完全彈性碰撞后的速度公式

1、mi的小球,以速度vi與原來(lái)靜止的質(zhì)量 試求碰撞后它們各自的速度？H1設(shè)碰撞后它們的速度分別為 機(jī)械能(動(dòng)能)守恒定律得：mivi=mivi/ +m2V2/Vi /圖1和V2/,在彈性碰撞過(guò)程中,分別根據(jù)動(dòng)量守恒定律、由1 廠由/一 +聯(lián)立解得砒+叫如何巧記彈性碰撞后的速度公式一、"一動(dòng)碰一靜的彈性碰撞公式問(wèn)題：如圖1所示,在光滑水平面上,質(zhì)量為 為m2的小球發(fā)生對(duì)心彈性碰撞,上面式的右邊只有分子不同,但記憶起來(lái)容易混. 為此可做如下分析：當(dāng)兩球碰撞至球心相距最近時(shí),兩球到達(dá)瞬時(shí)的共同速度V共,由動(dòng)量守恒定律得：mivi= (mi+m2) v 共解出v共=mivi / (mi+m2)

2、.而兩球從球心相距最近到分開(kāi)過(guò)程中,球m2繼續(xù)受到向前匕二葉的彈力作用,因此速度會(huì)更大,根據(jù)對(duì)稱可猜測(cè)其速度恰好增大一倍即-；-,而這恰好是式,因此式就可上述推理輕松記住,式也就不難寫(xiě)出了.如果式的分子容易寫(xiě)成 m2- mi,那么可根據(jù)質(zhì)量 mi的乒乓球以速度 vi去碰原來(lái)靜止的鉛球 m2,碰撞后 乒乓球被反彈回,因此 vi/應(yīng)當(dāng)是負(fù)的(vi/ <0),故分子寫(xiě)成 mi- m2才行.在“驗(yàn)證動(dòng) 量守恒定律的實(shí)驗(yàn)中,要求入射球的質(zhì)量mi大于被碰球的質(zhì)量 m2,也可由式術(shù)一他.vi解釋.由于只有 mi>m2,才有vi,>0.否那么,假設(shè)vi/ <0,即入射球 mi返回,由于

3、摩擦,入射球 mi再回來(lái)時(shí)速度已經(jīng)變小了,不再是原來(lái)的vi/ 了.vi另外,假設(shè)將上面的式變形可得：>'l,即碰撞前兩球相互靠近的相對(duì)速度-0等于碰撞后兩球相互分開(kāi)的相對(duì)速度L一 .由此可輕松記住式.再結(jié)合式也可很 容易解得式.二、“一動(dòng)碰一動(dòng)的彈性碰撞公式問(wèn)題：如圖2所示,在光滑水平面上,質(zhì)量為 mi、m2的兩球發(fā)生對(duì)心彈性碰撞,碰撞 前速度分別為Vi和V2,求兩球碰撞后各自的速度？詁=叫+性+ 叫+碼,即可得到上面的式.圖2設(shè)碰撞后速度變?yōu)?V/和V2Z,在彈性碰撞過(guò)程中,分別根據(jù)動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能 守恒定律得：mivi+m2V2=mivi/ +m2V2/1+1 = *附用

4、十+陽(yáng)評(píng)由-11 :由由/丄一 L由式可以解出 曲-旳V】斗加沁要記住上面式更是不容易的,而且推導(dǎo)也很費(fèi)時(shí)間.如果采用下面等效的方法那么可 輕松記住.mi、m2兩球以速度vi和V2發(fā)生的對(duì)心彈性碰撞,可等效成mi以速度vi去碰靜因此由前面“一動(dòng)碰一靜的彈性止的m2球,再同時(shí)加上 m2球以速度卩碰靜止的mi球.碰撞公式,可得兩球碰撞后各自的速度另外,假設(shè)將上面的式變形可得：一 J '即碰撞前兩球相互靠近的相對(duì)速度V1- V2等于碰撞后兩球相互分開(kāi)的相對(duì)速度1 一 一.由此可輕松記住式,再結(jié)合式可解 得式.例題：如圖3所示,有大小兩個(gè)鋼球,下面一個(gè)的質(zhì)量為m2,上面一個(gè)的質(zhì)量為 mi,m2

5、=3mi.它們由地平面上高 h處下落.假定大球在和小球碰撞之前,先和地面碰撞反彈再 與正下落的小球碰撞,而且所有的碰撞均是彈性的,這兩個(gè)球的球心始終在一條豎直線上, 那么碰后上面mi球?qū)⑸仙淖畲蟾叨仁嵌嗌伲繄D3解法1:設(shè)兩球下落h后的速度大小為vi,那么vi2=2gh選向上為正方向,m2球與地面碰撞后以速度 vi反彈并與正在以速度- vi下落的mi球發(fā) 生彈性碰撞,設(shè) mi和m2兩球碰撞后瞬間的速度分別變?yōu)関iz和v2 /,在彈性碰撞過(guò)程中,分別根據(jù)動(dòng)量守恒定律、機(jī)械能動(dòng)能守恒定律得：mi vi +m2vi=miviz +m2v2/1121龍 1fl將m2=3mi代入,得2vi=viz +3

6、v2 /由式消去v?/得：0= v；J-3v； + 2v/即 -S '一故解出vi/ =vi 舍去,由于該解就是 mi球碰前瞬間的速度vi / =2vi設(shè)碰后上面球 mi上升的最大高度為 h/,那么 0 vi/ 2= 2gh/聯(lián)立式解出h/ =4h.解法2:在解法1中,列出式后,可根據(jù)前面介紹的用等效法得到的“一動(dòng)碰一動(dòng)的彈性 碰撞公式,求出 mi球碰撞后瞬間的速度 vi/.選向上為正方向, mi、m2兩球分別以速度一vi和vi發(fā)生對(duì)心彈性碰撞,可等效成mi以速度vi去碰靜止的 m2球,再同時(shí)加上 m2球以速度vi碰靜止的mi球.因此mi球碰撞后的速度將 m2=3mi 代入得 vi,=

7、2vi.以下同解法i.解法3:在解法i中,列出式后,也可根據(jù)前面介紹的用等效法得到的“一動(dòng)碰一動(dòng)的彈性碰撞公式,求出 m2球碰撞后瞬間的速度 v2zo選向上為正方向,mi、m2兩球以速度一vi和vi發(fā)生的對(duì)心彈性碰撞,可等效成 mi以速 度vi去碰靜止的 m2球,再同時(shí)加上 m2球以速度vi碰靜止的mi球.因此碰撞后 m2球的速 度2叫(-¥)(性-術(shù) hl二 + 1 亠將m2=3mi代入解得 V2,=0.從mi球開(kāi)始下落到mi球上升的最大高度,對(duì)mi、m2兩球組成的系統(tǒng),由能量守恒得：(mi+m2) gh= migh,故解出h,=4h.解法4:設(shè)兩球下落h后的速度大小為vi,那么v

8、i2=2gh選向上為正方向,m2球與地面碰撞后以速度 vi反彈并與正在以速度- vi下落的mi球發(fā) 生彈性碰撞,假設(shè)以 m2球?yàn)閰⒖枷?那么 mi球以相對(duì) m2球?yàn)?2vi的速度去碰靜止的 m2球, 由“一動(dòng)碰一靜的彈性碰撞公式得：故碰后mi球?qū)Φ氐乃俣葹?由于碰前m2球?qū)Φ氐木哂邢蛏系乃俣葀i,計(jì)二冏舲j )(2叩故碰后mi球?qū)Φ氐乃俣葹椋? '+ vi=2vi.以下同解法1o上面的解法i屬于常規(guī)的數(shù)學(xué)解法, 求解比擬麻煩,用時(shí)間也比擬長(zhǎng)而且容易出錯(cuò).而解法2、3、4直接應(yīng)用巧記得到的彈性碰撞速度公式求解,簡(jiǎn)單而不易出錯(cuò),是比擬好的選 擇.:、知識(shí)歸納、總結(jié)：彈性碰撞和非彈性碰撞1、

9、碰撞碰撞是指相對(duì)運(yùn)動(dòng)的物體相遇時(shí),在極短的時(shí)間內(nèi)它們的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生顯著變化的過(guò) 程.2、碰撞的分類按機(jī)械能是否損失分類1彈性碰撞：如果碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒,即為彈性碰撞.2非彈性碰撞：碰撞過(guò)程中機(jī)械能不守恒的碰撞.3、碰撞模型相互作用的兩個(gè)物體在很多情況下皆可當(dāng)作碰撞處理,那么對(duì)相互作用中兩物體相距恰“最近、相距恰“最遠(yuǎn)或恰上升到“最高點(diǎn)等一類臨界問(wèn)題,求解的關(guān)鍵都是“速度相等,具體分析如下：1如下圖,光滑水平面上的 A物體以速度v去撞擊靜止的B物體,A、B兩物體 相距最近時(shí),兩物體速度必定相等,此時(shí)彈簧最短,其壓縮量最大.j4 j WWV B777Z?77777777Z777<2如下圖

10、,物體 A以速度Vo滑到靜止在光滑水平面上的小車(chē)B上,當(dāng)A在B上B相對(duì)靜止,A、B兩物體的速度必定相等.滑行的距離最遠(yuǎn)時(shí),3如下圖,質(zhì)量為 M的滑塊靜止在光滑水平面上,滑塊的光滑弧面底部與桌面相切,一個(gè)質(zhì)量為 m的小球以速度vo向滑塊滾來(lái),設(shè)小球不能越過(guò)滑塊,那么小球到達(dá)滑塊上的最高點(diǎn)時(shí)即小球豎直方向上的速度為零,兩物體的速度肯定相等方向?yàn)樗较蛴叶?duì)心碰撞和非對(duì)心碰撞1、對(duì)心碰撞碰撞前后物體的速度都在同一條直線上的碰撞,又稱正碰.2、非對(duì)心碰撞碰撞前后物體的速度不在同一條直線上的碰撞.3、散射指微觀粒子的碰撞.三反沖反沖運(yùn)動(dòng),就1定義：原來(lái)靜止的系統(tǒng),當(dāng)其中一局部運(yùn)動(dòng)時(shí),另一局部向相反方向的

11、運(yùn)動(dòng) 叫做反沖運(yùn)動(dòng).(2) 原理：反沖運(yùn)動(dòng)的根本原理仍然是動(dòng)量守恒定律,當(dāng)系統(tǒng)所受的外力之和為零或 外力遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于內(nèi)力時(shí),系統(tǒng)的總量守恒,這時(shí),如果系統(tǒng)的一局部獲得了某一方向的動(dòng)量, 系統(tǒng)的剩余局部就會(huì)在這一方向的相反方向上獲得同樣大小的動(dòng)量.(3) 公式：假設(shè)系統(tǒng)的初始動(dòng)量為零,那么動(dòng)量守恒定律形式變?yōu)椋?=m iviz + m2V2/ .此式說(shuō)明,做反沖運(yùn)動(dòng)的兩局部,它們的動(dòng)量大小相等,方向相反,而它們的速率那么 與質(zhì)量成反比.(4) 應(yīng)用：反沖運(yùn)動(dòng)有利也有害,有利的一面我們可以應(yīng)用,比方農(nóng)田、園林的噴灌 裝置、旋轉(zhuǎn)還擊式水輪發(fā)電機(jī)、噴氣式飛機(jī)、火箭、宇航員在太空行走等等.反沖運(yùn)動(dòng)不利 的一

12、面那么需要盡力去排除,比方開(kāi)槍或開(kāi)炮時(shí)反沖運(yùn)動(dòng)對(duì)射擊準(zhǔn)確性的影響等.(四) 火箭1、火箭：現(xiàn)代火箭是指一種靠噴射高溫高壓燃?xì)猥@得反作用向前推進(jìn)的飛行器.2、火箭的工作原理：動(dòng)量守恒定律當(dāng)火箭推進(jìn)劑燃燒時(shí), 從尾部噴出的氣體具有很大的動(dòng)量,根據(jù)動(dòng)量守恒定律, 火箭獲得大小相等、方向相反的動(dòng)量,因而發(fā)生連續(xù)的反沖現(xiàn)象,隨著推進(jìn)劑的消耗.火箭的質(zhì)量逐漸減小,加速度不斷增大,當(dāng)推進(jìn)劑燃盡時(shí),火箭即以獲得的速度沿著預(yù)定的空間軌道飛 行.3、火箭飛行能到達(dá)的最大飛行速度,主要決定于兩個(gè)因素：(1) 噴氣速度：現(xiàn)代液體燃料火箭的噴氣速度約為2.5km/s,提升到34km/s需很高 的技術(shù)水平.(2) 質(zhì)量比

13、(火箭開(kāi)始飛行的質(zhì)量與火箭除燃料外的箭體質(zhì)量之比),現(xiàn)代火箭能到達(dá) 的質(zhì)量比不超過(guò)10.(五) 用動(dòng)量概念表示牛頓第二定律1、牛頓第二定律的動(dòng)量表達(dá)式F聖 t2、動(dòng)量變化率Pt反映動(dòng)量變化的快慢,大小等于物體所受合力.3、沖量在物理學(xué)中,沖量的概念是反映力對(duì)時(shí)間的積累效果,不難想像,一個(gè)水平恒力作用在放置于光滑水平面上的物體,其作用時(shí)間越長(zhǎng),速度的改變?cè)酱?說(shuō)明力的累積效果越大, 在物理學(xué)中,力和力的作用時(shí)間的乘積叫做力的沖量.(1) 定義：作用在物體上的力和力的作用時(shí)間的乘積,叫做該力對(duì)物體的沖量.(2) 公式：常用符號(hào)I表示沖量,即I=F t.(3) 單位：在國(guó)際單位制中,力 F的單位是N

14、,時(shí)間t的單位是s,所以沖量的單位是 N s,動(dòng)量與沖量的單位關(guān)系是：1N s=1kg m/s,但要區(qū)別使用. 如果力的方向是恒定的,那么沖量的方向與力的方向相同,如果力的方向是變化的, 那么沖量的方向與相應(yīng)時(shí)間內(nèi)物體動(dòng)量變化量的方向相同. 沖量的運(yùn)算服從平行四邊形定那么,如果物體所受的每一個(gè)外力的沖量都在同一條直線上,那么選定正方向后,每一個(gè)力的沖量的方向可以用正、負(fù)號(hào)表示,此時(shí)沖量的運(yùn)算就可簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算. 沖量描述的是力 F對(duì)作用時(shí)間t的累積效果,力越大,作用時(shí)間越長(zhǎng),沖量就越大. 沖量是一個(gè)過(guò)程量,講沖量必須明確研究對(duì)象和作用過(guò)程,即必須明確是哪個(gè)力在 哪段時(shí)間內(nèi)對(duì)哪個(gè)物體的沖量. 計(jì)

15、算沖量時(shí),一定要明確是計(jì)算分力的沖量還是合力的沖量,如果是計(jì)算分力的沖 量還必須明確是哪個(gè)分力的沖量. 在F t圖象下的面積,數(shù)值上等于力的沖量,如圖1所示,假設(shè)求變力的沖量,仍可用“面積法表示,如圖 2所示.圖1圖2宀m1,由式得V1 v1,v2 2v14、動(dòng)量定理(1)(2) 表達(dá)式：l=p(3)丄 m2*22內(nèi)容：物體在一個(gè)過(guò)程中始、 末的動(dòng)量變化量等于它在這個(gè)過(guò)程中所受力的沖量./ p 或 F 合 t=mv / mv.推導(dǎo)：設(shè)質(zhì)量為 m的物體在合外力 F作用下沿直線運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)時(shí)間t,速度由vV V 得 F合t mv' mv,即I p' p. 變?yōu)関z,那么由F合=ma和

16、a= t【典型例題】例1、質(zhì)量為m1的物體,以速度V1與原來(lái)靜止的物體 m2發(fā)生完全彈性碰撞,如下圖, 設(shè)碰撞后它們的速度分別為 v'1和v'2 ,試用m1、m2、V1表示v'1和v2.Q 二二、Q分析：碰撞過(guò)程都要遵守動(dòng)量守恒定律, 據(jù)此可以列出包含上述各量和未知量的方V'l和v'2作程,彈性碰撞中沒(méi)有機(jī)械能損失,于是可以列出另一個(gè)方程,兩個(gè)方程聯(lián)立,把 為未知量解出來(lái)就可以了.解：根據(jù)動(dòng)量守恒定律： mw1= m 1 v 1 +m 2V 2,根據(jù)完全彈性碰撞過(guò)程中機(jī)械能守恒有1 2 1 2 m1v 1m1v'12 2碰撞結(jié)束時(shí) mi的速度v

17、2m2的速度討論：(1)當(dāng) 換速度.(2) 當(dāng)V'12m1-V1 m1 m2m1m2V1m1m2mi=m2,即兩物體的質(zhì)量相等時(shí),由兩式得v10,V2 v,即兩者交m1>>m 2,即第一個(gè)物體的質(zhì)量比第二個(gè)物體大得多時(shí),m1 m2 m1, m1+m2由以上兩式解得mi m2 m2,(3) 當(dāng)mi<<m 2時(shí),即第一個(gè)物體的質(zhì)量比第二個(gè)物體小得多時(shí),m1 m2疋0,由式得£eV； 0例2、如下圖,小車(chē)靜止在光滑水平面上,兩個(gè)質(zhì)量相等的人A和B,分別站在車(chē)的兩端,A向前跳后B再向后跳,且兩個(gè)人跳離車(chē)時(shí)對(duì)地的速度相等,那么以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是( )A、B、

18、C、D、兩個(gè)人跳車(chē)后,車(chē)向后以一定速度運(yùn)動(dòng),A、B受到的沖量一樣大兩個(gè)人跳車(chē)后,車(chē)向前以一定速度運(yùn)動(dòng),A、B受到的沖量一樣大兩個(gè)人跳車(chē)后,車(chē)速為零,B受到的沖量大些分析：不少同學(xué)沒(méi)有通過(guò)分析和推證,就以為：既然B在A后跳,由于反沖,車(chē)最終Bo應(yīng)向前運(yùn)動(dòng)；既然質(zhì)量相等的 A、B兩個(gè)人以相等的對(duì)地速率跳離車(chē),由于動(dòng)量相等,于 兩人所受的沖量大小相等,因此錯(cuò)選了解：選地作參考系,取向前方向?yàn)檎较?以兩人和車(chē)的整體為對(duì)象,設(shè)人、車(chē)質(zhì)量分 別為m和M,人跳離車(chē)時(shí)對(duì)地速率為 vo,由動(dòng)量守恒定律得：mv0 mv0+Mv=0得到v=0,即車(chē)最終靜止.mvo+ (M+m ) vi=0再以A和車(chē)為研究對(duì)象,由動(dòng)量守恒定律得：mv°解得v1= M mV. mmv mM于是對(duì)A,由動(dòng)量定理得：Ia= pA=mv° 0=mv02m 對(duì) B: Ib= pb= mv° mvi= mvi+ M 比擬得到Ia> |I b|.答案：D跟水泥樁撞擊的時(shí)間是0.05s例3、質(zhì)量是40kg的鐵錘從5m高處落下,打在水泥樁上, 撞擊時(shí),鐵錘對(duì)樁的平均沖擊力有多大？分析：鐵錘與木樁作用過(guò)程中是錘自身重力與木樁平均沖擊力共同作用使其減速到零的 過(guò)程,該過(guò)程的初速度即鐵錘自由下落5m的末速度.1 2