重慶郵電學院

1、重慶郵電學院畢業(yè)設計（論文） 論文題目 化歸方法在偏微分方程中的應用 班 級 610004 專 業(yè) 信息與計算科學 學生姓名 王志仁 指導教師 胡學剛 評定成績 重慶郵電學院計算機科學與技術學院 2004年 6月 5日重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 中文摘要摘 要化歸方法是指把待解決或未解決的問題通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解答的一種手段和方法。它在數(shù)學領域中有著廣泛的應用，本文主要從四個方面來討論化歸方法在求解偏微分方程中的具體運用；即：積分變換法的化歸思想，指出這種思想方法實際上是利用傅立葉變換或拉普拉斯變換，將線性偏微分方程轉換為代數(shù)方程、

2、常微分方程然后求解；波動方程的初值問題化歸為熱傳導方程初值問題的求解方法；某些特殊的非線性偏微分方程化歸為線性方程的問題的解法以及分離變量法中的化歸思想。特別是這些化歸方法在某類重要偏微分方程中的運用；通過分析，掌握化歸方法在具體運用中的局限性，從而合理地選擇某一化歸方法來求解具體給定的偏微分方程定解問題。關鍵詞：化歸思想；積分變換法；分離變量法；非線性方程 VII重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 英文摘要ABSTRACT The method of induction and transformation is a technique that converts the problem which

3、is being solved or not solved into some problem which we already can solve or easier solve, and finally obtains the solution of original problem. It is broad used in the mathematical domain. In this passage we mostly discuss the concrete application of method of induction and transformation in solvi

4、ng partial differential equation from four aspects, that is, the induction and transformation thought of integral transform method, in fact it points to this thought is to employ Fourier transform or Laplace transform to convert certain linear partial differential equations into algebraic equations

5、or ordinary differential equations, and then solve them; The method that converts the initial-value problem of wave equation into the initial-value problem of heat equation; The solution ways that convert some specific nonlinear partial differential equations into linear equations, and the induction

6、 and transformation thought of method of separation of variables. By the analysis, we hold the limit of these methods in the concrete application, thus we can reasonably choose some method to solve the partial differential equation given.Keywords: method of induction and transformation;integral tran

7、sform method; method of separation of variables; nonlinear equation VIII重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 目錄目 錄設計任務書I指導教師評分意見論文評閱教師評分意見 論文答辯評分意見答辯委員會通過意見.中文摘要英文摘要.1引言12積分變換法中的化歸思想3 2.1 傅立葉變換法的化歸思想3 2.1.1傅立葉變換法的基本概念和性質3 2.1.2傅立葉變換法的化歸思想4 2.1.3傅立葉變換法在求解偏微分方程中的應用4 2.2 拉普拉斯變換法的化歸思想8 2.2.1拉普拉斯變換法的定義和基本性質8 2.2.2拉普拉斯變換法的化歸思想8

8、2.2.3拉普拉斯變換法在求解偏微分方程中的應用93波動方程的一種新的求解方法104非線性偏微分方程線性化的化歸思想145分離變量法在求解偏微分方程中的應用186結束語23致謝24參考文獻25附錄1：相關理論知識26附錄2：英文資料翻譯31 重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 1.引言1.引言所謂化歸方法是指把待解決或未解決的問題通過某種轉化過程，歸結到一類已經(jīng)能解決或者比較容易解決的問題中去，最終獲得原問題的解答的一種手段和方法，化歸方法也稱化歸原則(1)。“化歸”實質就是“由未知到已知，由難到易，由復雜到簡單的轉化”。在解決問題中使用化歸的方法，這從方法論的角度說也是所謂的“化歸原則”?；瘹w原則是把

9、所研究的對象的性質（特征），通過某種途徑（或方法）轉化為已知的性質（特征），使之獲得研究對象的認識，化歸思想是一種思考問題的方式，化歸方法則是實現(xiàn)化歸思想所采用的具體轉化手段。應用化歸原則解決問題的一般模式為（2）： 問題A 問題B A的解答 B的解答化歸思想的實質是不斷變更問題，有時要對整個問題進行變換，有時要對問題中的已知成分或未知成分進行變換。為達到化歸變換的方法是很多的，常用的有：變量替換恒等變形化歸、一般轉向特殊的典型化歸、逐步逼近化歸，解析法向幾何化歸、關系映射反演法化歸等等，并且對具體問題以上各種方法又是相互滲透的；化歸思想是數(shù)學方法論的一種思維方法，它在數(shù)學理論中占有重要的地位

10、。具體來說，化歸思想在微積分理論、微分方程理論、解析幾何中有著廣泛的應用，特別是函數(shù)展開理論中用到的理論實質上就是“化歸”的應用，而求解偏微分方程定解問題的大部分方法也是化歸方法的具體應用（3）。我們知道，物理學、力學和工程技術等方面的許多問題都可以歸結為偏微分方程的定解問題。因此，本文從化歸的角度，研究化歸思想在偏微分方程中的實際應用。本文從四個方面來討論化歸方法在求解偏微分方程中的具體運用；即：積分變換法的化歸思想；波動方程的初值問題化歸為熱傳導方程初值問題的求解方法；某些特殊的非線性偏微分方程化歸為線性方程的問題的解法以及分離變量法中的化歸思想。本文其余部分安排如下：首先在第2節(jié)分析積分

11、變換法的化歸思想，指出這種思想方法實際上是利用傅立葉變換或拉普拉斯變換，將線性偏微分方程轉換為代數(shù)方程、常微分方程然后求解；其次，我們在第3節(jié)介紹一種將波動方程的初值問題可化歸為熱傳導方程初值問題的求解方法；對于某些特殊的非線性偏微分方程可以通過適當?shù)氖侄位瘹w為線性方程的問題，這種化歸方法在本文的第4節(jié)中介紹；第5節(jié)討論分離變量法中的化歸思想。此外，本文中所用到的主要記號和偏微分方程的基本理論知識我們在附錄1中列出。 第23頁 共45頁重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 2.積分變換法的化歸思想2.積分變換法中的化歸思想積分變換主要有傅立葉(Fourier)變換和拉普拉斯(Laplace)變換，積分變換

12、法是物理學與其他應用科學中求解數(shù)學物理方程的一種重要方法，它適用于求解無界區(qū)域及半無界區(qū)域的定解問題。通過對數(shù)理方程的積分變換，減少自變量的個數(shù)，直至化為常微分方程，使求解問題大為簡化；對于常微分方程和積分方程還可以繼續(xù)使用積分變換化歸為代數(shù)方程。2.1、傅立葉變換法的化歸思想2.1.1、傅立葉變換法的基本概念和性質給定函數(shù)，它的傅立葉變換和傅立葉逆變換定義如下定義2.1（4）.假設，定義函數(shù)的傅立葉變換為 假設函數(shù)，則它的逆變換定義為 因為且，所以對于任意這些積分都收斂。通常稱為的象函數(shù)，而把稱為的原函數(shù)。傅立葉變換和傅立葉逆變換主要有以下性質定理2.1(5).假設，則有：，且有。定理2.2

13、(5).（傅立葉變換的基本性質）假設，則有：2.1.2、傅立葉變換法的化歸思想傅立葉變換法廣泛應用于求解無界區(qū)域的定解問題中，它的化歸思想，即其求解步驟大致為：（i）對定解問題作傅立葉變換；（ii）求解象函數(shù)；（iii）對象函數(shù)作傅立葉逆變換得解。其中對于半無界區(qū)域的定解問題，可先將邊界條件齊次化，然后采用延拓法，最后利用傅立葉變換求解；其中，所謂的延拓法：就是把半?yún)^(qū)域擴展到整個區(qū)域。2.1.3、傅立葉變換法在求解偏微分方程中的應用在研究線性常系數(shù)偏微分方程中，傅立葉變換法是一種特別重要的方法，下面來分析用傅立葉變換法求解偏微分方程定解問題的化歸思想。例1.1(6).（貝賽爾(Bessel)位

14、勢）對于任，求下面方程的定解問題 。解：對方程（2.3）兩邊作傅立葉變換，根據(jù)定理2.2的性質（II），可得 顯然偏微分方程（2.3）已經(jīng)被轉換成代數(shù)方程（2.4）。求解方程（2.4），可得經(jīng)過傅立葉逆變換，可得為了使的表達式比較簡單明了，下面就來化簡上式。利用定理2.2中的（III），可得下面來求解B(x)， （其中a>0） ，把轉化成實軸，則可計，所以有于是所以根據(jù)卷積原理(7)，則偏微分方程（2.3）的解為例2.2（熱傳導方程的基本解）對任意，考慮下面熱傳導方程的初始問題解：對（2.5）中的方程兩邊關于空間變量x分別作傅立葉變換，有： 解得（其中b是x的函數(shù)）代入上式，所以有則有：

15、 ，。根據(jù)例2.1的求解方法可知， 所以根據(jù)卷積的性質(7)，可得偏微分方程（2.5）的解為： 注：上面求解偏微分方程中用到的化歸思想：實際上就是開始時使用傅立葉變換，將偏微分方程的問題轉化為常微分方程的問題，解出這個常微分方程的問題的解，然后利用傅立葉逆變換求出原問題的解。2.2、拉普拉斯變換法的化歸思想2.2.1、拉普拉斯變換法的定義和基本性質傅立葉變換要求進行變換的函數(shù)在無窮區(qū)域有定義，在任一有限區(qū)間上滿足狄力克萊(Dirichlet)條件（8），并且滿足。這是一個比較苛刻的要求，一些常用的函數(shù)，比如：階躍函數(shù)H(t)，以及t，等均不滿足這些要求，這就限制了傅立葉變換的應用范圍。若函數(shù)定

16、義于，則不能進行傅立葉變換。當，我們可以作拉普拉斯變換。定義2.2（4）.如果，那么該函數(shù)的拉普拉斯變換為這里，稱為的象函數(shù)，而稱為的原函數(shù)。拉普拉斯變換主要具有如下性質定理2.3(5).（拉普拉斯變換的卷積性質）假設，則有：2.2.2、拉普拉斯變換法的化歸思想拉普拉斯變換廣泛用于求解波動方程與熱傳導方程的定解問題。采用拉普拉斯變換法求解定解問題時，往往是針對時間變量t進行的，特別是對有邊界條件的定解問題。拉普拉斯變換法的化歸思想是利用拉普拉斯變換消去關于時間變量的導數(shù)，將波動方程與熱傳導方程轉化為位勢方程來求解。這種方法的主要步驟如下： （i）對方程及邊界條件作拉普拉斯變換； （ii）求解象

17、函數(shù)； （iii）對象函數(shù)作拉普拉斯逆變換。下面通過具體的例子來討論拉普拉斯變換法的化歸思想在求解偏微分方程定解問題中的應用。2.2.3、拉普拉斯變換法在求解偏微分方程中的應用例2.3（9）：（預解式和拉普拉斯變換）考慮熱傳導方程初值問題：。解：關于時間t對(2.6)中的方程兩邊分別作拉普拉斯變換，可得 則有 考慮到是固定的，不妨，則有： 可以看出含有右邊項f(x)的預解式（2.7）的解就是在初始條件f(x)下熱傳導方程（2.6）的解；從2.1.3節(jié)的例2.1可以看出方程（2.7）中當s=1時就是方程（2.3）；因此，根據(jù)2.1.3例2.1中的求解方法求；然后再經(jīng)過拉普拉斯逆變換求。重慶郵電學

18、院本科畢業(yè)論文 3.波動方程的一種新的求解方法3.波動方程的一種新的求解方法通過比較熱傳導方程和波動方程，我們發(fā)現(xiàn)波動方程中含有未知函數(shù)關于時間變量t的二階導數(shù)，而熱傳導方程只含有未知函數(shù)關于時間變量t的一階導數(shù)。我們由此可以看出，熱傳導方程的定解問題比波動方程的定解問題容易求解。因此，我們考慮是否能把波動方程轉化成熱傳導方程，然后再求解。下面我們通過具體例子來介紹這種方法，并分析該方法所體現(xiàn)出的化歸思想。例3.1（10,11）.假設，求解如下波動方程的初值問題其中n是奇數(shù)，g是光滑的且具有緊支集的函數(shù)。解：假設是所給初值問題的有界光滑解。把擴展到負時間域，即： （其中，） 則令 容易證明，且

19、在上是一致收斂的。另外 因此，是滿足初始條件的熱傳導方程的解。即有 到此就完成了從波動方程到熱傳導方程的轉化；下面再具體求出它的解；當是有界時，從2.1.3節(jié)的例題2.2可知方程（3.3）的解為： 綜合(3.1)、(3.2)和(3.4)，并設，得等式所以，對于一切，都有= 即= 其中 我們利用解(3.5)和(3.6)來求出解。記，注意到，因此=將上式代入(3.5)，并將(3.5)左端的用來代替，化簡得：在上式中，我們把看成，并把等式看成是關于的函數(shù)，觀察等式發(fā)現(xiàn)它實質上就是一個變換。我們計算可得 由于，且，則利用和可得 于是=。將(3.8)代入(3.7)，得=即= 這樣，我們就得到了當空間維數(shù)

20、為奇數(shù)時的波動方程初值問題的解。注：這里實際上給出了求解波動方程初值問題的一種新的途徑。其關鍵在于利用化歸方法將波動方程的初值問題轉化為熱傳導方程的初值問題。重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 4.非線性偏微分方程線性化的化歸思想4.非線性偏微分方程線性化的化歸思想上面考慮的熱傳導方程、波動方程等都是線性偏微分方程。在某些物理和數(shù)學現(xiàn)象中仍存在大量的非線性的模型。通過前面討論，我們發(fā)現(xiàn)利用化歸方法可求解線性偏微分方程定解問題。對于非線性偏微分方程，由于它的形式比較復雜，因而求解它的定解問題十分困難。但是，對于某些特殊的非線性偏微分方程的定解問題，可以考慮通過適當?shù)姆椒ɑ瘹w為線性偏微分方程的定解問題。非線

21、性偏微分方程是普遍存在的，是否任意一個非線性偏微分方程都能線性化呢？到目前為止，還沒有找到一種合適的方法把全部的非線性偏微分方程線性化；不過確實存在某類重要的非線性偏微分方程可以線性化，它的化歸思想是積分變換化歸思想的推廣，即：通過某些適當?shù)淖儞Q（比如：Hopf-Cole變換等）使得非線性偏微分方程線性化。下面通過求解具體例子來說明非線性偏微分方程線性化的化歸思想。例4.1(12)考慮下面擬線性拋物方程的初值問題其中。解：假設是方程（4.1）的光滑解，令，其中是一個未知光滑函數(shù)。則有：由（4.1）可以推出：試著選擇使得w是一線性偏微分方程的解；從上式可看出，只需選擇使得即可，從而有。解常微分方

22、程可得因而可以看出：如果u是方程（4.1）的解，那么 是具有初始問題，傳導率為的熱傳導方程 的解；其中式（4.2）稱為Hopf-Cole變換（13）。根據(jù)上面求熱傳導方程的結論可知： 由式（4.2）可推出所以可以得出式（4.1）的顯示解為： 注：上面例題的求解過程正是非線性偏微分方程線性化的具體過程，其中，Hopf-Cole變換就是化歸思想在非線性偏微分方程線性化中的具體運用。為了進一步了解Hopf-Cole變換的化歸思想，下面再舉一個例子。例4.2（14）考慮當n=1式粘性伯格斯(Burgers)方程的初值問題： 解：令 代入方程（4.4）可得： 方程（4.7）是方程（4.1）當n=1，時一

23、維形式，由式（4.3）可得： 因為，所以對上式微分可得： 即為方程（4.4）的解；其中h(y)由式（4.6）確定。注：1.上面例題再次說明了非線性偏微分方程線性化的化歸思想，不過該思想包括了Hopf-Cole變換；其中式（4.5）式和（4.6）式中的變換是化歸思想的具體體現(xiàn)。2. Hopf-Cole變換是非線性偏微分方程線性化的一種重要手段，它很好地說明了化歸思想在偏微分方程中的應用。從例4.2可以看出對于給定的非線性偏微分方程，如果能夠轉化成方程（4.1）的形式，那么運用Hopf-Cole變換就可以求解；但是，到目前為止，我們還沒有發(fā)現(xiàn)某種手段可以將任一個非線性偏微分方程轉化成線性偏方程，或

24、者是形如（4.1）那種二次擬線性拋物方程。重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 5.分離變量法在求解偏微分方程中的應用5.分離變量法在求解偏微分方程中的應用分離變量法就是通過變量分離的方法將偏微分方程化為變量更少的偏微分方程，或者是常微分方程。這實際上也是一種化歸方法。它適用于波動方程問題、運輸問題和穩(wěn)定場問題在特殊域（矩形、長方形、圓、圓球，圓柱體等）的定解問題，因為這些特殊域正好常常在實際問題中出現(xiàn)，因而分離變量法有著廣泛的應用。分離變量法的化歸思想就是試著構造一個給定偏微分方程的解u，通過分離變量法使得函數(shù)所含的變量減少，從而便于求解。換句話說，分離變量法就是假定u能寫成一些未定的函數(shù)（含有少量變量

25、）的和或積的組合，將其代入原來的偏微分方程，然后找出那些函數(shù)使得u是方程的一個解。本節(jié)中我們主要討論分離變量法的化歸思想在求解偏微分方程定解問題中的應用；下面用例題來闡述分離變量法在具體問題中的運用。例5.1（見15）：設是一個有界、開集并有光滑邊界，我們考慮熱傳導方程的初值邊界問題 其中給定。解：我們假設未知函數(shù)可變量分離積的形式，即 是我們尋找的方程（5.1）的一個解，使得該解的變量與變量相分離。通過計算，可將（5.1）中的方程化為即 （當、，時）因為（5.3）式的左邊僅是t的函數(shù)，而右邊僅是x的函數(shù)，而x與t相互獨立，所以(5.3)的兩邊必為同一個常數(shù)。即 可得： 因此，我們只需求出這些

26、方程的未知量w(x)、v(t)和即可；其中為常數(shù)。首先注意到如果已知，則方程（5.4）的解為其中d為任意常數(shù)。這樣我們只需研究方程（5.5）即可。為此，我們引入特征函數(shù)和特征值的概念。定義5.1（16）.設是一個常數(shù)，是U上一個不恒為零的函數(shù)，且滿足 則稱是在U上的關于算子的特征值，函數(shù)w稱為相應于特征值的特征函數(shù)?，F(xiàn)在來求方程（5.5）的解：假設是一個特征值，并且w是相應的特征函數(shù)，則令上面的；可以看出 是滿足方程： 并且它的初始數(shù)據(jù)是。因而由（5.6）式定義的函數(shù)是（5.1）式的解；其中假設。更一般情況來說：如果是特征值，是相應的特征函數(shù)，是常數(shù)，則有： 它是方程（5.7）的解，初始條件是

27、。如果能夠找出等，使得，則可得式（5.8）是方程（5.1）的解，到此為止，方程（5.1）基本解完。注：1. 從上面可以看出，變量分離法的關鍵找出一個可數(shù)的有序的特征值及相應的特征函數(shù)；使得對于合適的常數(shù)有 從而可以假定 是初始問題（5.1）的解。它是一種比較常用的表示解的公式，但必須滿足（17）：（I）、能夠找出滿足式（5.9）的特征值、特征函數(shù)和常數(shù)；（II）、式（5.10）在某種合適的意義下序列收斂。為了比較深刻理解分離變量法的化歸思想，下面以求解多孔介質方程來說明。例5.2（18）：假設，且是常數(shù)，求解下面的多孔介質方程： 解：方程（5.11）是一個非線性擴散方程，我們尋找一個具有如下形

28、式的解 把式（5.12）代入方程（5.11）得： 其中為某一常數(shù)，并且。我們解決關于v的常微分方程可得：其中是一個正常數(shù)。為了求出w，必須解偏微分方程 令，（其中是待定常數(shù)），則有： 為了使方程（5.14）成立，必須使得，即 代入式（5.15），我們看出必須進一步令 因此可得，對于每一個，函數(shù)是多孔介質方程（5.11）的解；其中由（5.16）和（5.17）式確定。上面的兩個例題是把方程的解分離成變量相乘形式；下面我們討論把方程的解分離成變量相加形式：例5.3（19）：下面考慮哈密爾頓雅可比(Hamilton-Jacobi)方程 在上 解：找出一個具有下面形式的解 則有和例5.1相似，當且僅當

29、上式成立。其中是常數(shù)，可得。因此，如果，則有： 其中b為任意常數(shù)。特別地，如果對于某些使得，令，則偏微分方程（5.18）的解是： 。 重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 6.結束語6.結束語本文主要從四個方面來討論化歸方法在求解偏微分方程中的具體運用；即：積分變換法的化歸思想，指出這種思想方法實際上是利用傅立葉變換或拉普拉斯變換，將線性偏微分方程轉換為代數(shù)方程、常微分方程然后求解；波動方程的初值問題化歸為熱傳導方程初值問題的求解方法；某些特殊的非線性偏微分方程化歸為線性方程的問題的解法以及分離變量法中的化歸思想。特別是這些化歸方法在某類重要偏微分方程中的運用；通過分析，掌握化歸方法在具體運用中的局限性，

30、從而合理地選擇某一化歸方法來求解具體給定的偏微分方程定解問題。我在整個畢業(yè)設計過程中，始終保持端正的學習態(tài)度，做到老師的要求；認真復習以前學過的偏微分方程理論知識和閱讀有關的期刊，由于老師給的參考資料是英文的，所以對于問題的理解不是很深；不過，通過查閱相關的資料和文獻，特別是老師的幫助下，我對于相關的要求還是能比較好的認識。因此，在畢業(yè)設計過程中，對于問題的理解也給出了自己的看法；從中摸索自己的學習方法，這為我以后的工作和學習提供經(jīng)驗。由于畢業(yè)設計時間比較短，并且我對于偏微分方程這方面的理論知識的系統(tǒng)學習比較少，所以在畢業(yè)設計的過程中遇到了不少困難，導致了論文經(jīng)過多次的修改和校正才完成的；加以

31、本人水平有限，因而論文中錯誤和失誤肯定比較多且理論不夠完善，希望老師和讀者給予諒解和批評指正。重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 致謝致 謝本文的研究工作是在胡學剛老師的精心指導和悉心關懷下完成的，在我的學業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著導師辛勤的汗水和心血。導師的嚴謹治學態(tài)度、淵博的知識、無私的奉獻精神使我深受啟迪。從尊敬胡老師身上，我不僅學到了扎實、寬廣的專業(yè)知識，也學到了做人的道理。在此我要向胡老師致以最衷心的感謝和深深的敬意。在多年的學習生活中，還得到了許多領導和老師的熱情關心和幫助，如劉平老師，李玲老師，張杰老師，鄭繼明老師，安世全老師等。在日常學習和生活中，我的同學洪貴，彭煒，周秀紅等給予了我

32、很大幫助。在此，向所有關心和幫助過我的領導、老師、同學和朋友表示由衷的謝意！特別感謝我父母對我學習上的支持和鼓勵。最后，衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位專家、教授！王志仁2004年6月于重慶 第24頁 共45頁重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 參考文獻參考文獻1 凌瑞璧. 淺談數(shù)學分析中的化歸思想. 廣西教育學院學報，1卷1期（1995），p32-402 王延源 .談化歸方法的應用. 臨沂師范學院學報，25卷3期（2003），p32-473 喻平. 數(shù)學化歸方法的理論分析. 廣西師范大學學報（自然科學版），11卷3期（1993），p87-1134 南京工學院數(shù)學教研組編. 數(shù)學物理方程與特

33、殊函數(shù). 北京：高等教育出版社，19825 L.Hrmander. Fourier integral operators. I.Acta Mathematica 127（1971）,p79806 憂慶久. Fourier方法在偏微分方程理論中的應用. 南京大學學報半年刊，1卷2期（1995），p1-87 段汕. 有限Fourier變換在偏微分方程中的引用. 中南民族學院學報，18卷4期（1999），p47-608 陳傳璋等編. 數(shù)學分析（下冊）. 北京：高等教育出版社，19839 南京工學院數(shù)學教研組編. 積分變換（第三版）. 北京：高等教育出版社，198110 J.M.Greenberg.

34、The effect of boundary damping for the quasilinear wave equation. J.Diff.Equation,52(1984),p66-7511 L.Hrmander. Linear Partial Differential Operators. Springer-Verlag, Berlin and New York,196312 鄭宋穆，陳韻梅著. 非線性拋物方程的整體存在性. 自然雜志，7卷1期（1984），p73-8013 李云，石清華. 一類時滯非線性微分方程Hopf分支的分析（II）. 武漢：湖北大學學報，8卷2期（1995），p257-27914 L.C. Evans. Partial Differential Equation. American Mathematical Society Frcyidence , Rhode