2011-2018高考數(shù)學(xué)立體幾何分類匯編(理)

1、2021-2021新課標(biāo)(理科)立體幾何分類匯編一、選填題【2021新課標(biāo)】7如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，那么此幾何體的體積為 B 【解析】選。該幾何體是三棱錐，底面是俯視圖，高為，此幾何體的體積為【2021新課標(biāo)】11三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的求面上，是邊長為的正三角形，為球的直徑，且；那么此棱錐的體積為 A 【解析】的外接圓的半徑，點(diǎn)到面的距離，為球的直徑點(diǎn)到面的距離為此棱錐的體積為另：排除【2021新課標(biāo)1】6、如圖，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測得水深為6cm，如果不計(jì)容器的

2、厚度，那么球的體積為 ( A )A、cm3B、cm312C、cm3D、cm3【解析】設(shè)球的半徑為R，那么由題知球被正方體上面截得圓的半徑為4，球心到截面圓的距離為R-2，那么，解得R=5，球的體積為=，應(yīng)選A.【2021新課標(biāo)1】8、某幾何函數(shù)的三視圖如下圖，那么該幾何的體積為( A )A、16+8 B、8+8 C、16+16 D、8+16【解析】由三視圖知，該幾何體為放到的半個(gè)圓柱底面半徑為2 高為4，上邊放一個(gè)長為4寬為2高為2長方體，故其體積為 =，應(yīng)選.【2021新課標(biāo)2】4. m，n為異面直線，m平面，n平面.直線l滿足lm，ln，l，l，那么( D)A且l B且lC與相交，且交線垂

3、直于l D與相交，且交線平行于l【解析】因?yàn)閙，lm，l，所以l.同理可得l。又因?yàn)閙，n為異面直線，所以與相交，且l平行于它們的交線應(yīng)選D.【2021新課標(biāo)2】7. 一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)分別是(1,0,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，畫該四面體三視圖中的正視圖時(shí)，以zOx平面為投影面，那么得到的正視圖可以為(A )【解析】如下圖，該四面體在空間直角坐標(biāo)系Oxyz的圖像如圖：【2021新課標(biāo)1】12. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，那么該多面體的各條棱中，最長的棱的長度為 B A、6 B、6 C、4 D、4【

4、解析】幾何體的直觀圖如圖：AB=4，BD=4，C到BD的中點(diǎn)的距離為：4， ，AC=6，AD=4，顯然AC最長?！?021新課標(biāo)2】6. 如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得到，那么切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為(C ) A. B. C. D.【解析】該零件是一個(gè)由兩個(gè)圓柱組成的組合體，其體積為×32×2×22×434(cm3)，原毛坯的體積為×32×654(cm3)，切削掉局部的體積為543420(cm3)，故所求的

5、比值為。【2021新課標(biāo)2】11. 直三棱柱ABC­A1B1C1中，BCA90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BCCACC1，那么BM與AN所成角的余弦值為( C )A. B. C. D.【解析】如圖，E為BC的中點(diǎn)由于M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，故MNB1C1且MNB1C1，故MN綊BE，所以四邊形MNEB為平行四邊形，所以EN綊BM，所以直線AN，NE所成的角即為直線BM，AN所成的角設(shè)BC1，那么B1MB1A1，所以MBNE，ANAE，在ANE中，根據(jù)余弦定理得cos ANE?！?021新課標(biāo)1】6.?九章算術(shù)?是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書

6、中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺。問:積及為米幾何?其意思為:“在屋內(nèi)墻角處堆放米(如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一)，米堆底部的弧度為8尺，米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少?1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放斛的米約有 B A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛【2021新課標(biāo)1】(11)圓柱被一個(gè)平面截去一局部后與半球(半徑為r)組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如下圖。假設(shè)該幾何體的外表積為16 + 20，那么r= B A1 B2 C4 D8【2021新課標(biāo)2】6一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去

7、一局部后，剩余局部的三視圖如右圖，那么截去局部體積與剩余局部體積的比值為 A B C D【解析】由三視圖得，在正方體中，截去四面體，如下圖，設(shè)正方體棱長為，那么，故剩余幾何體體積為，所以截去局部體積與剩余局部體積的比值為【2021新課標(biāo)2】9A,B是球O的球面上兩點(diǎn)，AOB=90,C為該球面上的動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)三棱錐O-ABC體積的最大值為36，那么球O的外表積為 C A36 B.64 C.144 D.256【解析】如下圖，當(dāng)點(diǎn)C位于垂直于面的直徑端點(diǎn)時(shí)，三棱錐的體積最大，設(shè)球的半徑為，此時(shí)，故，那么球的外表積為，應(yīng)選C【2021新課標(biāo)1】6如圖，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互

8、垂直的半徑.假設(shè)該幾何體的體積是，那么它的外表積是 A ABCD【解析】該幾何體為球體，從球心挖掉整個(gè)球的如右圖所示，故解得，?！?021新課標(biāo)1】(11)平面a過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點(diǎn)A，a/平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABA1B1=n，那么m、n所成角的正弦值為 A (A) (B) (C) (D)【詳細(xì)解答】令平面a與平面CB1D1重合，那么m = B1 D1，n= CD1 故直線m、n所成角為，正弦值為【2021新課標(biāo)2】6. 右圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，那么該幾何體的外表積為( C )A20 B24 C28 D32【解析】幾何體是圓錐與圓柱的組

9、合體，設(shè)圓柱底面圓半徑為，周長為，圓錐母線長為，圓柱高為由圖得，由勾股定理得：【2021新課標(biāo)2】14. ，是兩個(gè)平面，m，n是兩條線，有以下四個(gè)命題：如果，那么。如果，那么如果,那么。 如果,那么m與所成的角和n與所成的角相等其中正確的命題有  .(填寫所有正確命題的編號)【2021新課標(biāo)3】9. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)現(xiàn)畫出的的是某多面體的三視圖，那么該多面體的外表積為 B (A)1836 (B)5418(C)90 (D)81【2021新課標(biāo)3】10. 在封閉的直三棱柱ABC-A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球，假設(shè)ABBC，AB6，BC8，AA13，那么V的最大值

10、是 B (A)4(B)(C)6(D)【2021新課標(biāo)1】7某多面體的三視圖如下圖，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形.該多面體的各個(gè)面中有假設(shè)干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為 B A10B12C14D16【2021新課標(biāo)1】16如圖，圓形紙片的圓心為O，半徑為5 cm，該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O。D、E、F為圓O上的點(diǎn)，DBC，ECA，F(xiàn)AB分別是以BC，CA，AB為底邊的等腰三角形。沿虛線剪開后，分別以BC，CA，AB為折痕折起DBC，ECA，F(xiàn)AB，使得D、E、F重合，得到三棱錐。當(dāng)ABC的邊長變化時(shí)，所得三棱錐體積單位：c

11、m3的最大值為_?！?021新課標(biāo)2】4. 如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一局部所得，那么該幾何體的體積為 B A B C D【解析】該幾何體可視為一個(gè)完整的圓柱減去一個(gè)高為6的圓柱的一半。【2021新課標(biāo)2】10.直三棱柱中，那么異面直線與所成角的余弦值為 C A B C D【解析】，分別為，中點(diǎn)，那么，夾角為和夾角或其補(bǔ)角異面線所成角為可知，作中點(diǎn)，那么可知為直角三角形，中，那么，那么中，那么中，又異面線所成角為，那么余弦值為?！?021新課標(biāo)3】8圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，那么該圓柱的體積

12、為 B AB C D【解析】由題可知球心在圓柱體中心，圓柱體上下底面圓半徑，那么圓柱體體積，應(yīng)選B.【2021新課標(biāo)3】16，為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形的直角邊所在直線與，都垂直，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有以下結(jié)論：當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；當(dāng)直線與成角時(shí)，與成角；直線與所成角的最小值為；直線與所成角的最大值為其中正確的選項(xiàng)是_填寫所有正確結(jié)論的編號【解析】由題意知，三條直線兩兩相互垂直，畫出圖形如圖不妨設(shè)圖中所示正方體邊長為1，故，斜邊以直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，那么點(diǎn)保持不變，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是以為圓心，1為半徑的圓。以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系那

13、么，直線的方向單位向量，點(diǎn)起始坐標(biāo)為，直線的方向單位向量，設(shè)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中的坐標(biāo)，其中為與的夾角，。那么在運(yùn)動(dòng)過程中的向量，設(shè)與所成夾角為，那么故，所以正確，錯(cuò)誤設(shè)與所成夾角為，.當(dāng)與夾角為時(shí)，即，此時(shí)與夾角為，正確，錯(cuò)誤【2021新課標(biāo)1】7某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖所示，圓柱外表上的點(diǎn)在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，圓柱外表上的點(diǎn)在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為，那么在此圓柱側(cè)面上，從到的路徑中，最短路徑的長度為 ABC D2【答案】B【2021新課標(biāo)1】12正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，那么截此正方體所得截面面積的最大值為 ABCD【答案】A【2021新課標(biāo)2】9在

14、長方體中，那么異面直線與所成角的余弦值為 ABC D【答案】C【2021新課標(biāo)2】16圓錐的頂點(diǎn)為，母線，所成角的余弦值為，與圓錐底面所成角為45°，假設(shè)的面積為，那么該圓錐的側(cè)面積為_【答案】【2021新課標(biāo)3】3中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來，構(gòu)件的凸出局部叫棒頭，凹進(jìn)局部叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是棒頭假設(shè)如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，那么咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是 【答案】A【2021新課標(biāo)3】10設(shè)是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，為等邊三角形且其面積為，那么三棱錐體積的最大值為 ABCD 【答案】B二、解答題【2021新課標(biāo)】如圖，四

15、棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB=60°,AB=2AD,PD底面ABCD.()證明：PABD；()假設(shè)PD=AD，求二面角A-PB-C的余弦值?！敬鸢浮恳?yàn)? 由余弦定理得 ，從而BD2+AD2= AB2，故BDAD又PD底面ABCD，可得BDPD所以BD平面PAD. 故PABD如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，AD的長為單位長，射線DA為軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系D-，那么,。設(shè)平面PAB的法向量為n=x,y,z，那么 即 因此可取n=設(shè)平面PBC的法向量為m，那么 可取m=0，-1， 故二面角A-PB-C的余弦值為 【2021新課標(biāo)】19. 如圖，直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，

16、1證明：2求二面角的大小?！敬鸢浮?在中， 得：同理：得：面2面 取的中點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接 ，面面面 得：點(diǎn)與點(diǎn)重合 且是二面角的平面角設(shè)，那么，既二面角的大小為【2021新課標(biāo)1】18、本小題總分值12分如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1， BAA1=60°.證明ABA1C;假設(shè)平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值?！敬鸢浮咳B中點(diǎn)E，連結(jié)CE，AB=，=，是正三角形，AB， CA=CB， CEAB， =E，AB面， AB； 由知ECAB，AB，又面ABC面，面ABC面=AB，EC面，EC，EA，

17、EC，兩兩相互垂直，以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向，|為單位長度，建立如下圖空間直角坐標(biāo)系，由題設(shè)知A(1,0,0),(0,0),C(0,0,),B(1,0,0),那么=1,0，,=(1,0,),=(0,), 設(shè)=是平面的法向量，那么，即，可取=，1，-1，=，直線A1C 與平面BB1C1C所成角的正弦值為. 【2021新課標(biāo)2】18如圖，直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1ACCB.(1)證明：BC1平面A1CD；(2)求二面角DA1CE的正弦值【答案】(1)連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，那么F為AC1中點(diǎn)又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，那么BC1DF.因?yàn)镈F平面A

18、1CD，BC1平面A1CD， 所以BC1平面A1CD.(2)由ACCB得，ACBC.以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸正方向，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系Cxyz.設(shè)CA2，那么D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，(1,1,0)，(0,2,1)，(2,0,2)設(shè)n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，那么即 可取n(1，1，1)同理，設(shè)m是平面A1CE的法向量，那么可取m(2,1，2)從而cosn，m，故sinn，m.即二面角DA1CE的正弦值為. 【2021新課標(biāo)1】19如圖，三棱柱ABCA1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，ABB1C 證明：AC=AB1； 假設(shè)ACAB

19、1，CBB1=60°，AB=BC，求二面角AA1B1C1的余弦值【答案】1連結(jié)BC1，交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，側(cè)面BB1C1C為菱形， BC1B1C，且O為BC1和B1C的中點(diǎn)，又 ABB1C，B1C平面ABO， AO平面ABO，B1CAO， 又B1O=CO， AC=AB1，2 ACAB1，且O為B1C的中點(diǎn)，AO=CO，又 AB=BC，BOABOC，OAOB， OA，OB，OB1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長度，的方向?yàn)閥軸的正方向，的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， CBB1=60°，CBB1為正三角形，又AB=BC， A0，0，B1

20、，0，0，B10，0，C0，0 =0，=1，0，=1，0，設(shè)向量=x，y，z是平面AA1B1的法向量，那么，可取=1，同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量=1， cos，=， 二面角AA1B1C1的余弦值為【2021新課標(biāo)2】18.如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn).證明：PB平面AEC；設(shè)二面角D-AE-C為60°，AP=1，AD=，求三棱錐E-ACD的體積.【答案】1連結(jié)BD交AC于點(diǎn)O,連結(jié)EO因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為的PD的中點(diǎn)，所以EOPBEO平面AEC,PB平面AEC，所以PB平面AEC2因?yàn)镻A平面ABC

21、D，ABCD為矩形，所以AB,AD,AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，為單位長，建立空間直角坐標(biāo)系，那么Axyz,那么D(0, ,0),那么E(0, ,),=(0, ,)設(shè)B(m,0,0)(m0)，那么Cm, ，0設(shè)n(x,y,z)為平面ACE的法向量，那么 即 可取=,-1, 又=1,0,0為平面DAE的法向量，由題設(shè)=，即=，解得m=因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐E-ACD的高為，三棱錐E-ACD的體積為V=【2021新課標(biāo)1】18如圖，四邊形ABCD為菱形，ABC=120°，E，F(xiàn)是平面ABCD同一側(cè)的兩點(diǎn)，BE平面ABCD，DF平面ABCD，BE=2DF

22、，AEEC。1證明：平面AEC平面AFC2求直線AE與直線CF所成角的余弦值DD1C1A1EFABCB1【2021新課標(biāo)2】如圖，長方體ABCDA1B1C1D1中，AB = 16，BC = 10，AA1 = 8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在A1B1，D1C1上，A1E = D1F = 4，過點(diǎn)E，F(xiàn)的平面與此長方體的面相交，交線圍成一個(gè)正方形。1在圖中畫出這個(gè)正方形不必說明畫法和理由；2求直線AF與平面所成的角的正弦值。【答案】【2021新課標(biāo)1】18. 如圖，在已A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是 I證明平面ABEFEFD

23、C；II求二面角E-BC-A的余弦值【答案】I，又,所以平面ABEFEFDC；II以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，EF，EB分別為x軸和y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)，那么，因?yàn)槎娼荄-AF-E與二面角C-BE-F都是，即，易得,，,設(shè)平面與平面的法向量分別為和，那么令，那么， 由，令，那么，二面角E-BC-A余弦值.【2021新課標(biāo)2】19. 如圖，菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)O，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，EF交BD于點(diǎn)H.將DEF沿EF折到的位置.I證明：平面ABCD；II求二面角的正弦值.【答案】證明：，四邊形為菱形，；又，又， 面建立如圖坐標(biāo)系，,設(shè)面法向量，由得，取 同理可得面的法向量

24、,， 【2021新課標(biāo)3】(19)如圖，四棱錐PABCD中，PA平面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M為線段AD上一點(diǎn)，AM2MD，N為PC的中點(diǎn)。1證明：MN平面PAB2求直線AN與平面PMN所成角的正弦值.【答案】【2021新課標(biāo)1】18. 如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB/CD，且.1證明：平面PAB平面PAD；2假設(shè)PA=PD=AB=DC，求二面角A-PB-C的余弦值.【答案】1由，得ABAP，CDPD.由于ABCD，故ABPD，從而AB平面PAD.又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD.2在平面內(nèi)做，垂足為，由1可知，平面，故，可得平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)?/p>

25、軸正方向，為單位長，建立如下圖的空間直角坐標(biāo)系。由1及可得，所以，設(shè)是平面的法向量，那么，即，可取.設(shè)是平面的法向量，那么，即，可取，那么，所以二面角的余弦值為?！?021新課標(biāo)2】19. 如圖，四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PAD為等比三角形且垂直于底面ABCD， E是PD的中點(diǎn).1證明：直線 平面PAB2點(diǎn)M在棱PC 上，且直線BM與底面ABCD所成銳角為 ，求二面角M-AB-D的余弦值【答案】1令中點(diǎn)為，連結(jié)，為，中點(diǎn)，為的中位線，又，又，四邊形為平行四邊形，又，2以中點(diǎn)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)，那么，在底面上的投影為，為等腰直角三角形為直角三角形，設(shè)，設(shè)平面的法向量，設(shè)平面的法向量為，二面角的余弦值為【2021新課標(biāo)3】19. 如圖，四面體中，是正三角形，是直角三角形，1證明：平面平面；2過的平面交于點(diǎn)，假設(shè)平面把四面體分成體積相等的兩局部求二面角的余弦值【解析】取中點(diǎn)為，連接，；為等邊三角形 .,即為等腰直角三角形，為直角又為底邊中點(diǎn) 令，那么，易得：，由勾股定理的逆定理可得，即 又，由面面垂直的判定定理可得由題意可知，即,到平面的距離相等，即為中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，為軸正方向，為軸正方向，為軸正方向