一元向量值函數(shù)及多元函數(shù)微分法的幾何應用

1、第六節(jié)第六節(jié) 微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用二二 空間曲線的切線與法平面空間曲線的切線與法平面三三 曲面的切平面與法線曲面的切平面與法線一一 一元向量值函數(shù)及其導數(shù)一元向量值函數(shù)及其導數(shù)引言：引言： 在多元函數(shù)部分，我們可以利用偏導數(shù)來在多元函數(shù)部分，我們可以利用偏導數(shù)來確定空間曲線的切線和空間曲面的切平面。確定空間曲線的切線和空間曲面的切平面。 在一元函數(shù)微分學中，我們可以利用導數(shù)在一元函數(shù)微分學中，我們可以利用導數(shù)確定曲線上某點處的切線斜率，并求出其切線確定曲線上某點處的切線斜率，并求出其切線和法線方程。和法線方程。設空間曲線設空間曲線的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為,)()()(ttz

2、tytx一、預備知識：一、預備知識：一元向量值函數(shù)及其導數(shù)一元向量值函數(shù)及其導數(shù)kzjyixrktjtit)()()()(tf若記若記則則 方程成為：方程成為：)(),(),(tttr)(tf,t1、一元向量值函數(shù)的定義：、一元向量值函數(shù)的定義：向向量量值值函函數(shù)數(shù)，記記作作為為一一元元：，則則映映射射設設數(shù)數(shù)集集nRDfRD r)(tfDt 其中其中D叫函數(shù)的定義域，叫函數(shù)的定義域，t為自變量，為自變量， 叫因變量。叫因變量。r說明：說明： （1）向量值函數(shù)是數(shù)量值函數(shù)的推廣）向量值函數(shù)是數(shù)量值函數(shù)的推廣（2）在）在R3中，若向量值函數(shù)的三個分量依次為中，若向量值函數(shù)的三個分量依次為 f1(

3、t)、 f2(t)、 f3(t) ktfjtfitf)()()(321)(tf)(),(),(321tftftf 則可表示為則可表示為（3）向量值函數(shù)的圖像）向量值函數(shù)的圖像oyxzMr設向量設向量 的起點在坐標原點，則終的起點在坐標原點，則終點點M隨隨t的改變而移動，點的改變而移動，點M的軌跡的軌跡稱為向量值函數(shù)稱為向量值函數(shù) 的的終端曲終端曲線線，也稱為該函數(shù)的圖像，記作，也稱為該函數(shù)的圖像，記作r)(tfr)(tf)(),(),(321tftftf Dt 反過來，向量值函數(shù)反過來，向量值函數(shù)稱為曲線稱為曲線 的向量方程。的向量方程。r)(tf2、一元向量值函數(shù)的極限：、一元向量值函數(shù)的極

4、限：時的極限，記作時的極限，記作當當為為則稱則稱總成立，總成立，時，不等式時，不等式滿足滿足使得當使得當，總存在正數(shù)，總存在正數(shù)對于任意正數(shù)對于任意正數(shù)若存在一個常向量若存在一個常向量義，義，的某一去心鄰域內(nèi)有定的某一去心鄰域內(nèi)有定在點在點設向量值函數(shù)設向量值函數(shù)000000)()(0)(tttfrrtftttrttf 0)(lim0 rtftt),(0pnmr 0)(lim0 rtftt則則說明說明)(lim),(lim),(lim()(lim3210000tftftftftttttttt 計算方法計算方法 ptfntfmtftttttt)(lim,)(lim,)(lim321000 等價條

5、件等價條件 )(tf設設)(),(),(321tftftf 3、一元向量值函數(shù)的連續(xù)性：、一元向量值函數(shù)的連續(xù)性：的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若在在點點設設向向量量值值函函數(shù)數(shù)0)(ttf)()(lim00tftftt .)(0連續(xù)連續(xù)在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)ttf說明：說明： （1）向量值函數(shù)連續(xù)等價于它的分量函數(shù)）向量值函數(shù)連續(xù)等價于它的分量函數(shù)都連續(xù)；都連續(xù)；（2）若在某個區(qū)域內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱）若在某個區(qū)域內(nèi)每一點都連續(xù)，則稱該函數(shù)是該區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)該函數(shù)是該區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)4、一元向量值函數(shù)的導數(shù)：、一元向量值函數(shù)的導數(shù)：的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若在在點點設設向向

6、量量值值函函數(shù)數(shù)0)(ttfr ttfttftrtt )()(limlim0000.)(0處處的的導導數(shù)數(shù)或或導導向向量量在在為為函函數(shù)數(shù)存存在在，則則稱稱該該極極限限向向量量ttf記作：記作：.)(00ttdtrdtf 或或說明說明（1）向量值函數(shù)可導等價于它的分量函數(shù)）向量值函數(shù)可導等價于它的分量函數(shù)都可導，且都可導，且（2）若在某個區(qū)域內(nèi)每一點都可導，則稱）若在某個區(qū)域內(nèi)每一點都可導，則稱該函數(shù)是該區(qū)域上的可導函數(shù)；該函數(shù)是該區(qū)域上的可導函數(shù)； ktfjtfitftf)()()()(0302010（3）向量值函數(shù)的導數(shù)與數(shù)量值函數(shù)的導）向量值函數(shù)的導數(shù)與數(shù)量值函數(shù)的導數(shù)運算法則形式相同數(shù)

7、運算法則形式相同（教材（教材P92）.（4）向量值函數(shù)導向量的幾何意義：）向量值函數(shù)導向量的幾何意義：)(0tf OM)(0ttf ON的的方方向向向向量量為為取取割割線線 MNr MNt t ttfttf )()(00oyxzM)(0tfN)(0ttf r 的的終終端端曲曲線線，是是向向量量值值函函數(shù)數(shù)設設空空間間曲曲線線Dttfr ),(,0, tMN即即令令得得切線的方向向量切線的方向向量： T dttdfdttdfdttdf)(,)(,)(3210tt 0ttdtrdoyxzMNr 結論：結論：.)()(0處處的的一一個個切切向向量量在在點點的的終終端端曲曲線線是是向向量量值值函函數(shù)數(shù)

8、導導向向量量Mtfrtf 注意：該切向量指向與注意：該切向量指向與t 的增長方向一致！的增長方向一致！ （5）向量值函數(shù)導向量的物理意義：）向量值函數(shù)導向量的物理意義：)()(trdtrdtv 向向一一致致！速速度度方方向向總總是是與與運運動動方方:質質點點的的運運動動速速度度向向量量)()(trdtvdta :質點的加速度向量質點的加速度向量小結小結 求向量值函數(shù)的極限：各分量取極限求向量值函數(shù)的極限：各分量取極限求向量值函數(shù)的導數(shù)：各分量求導數(shù)求向量值函數(shù)的導數(shù)：各分量求導數(shù)例例1 1 ).(lim)(sin)(cos)(4tfktjtittft ，求求設設)(lim4tft ktjtit

9、ttt444limsinlimcoslim kji42222 解：解：例例2 2 Rttttttfr ),62 , 34),1()(22設空間曲線設空間曲線的向量方程為的向量方程為求曲線求曲線在與在與t t0 0=2=2相應點處的單位切向量相應點處的單位切向量. .Rttttf ),64 , 4 ,2()(),2 , 4 , 4()2( f. 6244)2(222 f解：解：所求單位切向量一個是：所求單位切向量一個是： 31,32,326)2 , 4 , 4(其指向與其指向與t的增長方向一致的增長方向一致另一個是：另一個是： 31,32,32其指向與其指向與t的增長方向相反的增長方向相反例例3

10、 3 一個人在懸掛式滑翔機上由于快速上升氣流的一個人在懸掛式滑翔機上由于快速上升氣流的影響而沿位置向量影響而沿位置向量的路徑螺旋式上升的路徑螺旋式上升.求求 ktjtittfr2)sin3()cos3()(（1）滑翔機在任意時刻）滑翔機在任意時刻t的速度向量和加速度向量；的速度向量和加速度向量；（2）滑翔機在任意時刻）滑翔機在任意時刻t的速率；的速率；（3）滑翔機的加速度與速度正交的時刻）滑翔機的加速度與速度正交的時刻.設空間曲線設空間曲線的方程的方程,)()()( ttztytx二二 、空間曲線的切線與法平面、空間曲線的切線與法平面ozyxM則則 向量方程為：向量方程為：)(),(),(tt

11、tr)(tf設與點設與點M對應的參數(shù)為對應的參數(shù)為t0 T)(),(),()(0000ttttf 則點則點M處曲線的一個切向量處曲線的一個切向量.曲線在曲線在M處的處的切線方程切線方程.)()()(000000tzztyytxx 法平面法平面：過：過M點且與切線垂直的平面點且與切線垂直的平面.0)()()(000000 zztyytxxt ozyxM設空間曲線的方程設空間曲線的方程 )t(z)t(y)t(x 切線方程切線方程.)()()(000000tzztyytxx 切向量切向量 )(),(),(000tttT 法平面法平面0)()()(000000 zztyytxxt 結論：結論：解：解：

12、2tt3z , 2y , 1 ttxt 在（在（ 1 ，1 ，1 ）點對應參數(shù)為）點對應參數(shù)為 t = 1 3 , 2 , 1 T切線方程：切線方程：31z21y11x 法平面方程：法平面方程：( x - 1)+2 ( y - 1 )+( z - 1 )=0即：即： x + 2 y + 3 z = 6例例1 求曲線求曲線 在點在點 處的處的切線及法平面方程。切線及法平面方程。 32tz ,ty, tx )1 , 1 , 1(解解當當0 t時，時，, 2, 1, 0 zyx,costext ,sincos2tty ,33tez , 1)0( x, 2)0( y, 3)0( z切線方程切線方程,3

13、22110 zyx法平面方程法平面方程, 0)2(3)1(2 zyx. 0832 zyx即即1.空間曲線方程為空間曲線方程為 )()(xzxy ,),(000處處在在zyxM,)()(100000 xzzxyyxx . 0)()()(00000 zzxyyxxx 法平面方程為法平面方程為切切線線方方程程為為特殊地：特殊地：)(),(1,Txx 切切向向量量,)()( xzxyxx 2.空間曲線方程為空間曲線方程為 0),(0),(zyxGzyxF切線方程為切線方程為,000000yxyxxzxzzyzyGGFFzzGGFFyyGGFFxx 法平面方程為法平面方程為. 0)()()(000000

14、 zzGGFFyyGGFFxxGGFFyxyxxzxzzyzy),(1,Txxzy 切切向向量量,)()( xzzxyyxx例例 2 2 求求曲曲線線6222 zyx，0 zyx在在點點)1, 2, 1( 處處的的切切線線及及法法平平面面方方程程. 1dxdzdxdyxdxdzzdxdyy,zyxzdxdy ,zyyxdxdz 由由此此得得切切向向量量,1, 0, 1 T所求切線方程為所求切線方程為,110211 zyx法平面方程為法平面方程為, 0)1()2(0)1( zyx0 zx, 0)1,2, 1( dxdy, 1)1,2, 1( dxdz設曲面方程為設曲面方程為0),( zyxF),

15、(),(),(000tttT 曲線在曲線在M處的切向量處的切向量在曲面上任取一條通在曲面上任取一條通過點過點M的曲線的曲線,)()()(: tztytx 三、曲面的切平面與法線三、曲面的切平面與法線nTM),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 令令則則,Tn 切平面方程切平面方程為為0)(,()(,()(,(000000000000 zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx 通過點通過點),(000zyxM而垂直于切平面的直線而垂直于切平面的直線稱為曲面在該點的法線稱為曲面在該點的法線.法線方程法線方程為為),(),(),(000000000000zyxFzzz

16、yxFyyzyxFxxzyx ),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 曲面在曲面在M處的處的法向量法向量即即垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量.設曲面方程為設曲面方程為0),( zyxF在在M(x0,y0,z0)處的處的法向量法向量),(),(),(000000000zyxFzyxFzyxFnzyx 切平面方程切平面方程為為0)zz(F)yy(F)xx(F0z0y0 x 法線方程法線方程為為),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx 結論：結論：nTM特殊地：空間曲面方程形為特

17、殊地：空間曲面方程形為),(yxfz 曲面在曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx 曲面在曲面在M處的法線方程為處的法線方程為.1),(),(0000000 zzyxfyyyxfxxyx( , , )( , )0,F x y zf x yz 令令法向量為：法向量為：)1,( yxffn（指向偏向（指向偏向z軸負方向）軸負方向）解, 632),(222 zyxzyxF)1 , 1 , 1()1 , 1 , 1(6,4,2zyxn ,6 , 4 , 2切平面方程為切平面方程為, 0)1(6)1(4)1(2 zyx, 032 zyx法線方

18、程為法線方程為.614121 zyx方方程程求求橢橢球球例例的切平面及法線處在點面(1,1,1) 6z3y2x 3222 解解, 1),(22 yxyxf)4, 1 ,2()4, 1 ,2(1,2,2 yxn,1, 2, 4 切平面方程為切平面方程為, 0)4()1(2)2(4 zyx, 0624 zyx法線方程為法線方程為.142142 zyx)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 切平面切平面上點的上點的豎坐標豎坐標的增量的增量的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz 因為曲面在因為曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為全全微微分分的的幾幾何何意意義義),(yxfz 在在),(00yx的的全全微微分分，表表示示曲曲面面),(yxfz 在在點點),(000zyx處處的的切切平平面面上上的的點點的的豎豎坐坐標標的的