奧賽典型例題分析(振動(dòng)和波)

1、1奧賽典型例題奧賽典型例題分析分析(振動(dòng)和波振動(dòng)和波)21.如圖如圖1所示的振動(dòng)所示的振動(dòng)系統(tǒng)，輕彈簧的勁度系統(tǒng)，輕彈簧的勁度系數(shù)為系數(shù)為k，滑輪的質(zhì)，滑輪的質(zhì)量為量為M，細(xì)線與滑輪，細(xì)線與滑輪之間無摩擦，兩個(gè)小之間無摩擦，兩個(gè)小物塊的質(zhì)量分別為物塊的質(zhì)量分別為m1和和m2，m1 m2，試，試求滑輪的振動(dòng)周期求滑輪的振動(dòng)周期. Mm1m2k圖圖13例例1 解解:m1m2k圖圖1Mm圖圖2aa 先看圖先看圖2的情況，設(shè)輕繩的拉力大的情況，設(shè)輕繩的拉力大小為小為T，則，則MaTMgmamgT由上一兩個(gè)方程可解得由上一兩個(gè)方程可解得gmMMmTgmMmMa2,天花板所受的拉力為天花板所受的拉力為gm

2、MMmTF42這表明原來系統(tǒng)對天花板的作用與圖這表明原來系統(tǒng)對天花板的作用與圖3物體物體M 對對天花板的作用等效，只要天花板的作用等效，只要M取值為取值為4圖圖3MmMMmM4m1m2k圖圖1圖圖4MMk因此，只要在上式中令因此，只要在上式中令 就可就可用圖用圖4等效于圖等效于圖1,此時(shí)有此時(shí)有21mmmM，21214mmmmM所以，系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率為所以，系統(tǒng)的振動(dòng)圓頻率為MMk系統(tǒng)的振動(dòng)周期為系統(tǒng)的振動(dòng)周期為kMMT2252.如圖如圖2所示，物體的質(zhì)量為所示，物體的質(zhì)量為m，用，用彈簧懸掛吊于水平輕桿上，桿的一彈簧懸掛吊于水平輕桿上，桿的一端與光滑鉸鏈相連，另一端用彈簧端與光滑鉸鏈相連，另

3、一端用彈簧懸掛，已知懸掛，已知k1、k2、m及尺寸及尺寸a、b，試求物體試求物體m的振動(dòng)周期的振動(dòng)周期. 圖圖2Oabk1k2m6 設(shè)當(dāng)當(dāng)m處于平衡位置時(shí)，處于平衡位置時(shí)，彈簧彈簧1、2的伸長量分別為的伸長量分別為l10和和l20,則則例例2 解解:圖圖1Oabk1k2moxx對對m有有) 1 (101lkmg對桿有對桿有)2(202101blkalk建立建立ox軸，如圖所示，當(dāng)桿轉(zhuǎn)軸，如圖所示，當(dāng)桿轉(zhuǎn)過一個(gè)微小的角過一個(gè)微小的角時(shí)，時(shí)，對對m有有)3()(101alxkmgmax)4()()(202101bblkaalxk對桿有對桿有)6()(221bkaaxk)5()(1axkmax由以上

4、方程可得由以上方程可得7)5()(1axkmax)6()(221bkaaxk由由(5)、(6)式可得式可得)7(22abkmax由由(5)、(7)式消去式消去可可得得0)(2221221xbkakmbkkax由這方程可知由這方程可知m的振動(dòng)圓頻率為的振動(dòng)圓頻率為)(2221221bkakmbkk故故m的微振動(dòng)周期為的微振動(dòng)周期為2212221)(22bkkbkakmT83.如圖如圖3所示，質(zhì)量為所示，質(zhì)量為m的小球的小球C由細(xì)繩由細(xì)繩AC和和BC共同懸掛，已知共同懸掛，已知ACl，BC2l，ACOBCO30,試求小球試求小球C在垂直紙面方向上的微振動(dòng)周期在垂直紙面方向上的微振動(dòng)周期. 圖圖3C

5、ABml2lO30 309 方法方法1：以：以A為等效懸掛點(diǎn)為等效懸掛點(diǎn)圖圖1CABml2lO例例3 解：解：30 30ggcos30 于是小球于是小球C在垂直屏幕面方向在垂直屏幕面方向上的微小擺動(dòng)的周期為上的微小擺動(dòng)的周期為glglT332230cos2O方法方法2：以：以AB線與線與CO線的交點(diǎn)線的交點(diǎn)O為等效懸掛點(diǎn)為等效懸掛點(diǎn)則等效擺長則等效擺長l為為CO，根據(jù)幾何關(guān)系可求得，根據(jù)幾何關(guān)系可求得lACl33230cos那么小球那么小球m的微振動(dòng)周期為的微振動(dòng)周期為glglT33222 把重力加速度把重力加速度 沿沿AC方向和方向和AB方方向分解，可得在向分解，可得在AC方向的分量值方向的

6、分量值為為gcos30.g104.半徑為半徑為R的輕圓環(huán)上固定兩個(gè)質(zhì)量相同的小的輕圓環(huán)上固定兩個(gè)質(zhì)量相同的小重物，在環(huán)上與兩個(gè)小重物距離相等的重物，在環(huán)上與兩個(gè)小重物距離相等的O處鉆處鉆一小孔，將這小孔穿過墻壁上的光滑小釘而一小孔，將這小孔穿過墻壁上的光滑小釘而把圓環(huán)掛起來，使圓環(huán)可以在豎直平面上作把圓環(huán)掛起來，使圓環(huán)可以在豎直平面上作微振動(dòng)，兩小重物的位置關(guān)系可以用它們之微振動(dòng)，兩小重物的位置關(guān)系可以用它們之間的角距離間的角距離2表示，如圖表示，如圖4所示，試求圓環(huán)微所示，試求圓環(huán)微振動(dòng)的周期振動(dòng)的周期. O圖圖4RR11例例4 解：解：圖圖1ORR 用能量法求周期用能量法求周期mr 設(shè)每個(gè)

7、重物的質(zhì)量為設(shè)每個(gè)重物的質(zhì)量為m，它作微振動(dòng)，它作微振動(dòng)時(shí)的最大角振幅為時(shí)的最大角振幅為 ,如圖所示，那么如圖所示，那么它通過平衡位置時(shí)的最大速度它通過平衡位置時(shí)的最大速度 為為mmvmmrAv其中其中)cos1 (22sin2RRr故故) 1 ()cos1 (2Rvmm于是擺的最大動(dòng)能為于是擺的最大動(dòng)能為)cos1 (22122222RmmvEmmkm 設(shè)擺的質(zhì)心設(shè)擺的質(zhì)心C能上升的最大高度為能上升的最大高度為hCm，則據(jù)機(jī)械能，則據(jù)機(jī)械能守恒定律有守恒定律有)2(21222mkmCmPmmvEmghEC12Cmr圖圖1ORR在平衡位置時(shí)，質(zhì)心在平衡位置時(shí)，質(zhì)心C據(jù)懸掛點(diǎn)據(jù)懸掛點(diǎn)O的距離為的

8、距離為)cos1 ( RL因最大偏角為因最大偏角為 ，故質(zhì)心上升的最大，故質(zhì)心上升的最大高度為高度為m)cos1)(cos1 ()cos1 (mmCmRLhkmPmEE于是由于是由 可得可得)cos1 (2)cos1)(cos1 (2222mRmgRmm解得解得Rgmm22)cos1 (因?yàn)橐驗(yàn)?21cos1mm所以所以Rg22圓環(huán)微振動(dòng)周期為圓環(huán)微振動(dòng)周期為gRT222135.如圖如圖5所示，在水平光滑桌面的中心有一個(gè)光滑小所示，在水平光滑桌面的中心有一個(gè)光滑小孔孔O，一條勁度系數(shù)為，一條勁度系數(shù)為k的細(xì)彈性繩穿過小孔的細(xì)彈性繩穿過小孔O，繩，繩的一端系于小孔的一端系于小孔O正下方地面的正下

9、方地面的A處，另一端系一質(zhì)處，另一端系一質(zhì)量為量為 m的小物塊，彈性繩的自然長度等于的小物塊，彈性繩的自然長度等于OA，現(xiàn)，現(xiàn)將小物塊沿桌面拉至將小物塊沿桌面拉至B點(diǎn)處，點(diǎn)處，OBL，并給小物塊，并給小物塊一個(gè)與一個(gè)與OB垂直的初速度垂直的初速度v0沿桌面射出，試求：沿桌面射出，試求：(1)小物塊繞小物塊繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)過點(diǎn)轉(zhuǎn)過90到達(dá)到達(dá)C點(diǎn)所需要的時(shí)間點(diǎn)所需要的時(shí)間; (2)小物塊到達(dá)小物塊到達(dá)C點(diǎn)時(shí)的速度及點(diǎn)時(shí)的速度及CO的長度的長度. OBAv0圖圖514例例5 解：解：OBAv0圖圖1xyrFBCO圖圖2 (1)據(jù)胡克定律，質(zhì)點(diǎn)在其運(yùn)據(jù)胡克定律，質(zhì)點(diǎn)在其運(yùn)動(dòng)軌跡上任一位置處所受彈力的大小動(dòng)軌

10、跡上任一位置處所受彈力的大小為為Fkr,其中其中r為質(zhì)點(diǎn)所在位置與原點(diǎn)為質(zhì)點(diǎn)所在位置與原點(diǎn)O的距離的距離,也是彈性繩的伸長量也是彈性繩的伸長量.由圖由圖2得得kxFFxcoskyFFysin可見，質(zhì)點(diǎn)在可見，質(zhì)點(diǎn)在x方向和方向和y方向都作簡諧振動(dòng)方向都作簡諧振動(dòng).平衡位置都在原點(diǎn)，振動(dòng)圓頻率都是平衡位置都在原點(diǎn)，振動(dòng)圓頻率都是mk周期都是周期都是kmT215 質(zhì)點(diǎn)從起始位置質(zhì)點(diǎn)從起始位置B繞繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，點(diǎn)，對于對于x方向的簡諧振動(dòng)來說，質(zhì)點(diǎn)是從方向的簡諧振動(dòng)來說，質(zhì)點(diǎn)是從最大位移的位置運(yùn)動(dòng)到平衡位置的，恰最大位移的位置運(yùn)動(dòng)到平衡位置的，恰好經(jīng)歷了好經(jīng)歷了1/4T,所以所以xyrF

11、BCO圖圖2kmTt241(2)在在x方向上，質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，利用如圖方向上，質(zhì)點(diǎn)作簡諧振動(dòng)，利用如圖3所示的所示的參考圓，可確定其振幅和初相參考圓，可確定其振幅和初相:xy0v0 xLOB圖圖400 xxLA，于是其在于是其在x方向的簡諧振動(dòng)方程為方向的簡諧振動(dòng)方程為tmkLtAxxxcos)cos(0速度為速度為tmkmkLvxsin16，tmkLxcostmkmkLvxsin可求得可求得)2cos()cos(00tmkkmvtAyyy利用公式利用公式 及初始條件及初始條件22020yyvyA0000vvyyy，tmkvvycos0因質(zhì)點(diǎn)經(jīng)因質(zhì)點(diǎn)經(jīng)t=T/4時(shí)間到達(dá)時(shí)間到達(dá)C點(diǎn)，故在點(diǎn)，故

12、在C點(diǎn)處，有點(diǎn)處，有0,00CyCxCCvmkLvkmvyx，于是于是mkLvvvkmvyxOCCyCxCCC22022，176. 三根長為三根長為l2.00m的質(zhì)量均勻的直桿構(gòu)成一個(gè)等的質(zhì)量均勻的直桿構(gòu)成一個(gè)等邊三角形框架邊三角形框架ABC，C點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，點(diǎn)懸掛在一光滑水平轉(zhuǎn)軸上，整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿整個(gè)框架可繞轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB是一導(dǎo)軌，一是一導(dǎo)軌，一電動(dòng)玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，如圖電動(dòng)玩具松鼠可在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)，如圖6所示，現(xiàn)觀測所示，現(xiàn)觀測到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)而框架卻靜止不動(dòng)，試證明到松鼠正在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)而框架卻靜止不動(dòng)，試證明松鼠的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是一種什么樣的運(yùn)動(dòng)松鼠的運(yùn)動(dòng)應(yīng)是一種

13、什么樣的運(yùn)動(dòng). ABCl圖圖6ll(96年年13屆預(yù)賽題屆預(yù)賽題)18例例6 解：解：ABCl圖圖1llxO 建立如圖所示建立如圖所示ox軸軸. 因?yàn)轭}設(shè)玩具松鼠在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，因?yàn)轭}設(shè)玩具松鼠在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)，框架都靜止不動(dòng)框架都靜止不動(dòng). 那么以框架作為研那么以框架作為研究對象，對究對象，對C軸力矩平衡，因此當(dāng)玩軸力矩平衡，因此當(dāng)玩具松鼠運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，它除了受具松鼠運(yùn)動(dòng)到圖中位置時(shí)，它除了受到玩具松鼠給以的向下的、大小到玩具松鼠給以的向下的、大小為為mg的壓力外，必然受到玩具松鼠給以的大小為的壓力外，必然受到玩具松鼠給以的大小為F的的向左的力作用向左的力作用. 于是有于是有mgF60si

14、nFlmgx得得xlngF32 那么，玩具松鼠也必然受到一個(gè)向右的大小等于那么，玩具松鼠也必然受到一個(gè)向右的大小等于F的力的力F的作用的作用.lmgkkxxlmgF32,3219由此可見，玩具松鼠的運(yùn)動(dòng)必然是簡諧振動(dòng)由此可見，玩具松鼠的運(yùn)動(dòng)必然是簡諧振動(dòng).lmgkkxxlmgF32,32其振動(dòng)周期為其振動(dòng)周期為)(64. 22322sglkmT 因玩具松鼠到達(dá)因玩具松鼠到達(dá)AB導(dǎo)軌兩端時(shí)應(yīng)反向它的，所以導(dǎo)軌兩端時(shí)應(yīng)反向它的，所以其振幅不能大于其振幅不能大于1/2l,即即)(00. 12mlA 由以上論證可知，玩具松鼠在導(dǎo)軌由以上論證可知，玩具松鼠在導(dǎo)軌AB上的運(yùn)動(dòng)是以上的運(yùn)動(dòng)是以AB中點(diǎn)為平衡

15、位置，振幅不大于中點(diǎn)為平衡位置，振幅不大于1米，周期約為米，周期約為2.64s的簡諧振動(dòng)的簡諧振動(dòng).207. A是某種材料制成的小球，是某種材料制成的小球，B是某種材料制成的均是某種材料制成的均勻剛性薄球殼，假設(shè)勻剛性薄球殼，假設(shè)A與與B的碰撞是完全彈性的，的碰撞是完全彈性的，B與桌面的碰撞是完全非彈性的與桌面的碰撞是完全非彈性的. 已知球殼質(zhì)量為已知球殼質(zhì)量為m，內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為r，放置在水平無彈性的桌面上，小球，放置在水平無彈性的桌面上，小球A的的質(zhì)量也為質(zhì)量也為m，通過一自然長度為，通過一自然長度為r的柔軟彈性繩懸掛的柔軟彈性繩懸掛在球殼內(nèi)壁的最高處，且有在球殼內(nèi)壁的最高處，且有kr=9

16、mg/2，k為彈性繩為彈性繩的彈性系數(shù)的彈性系數(shù). 起初將小球起初將小球A拉到球殼的最低點(diǎn)，如圖拉到球殼的最低點(diǎn)，如圖7所示，然后輕輕釋放，試詳細(xì)地、定量地討論小球所示，然后輕輕釋放，試詳細(xì)地、定量地討論小球A以后的運(yùn)動(dòng)以后的運(yùn)動(dòng). (92年第年第9屆預(yù)賽題屆預(yù)賽題)AB圖圖721例例7 解：解：AB圖圖1lOO 小球小球A的平衡位置的平衡位置O與球心與球心O的距的距離為離為l，且有，且有rkmgl92x以以O(shè)為原點(diǎn)建立如圖所示的為原點(diǎn)建立如圖所示的x軸軸. 設(shè)任一時(shí)刻，小球設(shè)任一時(shí)刻，小球A偏離平衡位置，其坐標(biāo)為偏離平衡位置，其坐標(biāo)為x，那么它所受的回復(fù)力為那么它所受的回復(fù)力為kxmglxk

17、F)(令令 ，則小球的運(yùn)動(dòng)方程為，則小球的運(yùn)動(dòng)方程為rgmk29)cos(0tAx因?yàn)橐驗(yàn)閠=0時(shí)，時(shí)，09700vrlrx，22所以小球的振幅為所以小球的振幅為rvxA9722020初相為初相為00故小球運(yùn)動(dòng)方程為故小球運(yùn)動(dòng)方程為) 1 (29cos97cos97trgrtrx運(yùn)動(dòng)速度為運(yùn)動(dòng)速度為)2(29sin2997trggrv加速度為加速度為)3(29cos27trgga當(dāng)當(dāng) 時(shí)，即小球時(shí)，即小球A回到球心回到球心O處，由處，由(1)式可得式可得rx92lOOAB圖圖1x23)20(7229cos11Tttrg 所以所以)20(57329sin11Tttrg由由(2)得此時(shí)小球的速度為

18、得此時(shí)小球的速度為grvA25由由(3)得此時(shí)小球的加速度為得此時(shí)小球的加速度為gaA 此后，小球向上運(yùn)動(dòng)，繩子不再拉緊小球，小球此后，小球向上運(yùn)動(dòng)，繩子不再拉緊小球，小球A作作豎直上拋運(yùn)動(dòng)豎直上拋運(yùn)動(dòng). 小球上升的最大高度不能超過小球上升的最大高度不能超過r，故當(dāng)小，故當(dāng)小球球A上升高度為上升高度為r時(shí)，其速度大小為時(shí)，其速度大小為v，有，有0222grgrvvA24 這表明小球這表明小球A將與球殼相碰，由于兩者質(zhì)量相等，將與球殼相碰，由于兩者質(zhì)量相等，且碰撞為彈性碰撞，所以，且碰撞為彈性碰撞，所以，A與與B交換速度，交換速度，B豎直上豎直上拋，而小球拋，而小球A則自由下落則自由下落. B能

19、上升的最大高度為能上升的最大高度為42222rgvgvHBB所用時(shí)間為所用時(shí)間為grgvtB21 此后，此后，B自由下落自由下落. 而當(dāng)而當(dāng)B 上升到最大高度時(shí)，小球上升到最大高度時(shí)，小球A的下落高度為的下落高度為42212121rgrggth由于由于rrrrhHB244這表明此時(shí)繩子仍未拉緊這表明此時(shí)繩子仍未拉緊. 25令令 ，其中，其中rhhBA222121gtvthgthBA，由這三式可解得：由這三式可解得：grthrhBA20， 這表明經(jīng)歷時(shí)間這表明經(jīng)歷時(shí)間t，繩子將被拉直，此時(shí)小球，繩子將被拉直，此時(shí)小球A回到回到球殼的球心球殼的球心O點(diǎn)，球殼點(diǎn)，球殼B則經(jīng)歷一升一降，又回到原來則經(jīng)

20、歷一升一降，又回到原來位置，并與桌面作完全非彈性碰撞而靜止位置，并與桌面作完全非彈性碰撞而靜止. 此時(shí)小球此時(shí)小球A的速度為的速度為grgtvO2此后在繩子作用下又作簡諧振動(dòng)此后在繩子作用下又作簡諧振動(dòng). 其振動(dòng)方程為其振動(dòng)方程為)cos(0tAx由初始條件：由初始條件： 可求得可求得grvrx29200，26rvxA109222020，10103sin00Av1010cos00Ax故故1010arccos0于是于是)1010arccoscos(1092trx由于由于rrrrA92109292 所以小球所以小球A向下運(yùn)動(dòng)時(shí)不可能與球殼相碰，這是預(yù)向下運(yùn)動(dòng)時(shí)不可能與球殼相碰，這是預(yù)料中的事，因球

21、殼料中的事，因球殼B與桌面的碰撞是完全非彈性碰撞，與桌面的碰撞是完全非彈性碰撞，能量有所損失能量有所損失. 故球殼故球殼B將一直靜止下去將一直靜止下去. 小球小球A的振動(dòng)周期仍為的振動(dòng)周期仍為grT92227由圖由圖2所示的參考圓可知，小球所示的參考圓可知，小球A從從O點(diǎn)下落再回到點(diǎn)下落再回到O點(diǎn)需時(shí)間為點(diǎn)需時(shí)間為x圖圖2O0OA)1010arccos(23220grt 接著，小球接著，小球A又做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，上拋又做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，上拋的初速度大小為的初速度大小為grvv20其上拋的最大高度為其上拋的最大高度為rgvh220max到最高點(diǎn)時(shí)速度為零，故小球到最高點(diǎn)時(shí)速度為零，故小球A只是與球殼

22、輕輕接觸而只是與球殼輕輕接觸而不發(fā)生碰撞，然后又落回，球殼不發(fā)生碰撞，然后又落回，球殼B則保持靜止則保持靜止. 小球小球A從從上拋到回到上拋到回到O點(diǎn)需時(shí)間為點(diǎn)需時(shí)間為28grgvt2220此后，球殼此后，球殼B一直保持靜止，而小球一直保持靜止，而小球A則作簡諧振動(dòng)則作簡諧振動(dòng)豎直上拋運(yùn)動(dòng)豎直上拋運(yùn)動(dòng)簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)豎直上拋運(yùn)動(dòng)豎直上拋運(yùn)動(dòng)簡諧振動(dòng)簡諧振動(dòng)這樣的周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為這樣的周期性運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)周期為grgrttT22)1010arccos(232小球小球A與球殼與球殼B的運(yùn)動(dòng)情況可以用下圖來表示的運(yùn)動(dòng)情況可以用下圖來表示. 重復(fù)重復(fù)AB298. 如圖如圖8所示，一只狼沿半徑為所

23、示，一只狼沿半徑為R的圓形的圓形島邊緣按逆時(shí)針方向勻速跑動(dòng)，當(dāng)狼經(jīng)島邊緣按逆時(shí)針方向勻速跑動(dòng)，當(dāng)狼經(jīng)過島邊緣某點(diǎn)時(shí)，一只獵犬以相同速率過島邊緣某點(diǎn)時(shí)，一只獵犬以相同速率v從島中心從島中心O出發(fā)追趕狼，設(shè)在追趕過程中出發(fā)追趕狼，設(shè)在追趕過程中狼、獵犬、中心狼、獵犬、中心O三者始終在同一直線上，三者始終在同一直線上，問獵犬應(yīng)沿何種曲線追趕？它在何處可問獵犬應(yīng)沿何種曲線追趕？它在何處可以追上狼？以追上狼？ O圖圖830例例8 解：解：方法一（解析法）：方法一（解析法）： 建立極坐標(biāo)系，建立極坐標(biāo)系，如圖如圖1所示所示. 設(shè)設(shè)t=0時(shí)，犬和狼分別位于圖中時(shí)，犬和狼分別位于圖中的的O點(diǎn)和點(diǎn)和A點(diǎn)，經(jīng)歷一

24、段時(shí)間，在時(shí)刻點(diǎn)，經(jīng)歷一段時(shí)間，在時(shí)刻t，狼，狼到達(dá)到達(dá)C點(diǎn)，犬到達(dá)距圓心點(diǎn)，犬到達(dá)距圓心O為為r的的D點(diǎn)點(diǎn). 依題依題意，意，O、D、C三點(diǎn)在同一直線上三點(diǎn)在同一直線上. 狼繞島做狼繞島做圓周運(yùn)動(dòng)的角速度是恒量，為圓周運(yùn)動(dòng)的角速度是恒量，為vxyorABCrvDt圖圖1Rv 設(shè)犬在設(shè)犬在D點(diǎn)處的徑向速度和橫向速度分別為點(diǎn)處的徑向速度和橫向速度分別為 和和 .為保證任何時(shí)候犬和狼都在同一直線上，則必須有為保證任何時(shí)候犬和狼都在同一直線上，則必須有rvvrvRv即即rv由于由于222vvvr即即2222rvvr因此有因此有rrvvrr2即有即有rrrrvav2或或rar2因因v、都是恒量，都是恒

25、量，31vxyorABCrvDt圖圖1 這表明在以這表明在以轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系來看，在轉(zhuǎn)動(dòng)的參考系來看，在r方方向上，犬做簡諧振動(dòng)向上，犬做簡諧振動(dòng). 設(shè)其方程為設(shè)其方程為)cos(tArvAvrm當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， , ，速度沿，速度沿r軸正方向，軸正方向，而且最大，為而且最大，為0r0ra0t所以所以RvA且且 ，于是，于是2tRtRrsin)2cos(在靜止參考系的固定坐標(biāo)系在靜止參考系的固定坐標(biāo)系o-xy中，在中，在t時(shí)刻犬的坐標(biāo)為時(shí)刻犬的坐標(biāo)為tRttRtrx2sin2cossincos)2cos1 (2sinsin2tRtRtry32，tRx2sin2)2cos1 (2tRyvxyorABC

26、rvDt圖圖1由以上兩個(gè)方程消去由以上兩個(gè)方程消去t得犬的軌跡方程得犬的軌跡方程222)2()2(RRyx 這是一個(gè)圓心在（這是一個(gè)圓心在（0，R/2），半徑為），半徑為R/2的半圓的半圓. 這這半圓與狼的軌跡圓的交點(diǎn)半圓與狼的軌跡圓的交點(diǎn)B就是犬就是犬可能可能追上狼的地方追上狼的地方. 犬沿這半圓從犬沿這半圓從O點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)需時(shí)間為點(diǎn)需時(shí)間為vRt21 狼沿圓從狼沿圓從A點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)需時(shí)間為點(diǎn)需時(shí)間為vRt22因因 ，這說明，這說明B點(diǎn)點(diǎn)就是就是犬追上狼的地方犬追上狼的地方.21tt 33方法二：猜想和證明法方法二：猜想和證明法 開始時(shí)，犬在開始時(shí)，犬在O點(diǎn)，狼在點(diǎn)，狼在A點(diǎn)，犬的速

27、度應(yīng)該全是徑點(diǎn)，犬的速度應(yīng)該全是徑向速度，而無需橫向速度向速度，而無需橫向速度,速度方向應(yīng)與軌跡相切，所速度方向應(yīng)與軌跡相切，所以，犬的軌跡圓的圓心應(yīng)在以，犬的軌跡圓的圓心應(yīng)在y軸上軸上. 當(dāng)犬在當(dāng)犬在B點(diǎn)追上狼時(shí)，點(diǎn)追上狼時(shí)，它們的速度方向應(yīng)相同都與它們的速度方向應(yīng)相同都與y軸垂直，犬的速度應(yīng)該全軸垂直，犬的速度應(yīng)該全是橫向速度是橫向速度. 此時(shí)犬的速度方向也應(yīng)與其軌跡圓相切，此時(shí)犬的速度方向也應(yīng)與其軌跡圓相切，故軌跡圓的圓心也應(yīng)在故軌跡圓的圓心也應(yīng)在y軸上，由此可知犬的軌跡圓應(yīng)軸上，由此可知犬的軌跡圓應(yīng)是以是以O(shè)B為直徑的圓為直徑的圓. 下面再證明這個(gè)圓滿足題目所給的下面再證明這個(gè)圓滿足題

28、目所給的條件條件.設(shè)狼位于設(shè)狼位于A點(diǎn)時(shí)犬從點(diǎn)時(shí)犬從O點(diǎn)出發(fā)追狼點(diǎn)出發(fā)追狼. 當(dāng)犬當(dāng)犬未追上狼時(shí)，總可以把它的速度按徑向未追上狼時(shí)，總可以把它的速度按徑向和橫向分解和橫向分解. 徑向速度徑向速度vr使犬與狼的距離使犬與狼的距離縮短，而橫向速度縮短，而橫向速度v則使犬和狼以及則使犬和狼以及O點(diǎn)保持在同一直線上點(diǎn)保持在同一直線上. 因?yàn)槔堑能壽E是圓，因此可因?yàn)槔堑能壽E是圓，因此可猜想猜想犬的軌跡也是圓，并且在犬的軌跡也是圓，并且在B點(diǎn)追上狼點(diǎn)追上狼. vxyoABDCrvrvv34設(shè)犬到達(dá)設(shè)犬到達(dá)D點(diǎn)時(shí)狼到達(dá)點(diǎn)時(shí)狼到達(dá)C點(diǎn)，連接犬的軌點(diǎn)，連接犬的軌跡圓的圓心跡圓的圓心O和和D點(diǎn)，因圓心角是對應(yīng)點(diǎn)，

29、因圓心角是對應(yīng)的弦切角的兩倍，所以，的弦切角的兩倍，所以，DOO=2.vxyoABDCrvrvvo2則有犬在則有犬在t時(shí)間內(nèi)通過的路程為時(shí)間內(nèi)通過的路程為RROD22延長延長OD與圓與圓O相交于相交于C點(diǎn)，點(diǎn)， 則則RCA又因狼的速率與犬的速率都是又因狼的速率與犬的速率都是v，所以它們在相同的，所以它們在相同的時(shí)間內(nèi)通過相同的路程，所以，應(yīng)有時(shí)間內(nèi)通過相同的路程，所以，應(yīng)有RODAC則表明則表明C與與C點(diǎn)重合，實(shí)際上是同一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)重合，實(shí)際上是同一個(gè)點(diǎn). 也就表明任何時(shí)候，也就表明任何時(shí)候，O點(diǎn)和犬、狼都在同一直線上點(diǎn)和犬、狼都在同一直線上. 滿足了題目所給的條件滿足了題目所給的條件. 半圓半圓O確實(shí)是犬的軌跡確實(shí)是犬的軌跡.359.到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產(chǎn)到了晚上，地面輻射降溫使空氣層中產(chǎn)生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導(dǎo)致聲生溫度梯度，溫度隨高度遞增，這導(dǎo)致聲速速v隨高度隨高度y變化，假定變化規(guī)律為變化，假定變化規(guī)律為 v=v0(1+a2y2) ，其中，其中v0是地面（是地面（y0）處的）處的聲速，聲速，a為比例常數(shù)，今遠(yuǎn)方地面上某聲為比例常數(shù)，今遠(yuǎn)方地面上某聲源發(fā)出一束聲波，發(fā)射方向與豎直方向成源發(fā)出一束聲波，發(fā)射方向與豎直方向成角，假定在波的傳播范圍內(nèi)角，假定在波的傳播范圍內(nèi)ay1，試求，試求該聲