(山東)山東省冠縣武訓高級中學2015高二數(shù)學3-1不等重點

1、山東省冠縣武訓高級中學2015高二數(shù)學3-1不等關系復習導學案 新人教A版本章概述課程目標1雙基目標（1）通過具體情境，感受在現(xiàn)實世界和日常生活中存在大量的不等關系，了解不等式（組）的實際背景（2 ）會比較兩個實數(shù)的大小，理解不等式的基本性質（3）經(jīng)歷從實際情境中抽象出一元二次不等式模型的過程（4）通過函數(shù)圖像了解一元二次不等式與相應函數(shù)、方程的聯(lián)系（5）會解一元二次不等式，對給定的一元二次不等式，嘗試設計求解的程序框圖（6） 探索并了解基本不等式的證明過程（7）會用基本不等式解決簡單的最大（?。┲祮栴}（8） 從實際情境中抽象出二元一次不等式組（9）了解二元一次不等式的幾何意義，能用平面區(qū)域表

2、示二元一次不等式組（10）從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題，并能加以解決2情感目標（1）注重突出不等式的現(xiàn)實背景和實際應用，突出數(shù)學的應用價值，有助于激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，發(fā)展學生的應用意識與解決實際問題的能力（2）本章注意體現(xiàn)數(shù)學文化價值的滲透，讓學生了解數(shù)學是人類文化的重要組成部分（3）借助于信息技術去探索數(shù)學規(guī)律，從事一些富有探索性和創(chuàng)造性的數(shù)學活動重點難點重點：不等式的解法及應用，基本不等式的應用，線性規(guī)劃問題難點：解決線性規(guī)劃問題和利用基本不等式解決實際問題方法探究不等式是刻畫現(xiàn)實世界中不等關系的數(shù)學工具，它是描述優(yōu)化問題的一種數(shù)學模型學習本章應注重數(shù)形結合，學會通過函

3、數(shù)圖像理解一元二次不等式與一元二次方程、二次函數(shù)的聯(lián)系，并能解釋二元一次不等式和基本不等式的幾何意義在此基礎上，體會不等式在解決實際問題中的作用，進一步提高解決實際問題的能力學習本章應注意的問題（1）要注意與一元一次不等式，一元二次不等式、整式方程、函數(shù)、三角等知識的聯(lián)系，以便對不等式的知識有一個全面、完整的了解與認識（2） 要注意體會二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關系，借助幾何直觀解決簡單的線性規(guī)劃問題 勺亠b（3）注意對不等式.ab <（a>0,b>0）和a2+b2>2ab（a R,b R）的理解、記憶，正確、靈活地2使用其解決問題，尤其是在正確的使用上下功夫（4

4、 ）本章重點內容是證明不等式和不等式的解法以及簡單的線性規(guī)劃證明不等式?jīng)]有固定的模式可以套用，它的方法靈活多變、技巧性強、綜合性強，不等式的解法重點是一元二次不等式（組）的解法，注意數(shù)軸穿根法（5）線性規(guī)劃知識也是重點內容，在近幾年高考中也有明顯的體現(xiàn)，應引起同學們的注意§ 1 等關系知能目標解讀1.通過具體的情境，感受現(xiàn)實生活中存在的大量不等關系，并了解不等式（組）的實際背景2能夠運用比較實數(shù)大小的方法比較兩實數(shù)的大小，并掌握不等關系的傳遞性和不等式的基本性質重點難點點撥重點：比較兩數(shù)（或式）的大小，理解不等式的性質及其證明，并能說出每一步推理的理由難點：對不等式性質的準確把握以及

5、嚴密的邏輯推理證明能力的培養(yǎng).學習方法指導一、不等關系1不等式：我們用數(shù)學符號“工”、“>”、“<”、“”、“w”連結兩個數(shù)或代數(shù)式，以表示它們之間的不等關系，含有這些不等號的式子叫做不等式2在上述符號中，用“> ”、“ < ”連結的不等式，表示嚴格的不等關系，是嚴格不等式；用符號“w”、“疋”連結的不等式，表示非嚴格的不等關系，是非嚴格不等式如何理解表示不等式的各個符號的含義？不等式表示的是不相等的關系對于“不相等”可以是“大于”或“小于”對于不等式aw b，表示的是a<b或a=b，只需滿足其中一條，不等式就成立如3w 3就是3<3或3= 3，盡管3<

6、;3不成立，但3 = 3成立，因此，我們說 3w 3這個不等式成立對于不等式a > b,表示的是a>b或a=b，同樣也是只需滿足其 中一條，不等式就成立對于實數(shù)來講，只存在 a=b或a>b或a<b三種關系中的一種，不可能同時滿足兩 條3不等關系與不等式的異同不等關系與不等式是不同的概念，前者強調的是關系，可用符號“工”、“>”、“<”、“八 “w”來表示，而后者表示的是兩者的不等關系，可用“ a>b”、“a<b”、“az b”、“a>b”或“ aw b”等式子表示，這 二者之間的關系是可以通過不等式來體現(xiàn)的，離開了不等式，不等關系就無從體現(xiàn)

7、在數(shù)學意義上，不等關系主要體現(xiàn)在四個方面： 常量與常量之間的不等關系；變量與常量之間的不等關系；函數(shù)與函數(shù)之間的不等關系；一組變量之間的不等關系二、用不等式（組）來表示不等關系有的問題以圖像的形式揭示函數(shù)與函數(shù)的不等關系；有的以代數(shù)式的形式揭示各組變量之間的不等關 系，解決這類問題的關鍵是找全題目的限制條件，禾U用限制條件列出不等關系，一定要注意變量的實際意 義由此可見，現(xiàn)實生活中大量的數(shù)量關系是通過不等式來表示的不等式是研究不等關系的數(shù)學工具，從而理解不等式（組）對于刻畫不等關系的意義和價值三、實數(shù)比較大小的依據(jù)與方法31實數(shù)的兩個特征(1 )任意實數(shù)的平方不小于0,即a R= a2>

8、 0.(2 )任意兩個實數(shù)都可以比較大小，反之，可以比較大小的兩個數(shù)一定是實數(shù)2實數(shù)比較大小的依據(jù)在數(shù)軸上不同的點 A與點B分別表示兩個不同的實數(shù)a與b，右邊的點表示的數(shù)比左邊的點表示的數(shù)大，從實數(shù)減法在數(shù)軸上的表示(如圖)中，可以看出a與b之間具有以下性質：¥? 一期町 _曲 aba”二 a ； X如果a-b是正數(shù)，那么a>b；如果a-b是負數(shù)，那么a<b ；如果a-b等于零，那么a=b .反之也成立，就 是 a-b>0：= a>b;a-b=0：= a=b;a-b<0：= a<b.上面等價符號的左式反映的是實數(shù)運算性質，右式反映的則是實數(shù)大小的順

9、序， 合起來就成為實數(shù)的 運算性質與大小順序之間的關系 它是不等式這一章的理論基礎， 是證明不等式性質、 證明不等式和解不等 式的主要依據(jù)3.實數(shù)比較大小的方法(1)比較兩個實數(shù)a與b的大小，需歸結為判斷它們的差a-b的符號(注意：指的是差的符號，至于差的值究竟是什么，無關緊要).(2)比較兩個實數(shù)大小的步驟：作差t化簡整理(配方，分解因式、分類討論判斷差的符號t得出結論.注意:(1)在比較兩個代數(shù)式的大小時，一定要注意字母的取值范圍； 討論的方法，此處分類討論的標準是：對于任意兩個實數(shù)a和b,(2)比較實數(shù)的大小經(jīng)常用到分類 在a=b , a>b,a<b三種關系中有且僅有一種關系

10、成立四、不等式的性質1不等式的性質(1) a>b b<a .(2)a>b,b>c= a>c.(3)a>b 二 a+c>b+c .推論 a>b,c>d a+c>b +d.(4)a>b,c>0：= ac>bc;a>b,c<0 二 ac<bc.推論a>b >0, c>d >0u ac>bd ;推論1 1a>b,ab >0<a b 'a>b>0 ：= an>bn(n N + ,且 n>1). a>b >0 n- a

11、> n b (n N + ,且 n>1).2.關于不等式性質的式子的理解(1)說明了不等式的對稱性；推論(2)說明了不等式的傳遞性;(3)表示同向不等式具有可加性，它是不等式移項的基礎；(4)表明不等式兩邊允許用非零數(shù)(式)乘，相乘后的不等式的方向取決于乘式的符號.#知能自主梳理1不等式的定義用表示不等關系的式子叫不等式2比較實數(shù)大小的依據(jù)設 a,b R，貝U a-b>0：=;a-b=O：=;a-b<0：=3不等式的基本性質a>b,b>c =;(2)a>b,c>0二;(3)a>b,c<0 二；(4)a>b,c>d=;(5)

12、a>b >O,c>d>0=;(6)a>b >0,n N +,n>1 二答案1不等號 2.a>b a=b a<b3. (1)a>c (2)ac>bc (3)ac<bc a+c>b+d(5)ac> bd (6)an>b n, na>nb思路方法技巧命題方向比較大小例1 已知x<1,比較x3-1與2x2-2x的大小.分析作差t因式分解變形t判斷符號解析x3-1-(2x2-2x)=x3-2x2+2x-1322=(x -x )-(x -2x+1)2 2=x (x-1)-(x-1)=(x-1)(x -x+

13、1)/1、2 3=(x-1) ( x- )+ 24/ x<1, / x-1<0.1 x 23又(x- )+>0,413(x-1) ( x- ) 2+: <0,4-x3-1<2x2-2x.說明1作差法比較兩個實數(shù)的大小時，關鍵是作差后變形，一般變形越徹底越有利于下一步的判斷r因式分解配方對數(shù)與指數(shù)運算性質I分母或分子有理化分類討論JB)變式應用1設P=a2b2+5,Q=2ab-a2-4a,若P>Q,求實數(shù)a,b應滿足的條件解析P-Q = a2b2+5-2ab+a2+4a2 2=(ab-1) 2+(a+2) P>Q,.(ab-1) 2+(a+2) 2>

14、;0ab工 1 或 aM -2.故實數(shù)a、b應滿足的條件是 abM 1或aM -2.命題方向應用不等式(組)表示不等關系例2 某種雜志原以每本2.5元的價格銷售，此時可以售出 8萬本，據(jù)市場調查，若單價每本提 高0.1元，銷售量就可能相應減少 2000本，若把提價后的雜志的定價 設為x元，怎樣用不等式表示銷售的 總收入仍不低于20萬元呢？分析利用提價后的價格x表示出銷售總收入，再將題中所要求的不等關系用不等式表示.解析雜志的定價為x元，則銷售的總收入為x 2 5(8-xX 0.2) x 萬元，0.2x _2 5那么不等關系“銷售的總收入不低于20萬元”可以用不等式表示為(8X 0.2) x&g

15、t; 20.0.2說明決此類問題的關 鍵是找出題目中的限制條件，利用限制條件找到不等關系，然后用不等式表示即可變式應用2咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料一杯用奶粉、咖啡、糖分別為9g,4g,3g，乙種飲料一杯用奶粉、咖啡、糖分別為4g, 5g, 10g，已知每天可用原料為奶粉3600g，咖啡2000g，糖3000g.寫出每天配制的兩種飲料的杯數(shù)所滿足的不等式組.解析每天應配制甲種飲料 x杯，乙種飲料y杯，則x、y應滿足如下條件：(1 )奶粉的總使用量不大于3600g：(2 )咖啡的總使用量不大于2000g；(3)糖的總使用量不大于 3000g；(4) x,y為自然數(shù). x,y滿足不等式組：r9x+

16、4yw 3600,斗 4x+5y< 2000,3x+10y< 3000,l x N,y N.命題方向不等式性質的簡單應用例3對于實數(shù)a、b、c,有下列命題 若 a>b,則 acv bc; 若 ac2>bc2，則 a>b ; 若 a<b<0,則 a2>ab>b2;若c>a>b >0;則> c -a c -b若a>b,1>1,則 a>0,b<0.a b其中真命題的個數(shù)是()A. 2C.4B.3D.5解析c的正、負或是否為零未知，因而判斷ac與bc的大小關系缺乏依據(jù)，故該命題是假命題答案C7# 由

17、ac2>bc2 知 cm 0, 所以c2>0,所以a>b, 故該命題是真命題.a<ba<0a<ba?>ab,“ ab>b2所以a2>ab>b2故該命題為真命題b<0丿 a>b= -a<-b= c-a<c-b .因為 c>a,所以 c-a>0.所以 0<c-a<c-b .1 1 1兩邊同乘以，得>>0.(c a (c b ) c _a c _bab又因為a>b >0,所以>.故該命題為真命題.c a c b一11 一 11 一 b a a>b= a-b&

18、gt;0,>> 0> 0 .因為 a-b>0,所以 b-a<0.所以 ab<0. 又因為 a>b,a b a bab所以a>0,b<0,故該命題為真命題.綜上可知，命題、都是真命題.故選C.說明通過本例，可以使我們熟悉不等式的基本性質，更好地掌握各性質的條件和結論.在各性質中，乘法性質的應用最易出錯，即在不等式的兩邊同乘(除)以一個數(shù)時，必須能確定該數(shù)是正數(shù)、負數(shù) 或零，否則結論不確定.變式應用3判斷下列各題的對錯.c c(1) 且 c>0= a>b ()a b(2) a>b 且 c>d = ac>bd ()(

19、3) a>b>0 且 c>d >0二>、叵()b c/八ab(4 / -22 a>b ()c c答案X X V Vc c"< a bI1 1解析(1)丿二丄<丄a bc > 0當a<0,b>0時，此式成立,推不出a>b ,- (1)錯；(2/當a=3,b=1,c=-2,d=-3時，命題顯然不成立,2 /錯;a>b>0(3 /c>d>0a b r > >o=d c(4 /顯然 c2>0b成立(3)對；c2兩邊同乘以c，得a>b . (4)對探索延拓創(chuàng)新命題方向應用不等

20、式的性質討論范圍例4JI兀 亠 g + P已知： -一 Wa < 3三一，求2 2 2的范圍2分析已知的不等式相打于a < 3但我們只有這樣的性質:故本題其實就是已知單角范圍求和角、差角范圍，所以要進行不等式的加減同向不等式可相加，那么要進行不等式相減怎么辦？那只有將其轉化為同向不等式再相加解析TtJIT - W a < 3 W ,22-< 3 w ，2 2. + 得-n < a + 3 < nn ot + P兀-< <2 22由得-w-n3 <-22+得-n wa -3 <n，又a <3， a - 3 <0，6Jta _

21、P - n w a - 3 <w<022變式應用4a已知12<a<60,15<b<36，求a-b及 的取值范圍.ba1解析 欲求a-b的范圍，應先求-b的范圍,欲求一的范圍，應先求一的范圍,再利用不等式性質求解bb/ 15<b<36,-36<- b<-15./. 12-36<a-b<60-15,-24<a-b<45.又111乂 < < 36 b 15'.12 a 60 / ” 36 b 15 ,：4.名師辨誤做答例 5已知 1 < a+b < 5, -1w a-bw 3,求 3a

22、-2b 的范圍.誤解/ K a+b w 5, -1 w a-b w 3, 0 w aw 4.又.1 w a+b w 5,-3 w -(a-b) w 1, -1 w b w 3./ 0w aw 4,-1 w bw 3, 0 w 3aw 12,-6 w -2bw 2, -6 w 3a-2b w 14.辨析 在誤解中，由已知條件推出不等式 -6 w 3a-2b w 14的各個步驟，均實行了不等式性質中的推出關系，但結論是不正確的，事實上，由 1w a+b w 5與-1 w a-b w 3,得到0 w a w 4,-1 w bw 3,但這并不意味 著a與b可各自獨立地取得區(qū)間0,4與-1,3的一切值如

23、取a=4,b=3時，a+b=7，就已超出題設條件1w a+b w5中的范圍，細究緣由，就是推出關系并非等價關系正解 設 a+b=u,a-b=v ,則a=u V,br3a-2b= u+22V，55v 15 2 2 2竺 w 10,即-2 w 3a-2b w 10.課堂鞏固訓練、選擇題1下列不等式： x2+3>2x(x R); a3+b3> a2b+ab2(a,b R)；a2+b2> 2 （a-b-1）中正確的個數(shù)為（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案C解析對于，2 2x +3-2x=(x-1) +2>0 恒成立，對于,332222a +b -a b-ab =a (a-

24、b)+b (b-a)2 2 2=(a-b)(a2-b2)=(a-b) 2(a+b),* a、b R, (a-b) 20,而a+b >0,或 a+b=0,或a+b<0,故不正確,對于，a +b -2a+2b+2=a -2a+1 + b +2b+1=(a-1) +(b+1) >0,正確，故選C.2設x<a <0,則下列各不等式一定成立的是（A 2 2A. x <ax<a22C. x <a <ax)2 2B. x >ax>a2 2D. x >a >ax答案B嚴2、xv a v 0Ix2> ax解析XV 0H卜2a v

25、 0'ax >a/2 2 =x > ax> a .1 1 、3.若x>y與 > 同時成立，則（）x yA. x>0,y>0C. x<0,y>0B. x>0,y<0D. x<0,y<0答案B1 1解析t 由 x>y 推出 >，需滿足 xyv 0又 x>y,. x> O,yv 0.x y二、填空題324已知 x< 1, f(x)=3x ,g(x)=3x -x+1,則 f(x)與 g(x)的大小關系 是 f(x)g(x).答案w解析f(x)-g(x)=3x3-(3x2-x+1) =(3

26、 x'-3x2)+(x-1)2 2=3x (x- 1)+(x-1)=(3x +1)(x-1),/ x< 1 得 x-1 w 0,而 3x +1>0,/ (3x2+1)(x-1) w 0,3x3w 3x2-x+1. f(x)w g(x).5.已知60<x<84,28<y<33，則x-y的取值范圍為,-的取值范圍為 y20答案(27,56) (,3)11解析T 28<y<33, -33<-y<-28,又 60<x<84, 27<x-y<56.111由 28<y<33 得33y28即 20

27、63; X £311 y三、解答題6.有一公園，原來是長方形布局，為美化市容，市規(guī)劃局要對這個公園進行規(guī)劃，將其改成正方形布局, 但要求要么保持原面積不變，要么保持原周長不變，那么對這個公園選哪種布局方案可使其面積較大？解析設這個公園原來的長方形布局的長為a,寬為b(a>b).若保持原面積不變，則規(guī)劃后的正方形布局11#的面積為ab;若保持周長不變，則規(guī)劃后的正方形布局的周長為2(a+b)，所以其邊長為，其面積為2#(a+bf4ab-(a+bf (a-bf=ab_ _444可使公園的面積較大.一、選擇題1.已知a,b,c,d均為實數(shù)，有下列命題：(2. 因為 ab- ( 口 )

28、2a + b-0 (a>b),所以ab< () 2故保持原周長不變的布局方案2課后強化作業(yè))13c d 若 abv O,bc-ad > 0,則0；a b 'c d 若 ab> 0,0 ,則 bc-ad > 0;a bc d 若 bc-ad > 0,0，貝U ab> 0.a b其中正確命題的個數(shù)是A. 0B. 1C. 2D. 3答案C1解析 abv 0,.v 0,ab又bc-ab > 0,1cd (bc-ad) v 0 即< 0 ,abab'錯；c d ab>0,d>0 ,a b c dab( )> 0,a

29、b即：bc-ab > 0,正確；c dbe ad 門 0, > 0,a bab又 T bc-ad > 0, ab> 0, 正確.2已知P= 丁,Q=a 1 2-a+1,則P、Q的大小關系為（）a +a +1A. P>QB.P<QC.PW QD.無法確定答案C1 2解析P-Q 2-a +a-1a2 +a +11 -a4 aa +a+1=(a+)+ a2 a3a2a a2 a 1a2 +a +1-a4 -a2 _ -a2(a2 +1 )a2 a 1a2 a 1 '224#224153>0,-a2(a2+1) w 0,224#224# a2 a21a

30、2a1角析# P w Q.3. （2011 陜西文，3）設0<a<b,則下列不等式中正確的是（）a bA. a<b < . ab < 2B.a< ab<角析#角析#C.a< . ab <b<D.ab <a<<b角析#角析#答案B解析 0<a<b, a<故A、C錯誤;ab-a= .、a ( . b- .a)>0,即 ab>a,故選 B.本題也可通過特殊值法解決，如取a=1,b=4,易知選B.4. 若a、b是任意實數(shù)，且 a>b,則（ ）2A. a >bbB. <1a1 a

31、 1 bC. lg（a-b）>0D.（；） <（匚）2 2答案D解析a>b并不保證a、b均為正數(shù)，從而不能保證 A、B成立.又a>b= a-b>0,但不能保證a-b>1,從而111不能保證C成立，顯然只有D成立.事實上，指數(shù)函數(shù)y=（）x在x R上是減函數(shù)，所以a>b= （-）a<（-）b222成立.故選D.5. 已知a<b< | a丨，則以下不等式中恒成立的是（）A. | b | <-aB.ab>0C.ab<0D. | a | < | b |答案A解析特殊值法：令a=-1,b=0,滿足a<b<|a

32、|,ab=O,排除B、C,| a | >|b|，排除D，故選A.6. 已知a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小關系是（）" 2 2 _ 2 2A.a >a>-a >-aB.-a>a >-a >a22r22C.-a>a >a>-aD.a >-a>a>-a答案B解析特殊值法： a2+a<0, -1<a<0.1 11 1令 a=-則 孑=_，-a= ，-a2=，故選 B.2424一般解法：由 a2+a<0,得 0<a2<-a222a大于寬b的4倍，則且 a<

33、;-a <0,故 a<-a <a <-a,選 B.7如圖，在一個面積為200 m2的矩形地基上建造一個倉庫，四周是綠地，倉庫的長表示上面敘述的不等關系正確的是（）2 m 2m1倉眸-2m _1IA. a> 4bB. (a+4)(b+4)=200"a > 4b£(a+4)(b+4)=200角析17角析#a> 4b角析#4ab=200答案C328. 如果 a>0,且 a工 1,M=loga (a +1), N=loga ( a +1),那么(A. M > NB.M V NC. M=ND.M、N的大小無法確定答案A解析當 a

34、> 1 時 a3+1 > a2+1, y=log ax 單增，32 loga(a +1) > loga ( a +1). 當 0 v av 1 時 a3+1 v a2+1, y=log ax 單減.32 loga(a +1) > loga(a +1),或對 a 取值檢驗.二、填空題寫出兩個能成立的不c c9. 已知三個不等式：ab>0;：bc>ad.以其中兩個作條件，余下一個為結論,a b等式命題.IiI答案齊今筆心與，樸令中任選兩個即可.若成立，則成立.=；若成立則成立，=.若成立即bc>ad,若成立，則竺 adc d 二.ab abab10. 如果

35、a>b，那么下列不等式：33 a >b ;11丄：丄；ab 3a>3b; lga>lg b.其中恒成立的是答案解析 a3-b3=(a-b)(a2+b2+ab)b 2 3 2-, c=(a-b) : (a+) + b : >0；4/ y=3x是增函數(shù)，a>b,. 3a>3b當a>0,b<0時，不成立.2 211. 設 m=2a+2a+1,n=(a+1)貝U m、n 的大小關系是 .答案m> n解析m-n =2a +2a+1-(a+1) = a > 0.、r“bab+ma+n砧亠【砧宀曰12. 設 a>b>0,m>

36、0,n>0,貝U p= ,q=,r=, s=的大小順序是 aba+mb+n答案pv rv sv q1解析取 a=4,b=2, m=3,n=1,則 p= ,q=2,235r= ,s= 則pvrvsvq (特值探路).73具體比較如下：b b mp-r= _a a+mv0pvra a m/ a> b> 0,m> 0,n> 0 a+m > b+m > 0.a+n > b+n > 0,> 1, r v s.或&S Ja+m b+n<0.角析21ana b a 門s-q= -=v 0，二 svq. / pv rvsvqb + n bb(b + n )三、解答題13.某城市電信寬帶私人用戶月收費標準如下表:、-> A »