第3章點幾何元素的投影

1、3.1 3.1 點的投影點的投影 Pb AP采用多面投影采用多面投影 過空間點過空間點A的投射線與的投射線與投影面投影面P的交點即為點的交點即為點A在在P面上的投影。面上的投影。B1B2B3 點在一個投影面上的點在一個投影面上的投影不能確定點的空間位投影不能確定點的空間位置。置。點在一個投影面上的投影點在一個投影面上的投影a 3.1.1 3.1.1 點在兩面投影體系中的投影點在兩面投影體系中的投影1.兩面投影體系兩面投影體系 如圖所示的兩個互相垂直的投影面，處于正面直立位置的如圖所示的兩個互相垂直的投影面，處于正面直立位置的投影面為正投影面，以投影面為正投影面，以V V表示，簡稱表示，簡稱V

2、V面。處于水平位置的投面。處于水平位置的投影面稱為水平投影面，以影面稱為水平投影面，以H H表示，簡稱表示，簡稱H H面。面。 V面與面與H面的交線稱為面的交線稱為OX投影軸，投影軸，簡稱簡稱X軸。軸。兩個互相垂直的投影面把空間兩個互相垂直的投影面把空間分為分為4個分角，依次為個分角，依次為、表示。表示。2.點的兩面投影圖點的兩面投影圖a 點點 A的水平投影的水平投影a 點點A的正面投影的正面投影展開方法：將展開方法：將H面繞面繞X軸向軸向 下旋轉(zhuǎn)下旋轉(zhuǎn)903. 點的兩面投影規(guī)律點的兩面投影規(guī)律1） 點的水平投影和正面投影的連線垂直于點的水平投影和正面投影的連線垂直于X軸，即軸，即a aX軸軸

3、; 2） 點的水平投影到點的水平投影到X軸的距離等于空間點到軸的距離等于空間點到V面的距離，面的距離，即即 aax=Aa;3) 3) 點的正面投影到點的正面投影到X軸的距離等于空間點到軸的距離等于空間點到H面的距離面的距離,即即 aax=Aa.HWV投投影影面面正面投影面（簡稱正面投影面（簡稱正面或正面或V面）面）水平投影面（簡稱水水平投影面（簡稱水平面或平面或H面）面）側(cè)面投影面（簡稱側(cè)面投影面（簡稱側(cè)面或側(cè)面或W面）面）投投影影軸軸oXZOX軸軸 V面與面與H面的交線面的交線OZ軸軸 V面與面與W面的交線面的交線OY軸軸 H面與面與W面的交線面的交線Y三個投影面互三個投影面互相垂直相垂直1

4、. 點的三面投影點的三面投影三個投影軸三個投影軸 互相垂直互相垂直投影軸的交點稱為原點投影軸的交點稱為原點空間點空間點A在三個投影面上的投影在三個投影面上的投影a 點點A的正面投影的正面投影a點點A的水平投影的水平投影a 點點A的側(cè)面投影的側(cè)面投影空間點用大寫字母表示，點的空間點用大寫字母表示，點的投影用小寫字母或加投影用小寫字母或加“，”表表示。示。WHVoXa aa AZYWVHXYZOVHWAaa a xaazay向后翻向后翻向下翻向下翻不動不動投影面展開投影面展開aaZaa yayaXYHYWO azxY軸分解為兩部分軸分解為兩部分YH、YW 點的三面投影和點的三面投影和坐標(biāo)的坐標(biāo)的關(guān)

5、系關(guān)系為：為：畫出畫出A點投影圖和舉例點投影圖和舉例水平投影水平投影 a 反映了反映了 A點點X和和Y的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；正面投影正面投影 a反映了反映了 A點點X和和Z的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；側(cè)面投影側(cè)面投影a”反映了反映了 A點點Y和和Z的坐標(biāo)。的坐標(biāo)。yxzOAVHWaaaXZYaxaayz點點的的投投影影規(guī)規(guī)律律: a aOX軸軸 a a OZ軸軸 aax= a azXYZOVHWAaa a xaazayYWZaza XYHaywOaaxayHa 2. 2. 點的坐標(biāo)和三面投影規(guī)律點的坐標(biāo)和三面投影規(guī)律點的坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系點的坐標(biāo)與三面投影的關(guān)系A(chǔ)a=aaz=aay=axO=xAAa=aax=

6、aaz=ayO= yAAa=aax=aay=azO=zA綜合綜合點的坐標(biāo)和三面點的坐標(biāo)和三面投影的投影規(guī)律如下：投影的投影規(guī)律如下：1、aaOX，aaz=aayH=xA2、aaOZ，aax=aayw=zA3、aax=aaz=yAZazXYWa yHaywOaaxayHa YZOVHWAaa a xaazayxzY具體作圖時用具體作圖時用45輔助線幫助作圖輔助線幫助作圖【例】已知【例】已知A（20、15、15），作出作出A點的三面投影。點的三面投影。1)作作OX、OY和和OZ軸，并作軸，并作 YHOYW的角平分線的角平分線45線。線。 2) 自自O(shè)點沿點沿OX軸量取軸量取20，即，即 XA =

7、20，得，得ax點。點。3) 過過ax點作點作OX軸的垂線，在此軸的垂線，在此 垂線上沿垂線上沿OYH軸方向量取軸方向量取15， 即即YH = 15，得，得a點；在此垂線點；在此垂線 上沿上沿OZ軸方向量取軸方向量取15，得，得a點。點。4) 由由a作作OZ軸的垂線，交軸的垂線，交OZ軸軸 于于az , 在此垂線上沿在此垂線上沿OYW軸軸 方向量取方向量取aza= axa = YA = 15，得，得a。a aaxa a aaxazaz解法一解法一:通過作通過作45線線使使a az=aax解法二解法二:用分規(guī)直接量用分規(guī)直接量取取a az=aaxa d d ee f f e f d zxYW Y

8、H0 d aa a 兩點的相對位置指兩點兩點的相對位置指兩點在空間的在空間的上下、前后、左右上下、前后、左右位置關(guān)系。位置關(guān)系。判斷規(guī)律：判斷規(guī)律： x 坐標(biāo)大的在左坐標(biāo)大的在左 y 坐標(biāo)大的在前坐標(biāo)大的在前 z 坐標(biāo)大的在上坐標(biāo)大的在上B點在點在A點之前、點之前、之右、之下。之右、之下。b aa a b bXYHYWZ1. 兩點的相對位置的確定兩點的相對位置的確定a a aXZYWYHOb bb 9852. 重影點重影點重影點：重影點： 空間兩點在某一投空間兩點在某一投影面上的影面上的投影重合為一投影重合為一點點時，則稱此兩點為時，則稱此兩點為該該投影面投影面的重影點。的重影點。A、C為為H

9、面的重影點面的重影點被擋住的投被擋住的投影加影加( )a a c c ( )a c圖19 重影點的投影重影點的投影一點的兩投影之間的連線垂直于投影軸；點的一個投影到某投影軸的距離等于空間點到與該投影軸相鄰的投影面之間的距離。即aa0X ；aa0Z；aax =a”az點的三面投影規(guī)律點的一個投影反映了點的兩個坐標(biāo)。已知點的兩個投影，則點的X、Y、Z三個坐標(biāo)就可確定，即空間點是唯一確定的。因此已知一個點的任意兩個投影即可求出其第三投影?？臻g點 點的X、Y、Z三個坐標(biāo)均不為零，其三個投影都不在投影軸上。投影面上的點 點的某一個坐標(biāo)為零，其一個投影與投影面重合，另外兩個投影分別在投影軸上。投影軸上的點

10、 點的兩個坐標(biāo)為零，其兩個投影與所在投影軸重合，另一個投影在原點上。與原點重合的點 點的三個坐標(biāo)為零，三個投影都與原點重合。 各種位置點的投影兩點的相對位置 兩點的相對位置是根據(jù)兩點相對于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。X坐標(biāo)值大的點在左；Y坐標(biāo)值大的點在前；Z坐標(biāo)值大的點在上。 根據(jù)一個點相對于另一點上下、左右、前后坐標(biāo)差，可以確定該點的空間位置并作出其三面投影。若兩點位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點在該投影面上的投影重合，這兩點稱為該投影面的重影點。重影點在三對坐標(biāo)值中，必定有兩對相等。從投影方向觀看，重影點必有一個點的投影被另一個點的投影遮住而不可見。判斷重影點的可見性

11、時，需要看重影點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可見，不可見點的投影加括號表示。重影點及可見性判別3.2 3.2 直線的投影直線的投影 空間空間兩點確定一條直線，只要將兩點兩點確定一條直線，只要將兩點的同名投影用直線連接，就得到直線的同的同名投影用直線連接，就得到直線的同名投影。名投影。直線對一個投影面的投影特性直線對一個投影面的投影特性ABab直線垂直于投影面直線垂直于投影面投影重合為一點投影重合為一點 積聚性積聚性直線平行于投影面直線平行于投影面投影反映線段實長投影反映線段實長 ab=AB直線傾斜于投影面直線傾斜于投影面投影比空間線段短投影比空間線段短 ab=ABcosA

12、BabAMBabmaa a b b b直線投影的基本特性直線投影的基本特性 一般情況下，一般情況下， 直線的投影仍然為直線的投影仍然為直線，特殊情況為一個點。直線，特殊情況為一個點。2. 直線投影的畫法直線投影的畫法3.2.2 3.2.2 各種位置的直線各種位置的直線投影面投影面平行線平行線平行于某一投影面而平行于某一投影面而與其余兩投影面傾斜與其余兩投影面傾斜投影面投影面垂直線垂直線正平線（平行于面）正平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）側(cè)平線（平行于面）水平線（平行于面）水平線（平行于面）正垂線（垂直于面）正垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）側(cè)垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于面）鉛垂線（垂直于

13、面）一般位置直線一般位置直線與三個投影面都傾斜的直線與三個投影面都傾斜的直線統(tǒng)稱特殊位置直線統(tǒng)稱特殊位置直線垂直于某一投影面垂直于某一投影面投影特性：投影特性： 三個投影都與投影面三個投影都與投影面傾斜且都縮短。即傾斜且都縮短。即: : 都不反映空間線段的實都不反映空間線段的實長及與三個投影面夾角長及與三個投影面夾角的真實大小。的真實大小。abb a b a 一般位置直線一般位置直線 與與H面的夾角面的夾角: 與與V面的夾角面的夾角: 與與W面的夾角面的夾角:0、90b a aba b b aa b ba 在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反在其平行的那個投影面上的投影反映實長，并反映直

14、線與另兩投影面傾角的真實大小。映直線與另兩投影面傾角的真實大小。另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且長另兩個投影面上的投影平行于相應(yīng)的投影軸，且長 度縮短。度縮短。水平線水平線側(cè)平線側(cè)平線正平線正平線投投 影影 特特 性：性：實長實長實長實長實長實長ba aa b b 鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 反映線段實長。且垂直于相反映線段實長。且垂直于相應(yīng)的投影軸。應(yīng)的投影軸。鉛垂線鉛垂線正垂線正垂線側(cè)垂線側(cè)垂線 另外兩個投影另外兩個投影， 在其垂直的投影面上，在其垂直的投影面上，投影有積聚性投影有積聚性。投影特性投影特性: :c (d )cdd c a b a(b)a b e f ef

15、e (f )ABbbaaCXO|zA-zB| 在平面在平面ABba中，中，過過A點作點作ACab，得得ABC為一直角為一直角三角形。三角形。 求線段求線段AB的實長的實長和和H面的傾角面的傾角，可，可歸結(jié)為求直角三角形歸結(jié)為求直角三角形ABC的實形問題。的實形問題。2、 作圖方法作圖方法XaabbAB|zA-zB|ab求求AB直線的實長和直線的實長和H面的傾角面的傾角。方法一：方法一： XaabbZB-ZAZB-ZAabAB|zA-zB|方法二：方法二：aXabbabABABab|YA-YB|YA-YB|AB|YA-YB|ABbbaaCXO|YA-YB|ZXabaOYHYWabbXZYOABb

16、babaa|XA-XB|XA-XB|。a|zA-zB| ab a b |yA-yB|ABABab|zA-zB|b Xa bAB有兩解有兩解 直線上的點，其各投影面上的投影必在該直線的同面直線上的點，其各投影面上的投影必在該直線的同面投影上；反之，如果點的各投影面的投影在直線的同面投投影上；反之，如果點的各投影面的投影在直線的同面投影上，則該點必在直線上。影上，則該點必在直線上。 若點在直線上若點在直線上, 則點的則點的投影必在直線的同名投投影必在直線的同名投影上。并將線段的同名影上。并將線段的同名投影分割成與空間相同投影分割成與空間相同的比例。即：的比例。即：2. 點分割線段成定比點分割線段成

17、定比AC/CB=ac/cb= a c / c b ABCVHbcc b a a定比定理定比定理ABbbaaXOccCc點點C不在不在直線直線AB上上例：判斷點例：判斷點C是否在線段是否在線段AB上。上。abca b c c abca b 點點C在直在直線線AB上上已知直線上點的一個投影，怎樣求其余投影已知直線上點的一個投影，怎樣求其余投影dd例例2：判斷點：判斷點K是否在線段是否在線段AB上。上。a b k 因因k 不在不在a b 上，上， 故點故點K不在不在AB上。上。應(yīng)用定比定理應(yīng)用定比定理abka b k 另一判斷法另一判斷法?例題例題3 3 已知點已知點C C 在線段在線段ABAB上，

18、求點上，求點C C 的正面的正面投影。投影。bXaabccaccbXOABbbaacCcHVbbXaaL例：例： 已知線段已知線段ABAB的投影，試定出屬于線段的投影，試定出屬于線段ABAB的點的點C C的的投影，投影， 使使BCBC 的實長等于已知長度的實長等于已知長度L L。cLABzA-zBcab平行平行相交相交交叉交叉垂直相交垂直相交空間兩直線的相對位置分為：空間兩直線的相對位置分為：平行平行、相交相交、交叉交叉。1. 平行兩直線平行兩直線投影特性：投影特性： 空間兩直線平行，則其各空間兩直線平行，則其各同面投影必相互平行，反之亦同面投影必相互平行，反之亦然。然。aVHc bcdABC

19、Db d a 由于空間兩平行直線對于由于空間兩平行直線對于同一投影面的傾角相同，故兩同一投影面的傾角相同，故兩直線的長度之比等于其同面投直線的長度之比等于其同面投影長度之比影長度之比, 即即AB:CD=ab：cd=ab:cd=a”b”:c”d”abcdc a b d 對于對于一般位置直一般位置直線線，只要有兩個同面，只要有兩個同面投影互相平行，空間投影互相平行，空間兩直線就平行。兩直線就平行。AB/CDb d c a cbadd b a c 對于對于特殊位置直特殊位置直線線，只有兩個同名投，只有兩個同名投影互相平行，空間直影互相平行，空間直線不一定平行。線不一定平行。求出側(cè)面投影后可知：求出側(cè)

20、面投影后可知：ABAB與與CDCD不平行。不平行。例例2：判斷圖中兩條直線是否平行。：判斷圖中兩條直線是否平行。求出側(cè)面投影求出側(cè)面投影如何判斷？如何判斷？HVABCDKabcdka b c k d abcdb a c d kk 投影特性：投影特性： 若空間兩直線相交，若空間兩直線相交，則其同面投影必相交，且則其同面投影必相交，且交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律交點的投影必符合空間一點的投影規(guī)律。反之亦然反之亦然交點是兩直交點是兩直線的共有點線的共有點cabb a c d k kd例：過例：過C點點作水平線作水平線CD與與AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影分析：分析：CDCD首先是水平

21、線首先是水平線 所以正面投影平所以正面投影平 行行X X 軸軸. .其次要其次要 與與ABAB相交，要符相交，要符 合相交兩直線的合相交兩直線的 投影特性。投影特性。 一般情況下，只要兩直線的兩組同面投影相一般情況下，只要兩直線的兩組同面投影相交；且兩投影交點的連線垂直投影軸，就可以判交；且兩投影交點的連線垂直投影軸，就可以判斷這兩條直線在空間相交。但是，當(dāng)兩直線之一斷這兩條直線在空間相交。但是，當(dāng)兩直線之一是投影面的平行線時，則需要對投影作進(jìn)一步的是投影面的平行線時，則需要對投影作進(jìn)一步的分析以確定兩直線是否相交。分析以確定兩直線是否相交。d b a abcdc1 (2 )3(4 )投影特性

22、投影特性： 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但 “交點交點”不符合空不符合空間一個點的投影規(guī)律間一個點的投影規(guī)律。 “交點交點”是兩直線上是兩直線上的一的一 對對重影點的投重影點的投影影，用其可幫助判斷，用其可幫助判斷兩直線的空間位置。兩直線的空間位置。、是面的重影點，是面的重影點，、是是H面的重影點。面的重影點。為什么？為什么？123 4 兩直線相交嗎？兩直線相交嗎？例題例題 判斷兩直線的相對位置判斷兩直線的相對位置baacddcbX11d1c1結(jié)論：結(jié)論：交叉兩直線交叉兩直線判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性XOBDACbb aa c cdd (3 )4 1(2)433

23、41 2 12 判斷重影點的可判斷重影點的可見性時，需要看重影見性時，需要看重影點在另一投影面上的點在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點投影，坐標(biāo)值大的點投影可見，反之不可投影可見，反之不可見，不可見點的投影見，不可見點的投影加括號表示。加括號表示。例題例題 判斷兩直線重影點的可見性判斷兩直線重影點的可見性bbcddcXaa3(4)34121(2) 若相交兩直線互相垂直，且其中一條直線為投影面的平行線，則兩直若相交兩直線互相垂直，且其中一條直線為投影面的平行線，則兩直線在該投影面的投影必定相互垂直。此投影特性稱為直角投影定理。線在該投影面的投影必定相互垂直。此投影特性稱為直角投影定理。設(shè)設(shè) 直角

24、邊直角邊BC/H面面,BCAB因因 BCAB, 同時同時BCBb所以所以 BCABba平面平面直線在直線在H面上的投影互相垂直面上的投影互相垂直即即 abc為直角為直角因此因此 bcab故故 bc ABba平面平面又因又因 BCbcABCabcHa c b abc.證明：證明：1. 垂直兩直線的投影特性垂直兩直線的投影特性 反之如果相交兩直線的任意一組同面投影互相垂直，且其中一條直線為該反之如果相交兩直線的任意一組同面投影互相垂直，且其中一條直線為該投影面的平行線，則此兩直線在空中一定互相垂直。投影面的平行線，則此兩直線在空中一定互相垂直。垂直交垂直交叉？叉？d abca b c dAB為正平

25、線為正平線, 正正面投影反映直角。面投影反映直角。.2. 作圖作圖eeeecc例例 已知直線已知直線AB的兩面投影和的兩面投影和C點的水平投影點的水平投影,試過試過C點作點作直線直線CE與與AB垂直相交垂直相交,求直線求直線CE的兩面投影的兩面投影。 cbabaOX分析：過一點作一直線與已知分析：過一點作一直線與已知 直線垂直，可做無數(shù)條，直線垂直，可做無數(shù)條， 但在投影中反映直角的只但在投影中反映直角的只 有兩條。一條是水平線，有兩條。一條是水平線， 一條是正平線。一條是正平線。例題例題 過點過點E E 作線段作線段EFEF, ,分別與直線分別與直線ABAB、CD CD 垂直。垂直。ffOc

26、baabXcddee分析：分析： AB為正平線，所以為正平線，所以ef必垂直必垂直ab；CD為為水平線，所以水平線，所以ef必垂直必垂直Cd。例：已知例：已知ABAB、CD CD 兩直線的兩直線的H H面和面和V V面投影，面投影， 求求ABAB、CD CD 兩直線的公垂線。兩直線的公垂線。分析：直線分析：直線ABAB是一條鉛垂線，垂是一條鉛垂線，垂 直直ABAB的線一定是一條水平的線一定是一條水平 線；水平線要與線；水平線要與ABAB相交，相交， 水平投影應(yīng)過水平投影應(yīng)過a a（b b），），還還 要與要與CDCD垂直，所以水平投垂直，所以水平投 影必垂直影必垂直cdcd。 3.2.7 3.

27、2.7 直線的跡點直線的跡點跡點及投影性質(zhì)跡點及投影性質(zhì): :直線與投影面的交點稱為直線的跡點。直線與投影面的交點稱為直線的跡點。 跡點是直線與投影面的共有點。跡點是直線與投影面的共有點。小小 結(jié)結(jié)點與直線的投影特性，尤其是點與直線的投影特性，尤其是特殊位置直線特殊位置直線的投影特性的投影特性。點與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及點與直線及兩直線的相對位置的判斷方法及投影特性。投影特性。定比定理。定比定理。直角定理，即兩直線垂直時的投影特性。直角定理，即兩直線垂直時的投影特性。重點掌握：重點掌握：一、各種位置直線的投影特性一、各種位置直線的投影特性 一般位置直線一般位置直線三個投影與各投影軸

28、都傾斜。三個投影與各投影軸都傾斜。 投影面平行線投影面平行線 在其平行的投影面上的投影反映線段實長在其平行的投影面上的投影反映線段實長及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相及與相應(yīng)投影面的夾角。另兩個投影平行于相應(yīng)的投影軸。應(yīng)的投影軸。 投影面垂直線投影面垂直線 在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。在其垂直的投影面上的投影積聚為一點。另兩個投影反映實長且垂直于相應(yīng)的投影軸。另兩個投影反映實長且垂直于相應(yīng)的投影軸。二、直線上的點二、直線上的點 點的投影在直線的同名投影上。點的投影在直線的同名投影上。 點分線段成定比，點的投影必分線段的投影點分線段成定比，點的投影必分線段的投影 成定比成定比定比

29、定理。定比定理。三、三、兩直兩直線的線的相對相對位置位置 平行平行 相交相交 交叉（異面）交叉（異面） 同名投影互相平行。同名投影互相平行。 同名投影相交，交點是兩直線的共有同名投影相交，交點是兩直線的共有點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。點，且符合空間一個點的投影規(guī)律。 同名投影可能相交，但同名投影可能相交，但“交點交點”不符合空間一個點的投影規(guī)律。不符合空間一個點的投影規(guī)律?！敖唤稽c點”是兩直線上一對重影點的投影。是兩直線上一對重影點的投影。四、相互垂直的兩直線的投影特性四、相互垂直的兩直線的投影特性 兩直線同時平行于某一投影面時，在該兩直線同時平行于某一投影面時，在該 投影面上的投影反映直

30、角。投影面上的投影反映直角。 兩直線中有一條平行于某一投影面時，兩直線中有一條平行于某一投影面時， 在該投影面上的投影反映直角。在該投影面上的投影反映直角。 兩直線均為一般位置直線時，兩直線均為一般位置直線時， 在三個投影面上的投影都不在三個投影面上的投影都不 反映直角。反映直角。直角定理直角定理abca b c 不在同一不在同一直線上的直線上的三個點三個點abca b c 直線及線直線及線外一點外一點abca b c dd 兩平行直線兩平行直線abca b c 兩相交直線兩相交直線abca b c 平面圖形平面圖形用幾何元素表示平面的形式有以下幾種：用幾何元素表示平面的形式有以下幾種：VHP

31、PVPHVHQVQHQHQVQPxPVPHPx平行平行垂直垂直傾斜傾斜投投 影影 特特 性性 平面平行投影面平面平行投影面-投影就把實形現(xiàn)投影就把實形現(xiàn) 平面垂直投影面平面垂直投影面-投影積聚成直線投影積聚成直線 平面傾斜投影面平面傾斜投影面-投影類似原平面投影類似原平面實形性實形性類似性類似性積聚性積聚性投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個投影面傾斜于另兩個投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個投影面垂直于另兩個投影面與三個投影面都傾斜與三個投影面都傾斜 正垂面正垂面 側(cè)垂面?zhèn)却姑驺U垂面鉛垂

32、面 正平面正平面 側(cè)平面?zhèn)绕矫?水平面水平面投影面傾斜面投影面傾斜面一般位置平一般位置平面面鉛垂面鉛垂面正垂面正垂面?zhèn)却姑鎮(zhèn)却姑鎂WHPPH ABCacbababbacccVWHQQV ababbacccAcCabBVWHSWS CabABcabbbaacccabca c b c b a 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性： 1、 在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。影面夾角的大小。 2、另外兩個投影面上的投影有類似性。另外兩個

33、投影面上的投影有類似性。為什么？為什么？是什么位置是什么位置的平面？的平面？水平面水平面正平面正平面?zhèn)绕矫鎮(zhèn)绕矫鎂WHcabbacbcaCBAbacbcabacVWHCABabcbacabccabbbaaccVWHabbbacccabcbacabcCABaa b c a b c abc積聚性積聚性積聚性積聚性實形性實形性水平面水平面投影特性：投影特性：1、在它所平行的投影面上的投影反映實形。、在它所平行的投影面上的投影反映實形。 2、另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸另兩個投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。平行的直線。投影面垂直面和平行面的跡線表示投影面垂直面和平行面

34、的跡線表示 abcbacababbaccbacCAB判斷直線在平判斷直線在平面內(nèi)的方法面內(nèi)的方法 定定 理理 一一 若一直線過平若一直線過平面上的兩點，則面上的兩點，則此直線必在該平此直線必在該平面內(nèi)。面內(nèi)。定定 理理 二二 若一直線過平面上若一直線過平面上的一點，且平行于該的一點，且平行于該平面上的另一直線，平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)。則此直線在該平面內(nèi)。1. 1. 平面上的點和直線平面上的點和直線1 1）平面上取直線）平面上取直線abcb c a abcb c a d mnn m d例例1 1：已知平面由直線：已知平面由直線ABAB、ACAC所確定，試在平面內(nèi)任所確定，試在平面內(nèi)

35、任作一條直線。作一條直線。解法一解法一解法二解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理二根據(jù)定理一根據(jù)定理一有多少解？有多少解？有無數(shù)解。有無數(shù)解。定理：點在平面內(nèi)的任定理：點在平面內(nèi)的任 一直線上，則該一直線上，則該 點一定在該平面點一定在該平面 內(nèi)。內(nèi)。 先在平面內(nèi)作一條直先在平面內(nèi)作一條直線作為線作為輔助線輔助線，然后再在，然后再在該直線上取點。該直線上取點。 面上取點的方法：面上取點的方法：首先面上取線首先面上取線例例1 1：已知：已知K K點在平面點在平面ABCABC上，求上，求K K點的水平投影。點的水平投影。bacc a k b kabcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求

36、解通過在面內(nèi)作輔助線求解通過在面內(nèi)作輔助線求解例題例題2 2 已知已知 ABC ABC 給定一平面，試判斷點給定一平面，試判斷點D D是是 否屬于該平面。否屬于該平面。d da b c abcee 結(jié)論：結(jié)論：D D點不在點不在ABCABC平面內(nèi)平面內(nèi)分析：判斷一點是否在平分析：判斷一點是否在平 面上，首先在平面面上，首先在平面 上上取直線，再看點取直線，再看點 是是否屬于直線。否屬于直線。bckada d b c ada d b c k bc例例3 3：已知：已知ACAC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形為正平線，補(bǔ)全平行四邊形 ABCDABCD的水平投影。的水平投影。解法一解法一解法二解法二例例2

37、2、已知平面、已知平面ABCDABCD內(nèi)有一內(nèi)有一RSTRST，根據(jù)，根據(jù) 其其V V面投影，作出其面投影，作出其H H面投影。面投影。分析：根據(jù)平面上取點、線的方法，求作平面上的分析：根據(jù)平面上取點、線的方法，求作平面上的 三角形三角形H H 面投影。面投影。例例2 2：在平面：在平面ABCABC內(nèi)作一條水平線，使其到內(nèi)作一條水平線，使其到H H面的面的距離為距離為10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！有多少解？有多少解？分析：該直線即符合水平線的投影特性，又要符合平面分析：該直線即符合水平線的投影特性，又要符合平面 上直線的投影特性上直線的投影特性特性；水平

38、線的正面投影平行特性；水平線的正面投影平行X軸，且反映軸，且反映Z坐標(biāo)。坐標(biāo)。abcbacmnnm例：在平面例：在平面ABCABC上取一點上取一點K K，使點，使點K K在點在點A A之下之下 15mm15mm、在點、在點A A之后之后20mm20mm處。處。分析：在平面內(nèi)分析：在平面內(nèi)A A 點之下點之下15mm15mm 的點組成一條水平線，的點組成一條水平線， 同理在平面內(nèi)同理在平面內(nèi)A A 點之后點之后 20mm20mm的點組成一條正平的點組成一條正平 線，兩線之交點即為所線，兩線之交點即為所 求。求。 重重點點內(nèi)內(nèi)容容二、如何在平面上確定直線和點。二、如何在平面上確定直線和點。一、平面

39、的投影特性，一、平面的投影特性，尤其是特殊位置平尤其是特殊位置平面的投影特性。面的投影特性。一、各種位置平面的投影特性一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面一般位置平面 投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形三個投影為邊數(shù)相等的類似多邊形類似性類似性。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線在其垂直的投影面上的投影積聚成直線 積聚性積聚性。另外兩個投影類似。另外兩個投影類似。在其平行的投影面上的投影反映實形在其平行的投影面上的投影反映實形 實形性實形性。另外兩個投影積聚為直線。另外兩個投影積聚為直線。 二、平面上的點與直線二、平面上的點與直線 平面上的點平

40、面上的點一定位于平面內(nèi)的某條直線上一定位于平面內(nèi)的某條直線上 平面上的直線平面上的直線 過平面上的兩個點。過平面上的兩個點。 過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。過平面上的一點并平行于該平面上的某條直線。3. 平面上的投影面平行線平面上的投影面平行線即符合直線在平面上的幾何條件即符合直線在平面上的幾何條件,又符合投影面平行線又符合投影面平行線的投影特性。的投影特性。相對位置有相對位置有平行平行、相交相交和和垂直垂直。3. 4. 1 直線與平面、平面與平面平行直線與平面、平面與平面平行 1. 直線與平面平行直線與平面平行定理：定理： 若一直線平行于平面內(nèi)的任一直若一直線平行于平面內(nèi)的任一直

41、線，則此直線與該平面必相互平行。線，則此直線與該平面必相互平行。n a c b m abcmn例例3-113-11：過已知點：過已知點M M 作一直線作一直線MN MN 平行于平行于平平 面面ABCABC。有無數(shù)解有無數(shù)解有多少解？有多少解？分析：過分析：過M 作一直線平行于平面內(nèi)一直線即可，在投作一直線平行于平面內(nèi)一直線即可，在投 影上運用平行兩直線的投影特性作圖。影上運用平行兩直線的投影特性作圖。正平線正平線例例2 2：過：過M M 點作直線點作直線MN MN 平行于平行于V V 面和平面面和平面ABCABC。c b a m abcmn唯一解唯一解n 分析：分析：MN 應(yīng)是正平線，所以只要

42、平行應(yīng)是正平線，所以只要平行 平面平面ABC內(nèi)的一條正平線即可。內(nèi)的一條正平線即可。ddfgfgbaabcededc結(jié)論：直線結(jié)論：直線AB AB 不平行于平面不平行于平面CDECDE分析：在平面內(nèi)分析：在平面內(nèi)是否可作出是否可作出一直線一直線平行于平行于直線直線AB。定理：若一平面內(nèi)的定理：若一平面內(nèi)的兩相兩相交直線交直線對應(yīng)平行于另一平對應(yīng)平行于另一平面內(nèi)的面內(nèi)的兩相交直線兩相交直線，則這，則這兩平面相互平行。兩平面相互平行。推論：若兩推論：若兩投影面垂直面投影面垂直面相互平行，則它們相互平行，則它們具有積具有積聚性聚性的那組投影必相互平的那組投影必相互平行。行。f h abcdefha

43、b c d e c f b d e a abcdef例題例題1 1 試判斷兩平面是否平行試判斷兩平面是否平行fededfcaacbbmnmnrrss結(jié)論：兩平面平行結(jié)論：兩平面平行分析：根據(jù)定理看是否能在一平面內(nèi)找到相交兩直線對應(yīng)的分析：根據(jù)定理看是否能在一平面內(nèi)找到相交兩直線對應(yīng)的 平行于另一平面內(nèi)的相交兩直線平行于另一平面內(nèi)的相交兩直線例題例題2 2 已知定平面由平行兩直線已知定平面由平行兩直線AB AB 和和CD CD 給定。給定。 試過點試過點K K 作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面 。emnmnfefsrsrddcaacbbk分析：可先在已知平面上任作兩相交直線，然后過分

44、析：可先在已知平面上任作兩相交直線，然后過K點作與兩點作與兩 相交直線對應(yīng)平行的直線即可相交直線對應(yīng)平行的直線即可K有唯一解有唯一解 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點是直線與平面的共有點。交點是直線與平面的共有點。要討論的問題：要討論的問題： 求求直線與平面的直線與平面的交點，求交點，求平面與平面的平面與平面的交線。交線。 判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別兩者之間的相互遮擋關(guān)系，即判別可見性。判別可見性。平面與平面相交，其平面與平面相交，其交線是兩平面的共有線。交線是兩平面的共有線。1. 特殊位置直線或平面相交特殊位置直線或平面相交 當(dāng)直線和平面相交，直線或平面其中之一垂直某一投影當(dāng)

45、直線和平面相交，直線或平面其中之一垂直某一投影面時，它在該投影面中的投影具有積聚性，因此所求交點在面時，它在該投影面中的投影具有積聚性，因此所求交點在該投影面的投影可直接得出，其他投影可方便求出。該投影面的投影可直接得出，其他投影可方便求出。km(n)bm n c b a ac 例例3-143-14 求鉛垂線求鉛垂線MN MN 與平面與平面ABC ABC 的的交點交點K K ?？臻g及投影分析空間及投影分析 直線直線MNMN為鉛垂線，其水平為鉛垂線，其水平投影積聚成一個點，故交點投影積聚成一個點，故交點K K的的水平投影也積聚在該點上水平投影也積聚在該點上。 求交點求交點 判別可見性判別可見性

46、點點位于平面上，在前；點位于平面上，在前；點位位于于MN上，在后。故上，在后。故k 2 為不可見。為不可見。1 (2 )k 21作圖作圖用面上取點用面上取點法法用重影點來判別用重影點來判別abcmnc n b a m 例例2 2：求直線：求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點的交點K K并判別可見性。并判別可見性?？臻g及投影分析空間及投影分析: 平面平面ABCABC是一鉛垂面，其是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該水平投影積聚成一條直線，該直線與直線與mnmn的交點即為的交點即為K K點的水點的水平投影。平投影。 求交點求交點 判別可見性判別可見性 由水平投影可知，由水平投影可知，K

47、N段段在平面前，故正面投影上在平面前，故正面投影上k n 為可見。為可見。還可通過重影點判別可見性。還可通過重影點判別可見性。k 1 (2 )作作 圖圖k21 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是兩平面的交線是兩平面的共有線，共有線，同時同時交線上的點都是兩平面的共有點。交線上的點都是兩平面的共有點。要討論的問題：要討論的問題： 求求兩平面的兩平面的交線交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個共有點。兩個共有點。 判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即：判別兩平面之間的相互遮擋關(guān)系，即： 判別可見性。判別可見性?？赏ㄟ^正面投影可通過正面投影直觀地進(jìn)行判別。直觀地進(jìn)行判別。ab

48、cdefc f db e a m (n )空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABC ABC 與與DEF DEF 都為都為正垂正垂面面，它們的正面投影都積聚成，它們的正面投影都積聚成直線。直線。交線必為一條正垂線交線必為一條正垂線，正面投影可直接求得，水平投正面投影可直接求得，水平投影可根據(jù)投影規(guī)律求得。影可根據(jù)投影規(guī)律求得。 求交線求交線 判別可見性判別可見性作作 圖圖 從正面投影上可看出，從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面在交線左側(cè)，平面ABC在上，在上，其水平投影可見。其水平投影可見。nm能否不用重能否不用重影點判別？影點判別？例：求兩平面的交線例：求兩平面的交線MNMN并判別可見性

49、。并判別可見性。b c f h a e abcefh1(2)空間及投影分析空間及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的是一水平面，它的正面投影有積聚性。交線正面投影有積聚性。交線m m n n 也也一定積聚在平面的有積聚性的一定積聚在平面的有積聚性的投影上，投影上，即即mnmn在在efhefh上上。 求交線求交線 判別可見性判別可見性 點點在在FHFH上，點上，點在在BCBC上，上，點點在上，點在上，點在下，故在下，故fhfh可可見，見，n2n2不可見。不可見。作圖作圖mn 2 nm 1 例例 求傾斜面求傾斜面ABC ABC 與水與水 平面平面EFH EFH 的交線的交線MN MN 。

50、3. 一般位置直線和一般位置平面相交一般位置直線和一般位置平面相交求交點的方法：求交點的方法：輔助平面法輔助平面法輔助平面法的幾何分析：輔助平面法的幾何分析：直線直線ABAB 與平面與平面EFGEFG 相交，交點相交，交點為為K K。過直線過直線AB AB 任作一輔助平面任作一輔助平面P P，（為作圖方便一般作投影面的垂為作圖方便一般作投影面的垂直面），輔助平面直面），輔助平面P P 與平面與平面EFG EFG 相交于相交于MNMN， MN MN 必定與直線必定與直線AB AB 相交，相交，交點即為直線交點即為直線AB AB 與平面與平面EFG EFG 的交點的交點K K 。1）過已知直線作輔

51、助平面；）過已知直線作輔助平面； 2）作出輔助平面與已知平面的交線；）作出輔助平面與已知平面的交線；3）求出該交線與已知直線的交點，）求出該交線與已知直線的交點， 即為已知直線與已知平面的交點；即為已知直線與已知平面的交點；4）判斷投影圖中的可見性。）判斷投影圖中的可見性。作圖作圖分析：直線和平面都是一般位置，用輔助平面法求交點。先分析：直線和平面都是一般位置，用輔助平面法求交點。先 包含包含AB 直線作輔助平面直線作輔助平面P，然后求出，然后求出P 與與EFG 的的 交線交線MN ，再求出，再求出MN 與與AB的交點即為的交點即為K。例例4 4 求直線求直線ABAB與平面與平面EFGEFG的

52、交點的交點K K。4. 兩一般位置平面相交兩一般位置平面相交方法：用輔助平面法求得兩平面的任意兩個共有點，即可確方法：用輔助平面法求得兩平面的任意兩個共有點，即可確 定交線的位置。定交線的位置。 兩平面相交會出現(xiàn)兩種情況：兩平面相交會出現(xiàn)兩種情況：一個平面全部穿過另一個平一個平面全部穿過另一個平面，稱為全交；面，稱為全交；兩個平面的一條邊互相穿過，成為互交。這兩兩個平面的一條邊互相穿過，成為互交。這兩種相交的情況的實質(zhì)是相同的，只是相交部分的范圍不同，因此種相交的情況的實質(zhì)是相同的，只是相交部分的范圍不同，因此求解方法是相同的。求解兩任意平面的交線通常采用輔助平面法求解方法是相同的。求解兩任意

53、平面的交線通常采用輔助平面法。分析：選取平面分析：選取平面DEF的兩條邊的兩條邊DE和和EF ，分別求出它們與分別求出它們與 平面平面ABC的交點，兩交點連接后即為所求交線。的交點，兩交點連接后即為所求交線。作圖：作圖：1）過直線）過直線DE作輔助正垂面作輔助正垂面P， 求出求出DE與平面與平面ABC的交的交 點點M（m、m）。）。2）過直線）過直線EF作輔助正垂面作輔助正垂面Q， 求出求出EF與平面與平面ABC的交的交 點點N（n、n）。3）連接）連接m n、 m n，即為兩即為兩 平面的交線平面的交線MN的投影。的投影。4）利用重影性判別）利用重影性判別V、H 面投面投 影中的可見性影中的

54、可見性例例5 5 求平面求平面ABCABC 與平面與平面DEF DEF 的交線的交線。3.4.3 直線與平面、平面與平面垂直直線與平面、平面與平面垂直 若一直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則此直線垂直于這個平面；反若一直線垂直于平面內(nèi)兩條相交直線，則此直線垂直于這個平面；反之，若直線垂直平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線。之，若直線垂直平面，則該直線垂直于平面內(nèi)的所有直線。 投影特性：若一直線垂直于平面，則直線的投影特性：若一直線垂直于平面，則直線的水平水平投影必垂直于該平面內(nèi)投影必垂直于該平面內(nèi) 水平線的水平線的水平水平投影；該直線的投影；該直線的正正面投影必垂直于該平面內(nèi)正面投影必垂直于該

55、平面內(nèi)正 平線的平線的正正面投影。反之，若一直線的面投影。反之，若一直線的水平水平投影和投影和正正面投影分面投影分 別垂直于平面內(nèi)水平線的別垂直于平面內(nèi)水平線的水平水平投影和正平線的投影和正平線的正正面投影，則面投影，則 該直線一定垂直于該平面。該直線一定垂直于該平面。 1. 直線與平面垂直直線與平面垂直分析：點到平面的距離即由點向平面作垂線，垂線的實長即是。分析：點到平面的距離即由點向平面作垂線，垂線的實長即是。作圖：作圖：1）在平面）在平面EFG內(nèi)作正平內(nèi)作正平 線線G，水平線水平線E；2）由點）由點D作平面作平面EFG的的 垂線，即自垂線，即自d引直線垂引直線垂 直于直于e1，自自d引直

56、線垂引直線垂 直于直于g2；3）用求直線與平面交點的）用求直線與平面交點的 方法求出垂足方法求出垂足K（k、k）；）；4）用直角三角形法求出）用直角三角形法求出 DK的實長即是點的實長即是點D到到 平面的距離。平面的距離。例例3-193-19 求點求點D D到平面到平面EFGEFG的距離。的距離。2. 兩平面垂直兩平面垂直 若一直線垂直于一平面，則包含這條直線的一切平面都若一直線垂直于一平面，則包含這條直線的一切平面都垂直于該平面。反之，若兩平面互相垂直，必定能在一個平垂直于該平面。反之，若兩平面互相垂直，必定能在一個平面內(nèi)作出與另一個平面垂直的直線。面內(nèi)作出與另一個平面垂直的直線。 分析：分析：過過E E 點作一直線垂直于平點作一直線垂直于平 面面ABCDABCD，則包含該直線的則包含該直線的 平面都垂直