平面向量易錯(cuò)題解析

1、平面向量易錯(cuò)題解析1你熟悉平面向量的運(yùn)算（和、差、實(shí)數(shù)與向量的積、數(shù)量積）、運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算的幾何意義嗎22你通常是如何處理有關(guān)向量的模（長(zhǎng)度）的問(wèn)題（利用| a |2 a ； |a| . x2y2）3你知道解決向量問(wèn)題有哪兩種途徑（向量運(yùn)算；向量的坐標(biāo)運(yùn)算）4你弄清"a bx.|X2 y1 y2 0 ”與"a/ b捲丫2 x2y1 0 ”了嗎問(wèn)題:兩個(gè)向量的數(shù)量積與兩個(gè)實(shí)數(shù)的乘積有什么區(qū)別（1） 在實(shí)數(shù)中：若a 0,且ab=0,則b=0,但在向量的數(shù)量積中，若 a 0,且a? b 0，不能推出b 0 .（2）已知實(shí)數(shù)a,b,c, （b o），且ab be,則a=c,但在向量

2、的數(shù)量積中沒(méi)有 a?b b?c a c .（3） 在實(shí)數(shù)中有（a?b）?c a?（b ?c），但是在向量的數(shù)量積中（a?b）?c a?（b?c），這是因?yàn)樽筮吺桥cc共線的向量，而右邊是與 a共線的向量5.正弦定理、余弦定理及三角形面積公式你掌握了嗎三角形內(nèi)的求值、化簡(jiǎn)和證明恒等式有什么特點(diǎn)1. 向量有關(guān)概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示，注 意不能說(shuō)向量就是有向線段，為什么（向量可以平移）。如已知A（ 1,2），B （4,2 ），則把向量aB按向量a=（-1,3 ）平移后得到的向量是 （答：（3,0 ）（2）零向量：長(zhǎng)度為0的向量叫零向量

3、，記作： 0 ,注意零向量的方向是任意的；（3） 單位向量：長(zhǎng)度為一個(gè)單位長(zhǎng)度的向量叫做單位向量（與AB共線的單位向量是上B ）；（4）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量，相等向量有傳遞性；（5） 平行向量（也叫共線向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，記作：a / b , 規(guī)定零向量和任何向量平行 。提醒：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定相等；兩個(gè)向量平但兩條直線平行不包含兩條直行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念：兩個(gè)向量平行包含兩個(gè)向量共線i線重合；平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?）；三點(diǎn) A B、C共線如下列命題:（6）相反向量：長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做

4、相反向量。a的相反向量是一a。b。（2）兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同。(3)若DC ,則ABCD是平行四邊形。(4)若ABCD是平行四邊形,。(6)若 ab,b/c，則ac。其中正確的是(答: (4)(5)2. 向量的表示方法：(1)幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如AB，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后;(2)符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示，如a , b , c 等；(3)坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i , j為基底，則平面內(nèi)的任一向量a可表示為a xiyj x, y，稱x, y為向量a的坐標(biāo),a = x, y叫做向量a的坐

5、標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。3.平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)2，使 a 1 e1 +2 e2。如(1)若(1,1),(1,2)，則(答：駡) (2)下列向量組中，能作為2 2平面內(nèi)所有向量基底的是A. 8 (0,0), e2 (1, 2) B. 8 ( 1,2),e2 (5,7) C. © (3,5),e2 (6,10)D. J (2, 3),e2 (1,扌)(答：B) ; ( 3 )已知AD,BE分別是 ABC的邊BC, AC上的中線，且 a, b表示為AD a,BE

6、b,則bc可用向量(答: M邛)；(4)已知ABC中，點(diǎn)D在BC邊上,33且CD 2 DB , CDr ABsAC，貝U r s的值是(答：0)4.實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量，記作a，它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:da時(shí)O>a的方向與a的方向相同，當(dāng) <0時(shí)，a的方向與a的方向相反，當(dāng)Ta，注意：5.平面向量的數(shù)量積(1)兩個(gè)向量的夾角對(duì)于非零向量Jrb0稱為向量a , b的夾角，當(dāng) =0時(shí)，a , b同向，當(dāng) = 時(shí)，a , b反向，當(dāng) =一時(shí)，2trfa , b垂直。-、，彳4(2)平面向量的數(shù)量積：如果兩個(gè)非零向量 a , b，它們的夾角為，我們把數(shù)量|a|b|co

7、s叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積)，記作：a ? b，即a ? b = alb cos 。規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù) 量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)， 不再是一個(gè)向量。女口 (1) ABC中, | AB | 3 ,| AC | 4 , | BC | 5 ,則 AB BC11（答: 9）；（2）已知 a（1,丄）,b （0,-）,22kb,d a b ,與d的夾角為一,4則k等于（答：1）；（ 3）已知兩個(gè)非零向量，且2,5,a|3，則等于（答：屈）；（4）已知的夾角為(答: 30；)（3） b在a上的投影為|b|cos ，它是一個(gè)實(shí)數(shù)，但不一定大于0。如已知|a| 3 , | b | 5，且

8、a b 12，則向量a在向量b上的投影為12(答:)5（4）a ?b的幾何意義：數(shù)量積a ?b等于a的模| a |與b在a上的投影的積。（5）向量數(shù)量積的性質(zhì)：設(shè)兩個(gè)非零向量 a , b，其夾角為 ，則:當(dāng)a , b同向時(shí)，a ? b =，特別地，a；當(dāng)為銳角時(shí)，a ? b >0,且不同向,角時(shí)，a ? b v 0，且a、不反向，a b9.JraJrbLBraJr2；當(dāng)a與b反向時(shí)，a ? b =；當(dāng)為鈍0是 為鈍角的必要非充分條件；非零向量a , b夾角 的計(jì)算公式：cos: |a?b| |。如（1）已知a(,2 ),b （3 ,2），如果a與b的夾角為銳角，則的取值范圍是(答:已知

9、OFQ的面積為S，且OF FQ 1 ,若1 S 3，則OF , FQ夾角 的取值范圍是2 2(,);(3 )已知4 3(cosx,sin x),b (cosy,sin y), a 與之間有關(guān)系式（答：ka b -“3$ kb,其中k 0，用k表示a b ；求ab的最小值，并求此時(shí)a與1的夾角的大?。ù?k211石（k0）；最小值為-60 )6.向量的運(yùn)算：（1）幾何運(yùn)算：向量加法：利用“平行四邊形法則”外，向量加法還可利用“三角形法則”進(jìn)行，但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量，如此之:設(shè)ABb，那么向量AC叫做a與b的和，即向量的減法：用“三角形法則”:設(shè)點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。 注意：此

10、處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同。 AB BC CD AB AD DC:(AB CD) (AC bd)如 ( 1)化簡(jiǎn):0 ); (2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1,-c4c(答：Z 2 )； ( 3)若 O 是ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足ABC的形狀為(答：直角三角形)；(4)，貝U ABC的內(nèi)角C為若D為 ABC的邊BC的中點(diǎn)， ABC所在平面內(nèi)有一點(diǎn) P，滿足 pa BP CP i則 的值為(答：2) ; ( 5)若點(diǎn)O是厶ABC的外心，且 OA OB CO 0(答: 120：);(2)坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè)(%, yj,b 區(qū)小)，則:向量的加減法運(yùn)算y1X2化JrbJray2)° 如(1)

11、已知點(diǎn) A(2,3), B(5,4) , C(7,10),若Ap Ab AC( r)，則當(dāng)A(2,3), B(1,4),且 LAB (sin x,cos y) x,y2 ，時(shí),1點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上(答： 一)；(2)已知2(-)，貝U x y (答：一或一);(3)已知作2 2 6 2用在點(diǎn)A(1,1)的三個(gè)力F； (3,4), F2 (2,5),F3(3,1)，則合力F1F2F3的終點(diǎn)坐標(biāo)是(答: (9,1 )實(shí)數(shù)與向量的積o%X1,y1X1, a若 A(為，yj, B(X2,y2)，則x2 x, y2 % ,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè)

12、 A(2,3), B(1,5)，且 AC AB , AD 3AB3，則CD的坐標(biāo)分別是11 (答：(1,§),(平面向量數(shù)量積：7,9)Jrb9. dfa)；x1x2y1y2 o 女口已知向量 a =( sinx , cosx) , b =( sinx , sinx ) , c*fQ-a- f=(1, 0) o (1)若x=,求向量a、c的夾角；(2)若x ，一，函數(shù)f (x) a b的最大值3841為1 ,求的值(答：2向量的模：|7|2 1 )；2ra2y2 2 2| x y o如已知a,b均為單位向量，它們的夾角為60，那么|a 3b | =兩點(diǎn)間的距離：若A x1, y, ,

13、 B x2, y2 ，則| AB |22f-x2 x1y2 y1 。如如圖，在平面斜坐標(biāo)系 xOy中， xOy 60，平面上任一點(diǎn) P關(guān)于OP xef yej，其中 H 分別為與x軸、y軸同方向的單位向量，斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的：若則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為（x, y）。（1）若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為（2,- 2）,求P到0的距離| P0|; （2）求以0為圓心,1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系 xOy中的方程。（答：（1）2；（2）xy JICJrat aJrcJJbJlac, jaLlaJraJra7.向量的運(yùn)算律：（1 ）交換律:JJaJraJrAa ?)dlb oJraLB JGJraJB-C?J7a? ?

14、Jr a JibJib? JlaJ»c?Jrb?Jra17命 列 下 如結(jié)合律：分配律：題中：2a (b c) a b a c : a (b c) (a b) c :(a b)24彳2|a| |b|b|2 ；若 a b 0,則 a 0 或 b 0 ；若 a b2*2 2 彳22(a b) a b :(a b') a 2a b b。其中正確的是_JraHu貝a JrcJrc22-a（答：）提醒：（1）向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類似的地方也有區(qū)別：對(duì)于一個(gè)向量等式，可以移項(xiàng)，兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù)，兩邊同時(shí)取模，兩邊同乘以一個(gè)向量，但不能兩邊同除以一個(gè)向量，即兩邊不能約去一個(gè)向量

15、，切記兩向量不能相除（相約）；（2）向量的"乘法”不滿足結(jié)合律，即a（b?c） （a?b）c ,為什么8.向量平行（共線）的充要條件：a/bxi y2y1x2 = 0。如右向量時(shí)a與b共線且方向相同（答:a (1,1)b (4,x),2b , vu/v ,（2）已知3）設(shè)PA (k,12),PB(4,5), PC(10,k)，則 k =時(shí)，A,B,C共線（答：一2或11）9.向量垂直的充要條件：a bAB Ac0 |a b| |a b|xY1Y20 特別地）。女如 （1）已知oA(1,2),oB(3,m)，若 OA OB，則 m(答:3-）（2）以原點(diǎn)0和A（4,2）為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰

16、直角三角形OAB B 90，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是2(答:(1,3)或(3 , - 1 ); ( 3 )已知（a,b）,向量n m，且，貝U m的坐標(biāo)是(答:(b, a)或(b,a)10.線段的定比分點(diǎn)：（教材未有內(nèi)容，適度補(bǔ)充）（1 ）定比分點(diǎn)的概念:設(shè)點(diǎn)P是直線P1 P2上異于P1、P2的任意一點(diǎn)，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使pPpp2，貝y 叫做點(diǎn)P分有向線段所成的比，P點(diǎn)叫做有向線段的以定比為 的定比分點(diǎn);（2）的符號(hào)與分點(diǎn)P的位置之間的關(guān)系:當(dāng)P點(diǎn)在線段P 1P2上時(shí)>0;當(dāng)p點(diǎn)在線段P1 P2的延長(zhǎng)線上時(shí)p點(diǎn)在線段p2p1的延長(zhǎng)線上時(shí)0 ;若點(diǎn)P分有向線段所成的比為，則點(diǎn)P分有向線段所成的比為

17、丄。如若點(diǎn)p分定所成的比為2，則A分E所成的比為(答:（3）線段的定比分點(diǎn)公式:設(shè)R（X1,yJ、卩:化?。琍（x,y）分有向線段所成的比為，則X-Ix21，特別地，當(dāng)%丫21=1時(shí)，就得到線段 匕p2的中點(diǎn)公式X, x2X2y1y2。在使用定比分點(diǎn)的坐y 2標(biāo)公式時(shí)，應(yīng)明確（x,y）, （x1, y1） >（X2,y2）的意義，即分別為分點(diǎn)，起點(diǎn)，終點(diǎn)的坐標(biāo)。在具體計(jì)算時(shí)應(yīng)根據(jù)題設(shè)條件，靈活地確定起點(diǎn)，分點(diǎn)和終點(diǎn)，并根據(jù)這些點(diǎn)確定對(duì)應(yīng)的定比。如（1）若M （-3 , -2 ）,1N（6, -1 ），且 MP MN,則點(diǎn) 31直線y ax與線段AB交于M，且2P的坐標(biāo)為 （答:(6,1

18、1.向量中一些常用的結(jié)論AM2mB，則a等于-);(2)已知 A(a,0), B(3,23(答：2或4)a),（1） 一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量，要注意運(yùn)用;(2) |a| |b| |aL»rb4ra.4b|a|arb3 )在 ABCX2X3 y1目2則"ABC的重心的坐標(biāo)為_(kāi)b| |a|b|，特別地，當(dāng)a、b同向或有0反向或有0|1冰|禽不共線|b|（這些和實(shí)數(shù)比較類似）.中，右 A ,y1 ,B X2,y2 ,C追。如若"ABC的三邊的中點(diǎn)分別為（答：（鴆）;G為 ABC的重心，特別地X3,y3,則其重2, 1)、(-3 , 4)、PA PB p

19、C 0心的坐標(biāo)為(-1, -1),P為ABC的重心;pA pB pB pC pC pAP為ABC的垂心;0)所在直線過(guò) ABC的內(nèi)心(是 BAC的角平分線所在直線)；|AB|PC |bC|pA |cA|pB 0(3)若P分有向線段Pp2所成的比為 為PP的中點(diǎn) MP京MP21 ；2P ABC的內(nèi)心；，點(diǎn)M為平面內(nèi)的任一點(diǎn)，則1中三終點(diǎn)A使得乍ApC1 .如平面直角坐標(biāo)系中，0為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1) , B(1,3),若點(diǎn)C滿足OC1 OA 2 OB ,其中1, 2 R且1 2 1,則點(diǎn)C的軌跡是(答:直線AB)例題1已知向量 a cos3x,sin3x ,bcos', sin

20、x,且x0,求2 2 2 22(1)a b 及 a b ;(2)3若f x a b 2 a b的最小值是 一，求實(shí)數(shù)的值.2(4)向量B、C共線 存在實(shí)數(shù)且錯(cuò)誤分析： 求出a b2 2cos2x后，而不知進(jìn)一步化為 2cosx,人為增加難度(2)化為關(guān)于cosx的二次函數(shù)在 0,1的最值問(wèn)題，不知對(duì)對(duì)稱軸方程討論答案：(1) 易求 a b cos2x, a b =2cosx ；2(2) f x a b 2 a b = cos2x 2 2 cosx = 2 cos x 4 cosx 1=2 cosx 2 2 2 1x 0, cosx 0,12當(dāng) 01 時(shí)，f x min232 2 1 ,122當(dāng)

21、1 時(shí)，f x min 14-,解得5,不滿足128從而：當(dāng) 0時(shí)，f X min 1與題意矛盾，0不合題意；1綜合可得：實(shí)數(shù)的值為丄.2例題2 在 ABC中，已知AB 2,3 , AC 1,k ,且ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求實(shí)數(shù)k的值錯(cuò)誤分析：是自以為是，憑直覺(jué)認(rèn)為某個(gè)角度是直角,而忽視對(duì)諸情況的討論答案：若 BAC 90 ,即 AB AC,故ABAC 0,從而2 3k 0,解得kBCA90 ,即 BC AC ,也就是 BC AC 0 ,而 BC AC AB1,k3,k 30,解得 k 3一13若 ABC90,即BCAB,也2 3k30 ,解得k113綜合上面討論可知，k23或k .13或k

22、32故例題4 已知向量 m=(1,1)，向量m夾角為專n與向量就是 BC AB 0,而 BC 1,k(1)求向量n ;若向量n與向量q=(1,0)的夾角為，2C依次成等差數(shù)列，試求解：(1)設(shè) n =(x,y)則由<m, n>=| 得:由 m n =-1 得 x+y=-1113，且 m n =-1，向量 p =(cosA,2cosn + p 的取值范圍。cos< m,n >=皿x y2 ? . x2y22-)，其中A、C為ABC的內(nèi)角,2且 A、B、x 0 x聯(lián)立兩式得或y 1 yn =(0,-1)或(-1,0)>=2得 n q=0若 n =(1,0)則 n q

23、=-10 故n (-1,0)n =(0，-1)/ 2B=A+C A+B+C=B=3 C=t A2 Cn + p =(cosA,2cos 1) =(cosA,cosC)2n+ P=cos2 A cos2 C = 1 cos2A 1 cos2C = cos2A cos2C 1 2 2I cos 2 A cos( 2 A)1 1cos2A . 3cos2A sin 2A2 221 3-cos2Asin 2A2 212=，cos(2A )3 122A -1<cos(2A+ 3)<224/ 0<A< 0<2A< 33+( .2,5)n + P (,)2 2例題5 已知

24、函數(shù)f（x）=mx-1(m Rm 0）設(shè)向量a(1, cos2 ) , b (2,1) , c(4 sin ,1),d(2sin ,1)，當(dāng)(0 ,才）時(shí),比較f( a?b)與 f(c ?d ）的大小。解:+1=2-cos22a ?b =2+cos2, c?d=2sinf( a ? b )=m 1+cos22=2mcos ,f(c?d )=m 1-cos22=2msi n于是有 f( a ? b )-f( c ?d )=2m(cos 2 2 -sin)=2mcos2(0,)4 cos2 >0當(dāng) m>0時(shí),2mcos2>0,即 f( a ?b )>f( c?d )當(dāng)m&l

25、t;0時(shí),2mcos2<0,即 f( a ?b )<f( c?d )例題6 已知 A、B、. 2 2 ABC的內(nèi)角，且 f(A、B)=sin 2A+cos 2B- . 3 sin2A-cos2B+2（1）當(dāng)f（A、B）取最小值時(shí)，求 當(dāng)A+B=時(shí)，將函數(shù)f（A、B）按向量p平移后得到函數(shù)f（A）=2cos2A求p 22321解： f(A 、B)=(sin 2A- ,3sin2A+ 3)+(cos 2B-cos2B+ - )+1 4=(si n2A-3 212)+(s in 2B-) +12 2當(dāng)sin2A=- ,sin2B=-時(shí)取得最小值,2 2 A=30 或 60, 2B=60

26、或 120C=180-B-A=120 或 90 f(A 、B)=sin 22A+cos22(A)-3sin 2A2c。 A) 2sin 2 2a cos2 2 a 、-3si n 2a cos 2 a 232cos(2A -) 3 2cos(2A ) 333p=(3 2k ,3)例題7已知向量a (mx2, 1), b(1,x) (m為常數(shù))mx 1，且a , b不共線，若向量a , b的夾角落a ,b為銳角，求實(shí)數(shù) x的取值范圍.解:要滿足 a , b 為銳角只須 a b >0且a2mxa b =xmx 12 2mx mx xmx 10mx 1x (mx-1) >0當(dāng)m >

27、 0時(shí)x<0或xm0 時(shí)，x( -mx+1) <0綜上所述：x 0時(shí)，x(,0)(,)mx = 0時(shí)，x(,0)x < 0時(shí)，x(,-)(0,)m已知 a= (cos a,sin a),b= (cos 3,sin3)m=0時(shí)只要x0例題83 °,a與b之間有關(guān)系|k a+b|= . 3 | a- kb|，其中k>0,(1 )用k表示a b;(2)求a b的最小值，并求此時(shí) a b的夾角的大小。解 (1)要求用k表示a b,而已知|ka+b|= ,3|a kb|，故采用兩邊平方，得|k a+b| 2=(3 | a kb|) 22 2 2 2 2 2k a +b

28、+2ka b=3( a +k b 2ka b)2 2 2 2 8k a b=(3 k ) a +(3k 1)ba b = (3 k2)a2(3k21)b28k/ a=(cos a, sin a ), b=(cos 3 ,sin2 2 a =1, b =1,2 2 23 k 3k 1 k 1 a b =-8k4k22 1 2(2)t k +1 > 2k,即卩>4k 4k 21a b的最小值為 ，2又T a b =| a | | b | cos , |a|=|b|=1.1-=1 x 1 x cos 。2=60° ,此時(shí)a與b的夾角為60 °。錯(cuò)誤原因：向量運(yùn)算不夠熟

29、練。實(shí)際上與代數(shù)運(yùn)算相同，有時(shí)可以在含有向量的式子左右兩邊平方，且有2 2 2 2 2 2| a+b| =|( a+b) |= a +b +2a b 或| a| +| b| +2a例題9已知向量a(cos ,sin),b (cos ,sin2.55(i)求cos(）的值;(n)若 00，且 sin513 ,求sin的值.解（I）cos ,sincos,sin(n) 0cosI sinsincos2.552cos13sin12 313 5cos ,sincos0,sincos5133365sin2coscos1213sinsinsincoscossin例題10已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),（m 1）, mN

30、 aF 0, ON點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（-1 ,0 ）、（ 1,0），動(dòng)點(diǎn)A、MN滿足| AE | m| eF （oA oF） , aM /mE .2求點(diǎn)M的軌跡W的方程;點(diǎn)P（m, y0）在軌跡 W上，直線PF交軌跡W于點(diǎn)Q,且 PFfQ ，若1 < < 2，求實(shí)數(shù)m2的范圍.解：（I） mN aF 0, oN (OA OF),2 MN垂直平分 AF.又,點(diǎn) M在 AE上, IAM| |mE| |aE| m| eF|EF| ,| 2m , |mA | | mF |ME| 2m點(diǎn)M的軌跡W是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且半長(zhǎng)軸 a m，半焦距c點(diǎn)M的軌跡 W的方程為2x-2m2y2m1

31、( m 1).1(u)設(shè) Q(,y1)哺,y。), PF FQ，1 m(x1 1),1 2),y。y1.yi1yo.由點(diǎn)P、Q均在橢圓W上,-4 m21,m、22yo2 2(m 1)消去y°并整理，得1.2m由1 <2m1，解得1基礎(chǔ)練習(xí)題1.設(shè)平面向量a=（ 2,1),b=（入，一1），若a與b的夾角為鈍角,則入的取值范圍是（A、（C、（1-,2) (2,21,)2(2,)、（，2）答案:點(diǎn)評(píng)：易誤選C,錯(cuò)因：忽視a與b反向的情況。是平面上一定點(diǎn)，A,B,C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P滿足OP OA (總斗I AB| |AC|0,）,則P的軌跡一定通過(guò)厶 ABC的 （）（A

32、）外心 （B） 內(nèi)心 （C） 重心(D)垂心正確答案：Bo一 一AB AC錯(cuò)誤原因：對(duì)OP OA (),I AB |AC|0,）理解不夠。不清楚ABI ABI與/ BAC的角平分線有關(guān)。I AC |3.若向量 a =(cos ,sinb = cos,sina與b不共線，則a與b 一定滿足（）A. a與b的夾角等于B. a / bC. ( a + b)( a - b )D.正確答案：C錯(cuò)因：學(xué)生不能把a(bǔ)b的終點(diǎn)看成是上單位圓上的點(diǎn)，用四邊形法則來(lái)處理問(wèn)題。A .則OA OP的最大值為()C. 9D. 123B. 6正確答案：C錯(cuò)因：學(xué)生不能借助數(shù)形結(jié)合直觀得到當(dāng)OP cos最大時(shí)，OA OP即為

33、最大。5.在 ABC 中，a 5,b8,C60 ,則BCCA的值為()A 20B20 Cr. I20、3D20、3錯(cuò)誤分析：錯(cuò)誤認(rèn)為BC ,CA C60,從而出錯(cuò)答案：B略解：由題意可知BC,CA 1205故 BC CA=BC CAcos BC,CA5 81220.6.已知向量a =(2cos,2sin ),（2,),b =(0,-1)，則a與b的夾角為（）A. 2B.+C.-D.3224.已知O A、B三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為正確答案：A 錯(cuò)因：學(xué)生忽略考慮 a與b夾角的取值范圍在0 , oO(0,0) , A(3, 0) , B(0 , 3)，是 P 線段 AB上且 AP =t AB (0 <

34、; t < 1)7.如果a ba c,且0，那么BAclieD4C,-B-b.b,c在a方向上的投影相等正確答案：Db錯(cuò)誤原因：對(duì)向量數(shù)量積的性質(zhì)理解不夠。8.已知向量OB(2,2),CA（吐2cosa,、,2sin a）則向量oA,OB的夾角范圍是（A、 n /12 , 5n /12 B 、 0 ,n /4 C 、 n 14 , 5n /12 D 、5 n /12 , n /2正確答案：A錯(cuò)因：不注意數(shù)形結(jié)合在解題中的應(yīng)用。9.設(shè)a =（x i, yi）, b=（X2, y2），則下列a與b共線的充要條件的有（） 存在一個(gè)實(shí)數(shù)入，使a = b或6=入a ;| a b |=| a| |

35、b | ;Xi yi; （a + b） a b原點(diǎn)0及點(diǎn)A（ 5, 2）為頂點(diǎn)作等腰直角三角形 OAB使 A 90，則AB X2 y2的坐標(biāo)為（）。A、（ 2, -5 ）B、（ -2 , 5）或（2, -5 ）C 、（ -2 , 5）D、（ 7, -3 ）或（3, 7）正解：B設(shè) AB （x,y），則由 |0A|5222 x2 y2而又由OA AB得5x 2y 0由聯(lián)立得x 2,y5或x2,y 5。AB （2, 5）或（一2,5）誤解：公式記憶不清，或未考慮到聯(lián)立方程組解。11.設(shè)向量 a （Xi，yj,b/、x1yii f(X2, 丫2)，則是 a / b 的(X2y2）條件。A、充要B、必

36、要不充分C充分不必要D、既不充分也不必要正解：C甘 Xiyi ntt右貝U x1 y2X2yik f* *10, a/b，若 a/ b，有可能X2或y2為0,故選CoX2 y2誤解：a/bx1 y20x1X2 y10y1，此式是否成立，未考慮，選AX2! y12.在OAB中, OA(2cos ,2sin),OB(5cos ,5sin)，若 OA OB5 ,則 S OAB =()43C、5 35島A、3B、D、22正解：Do/ OA OB5 |0A| |0B|cosV5 （LV為OA與OB的夾角）jl2cos2 (2sin )2(5cos)225sincosV51.315 3- cosV si

37、nVS OAB|OA| |OB|si nV2222誤解：Co將面積公式記錯(cuò)，誤記為S OAB|OA| OB | si nV13.設(shè)平面向量a(2,1),b(,1),(R),若a與b的夾角為鈍角，則的取值范圍是(A)1A、( ,2)(2,)B、(2, +)c、（-丄,)D、(-,丄）222錯(cuò)解：C錯(cuò)因：忽視使用a b 0時(shí)，其中包含了兩向量反向的情況正解：A若a b,則a b與c不平行（ ）D 、4個(gè)14.設(shè)a, b, c是任意的非零平面向量且互不共線，以下四個(gè)命題:（a b） c cab 0»*V-Ir+F-bcacab不與c垂直其中正確命題的個(gè)數(shù)是A 1個(gè) B 、2個(gè) C 、3個(gè)

38、正確答案：（B） 錯(cuò)誤原因：本題所述問(wèn)題不能全部搞清。15.若向量a= x,2x , b=3x,2，且a , b的夾角為鈍角，貝U x的取值范圍是錯(cuò)誤分析：只由a, b的夾角為鈍角得到a b0,而忽視了 a b 0不是a,b夾角為鈍角的充要條件因?yàn)閍,b的夾角為180時(shí)也有a b0,從而擴(kuò)大x的范圍，導(dǎo)致錯(cuò)誤.正確解法： a , b的夾角為鈍角，23x 2x 2 3x 4x 04解得x 0或x 一3(1)又由a,b共線且反向可得由得X的范圍是1,043,答案:16.已知平面上三點(diǎn)B、C 滿足 | AB |3,|BC|4,|CA| 5,貝V AB BC BC CA CA AB 的值等于A. 25B.24C.-25D. 2417.已知AB是拋物線x22py(p0)的任一弦,為拋物線的焦點(diǎn),l為準(zhǔn)線.m是過(guò)點(diǎn)A且以向量(0, 1)為方向向量的直線(1)若過(guò)點(diǎn)A的拋物線的切線與y軸相交于點(diǎn)C,求證：|AF|=|CF|(2)OA OB p2 0(A,B異于原點(diǎn))，直線OB與m相交于點(diǎn)P,求點(diǎn)P的軌跡方程;(3)解: ( 1)則直線AC的方程：y y1 (x X1),