人教A版高中數(shù)學選修4-5不等式題型全歸納(有答案)

1、、均值不等式在證明中的應(yīng)用1. （1）已知 a,b R ,x,yR ，求證：2 xy； ab2)已知實數(shù) x,y 滿足：2x21，試利用1）求 22x12 的最小值。 y1)證：x2bx2a2 ay bx22y22xy2 xy2)解：2 y ab當且僅當xyab22y2212時，取等號)；12y2222x2122y222 2x y9，當且僅當13時，12 的最小值 y是9?？键c：均值不等式在證明中的應(yīng)用、綜合法證明不等式二、絕對值不等式2. 已知函數(shù) f(x) x 5x 4,x 0若函數(shù) y f(x) ax 恰有4個零點，則實數(shù) a的2 x 2 ,x 0取值范圍為 .答案： (1,2)解析：分

2、別作出函數(shù) y f (x)與 y a|x|的圖像， 由圖知， a 0時，函數(shù) y f (x)與y a|x|無交點，a 0時，函數(shù) y f (x) 與 y a| x |有三個交點， 故 a 0.當x 0，a 2時，函數(shù) y f(x)與 y a | x |有一個交點，當 x 0，0 a 2時，函數(shù) y f (x) 與 y a |x |有兩個交點， 當 x 0 時，若 y ax 與 y x2 5x 4,( 4 x 1) 相切， 則由0得： a 1或 a 9(舍)，因此當 x 0，a 1時，函數(shù) y f(x)與 y a | x |有兩個交點， 當x 0，a 1時，函數(shù) y f(x)與 y a | x

3、|有三個交點， 當 x 0，0 a 1時，函數(shù) y f (x) 與 y a| x |有四個交點，所以當且僅當 1 a 2時，函數(shù) y f(x)與 y a|x|恰有4個交點.考點：單絕對值不等式3. 存在 x 0 ，使得不 等式 x2 2 x t 成立 ， 則實數(shù) t 的 取值范圍為答案： 9,24解析：不等式 x2 2 x t ，即 x t 2 x2 ，令 y1 x t ,y1 的圖象是關(guān)于 x t 對稱的一個 V 字形圖形，其象位于第一、 二象 限；y2 2 x2 ，是一個開口向下，關(guān)于 y 軸對稱，最大值為 2 的拋物線； 要存在 x 0 ，使不等式 x t 2 x2 成立，則 y1 的圖

4、象應(yīng)該在第二象限和 y2 的圖象有交點，兩種臨界情況，當 t 0 時， y1 的右半部分和 y2 在第二象限相切：y1 的右半部分即 y1 x t ，聯(lián)列方程 y x ty 2 x2 ，只有一個解；即 x t 2 x2 ，即 x2 x t 2 0 ， 1 4t 8 0 ，得： t 9 ；4此時 y1 恒大于等于 y2 ，所以 t 9 取不到；4所以 9 t 0 ；4當 t 0 時，要使 y1 和 y2 在第二象限有交點，即 y1 的左半部分和 y2 的交點的位于第二象限；無需聯(lián)列方程，只要 y1 與 y 軸的交點小于 2 即可；y1 t x 與 y 軸的交點為 (0,t) ，所以 t 2 ，又

5、因為 t 0 ，所以 0 t 2 ；綜上，實數(shù) t 的取值范圍是： 故答案為： 94,2 考點：單絕對值不等式4. 已知函數(shù) f(x) |2x 1| |2x a|， g(x) x 3.1)當a2 時，求不等式f (x)g(x)的解集；2)設(shè)a1 ，且當 x a2,12)時，f(x)g(x)，求 a的取值范圍15x,x21)當a2 時，令 y2x1 2x2x3 x 2,1 x 1，3x 6,x 1作出函數(shù)圖像可知，當 x (0,2) 時， y 0 ， 故原不等式的解集為 x 0 x 2 ； (2)依題意，原不等式化為 1 a x 3 ， 故 x a 2 對 a,1 都成立，22故a故 a的取值范

6、圍是 1,43考點：同系數(shù)絕對值相加型不等式5. 已知函數(shù) f(x) x 2 x 5( 1)證明： 3 f (x) 3; (2)求不等式 f (x) x2 8x 15的解集。3, x 2(1) f(x) x 2 x 5 2x 7, 2 x 53, x 5當 2 x 5時， 3 2x 7 3 ，所以， 3 fx 3 (2)由( 1)可知當 x 2 時， f (x) x2 8x 15的解集為空集；當 x 5 時， f （x） x2 8x 15的解集為 x |5 x 6 綜上：不等式 f （x） x2 8x 15的解集： x |5 3 x 6 考點：同系數(shù)絕對值相減型不等式 6. 設(shè)函數(shù) f x 2

7、x 1 x 21）求不等式 f x 2 的解集；2）若 x R, f x t2 121 t恒成立，求實數(shù) t的取值范圍x 3, x1）由題意得 f （ x）3x 1, 12x2x 3, x 2當 x 1 時，不等式化為 x 3 2 ，解得 x 5 x 5 ，2當 1 x 2時，不等式化為 3x 1 2，解得 x 1 1 x 2，2當 x 2 時，不等式化為 x 3 2，解得 x 1 x 2 ， 綜上，不等式的解集為 x x 1或 x 5 （ 2）由（ 1）得 f x min，若 x R ， f x t t 恒成立，則只需 f x min 5 t 2 11t ，解得 1 t 5 ，min 2 2

8、 2綜上， t的取值范圍為 1 ,52考點：不同系數(shù)絕對值相加減型不等式(1) 當a 1時，求不等式 f (x) 3x 2的解集；(2) 如果不等式 f (x) 0的解集為 x x 1 ，求 a 的值1)當 a 1時，f(x) 3x 2可化為 |x 1| 2。3或x 1 。(2)由 f (x) 0x a 3x 0此不等式化為不等式組xaxa3x0或3xaa或4xaa a2因為 a 0，所以不等式組的解集為x|x由此可得 x 3或 x 1。故不等式 f (x) 3x 2的解集為 x |x由題設(shè)可得 a=-1 ，故 a 22考點：已知絕對值不等式解求參數(shù)8. 已知函數(shù) f (x) |x a| |x

9、 2|.(1)當 a 3時，求不等式 f(x) 3的解集；(2)若 f(x) |x 4 |的解集包含 1,2 ，求a的取值范圍 .答案：5 2x(x 2)1(2 x 3)2x 5(x 3)1)當 a 3時， f (x) |x 3| |x 2|所以不等式 f (x) 3可化為x25 2x 312 3x 3，或x32x 5 3解得 x 1或 x 4因此不等式 f(x) 3的解集為 x|x 1或 x 4(2)由已知 f (x) |x 4|即為 |x a| |x 2| |x 4|，也即 |x a| | x 4| |x 2|若 f(x) |x 4 |的解集包含 1,2 ，則 x 1,2 ，|x a| |

10、x 4| |x 2|，也就是 x 1,2 ，|x a| 2 ，所以x a 2x 1,2 ， ，xa2從而1 a 2 ，2 a 2 ，解得3a0因此a的取值范圍為 a 3,0 .考點：已知絕對值不等式解的范圍求參數(shù)范圍、同系數(shù)絕對值不等式相加減1)若對任意的 x 有 f (x) a 成立，求 a的取值范圍；(2)若不等式 2a b a 1 a b f (x) 0 ，對于任意的 a,b都成立，求 x 的取值范 圍。(1)根據(jù)題意 , a 小于等于 f(x) 的最小值112,x224x,x12由 f(x)4x,x12可得 f (x)min 2所以 a 2(2)當 a b 0 即a b 時， 2b 0

11、 f(x) 0 恒成立， x R 當 a b 0 時，由絕對值不等式得性質(zhì)可得2a b a (2a b) a a b ，1 恒成立，12a b a2a baabf (x) 0 ，當且僅當 (2a b)a 0 時取 ''2a b a abaQ121 f(x) 1 ， f (x) 2112f(x)11x22考點：含絕對值不等式的恒成立問題、同系數(shù)絕對值相加型不等式10. 已知函數(shù) f xx1(1) 求 x 的取值范圍 , 使 f x 為常數(shù)函數(shù) .(2) 若關(guān)于 x 的不等式 f x a 0 有解,求實數(shù) a 的取值范圍 . 2x 2,x 3(1) f x x 1 x 3 4, 3

12、 x 1 2x 2,x 1則當 x 3,1 時, f x 為常數(shù)函數(shù) .(2) 方法一:如圖,結(jié)合(1) 知函數(shù) f x 的最小值為 4 ,實數(shù) a 的取值范圍為 a 4 .方法二 : x 1 x 3 x 1 x 3 ;x 1 x 3 4 , 等號當且僅當 x 3,1 時成立 .得函數(shù) f x 的最小值為 4 , 則實數(shù) a 的取值范圍為 a 4 .考點：含絕對值不等式的能成立問題11.已知實數(shù) x, y滿足：| x y| 31,|2x y| 16,求證：|y|518證明：Q3| y|=|3y|=|2 x y2x y | 2 x y2x y ，由題設(shè) | x y | 1,| 2x y| 1,3

13、63| y|156=6|y|518考點：絕對值的三角不等式 12.已知函數(shù) f(x) x2 6x 9 x2 8x 16 1)求 f (x) f (4) 的解集；2)設(shè)函數(shù) g(x) k(x3)，k R，若 f(x) g (x)對任意的 x R都成立，求實數(shù) k的取值范圍1) f (x) x2 6x 9x2 8x 16 (x 3)2(x24)2 |x 3| | x 4|，f (x) f (4) ，即 |x 3| x 4| 9,3x x4,x 4 9 或4 x 3, 或 x3 x x 4 9 x3,3x9,解得不等式： x5；：無解；： x 4 ，所以 f (x) f (4)的解集為 x| x5或

14、x 4 2) f (x) g(x)即 f (x) |x 3|x 4 |的圖象恒在 g(x)k(x 3) 圖象的上方，可以作出 f (x) |x 3| |x 4|2x 1, x 4,7, 4 x 3, 的圖象，2x 1, x 3而 g(x) k(x 3)圖象為恒過定點 P(3, 0) ，且斜率 k 變化的一條直線， 作出函數(shù) y f (x), y g(x) 圖象，其中 kPB 2, A( 4,7) ， kPA 1，由圖可知，要使得 f （x） 的圖象恒在 g（x）圖象的上方，實數(shù) k 的取值范圍應(yīng)該為 1 k 2考點：同系數(shù)絕對值不等式相加型、 數(shù)形結(jié)合在含參絕對值不等式中的應(yīng) 用三、證明不等式

15、的基本方法13.設(shè)不等式 |2x 1| 1的解集是 M ，a,b M （1）試比較 ab 1與 a b的大?。唬?）設(shè) max 表示數(shù)集 A的最大數(shù) h max 2 ,a b , 2 , 求證： h 2. a ab b答案：（ 1）ab 1 a b; （2）見解析解析：（ 1）先解出 M x|0 x 1 .(ab 1) (a b) (a 1)(b 1) 0.問題得證 .2) h max2 ,a2 b2 , 2 a ab b可知 ha,ha2 b2 ,h 2 ab ,h b所以根據(jù)不等式的性質(zhì)，同向正向不等式具有可乘性，從而可證出h3 8.故 h 2.考點：比較法證明不等式14.已知 f(x)

16、x 1 x 1, 不等式 f(x) 4的解集為 M .1)求 M ；2)當 a,b M 時, 證明: 2a b 4 ab .1)解不等式： x 1 x 1 4 ；x12x 41x24x12x 41 x 2 或 1 x 1或 2 x 1 ，2 x 2 M 2,2 .2)需證明： 4(a2 2ab b2 ) a2b2 8ab 16，只需證明 a2b2 4a2 4b2 16 0 ，即需證明 (a2 4)(b2 4) 02 2 2 2a,b ( 2,2) a2 4,b2 4 (a2 4) 0,(b2 4) 022(a2 4)(b2 4) 0，所以原不等式成立考點：分析法證明不等式15.設(shè) a 0,b

17、0. 且a b 1 1.證明： ab（1） a b 2 ；（2） a2 a 2 與 b2 b 2 不可能同時成立 .由a b 1 1= a b，a 0,b 0. 得ab 1a b ab（ 1）由基本不等式及 ab 1 ，有 a b 2 ab 2 ，即 a b 2；（2）假設(shè) a2 a 2與 b2 b 2同時成立，則由 a2 a 2 及 a 0 得 0 a 1 ，同理 0 b 1 ，從而 ab 1 ，這與 ab 1 矛盾，故a2 a 2 與 b2 b 2 不可能同時成立 .考點：反證法證明不等式、均值不等式在證明中的應(yīng)用16. 已知數(shù)列 an 的前 n項和 Sn 滿足 Sn 2an n 1）求數(shù)

18、列 an 的通項公式；a1n2）設(shè) bnn ，記數(shù)列 bn 的前 n和為 Tn ，證明：Tn0 an 132答案】（ 1） an 2n 1 ；（ 2）詳見解析 .解析】即可求解；a 2n 12）由（ 1）可知 bn aann1 22n 1 11， bn2n1，22從而可證 Tnn2 0 ，進放縮可得2n 21 2 2n 21 3 2n 312n ，求和即可得證試題解析：1） Sn 2an n ，當 n 1時， S1 a12a1a1 1，又 Sn2an 1 n 1，與 Sn 2an n 兩邊分別相減得 an 1 2an 1 2an 1，得 an2 an1，又a1數(shù)列 an 1是以 2為首項， 2為公比的等比數(shù)列，an2n ，得 an2n1； bnTnan 10，2n又13 2n1 ，1 1 ， bn11n222n 2Tn1232412n 2 2 0 ，得12n 21nn2n2 3 2n1 Tn n 0.3 n 21n3 2n， Tn12212n四、柯西不等式17.已知關(guān)于 x的不等式 x a b的解集為 x|2 x 41 求實數(shù) a,b 的值；2 求 at 12 bt 的最大值 .1 由 x a b ，則 b a 2 ba4解得 a 3,b 1.2 3t 12 t 3 4 t t ( 3)2 12( 4 t)2 ( t)2當且僅當4