與函數(shù)f (x) = x和g(x)= x的圖象分別交于 M N兩點，則的最大值為()A 1D 2【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin( 3冷。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 -理-新人教A 版探究點一三角

5、函數(shù)的圖象及變換1 已知函數(shù)y=2.(1) 求它的振幅、周期、初相； (2) 用“五點法”作出它在一個周期內(nèi)的圖象； (3) 說明y=2的圖象可由y= x的圖象經(jīng)過怎樣的變換而得到.變式遷移 1 設(shè) f(x)=2x+ x+2x (xCR).(1)畫出f(x)在上的圖象；(2) 求函數(shù)的單調(diào)增減區(qū)間； 如何由y= x的圖象變換得到f (x)的圖象?探究點二求y= ( 3 x + 6 )的解析式2H)|< , xe R)的圖象的一部分如圖所示.求函數(shù)已知函數(shù) f (x) =( 3X+ 6 ) (A>0, 3>0, f( x) 的解析式5 / 18變式遷移2 (2011 寧波模擬)

6、已知函數(shù)f(x)=(cox+ 6) (A>0, 3>0, | 6 <)的圖象與 y 軸的交點為(0,1) ，它在 y 軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標(biāo)分別為 (x0,2)和(X0+2 兀,-2).(1)求f (x)的解析式及X0的值；若銳角e滿足e =，求f(4 e)的值.探究點三三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin( 3冷。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案-理-新人教A版3已知海灣內(nèi)海浪的高度y（米）是時間t（0wtw24,單位：小時）的函數(shù)，記作y=f（t）.下表是某日各時刻記錄的浪高數(shù)據(jù)：t124y1.51.00.51.01.

7、51.00.50.991.5經(jīng)長期觀測，y = f （t）的曲線可近似地看成是函數(shù)y= 3t+b.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，求函數(shù)y= 3t + b的最小正周期T,振幅A及函數(shù)表達(dá)式；（2）依據(jù)規(guī)定，當(dāng)海浪高度高于 1米 時才對沖浪愛好者開放，請依據(jù) （1）的結(jié)論，判斷一天內(nèi)的上午 8 : 00至晚上20 : 00之間， 有多少時間可供沖浪者進(jìn)行運動？變式遷移3交流電的電壓 E（單位：伏）與時間t （單位：秒）的關(guān)系可用E= 220表示, 求：（1）開始時的電壓；（2）最大電壓值重復(fù)出現(xiàn)一次的時間間隔；（3）電壓的最大值和第一次取得最大值時的時間.7 / 18【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=

8、Asin( 3冷。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 -理-新人教A 版11 / 18數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（12分）設(shè)關(guān)于e的方程0+ 0+a=0在區(qū)間（0,2兀）內(nèi)有相異的兩個實根(1) 求實數(shù) a 的取值范圍；(2)求a + §的值.【答題模板】解(1)原方程可化為(0+)= 一 ,作出函數(shù)y=(x+ )(xC(0,2兀)的圖象.3 分由圖知，方程在(0,2兀)內(nèi)有相異實根a, (3的充要條件是 錯誤！.即2<a<或<a<2.6 分(2)由圖知：當(dāng)一<a<2,即一C (1,)時，直線y=與三角函數(shù) y=(x+ )的圖象交于 C D兩點，它們中點的

9、橫坐標(biāo)為兀，. = ,. - a + 3 = .8 分當(dāng)一2<a<,即一C (, 1)時，直線y=與三角函數(shù) y= (x+)的圖象有兩交點 A B, 由對稱性知，=, - a + B = .11分綜上所述，“ + 3=或”+3=兀.12 分【突破思維障礙】在解決三角函數(shù)的有關(guān)問題時，若把三角函數(shù)的性質(zhì)融于函數(shù)的圖象之中，將數(shù)( 量)與圖形結(jié)合起來進(jìn)行分析、研究，可使抽象復(fù)雜的數(shù)理關(guān)系通過幾何圖形直觀地表現(xiàn)出來，這是解決三角函數(shù)問題的一種有效的解題策略圖象的應(yīng)用主要有以下幾個方面：比較大??；求單調(diào)區(qū)間；解不等式；確定方程根的個數(shù).如判斷方程x=x的實根個數(shù)；對稱問題等.【易錯點剖析】

10、此題若不用數(shù)形結(jié)合法， 用三角函數(shù)有界性求a 的范圍， 不僅過程繁瑣， 而且很容易漏掉aw 的限制，而從圖象中可以清楚地看出當(dāng)a=時，方程只有一解.1.從“整體換元”的思想認(rèn)識、理解、運用“五點法作圖”，尤其在求y=(cox+ 6)的單調(diào)區(qū)間、解析式等相關(guān)問題中要充分理解基本函數(shù)y= x的作用.2三角函數(shù)自身綜合問題：要以課本為主，充分掌握公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，從函數(shù)名稱、角度、式子結(jié)構(gòu)等方面觀察，尋找聯(lián)系，結(jié)合單位圓或函數(shù)圖象等分析解決問題3三角函數(shù)模型應(yīng)用的解題步驟：(1) 根據(jù)圖象建立解析式或根據(jù)解析式作出圖象(2) 將實際問題抽象為與三角函數(shù)有關(guān)的簡單函數(shù)模型(3) 利用收集到的數(shù)據(jù)作出

11、散點圖，并根據(jù)散點圖進(jìn)行函數(shù)擬合，從而得到函數(shù)模型( 滿分： 75 分)一、選擇題 ( 每小題 5 分，共 25 分)1 .將函數(shù)y=的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再將所得的圖象向左平移個單位，得到的圖象對應(yīng)的解析式是()A. y= xB. y =C. y =D. y =2 . (2011 銀川調(diào)研)如圖所示的是某函數(shù)圖象的一部分，則此函數(shù)是 ()【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin( 3冷。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案-理-新人教A版A. y =b. y=C. y =D. y =3 .為得到函數(shù)y =的圖象，只需將函數(shù)y= 2x的圖象 （）A.向左平

12、移個單位長度B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度D.向右平移個單位長度4 . （2009 遼寧）已知函數(shù)f （x） =（ cox+巾）（A>0, 3>0）的圖象如圖所示，f（）=,則f （0）等（）A 一B. 一5 .（2011 煙臺月考）若函數(shù)y=（cox+（|）+mA>0, 3>0）的最大值為4,最小值為0, 最小正周期為，直線 x=是其圖象的一條對稱軸，則它的解析式是（）A. y = 4B. y=2 + 2C. y = 2+2D. y=2+2題號12345# / 18【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin( 3冷。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)

13、案 -理-新人教A 版答案二、填空題(每小題4分，共12分)6.已知函數(shù)y=(cox+() ( 3>0, 兀w 6<兀)的圖象如圖所不，則 6 =.7. (2010 濰坊五校聯(lián)考)函數(shù)f(x) = 2x的圖象向左平移個單位長度后得到g(x)的圖象，則 g(x)=.8. (2010 福建)已知函數(shù)f(x) = 3 ( 3>0)和g(x)=2(2x+ 6)+1的圖象的對稱軸完 全相同.若xC,則f(x)的取值范圍是.三、解答題(共38分)9. (12分)已知函數(shù)f (x) = ( cox+()( A>0, 3>0, | 6|< , xC R)的圖象的一部分如下

14、圖所示.(1)求函數(shù)f(x)的解析式；(2)當(dāng)xC6,時，求函數(shù)y=f (x)+f(x+2)的最大值與最小值及相應(yīng)的x的值.10. (12分)已知函數(shù)f (x) =( cox+ 6) (A>0, 0<coW2且0W 6 W兀)是R上的偶函數(shù)， 其圖象過點M(0,2) .又f(x)的圖象關(guān)于點對稱且在區(qū)間0,兀上是減函數(shù)，求 f(x)的解析式.cx cx ( c >0) 的最小正周縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)y=g(x)11. (14 分)(2010 山東)已知函數(shù) f(x)=(兀一cox)期為兀，(1) 求 c 的值；(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的， 的圖象

15、，求函數(shù) y=g(x)在區(qū)間上的最小值.答案 自主梳理(3) 伸長10 兀 2兀 2.(1)左右 |加 (2)伸長 縮短縮短 A33 x + 66自我檢測 B 2 3 4 5課堂活動區(qū)解題導(dǎo)引 (1) 作三角函數(shù)圖象的基本方法就是五點法，此法注意在作出一個周期上的簡圖后，應(yīng)向兩邊伸展一下，以示整個定義域上的圖象；(2)變換法作圖象的關(guān)鍵是看 x軸上是先平移后伸縮還是先伸縮后平移，對于后者可利用3 X + 6=3來確定平移單位.解 (1)y=2的振幅A= 2,周期丁=兀，初相 6=.(2)令 X= 2x+,則 y=2=2 X.列表：X一X0兀2兀y= X010-10y=2020-20描點連線，得

16、圖象如圖所示:(3)將y= x的圖象上每一點的橫坐標(biāo)x縮短為原來的倍(縱坐標(biāo)不變)，得到y(tǒng)= 2 x的圖象；再將y= 2x的圖象向左平移個單位，得到y(tǒng)= 2 =的圖象；再將y=的圖象上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，得到y(tǒng)=2的圖象.變式遷移 1 解 y = - 2x, 2) + 2x+ 2x, 2)=1+ 2 x- 2 x= 1 + .(1)(五點法)設(shè)X= 2x-,則 x = X+ ,令 X= 0,兀，2 % ,于是五點分別為，描點連線即可得圖象，如下圖.15 / 18(2)由一十 2kTtW2x2kTt, kCZ,得單調(diào)增區(qū)間為，kez.由+ 2kjtW2 x w + 2

17、kTt , kC Z,得單調(diào)減區(qū)間為，kez.(3)把y= x的圖象向右平移個單位；再把橫坐標(biāo)縮短到原來的倍(縱坐標(biāo)不變)；最后把所得圖象向上平移 1個單位即得y=+ 1的圖象.【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin(*。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案-理-新人教A版解題導(dǎo)引確定y=( cox +() + b的解析式的步驟:(1)求A, b.確定函數(shù)的最大值 M和最小值rrj則A=, b=.(2)求co .確定函數(shù)的周期 T, 則co = .(3)求參數(shù)6是本題的關(guān)鍵，由特殊點求 6時，一定要分清特殊點是“五點法” 的第幾個點.解由圖象可知A=2, T=8.方法一由圖象過點(1,

18、2),得 2 = 2,= 1- - I 6 1< , 6 =, .f(x) = 2.方法二.點(1,2)對應(yīng)“五點”中的第二個點. X 1 + ()= ,()=, .f(x) = 2.變式遷移2 解(1)由題意可得：A= 2, = 2 7t ,即=4兀,co =,f(x) =2, f(0) =2 6=1,由 |()l< , 6 = f (x) = 2( x+).f (Xo) = 2= 2,所以 >fo + =2k7t + , Xo = 4k % + ( k Z), 又 xo是最小的正數(shù)，Xo=.(2) f(4 6)=2= 20+ 2 e,- 9 ,9 = , ,- 9 =,2

19、.2 6 = 2 6 - 1 = -,2 6 =2 6 6 =,-.f(4 e)= x-=.17 / 18【步步高】屆高三數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)-函數(shù)y=Asin( 3冷。的圖象及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用學(xué)案 -理-新人教A 版3解題導(dǎo)引 （1） 三角函數(shù)模型在實際中的應(yīng)用體現(xiàn)在兩個方面， 一是已知函數(shù)模型， 如本例， 關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解自變量的意義及自變量與函數(shù)之間的對應(yīng)法則， 二是把實際問題抽象轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題， 建立三角函數(shù)模型， 再利用三角函數(shù)的有關(guān)知識解決問題，其關(guān)鍵是建模.（2）如何從表格中得到A 3、b的值是解題的關(guān)鍵也是易錯點，同時第二問中解三角不等式也是易錯點.（3）對于三角函數(shù)模型 y =

20、（3x+（） + k （ A>。，>0）中參數(shù)的確定有如下結(jié)論： A=;k=;由特 殊點確定解（1）由表中數(shù)據(jù)，知周期 T= 12,= 3 =）由 t =0, y=1.5 ,得 A+ b=1.5 ;由 t =3, y=1.0 ,得 b=1.0 ,A= 0.5 , b=1, - y= t + 1.（2） 由題知，當(dāng) y>1 時才可對沖浪者開放， t +1>1, t>0,2k7t - <t<2kTt +, kez,即 12k-3<t<12k+3, kCZ.,0<t<24,故可令中的k分別為0,1,2 ,得 0Wt<3,或 9V <15,或 21<t W24.，在規(guī)定時間上午 8 : 00至晚上20 : 00之間，有6個小時的時間可供沖浪者運動，即 上午9 : 00至下午3 : 00.變式遷移3 解(1)t=0時，E= 220 = 110(伏).(2) T= 0.02(秒).(3)當(dāng)100兀t+ = , t=秒時，第一次取得最大值，電壓的最大值為220伏.課后練習(xí)區(qū)1. C 2 3 4 567 . 2x89 .解 (1)由圖象知 A= 2,T= =8,3 = . (2分)又圖象經(jīng)過點(一1,0) ,，2(+ 6)=0.| *，