解決實(shí)數(shù)問題中的數(shù)學(xué)思想方法-教育文檔資料

1、解決實(shí)數(shù)問題中的數(shù)學(xué)思想方法數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識的重要組成部分，教材中沒有專門的章節(jié)介紹它，而是伴隨著基礎(chǔ)知識的學(xué)習(xí)而展開的. 在學(xué)習(xí)中一定要重視對常用數(shù)學(xué)思想方法的總結(jié)與提煉，它們是數(shù)學(xué)的精髓，是解決數(shù)學(xué)問題的金鑰匙，更能使人受益終身. 下面我們將解決實(shí)數(shù)問題中常用的思想方法歸納如下，供同學(xué)們學(xué)習(xí)時(shí)參考.一、 整體思想整體思想就是在處理問題時(shí)，從整體角度思考， 即將局部放在整體中去觀察分析，探究問題的解決方法，從而使問題得以簡捷巧妙地解決 .例 1 （2015?四川資陽）已知（ a+6）2 =0 ，則 2b2-4b-a的值為 _.【分析】由（ a+6）2 和 都是非負(fù)數(shù)，根據(jù)非負(fù)數(shù)性質(zhì)可求

2、出 a 的值和 b2-2b 的值，視 b2-2b 為整體代入，即可求出 2b2-4b-a的值 .解：（ a+6）2 =0 ，由非負(fù)數(shù)性質(zhì)有 a+6=0，b2-2b-3=0 ，解得 a=-6 ，b2-2b=3 ，可得 2b2-4b=6 ，則 2b2-4b-a=6- （-6 ）=12.【點(diǎn)評】求得 b2-2b=3 后，也可利用因式分解或配方法求出b 的值為 3 或 -1 ，再分類代入求值，但較復(fù)雜，且易出錯(cuò). 這里發(fā)現(xiàn) b2-2b 與 2b2-4b 有特殊關(guān)系， 采用整體代入法， 十分簡捷，由此足見數(shù)學(xué)思想方法的巨大威力！二、 分類思想在解決實(shí)數(shù)的有關(guān)問題時(shí)，常常需要對問題中包含的多種情況進(jìn)行分類

3、，再按類思考，尋找出完整的答案.例2（2014?甘肅白銀）已知x、y為實(shí)數(shù)，且y= 4，則x-y=_.【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的被開方數(shù)非負(fù)，夾逼出x 的值，x 的值有兩個(gè)，所以要分類求解.解：根據(jù)被開方數(shù)非負(fù)有x2- 90和 9- x20，即 x2- 90和 x2- 90，從而 x2-9=0 ，即 x2=9，解得 x=±3，此時(shí) y=4. 當(dāng)x=3，y=4 時(shí)， x-y=3-4=-1;當(dāng) x=-3 ， y=4 時(shí)， x-y=-3-4=- 7; x-y=-1 或-7.【點(diǎn)評】對于算術(shù)平方根，被開方數(shù)必須非負(fù)才有意義，所以如果一對相反數(shù)同時(shí)為算術(shù)平方根的被開方數(shù)，那么被開方數(shù)為 0.三、

4、 模型思想在解決實(shí)數(shù)的有關(guān)問題時(shí)， 常常先要構(gòu)造非負(fù)數(shù) （如絕對值、偶次方、算術(shù)平方根等）的和為 0 的模型，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)來解決問題 .例 3 （1）（2011?四川內(nèi)江） 已知 6-3m+（n-5 ）2=3m-6- ，則 m-n=_;（2） （ 2011?山東日照）已知x， y 為實(shí)數(shù)，且滿，那么x2011-y2011=_.【分析】一個(gè)方程兩個(gè)未知數(shù)，且已知條件中有非負(fù)數(shù)，因此構(gòu)造非負(fù)數(shù)和為0 的模型來求解 .解：（1） 由題意，得 m3，6- 3m0，于是原式可化為3m-6+（ n-5 ）2=3m-6- ，即（ n-5 ）2+=0， n=5， m=3， m-n=-2;（ 2） 已知式

5、子可變形為：（ 1-y ）=0，由于被開方數(shù)非負(fù)，且算術(shù)平方根也非負(fù)， 則只有當(dāng)都為 0 時(shí)此式才成立， 即 1+x=0，1-y=0 ，解得 x=-1 ，y=1，代入到 x2011-y2011=-1-1=-2.【點(diǎn)評】先對已知等式進(jìn)行變形，構(gòu)造出幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0 的等式，再利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)即可解決問題.四、 數(shù)形結(jié)合思想利用數(shù)軸上點(diǎn)與實(shí)數(shù)之間的一一對應(yīng)關(guān)系，由點(diǎn)的位置來判定有關(guān)代數(shù)式值的符號，再利用得到的結(jié)論來解決問題.例 4（ 2015?山東棗莊）實(shí)數(shù)a，b，c 在數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)如圖 1 所示，則下列式子中正確的是（）.A. ac>bc B. a-b=a-bC. -a&

6、;lt;-b-b-c【分析】先根據(jù)各點(diǎn)在數(shù)軸上的位置比較出其大小，再對各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可.解：由圖可知， a-b ，故 C選項(xiàng)錯(cuò)誤 ; -a>-b，c>0 ， -a-c>-b-c ，故 D 選項(xiàng)正確 . 綜上所述，選 D.【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)與數(shù)軸上點(diǎn)所表示的數(shù)之間的關(guān)系，熟知數(shù)軸上各點(diǎn)與實(shí)數(shù)是一一對應(yīng)的關(guān)系是解答此題的關(guān)鍵.要謹(jǐn)防忽視符號而造成錯(cuò)誤. 在計(jì)算數(shù)軸上線段長度時(shí)，要注意點(diǎn)的坐標(biāo)與線段長的互換，謹(jǐn)防“符號病”.五、 轉(zhuǎn)化思想轉(zhuǎn)化是初中數(shù)學(xué)中常見的一種數(shù)學(xué)思想，它的應(yīng)用十分廣泛，在研究和解決實(shí)數(shù)問題時(shí)， 經(jīng)常將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成簡單問題，將疑

7、難問題轉(zhuǎn)化成容易問題，將未解決的問題轉(zhuǎn)化成已解決的問題.例 5 （2010?山東泰安） 1，2，3， ， 100 這 100 個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中，無理數(shù)的個(gè)數(shù)有 _個(gè).【分析】本題要求無理數(shù)的個(gè)數(shù)，比較復(fù)雜 . 轉(zhuǎn)化一下思考問題的角度，找無理數(shù)的個(gè)數(shù)困難，可先找有理數(shù)的個(gè)數(shù)，分別找出 1，2， 3， ， 100 這 100 個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根和立方根中有理數(shù)的個(gè)數(shù)后，則無理數(shù)的個(gè)數(shù)就容易求出了.解： 12=1， 22=4，32=9， ， 102=100，1， 2， 3， ， 100 這 100 個(gè)自然數(shù)的算術(shù)平方根中，有理數(shù)有 10 個(gè)，無理數(shù)有 90 個(gè);13=1，23=8，33=27，43=64<100 ，53=125>100 ，1，2，3， ， 100 這 100 個(gè)自然數(shù)的立方根中，有理數(shù)有4 個(gè)，無理數(shù)有 96 個(gè).1， 2， 3， ， 100 這 1