教師考試點直線與圓的位置關(guān)系有答案

1、點直線與圓的位置關(guān)系1. (2021?湖南永州,第24題10分)如圖,點 A是O O上一點,OA丄AB,且 OA=1, AB= ':, OB交O O 于點D,作AC丄OB,垂足為M,并交O O于點C,連接BC.(1) 求證：BC是O O的切線；(2) 過點B作BP丄OB,交OA的延長線于點 P,連接PD,求sin/ BPD的值.考點：切線的判定；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：證實題.分析：(1)連結(jié)OC,根據(jù)垂徑定理由 AC丄OB得AM = CM,于是可判斷 OB為線段AC的垂直平分線,所以 BA=BC,然后利用 SSS證實 OABOCB ,得到/ OAB= / OCB,由于/ OAB

2、 =90° ,那么/ OCB=90° ,于是可根據(jù)切線的判定定理得BC是O O的切線；(2)在RtAOAB中,根據(jù)勾股定理計算出OB=2,根據(jù)含 30度的直角三角形三邊的關(guān)系得/ ABO=30° / AOB=60° 在 RtA PBO 中,由/ BPO=30° 得到 PB="OB=2用；在 RtA PBD 中, BD = OB- OD=1,根據(jù)勾股定理計算出 PD=dW,然后利用正弦的定義求 sin / BPD的值.解答：(1)證實：連結(jié)OC,如圖,/ AC 丄 OB , AM=CM, OB為線段AC的垂直平分線, BA=BC,在厶O

3、AB和厶OCB中rOA=OC“ 05=0&BA=BC , OABA OCB,/ OAB=/ OCB,/ OA 丄 AB,/ OAB=90° , / OCB=90° , OC 丄 BC, BC是O O的切線；(2)解：在 RtAOAB 中,OA=1 , AB= ；,OB=2,/ ABO=30° , / AOB=60° ,/ PB 丄 OB , / PBO=90° ,在 RtA PBO 中,OB=2,/ BPO=30° PB= 5=2；,在 RtA PBD 中,BD=OB- OD=2 - 1=1, PB=2 PD= * I,I=甘

4、 _；,BD 1 V13 sin/ BPD= I = ' 1 _ = 1：；.點評：此題考查了切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.也考查了垂徑定理、勾股定理和全等三角形的判定與性質(zhì).2. (2021?隨州,第22題8分)如圖,O O中,點C為AB的中點,/ ACB=120 ° OC的延長線與 AD交于 點 D,且/ D= / B .(1) 求證：AD與O O相切；(2) 假設(shè)點C到弦AB的距離為2,求弦AB的長.考點：切線的判定；解直角三角形分析： (1)連接0A,由丟云,得CA=CB,根據(jù)題意可得出/ 0=60°從而得出/ OAD=90

5、°那么AD與O O相切；(2)設(shè)OC交AB于點E,由題意得 OC丄AB,求得CE=2, RtA BCE中,由三角函數(shù)得 BE=2用, 即可得出AB的長.解答： (1)證實：如圖,連接 OA,.=I. CA=CB,又/ ACB=120° ,/ B=30°,/ O=2 / B=60° ,/ D= / B=30°/ OAD=180° -(/ O+ / D) =90° AD與O O相切；(2)解：設(shè) OC交AB于點E,由題意得 OC丄AB, CE=2,taruZB V3在 RtA BCE 中,BE=1一=2X - =2 二. AB=

6、2BE=4 :.點評：此題考查了切線的判定和解直角三角形,是中學(xué)階段的中點,要熟練掌握.3、(2021?江西,第22題8分)如圖1 , AB是圓O的直徑,點 C在AB的延長線上,AB=4, BC=2, P是 圓O上半局部的一個動點,連接 OP , CP.(1) 求厶OPC的最大面積；(2) 求/ OCP的最大度數(shù)；(3) 如圖2,延長PO交圓O于點D,連接DB,當(dāng)CP=DB,求證：CP是圓O的切線.fi22 ft)冊2【考點】切線的判定與性質(zhì).【分析】(1)、( 2)都是當(dāng)PC相切與圓時,面積和/ OCP的度數(shù)最大,根據(jù)切線的性質(zhì)即可求得.(3)連接AP,BP通過 ODB BPC可求得DP丄P

7、C,從而求得 PC是O O的切線.【解答】解：(1 ) OPC的邊長OC是定值.當(dāng)OP丄OC時,OC邊長的高為最大值,此時 OPC的面積最大.此時PC即為O O的切線,/ AB=4, BC=2 OP=OB = 2, OC = OB + BC = 4,1 1S OPCOC OP 4 2=4 ,qpc 22即厶OPC的最大面積為4.(2)當(dāng)PC與O O相切即OP丄PC時,/ OCP的度數(shù)最大.在 RtA OPC,/ OPC = 90° OC = 4, OP= 2, si n OCPOPOC 42 / OCP =,即/ OCP的最大度數(shù)為 30°(3)連接 AP, BP,/ AO

8、P= / DOB , AP= DB./ CP=DB , AP=CP, / A= / C,/ A= / D, / C= / D,在厶PDB與厶OCP中,OC = PD = 4, / C= / D , PC= BD , PDB OPC ( SAS), / OPC = / PBD ,/ PD是直徑,/ PBD=90° ,/ OPC = 90° OP丄,PC,又/ OP是圓O的半徑, PC是O O的切線.4、(2021?寧夏,第23題8分)在等邊 ABC中,以BC為直徑的O O與AB交于點D, DE丄AC,垂足為點E.(1)求證：DE為O O的切線;(2)計算CEAEC考點：切線的

9、判定；等邊三角形的性質(zhì)分析：(1)連接OD,根據(jù)等邊三角形性質(zhì)得出/ B= / A=60°求出等邊三角形 BDO,求出/ BDO / A,推出OD / AC,推出OD丄DE,根據(jù)切線的判定推出即可；(2)求出AD=±AC,求出AE=±AC, CE=AC,即可求出答案.2 44解答：(1)證實：連接OD , ABC為等邊三角形,/ ABC=60° ,又 OD = OB, OBD為等邊三角形,/ BOD=60° = / ACB , OD/AC,又 DE 丄 AC,/ ODE = / AED=90° , DE為O O的切線；(2)解：連接C

10、D ,/ BC為O O的直徑,/ BDC=90° ,又 ABC為等邊三角形, ad=bd=2ab,2在 RtAAED 中,/ A=60° ,/ ADE=30° ,11? AE=±AD=±AC, CE=AC - AEAC,244 C瓦=3 =3 .AE點評：此題考查了等邊三角形的性質(zhì)和判定,平行線的判定,切線的判定的應(yīng)用,主要考查學(xué)生運用定理進(jìn)行推理的水平.5. (2021?陜西,第24題8分)如圖,O O的半徑為4, B是O O外一點,連接 OB,且OB=6,過點B作O O 的切線BD,切點為D,延長BO交O O于點A,過點A作切線BD的垂線,

11、垂足為 C .(1)求證：AD平分/ BAC;(2)求AC的長.考點:切線的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì).分析:(1)首先連接OD,由BD是O O的切線,AC丄BD ,易證得OD / AC,繼而可證得 AD平分/ BAC;(2)由OD / AC,易證得 BODBAC,然后由相似三角形的對應(yīng)邊成比例,求得AC的長.解答：(1)證實：連接OD ,/ BD是O O的切線, OD 丄 BD, / AC丄 BD , OD / AC, / 2= / 3,/ OA=OD ,:丄仁/ 3,/ 1 = / 2,即AD平分/ BAC;(2)解：T OD / AC, BODs BAC,點評：此題考查了切線的性質(zhì)以及

12、相似三角形的判定與性質(zhì)此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.6. (2021?四川廣安 第25題9分)如圖,AB為O O的直徑,以AB為直角邊作 RtA ABC,/ CAB=90 ° 斜 邊BC與O O交于點D,過點D作O O的切線DE交AC于點E, DG丄AB于點F,交O O于點G.(1) 求證：E是AC的中點；(2) 假設(shè) AE=3, cos/ ACB=求弦 DG 的長.3考點：切線的性質(zhì)分析：(1)連AD,由AB為直徑,根據(jù)圓周角定理得推論得到/ADB=90°,而/ ACB=90°根據(jù)切線的判定定理得到AC是O O的切線,而DE與O

13、 O相切,根據(jù)切線長定理得ED=EA,那么/ EDA = Z EAD,利用等角的余角相等可得到/ C= / CDE ,貝U ED=EC ,即 可得到EA=EC;(2)由(1)可得AC=2AE=6,結(jié)合cos/ ACB=推知sin/ ACB=,然后禾U用圓周33角定理、垂徑定理,解直角三角形即可求得DG的長度.解答： (1)證實：連AD,如圖/ AB 為O O 的直徑,/ CAB=90° , AC是O O的切線,又/ DE與O O相切, ED=EA,/ EAD = / EDA ,而/ C=90° -/ EAD , / CDE=90° -/ EDA,/ C=/CDE

14、, ED=EC, EA= EC,即E為BC的中點；(2)解：由(1)知,E為BC的中點,貝U AC=2AE=6 ./ cos/ ACB =, sin / ACB='.3,屮乜 3連接 AD,那么/ ADC=90° .在 Rt ACD 中,AD=AC?sin/ ACB=6X在 Rt ADF 中,DF=AD?si n/ DAF=AD?sin / ACB=,匸 X '="',3 3 DG=2DF = '3DB點評:此題考查了圓的切線性質(zhì),及解直角三角形的知識運用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計算或論證,常通過作輔助線連接圓心和切點,利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)

15、問題.7. (2021?四川綿陽,第23題12分)如圖, ABC內(nèi)接于O O, AB是O O的直徑,點F在O O上,且 滿足】宀,過點C作O O的切線交AB的延長線于D點,交AF的延長線于E點.(1)求證：AE丄DE ;(2)假設(shè) tan/ CBA=二,AE=3,求 AF 的長.分析:考點：切線的性質(zhì)(1)首先連接 OC,由OC = OA,二廠=三廠,易證得 OC/ AE,又由過點 C作O O的切線交AB的延長線于 D點,易證得 AE丄DE;(2)由AB是O O的直徑,可得 ABC是直角三角形,易得 AEC為直角三角形,AE=3,然后連接OF,可得 OAF為等邊三角形,繼而求得答案.解答：(1

16、)證實：連接OC,/ OC=OA, / BAC= / OCA,/ BAC= / EAC, / EAC= / OCA, OC/ AE,DE且O O于點C, OCX DE , AE 丄 DE ;(2)解： AB是O O的直徑, ABC是直角三角形, tan/ CBA=', / CBA=60° , / BAC= / EAC=30° , AEC為直角三角形,AE=3, AC=2 7,連接OF ,/ OF = OA , / OAF= / BAC+ / EAC=60° , OAF為等邊三角形, AF=OA= AB ,2在 RtA ACB 中,AC=2 二,tan /

17、CBA=二, BC=2 , AB=4 , AF=2.點評：此題考查了切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)以及圓周角定理此題難度適中,注意掌握輔助線的作法,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.& (2021?貴州黔西南州,第22題12分)如圖,點 B、C、D都在O O上,過C點作CA / BD交OD的延長線于點 A,連接 BC , / B=/ A=30° , BD=2 :.(1)求證：AC是O O的切線；(2)求由線段AC、AD與弧CD所圍成的陰影局部的面積.(結(jié)果保存 n考點：切線的判定；扇形面積的計算.分析：(1) 連接0C,根據(jù)圓周角定理求出/ COA,根據(jù)三角形

18、內(nèi)角和定理求出/ OCA,根據(jù)切線的判定 推出即可；(2) 求出DE,解直角三角形求出 OC,分別求出厶ACO的面積和扇形 COD的面積,即可得出答 案.解答：(1) 證實：連接OC,交BD于E,/ B=30° , / B=2/ COD ,2/ COD=60° ,/ A=30° ,/ OCA=90° ,即 OCX AC, AC是O O的切線；(2) 解：T AC/ BD,/ OCA=90° ,/ OED= / OCA=90°DE=_BD= 7,2/ sin / COD=,OD OD=2,在 RtA ACO 中,tan/ COA= ,o

19、c AC=2 :, S 陰影=X2>2兀=2 二-二.點評：此題考查了平行線的性質(zhì),圓周角定理,扇形的面積,三角形的面積,解直角三角形等知識點的綜合運用,題目比擬好,難度適中.9. ( 2021?黑龍江哈爾濱 第25題8分)如圖,O O是厶ABC的外接圓,弦 BD交AC于點E,連接CD ,且 AE=DE, BC=CE.(1) 求/ ACB的度數(shù)；(2)過點O作OF丄AC于點F,EG=2,求AB的長.考點：三角形的外接圓與外心；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.分析：(1)首先得出厶AEBS' DEC,進(jìn)而得出 EBC為等邊三角形,即可得出答案；(2) 由得

20、出EF , BC的長,進(jìn)而得出 CM , BM的長,再求出 AM的長,再由勾股定理求出AB的長.解答：(1)證實：在' AEB和' DEC中rZA=ZD-AE-ED ,lzaee.=zdec AEBS' DEC (ASA), EB=EC,又 BC=CE, BE=CE=BC, EBC為等邊三角形, / ACB=60° ；(2)解： OF 丄 AC, AF=CF, EBC為等邊三角形,/ GEF=60° ,/ EGF=30° ,/ EG=2, EF=1,又 AE=ED=3 , CF=AF=4 , AC=8 , EC =5 , BC=5 ,作 B

21、M 丄 AC 于點 M, I / BCM=60° ,/ MBC=30° , CM= , BM= ,V : AM=AC - CM= I ,2 AB=卩'=7 -點評：此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識,得出 CM,BM的長是解題關(guān)鍵.10. 2021?黑龍江牡丹江,第22題6分如圖,O O中直徑AB與弦AC的夾角為30 ° °過點C作O O的切線交AB的延長線于點 D , OD=30cm.求：直徑 AB的長.考點：切線的性質(zhì)；正方形的性質(zhì).第3題圖考點：切線的性質(zhì).分析： 先求出/ COD,

22、根據(jù)切線的性質(zhì)/ OCD,求出/ D,根據(jù)含30度角的直角三角形性質(zhì)求出OC,即可求出答案.解答： 解：/ A=30°, OC=OA,/ ACO= / A=30° ,/ COD=60° ,/ DC 切O O 于 C,/ OCD=90° ,/ D=30°/ OD=30cm, OC=OD=15cm,2AB=2OC=30 cm.點評：此題考查了切線的性質(zhì),含 30度角的直角三角形性質(zhì),等腰三角形性質(zhì),三角形外角性質(zhì)的應(yīng)用,主要考查學(xué)生的推理和計算水平,題目比擬好,難度適中.11. (2021?湖北黃岡,第20題7分)如圖,在 RtAABC中,/ AC

23、B=90 °以AC為直徑的O O與AB邊交于點D,過點D的切線,交BC于點E.(1) 求證：EB=EC;(2) 假設(shè)以點O、D、E、C為頂點的四邊形是正方形,試判斷厶ABC的形狀,并說明理由.第4題圖分析： 1連接BD,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角,得到直角三角形ABD和BCD,根據(jù)切線的判定定理知BC是圓的切線,結(jié)合切線長定理得到BE=DE,再根據(jù)等邊對等角以及等角的余角相等證實DE=CE；2當(dāng)以點0、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時,那么DEB是等腰直角三角形,據(jù)此即可判斷.解答： 1證實：連接CD ,/ AC 是直徑,/ ACD=90° BC 是O 0 的切線,/ B

24、DA=90° .DE是O 0的切線, DE = BE 切線長定理./ EBD=Z EDB .又DCE+ / EBD= / CDE + Z EDB=90°/ DCE = Z CDE, DE = CE,又 DE = BE, DE = BE.2解：當(dāng)以點 0、D、E、C為頂點的四邊形是正方形時,那么/DEB=90°又 DE = BE, DEB是等腰直角三角形,那么/B=45° , ABC是等腰直角三角形.上CEB點評：此題考查了切線的性質(zhì)以及切線長定理、圓周角定理,解題的關(guān)鍵是連接CD構(gòu)造直角三角形.12. 2021?萊蕪,第23題10分如圖1,在O 0中,E

25、是弧AB的中點,C為O 0上的一動點C與E在2AB異側(cè),連接EC交AB于點F, EB=- r是O 0的半徑.1D為AB延長線上一點,假設(shè) DC=DF,證實：直線 DC與O 0相切;(2) 求EF?EC的值；(3) 如圖2,當(dāng)F是AB的四等分點時,求 EC的值.C考點:專題:分析:圓的綜合題.綜合題.(1)連結(jié)OC、OE,OE交AB于H,如圖1,由E是弧AB的中點,根據(jù)垂徑定理的推論得到 0E丄AB,那么/ HEF + Z HFE=90° ,由對頂相等得/ HFE = / CFD,那么/ HEF + / CFD =90° 再由 DC=DF 得/ CFD=Z DCF,加上Z O

26、CE = Z OEC,所以Z OCE + Z DCE=Z HEF + Z CFD=90° 于是根據(jù)切線的 判定定理得直線 DC與O O相切；(2)由弧AE=弧BE,根據(jù)圓周角定理得到Z ABE= Z BCE,加上Z FEB= Z BEC,于是可判斷 EBFECB,禾U用相似比得到 EF?EC=BE2=(丄r) 2=古2；39(3)如圖2,連結(jié)OA,由弧AE=弧BE得AE=BE=£r,設(shè)OH=x,貝U HE=r - x,根據(jù)勾股定理,3在RtA OAH中有AH2+x2=r2；在Rt EAH中由AH2+ (r - x) 2=(丄r) 2,利用等式的性質(zhì)得 x2 -(r3-x)2

27、=r2-(上r )2,即得x=r,那么HE=r -厶=2,在RtA OAH中,根據(jù)勾股定理計算出 AH兇空,399 99由OE丄AB得AH = BH,而F是AB的四等分點,所以 HF顯AH =困!至,于是在RtA EFH中可計29算出亍睜,然后利用(2)中的結(jié)論可計算出EC.解答:(1) 證實：連結(jié)OC、OE, OE交AB于H,如圖1 , E是弧AB的中點, OE 丄 AB,Z EHF=90° , Z HEF + Z HFE=90° ,而Z HFE = Z CFD , Z HEF + Z CFD =90° ,/ DC = DF , Z CFD = Z DCF ,而

28、 OC=OE,/ OCE=Z OEC,/ OCE+ / DCE= / HEF + / CFD =90° , OC 丄 CD ,直線DC與O O相切；(2 )解：連結(jié)BC, E是弧AB的中點,弧 AE=弧 BE,/ ABE=Z BCE ,而/ FEB = Z BEC , EBFECB , EF: BE=BE: EC, EF?EC=BE2= (2r) 2=即；39(3) 解：如圖2,連結(jié)OA,/弧 AE=弧 BE,2 AE=BE/r,3設(shè) OH=x,貝U HE=r - x,在 RtA OAH 中,AH2+OH2=OA2,即卩 AH 2+x2=r2,在 RtA EAH 中,AH2+EH2=

29、EA2, 即卩 AH2+ (r - x) 2=(丄r)J x2-( r- x) 2=r2-(gr) 2,即得 x=£,3979 HE = r 丄 r=芻,9 9在 Rg OAH 中,AH = Jo護(hù)-0護(hù)=/ _ G" 2=/ OE丄 AB,AH=BH,而F是AB的四等分點,/ EF?EC=tr2,9空! r?EC=Mr2,99. EC=Zlr.3o3u1C點評:此題考查了圓的綜合題：熟練掌握垂徑定理及其推論、切線的判定定理和圓周角定理；會利用勾股定理進(jìn)行幾何計算,利用相似三角形的知識解決有關(guān)線段等積的問題.13. (2021?攀枝花,第21題8分)如圖, ABC的邊AB為

30、O O的直徑,BC與圓交于點 D , D為BC的中點,過D作DE丄AC于E.(1)求證:AB=AC;(2)求證:DE為O O的切線;(3)12假設(shè) AB=13, si nB= I：；,求 CE 的長.考點：切線的判定；圓周角定理；相似三角形的判定與性質(zhì)分析：(1)連接AD,禾U用直徑所對的圓周角是直角和等腰三角形的三線合一可以得到AB=AC;(2)連接OD,禾U用平行線的判定定理可以得到/ODE= / DEC=90° ,從而判斷12DE是圓的切線;(3)根據(jù)AB=13 , si nB= I：打 可求得 AD和BD,再由/ B= / C,即可得出 DE,根據(jù)勾股定理得出CE.解答:(1

31、)證實：連接AD , AB是O O的直徑, / ADB=90° AD丄BC,又D是BC的中點, AB=AC；(2) 證實：連接0D ,TO、D分別是AB、BC的中點, OD / AC , / ODE= / DEC=90° , OD 丄 DE , DE是O O的切線;12解：T ABF,毗=,.AD 12AB 13 AD=12, 由勾股定理得 BD=5, CD=5,.翌仝 |"|:,60 de=匚.,25根據(jù)勾股定理得 CE=.點評：此題目考查了切線的判定以及等腰三角形的判定及性質(zhì)、圓周角定理及切線的性質(zhì),涉及的知識點比擬多且碎,解題時候應(yīng)該注意.14.(2021?

32、麗水,第22題10分)如圖,等邊厶ABC , AB=12 ,以AB為直徑的半圓與BC邊交于點D ,過點D作DF丄AC,垂足為F,過點F作FG丄AB,垂足為 G,連結(jié) GD .(1)求證：DF是O O的切線;(2) 求FG的長；(3) 求 tan/ FGD 的值.考點:分析:解答:切線的判定；等邊三角形的性質(zhì)；解直角三角形.(1) 連結(jié)0D,根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得/C= / A=Z B=60°而OD = OC,所以/ ODB=60° = / C, 于是可判斷 0D / AC,又DF丄AC,貝U OD丄DF,根據(jù)切線的判定定理可得 DF是O O的切線；(2) 先證實 0D AB

33、C 的中位線,得到 BD = CD=6.在 RtACDF 中,由/ C=60° 得/ CDF=30° ,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得CF= CD=3,所以AF=AC - CF=9,然后在RtA AFG中,2根據(jù)正弦的定義計算 FG的長；(3) 過D作DH丄AB于H,由垂直于同一直線的兩條直線互相平行得出FG / DH,根據(jù)平行線的性質(zhì)可得/ FGD = Z GDH 解 RtA BDH,得 BH= BD=3, DH= BH=3 二解 RtA AFG,得2AG= AF =',貝U GH=AB- AG - BH=',于是根據(jù)正切函數(shù)的定義得到tan/GDH

34、=川=',貝U222DH 2tan / FGD 可求.(1) 證實：連結(jié)0D,如圖, ABC為等邊三角形,/ C= / A=/ B=60° ,而 OD=OB, ODB是等邊三角形,/ ODB =60°,/ ODB= / C, OD / AC,/ DF 丄 AC, OD 丄 DF , DF是O O的切線；(2) 解：T OD / AC,點O為AB的中點, OD ABC的中位線, BD = CD=6.在 RtACDF 中,/ C=60° ,/ CDF=30° , CF=JiCD=3,2 AF=AC - CF=12 - 3=9, 在 RtA AFG 中

35、,/ A=60° , FG=AF 狗n A=9X竺=H ；2 2(3) 解：過D作DH丄AB于H ./ FG 丄 AB, DH 丄AB , FG / DH ,/ FGD = / GDH .在 RtA BDH 中,/ B=60° , / BDH=30° , BH=丄BD=3, DH=/§BH=3徒.2在 RtA AFG 中,/ AFG=30° ag=2af二,2 2a q/ GH=AB- AG - BH=12 -主-3=衛(wèi),2 2_9 tan Z GDH =魚=二=&!,DH 3V3 2點評:此題考查了切線的判定. 要證某線是圓的切線,此

36、線過圓上某點, 連接圓心與這點(即為半徑)再證垂直即可也考查了等邊三角形的性質(zhì)以及解直角三角形等知識.15.( 2021?廣西來賓,第24題10分)如圖,AB為O O的直徑,BF切O O于點B, AF交O O于點D ,點C在DF上,BC交O O于點E,且Z BAF=2 Z CBF , CG丄BF于點G ,連接 AE.(1) 直接寫出AE與BC的位置關(guān)系；(2) 求證： BCGs ACE;(3) 假設(shè)/ F=60° , GF=1,求O O的半徑長.考點：圓的綜合題；角平分線的性質(zhì)；等腰三角形的判定；含30度角的直角三角形；勾股定理；圓周角定理；切線的性質(zhì)；相似三角形的判定.專題：綜合題

37、.分析： (1 )由AB為O O的直徑即可得到 AE與BC垂直.(2) 易證/ CBF= / BAE,再結(jié)合條件/ BAF =2 / CBF 就可證到/ CBF = / CAE ,易證/ CGB=Z AEC ,從而證到厶BCGACE .(3) 由/ F=60° GF=1可求出CG=UE;連接BD,容易證到/ DBC=Z CBF,根據(jù)角平分線的性 質(zhì)可得DC=CG3;設(shè)圓O的半徑為r,易證AC=AB,/ BAD=30°從而得到 AC=2r, ADpWr, 由DC=AC- AD=U了可求出O O的半徑長.解答：解：(1)如圖1,/ AB是O O的直徑,/ AEB=90°

38、; . AE 丄 BC.(2)如圖1, BF與O O相切,/ ABF=90° ./ CBF=90° -Z ABE= / BAE ./ BAF=2 Z CBF . Z BAF=2 Z BAE . Z BAE=Z CAE . Z CBF = Z CAE ./ CG 丄 BF , AE丄 BC,/ CGB=/ AEC=90° ./ CBF = Z CAE,/ CGB= / AEC, BCGs ACE .(3) 連接BD,如圖2所示./ DAE=Z DBE,/ DAE= / CBF ,/ DBE=/ CBF ./ AB是O O的直徑,/ ADB=90° . BD丄AF ./ DBC=Z CBF , BD 丄 AF , CG 丄 BF,CD=CG./ F=60° GF=1,/ CGF=90° , tan / F=CG=ta門60° =徒GF- cg=V5,- CD =./ AFB=60° , / ABF=90° ,/ BAF=30° ./ ADB=90° , / BAF=30