2014年高考湖北理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試湖北卷數(shù)學(xué)理科一、選擇題：本大題共10小題，每題5分，共50分，在每題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求1【2021年湖北，理1，5分】為虛數(shù)單位，那么 A B C D【答案】A【解析】因?yàn)?，?yīng)選A【點(diǎn)評】此題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，容易題2【2021年湖北，理2，5分】假設(shè)二項式的展開式中的系數(shù)是84，那么實(shí)數(shù) A2 B C1 D【答案】D【解析】因?yàn)?，令，得，解得，?yīng)選D【點(diǎn)評】此題考查二項式定理的通項公式，容易題3【2021年湖北，理3，5分】設(shè)為全集，是集合，那么“存在集合使得，是“的 A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不

2、必要條件【答案】A【解析】依題意，假設(shè)，那么，可得；假設(shè)，不能推出，應(yīng)選A【點(diǎn)評】此題考查集合與集合的關(guān)系，充分條件與必要條件判斷，容易題4【2021年湖北，理4，5分】根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)3456784.02.5-0.50.5-2.0-3.0得到的回歸方程為，那么 A， B， C， D，【答案】B【解析】依題意，畫散點(diǎn)圖知，兩個變量負(fù)相關(guān)，所以，應(yīng)選B【點(diǎn)評】此題考查根據(jù)樣本數(shù)判斷線性回歸方程中的與的符號，容易題5【2021年湖北，理5，5分】在如下圖的空間直角坐標(biāo)系中，一個四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是，給出編號、的四個圖，那么該四面體的正視圖和俯視圖分別為 A和B和C和D和【答案】D【解析】在坐標(biāo)系

3、中標(biāo)出的四個點(diǎn)，根據(jù)三視圖的畫圖規(guī)那么判斷三棱錐的正視圖為與俯 視圖為，應(yīng)選D【點(diǎn)評】此題考查空間由條件，在空間坐標(biāo)系中作出幾何體的形狀，再正視圖與俯視圖， 容易題6【2021年湖北，理6，5分】假設(shè)函數(shù)，滿足，那么稱，為區(qū)間 上的一組正交函數(shù)，給出三組函數(shù)：，；，；,，其中為區(qū)間的正交函數(shù)的組數(shù)是 A0 B1 C2 D3【答案】C【解析】對，那么，為區(qū)間上的正交函數(shù)； 對，那么，不為區(qū)間上的正交函數(shù)； 對，那么，為區(qū)間上的正交函數(shù)，所以滿足條件的正交函數(shù)有2組，應(yīng)選C【點(diǎn)評】新定義題型，此題考查微積分根本定理的運(yùn)用，容易題7【2021年湖北，理7，5分】由不等式確定的平面區(qū)域記為，不等式，確

4、定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，那么該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為 A B C D【答案】D【解析】依題意，不等式組表示的平面區(qū)域如圖，由幾何公式知，該點(diǎn)落在內(nèi)的概率為： ，應(yīng)選D【點(diǎn)評】此題考查不等式組表示的平面區(qū)域，面積型的幾何概型，中等題8【2021年湖北，理8，5分】?算數(shù)書?竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋的術(shù)：置如其周，令相承也又以高乘之，三十六成一該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長與高，計算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為 A B C D【答案】B【解析

5、】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，所以，即的近似值為，應(yīng)選B【點(diǎn)評】此題考查?算數(shù)書?中的近似計算，容易題9【2021年湖北，理9，5分】是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，是他們的一個公共點(diǎn)，且，那么橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為 A B C3 D2【答案】B 【解析】設(shè)橢圓的短半軸為，雙曲線的實(shí)半軸為，半焦距為，由橢圓、雙曲線的定義得，所以，因?yàn)椋捎嘞叶ɡ淼茫?，所以，即，利用根本不等式可得橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為，應(yīng)選B【點(diǎn)評】此題橢圓、雙曲線的定義和性質(zhì)，余弦定理及用根本不等式求最值，難度中等10【2021年湖北，理10，5分】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時， ，假設(shè)

6、，那么實(shí)數(shù)的取值范圍為 A B C D【答案】B【解析】依題意，當(dāng)時，作圖可知，的最小值為，因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，所以當(dāng)時，的最大值為，因?yàn)閷θ我鈱?shí)數(shù)都有，所以，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是，應(yīng)選B【點(diǎn)評】此題考查函數(shù)的奇函數(shù)性質(zhì)、分段函數(shù)、最值及恒成立，難度中等二、填空題：共6小題，考生需作答5小題，每題5分，共25分請將答案填在答題卡對應(yīng)題號的位置上答錯位置，書寫不清，模棱兩可均不得分一必考題11-14題11【2021年湖北，理11，5分】設(shè)向量，假設(shè)，那么實(shí)數(shù) 【答案】【解析】因?yàn)?，因?yàn)?，所以，解得【點(diǎn)評】此題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積，容易題12【2021年湖北，理12，5分】直線和將單位

7、圓分成長度相等的四段弧，那么 【答案】2【解析】依題意，圓心到兩條直線的距離相等，且每段弧的長度都是圓周的，即，所以，故【點(diǎn)評】此題考查直線與圓相交，點(diǎn)到直線的距離公式，容易題13【2021年湖北，理13，5分】設(shè)是一個各位數(shù)字都不是0且沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)將組成的3個數(shù)字按從小到大排成的三位數(shù)記為，按從大到小排成的三位數(shù)記為例如，那么，閱讀如下圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，任意輸入一個，輸出的結(jié)果 【答案】495【解析】當(dāng)，那么，當(dāng)，那么；當(dāng)，那么，終止循環(huán)，故輸出【點(diǎn)評】新定義題型，此題考查程序框圖，當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)，容易題14【2021年湖北，理14，5分】設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意,，

8、假設(shè)經(jīng)過點(diǎn),的直線與軸的交點(diǎn)為，那么稱為,關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為，例如，當(dāng)時，可得，即為的算術(shù)平均數(shù)1當(dāng)=_時，為的幾何平均數(shù)；2當(dāng)=_時，為的調(diào)和平均數(shù)；以上兩空各只需寫出一個符合要求的函數(shù)即可【答案】12或填12，其中為正常數(shù)均可【解析】設(shè)，那么經(jīng)過點(diǎn)，的直線方程為，令，所以，所以當(dāng)，為的調(diào)和平均數(shù)【點(diǎn)評】此題考查兩個數(shù)的幾何平均數(shù)與調(diào)和平均數(shù)，難度中等一選考題請考生在第15、16兩題中任選一題作答，請先在答題卡指定位置將你所選的題目序號后的方框用2B鉛筆涂黑，如果全選，那么按第15題作答結(jié)果計分15【2021年湖北，理15，5分】選修4-1：幾何證明選講如圖，為的兩條切線，切點(diǎn)分別為，過

9、的中點(diǎn)作割線交于兩點(diǎn)，假設(shè)，那么_【答案】【解析】由切割線定理得，所以，【點(diǎn)評】此題考查圓的切線長定理，切割線定理，容易題16【2021年湖北，理16，5分】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程是，那么與交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為【答案】【解析】由，消去得，由得，解方程組，得與的交點(diǎn)坐標(biāo)為【點(diǎn)評】此題考查參數(shù)方程，極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的轉(zhuǎn)化，曲線的交點(diǎn)，容易題 三、解答題：共6題，共75分解容許寫出文字說明，演算步驟或證明過程17【2021年湖北，理17，11分】某實(shí)驗(yàn)室一天的溫度單位：隨時間單位：h的變化近似滿足函

10、數(shù)關(guān)系；1求實(shí)驗(yàn)室這一天的最大溫差；2假設(shè)要求實(shí)驗(yàn)室溫度不高于，那么在哪段時間實(shí)驗(yàn)室需要降溫？解：1因?yàn)?，又，所以，?dāng)時，；當(dāng)時，于是在上取得最大值12，取得最小值8，故實(shí)驗(yàn)室這一天最高溫度為12，最低溫度為8，最大溫差為4 2依題意，當(dāng)時實(shí)驗(yàn)室需要降溫，由1得，故有，即，又，因此，即，在10時至18時實(shí)驗(yàn)室需要降溫 18【2021年湖北，理18，12分】等差數(shù)列滿足：，且成等比數(shù)列1求數(shù)列的通項公式；2記為數(shù)列的前n項和，是否存在正整數(shù)n，使得?假設(shè)存在，求n的最小值；假設(shè)不存在，說明理由解：1設(shè)數(shù)列的公差為，依題意，成等比數(shù)列，故有，化簡得，解得或，當(dāng)時，；當(dāng)時，從而得數(shù)列的通項公式為或2

11、當(dāng)時，顯然，此時不存在正整數(shù)，使得成立，當(dāng)時，令，即，解得或舍去，此時存在正整數(shù)，使得成立，的最小值為41綜上，當(dāng)時，不存在滿足題意的；當(dāng)時，存在滿足題意的，其最小值為4119【2021年湖北，理19，12分】如圖，在棱長為2的正方體中，分別是棱的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在棱，上移動，且1當(dāng)時，證明：直線平面；2是否存在，使平面與面所成的二面角？假設(shè)存在，求出的值；假設(shè)不存在，說明理由解：解法一：1如圖1，連接，由是正方體，知，當(dāng)時，是的中點(diǎn)，又是 的中點(diǎn)，所以，所以，而平面，且平面，故直線平面 2如圖2，連接，因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)， 所以，且，又，所以四邊形是平行四邊形，故，且，從而，且，在和中，因?yàn)椋?/p>

12、于是，所以四邊形是等腰梯形同理可證四邊形是等腰梯形分別取的中點(diǎn)為，連接，那么，而，故是面與面所成的二面角的平面角假設(shè)存在，使面與面所成的二面角為直二面角，那么，連接，那么由，且，知四邊形是平行四邊形，連接，因?yàn)椋?，的中點(diǎn)，所以，在中，由，得，解得，故存在，使面與面所成的二面角為直二面角 解法二：以為原點(diǎn)，射線分別為軸的正半軸建立如圖3所示的空間直角坐標(biāo)系，由得，1當(dāng)時，因?yàn)?，所以，即，而平面，且平面，故直線平面 2設(shè)平面的一個法向量為，那么由，可得，于是可取，同理可得平面的一個法向量為，假設(shè)存在，使面與面所成的二面角為直二面角，那么，即，解得故存在，使面與面所成的二面角為直二面角 20【20

13、21年湖北，理20，12分】方案在某水庫建一座至多安裝3臺發(fā)電機(jī)的水電站，過去50年的水文資料顯示，水庫年入流量(年入流量：一年內(nèi)上游來水與庫區(qū)降水之和單位：億立方米都在40以上其中，缺乏80的年份有10年，不低于80且不超過120的年份有35年，超過120的年份有5年將年入流量在以上三段的頻率作為相應(yīng)段的概率，并假設(shè)各年的年入流量相互獨(dú)立1求未來4年中，至多1年的年入流量超過120的概率；2水電站希望安裝的發(fā)電機(jī)盡可能運(yùn)行，但每年發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)受年入流量限制，并有如下關(guān)系；假設(shè)某臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，那么該臺年利潤為5000萬元；假設(shè)某臺發(fā)電機(jī)未運(yùn)行，那么該臺年虧損800萬元，欲使水電站年總利

14、潤的均值到達(dá)最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)多少臺？年入流量X40<X<8040X80X>120發(fā)電機(jī)最多可運(yùn)行臺數(shù)123解：1依題意，由二項分布，在未來4年中至多有1年的年入流量超過120的概率為2記水電站年總利潤為單位：萬元1安裝1臺發(fā)電機(jī)的情形：由于水庫年入流量總大于40，故一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行的概率為1，對應(yīng)的年利潤2安裝2臺發(fā)電機(jī)的情形：依題意，當(dāng)時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，因此；當(dāng)時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，因此；由此得的分布列如下：4200100000.20.8所以，3安裝3臺發(fā)電機(jī)的情形：當(dāng)時，一臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，因此；當(dāng)時，兩臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，此時，因此；當(dāng)時，三臺發(fā)電機(jī)運(yùn)行，因此，

15、由此得的分布列如下：34009200150000.20.70.1所以，綜上，欲使水電站年總利潤的均值到達(dá)最大，應(yīng)安裝發(fā)電機(jī)2臺21【2021年湖北，理21，14分】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到點(diǎn)的距離比它到軸的距離多1，記點(diǎn)的軌跡為1求軌跡為的方程；2設(shè)斜率為的直線過定點(diǎn)，求直線與軌跡好有一個公共點(diǎn)，兩個公共點(diǎn)，三個公共點(diǎn)時的相應(yīng)取值范圍解：1設(shè)點(diǎn)，依題意得，即，化簡整理得，故點(diǎn)的軌跡的方程為2在點(diǎn)的軌跡中，記，依題意，可設(shè)直線的方程為，由方程組，可得 1當(dāng)時，此時，把代入軌跡的方程，得，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)2當(dāng)時，方程的判別式為 設(shè)直線與軸的交點(diǎn)為，那么由，令，得 假設(shè)由解得，或，即當(dāng)時，直線與沒有公共點(diǎn)，與有一個公共點(diǎn)，故此時直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)假設(shè)或，由解得，或，即當(dāng)時，直線與 只有一個公共點(diǎn)，與有一個公共點(diǎn)，當(dāng)時，直線與有兩個公共點(diǎn)，與沒有公共點(diǎn)，故當(dāng)時，直線與軌跡恰好有兩個公共點(diǎn)假設(shè)由解得，或，即當(dāng)時，直線與有兩個公共點(diǎn)，與有一個公共點(diǎn)，故此時直線與軌跡恰好有三個公共點(diǎn)綜合12可知，當(dāng)時，直線與軌跡恰好有一個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與軌跡恰好有兩個公共點(diǎn)；當(dāng)時，直線與軌跡恰好有三個公共點(diǎn)22【2021年湖北，理22，14分】為圓周率，e =2.71828為自然對數(shù)的底數(shù)1求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；2求這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；3將這6個數(shù)按從