常微分方程積分因子法

1、5積分因子法本節(jié)再來討論1剩下的沒有解決的第三個問題.即當方程P(x, y)dx Q(x, y)dy = 0(5.1)不滿足條件 矛=貝時，有什么辦法能把它變?yōu)榍‘敺匠棠兀坑梢浑A微分的形式不變性，易見變量代換；:y；x發(fā)在這里是無能為力的.但在2對變量分離方程X(x)Yi(y)dx+Xi(x)Y(y)dy =0,1雖然一般來說匕不是恰當方程，然而用P(x,y)=-乘方程兩側(cè)，就得到一個恰當方程Xi(x)Yi(y)X(x)Y(y兒八dx dy = 0.Xi(x)Yi(y)由以上作法我們得到啟示，分離變量法可以推廣而成為對方程(5.i)能夠適用的積分因子法.就是說,對一般的方程(5.i),設法尋找

2、一個可微的非零函數(shù)P = P(x, y),使得方程(x, y)P(x, y)dx(x, y)Q(x, y)dy =0成為恰當方程，亦即f(P)f(Q):y；x滿足這一條件的 卜(x, y)稱為方程(5.i)的一個積分因子.由條件(5.3)，可以看出P(x,y)應滿足方程三-。里=(&-毛:y:x :x :y(5.4)是一階線性偏微分方程 對于一般的一次連續(xù)可微函數(shù)P(x, y),Q(x,y),雖然可證(5.4)的解一定存在，但要想通過解方程(5.4)來求積分因子，從而得到方程(5.i)的解，將比求解(5.i)本身更困難然而，在若干特殊情形中，利用(5.4)去尋求(5.i)的積分因子卻是

3、可行的.也就是說，(5.4)為我們提供 了尋求特殊形式的積分因子的一個途徑.例如，對于方程(5.i)，如果存在只與x有關的積分因子 卜=N(x)，則=0 ,這時(5.4)變成(5.2)(5.3)或者-:P（x, y） fQ（x, y）1 d（x） _；:y；:xdx一Q（x,y）由此可知，要（5.5）有解，其充要條件是：-:P(x,y) ；:Q(x, y)(5.5).:y jxQ(x, y)= G(x)(5.6)即與y無關.當此條件滿足時，便可由（5.5）式求得方程（5.1）的一個積分因子G(x)dx(x)(5.7)把上面的討論用定理的形式寫出即為定理4微分方程（5.1）有一個只依賴于x的積分

4、因子的充要條件是：表達式（5.6）只依賴于x ,而與y無關；而且由（5.7）所確定的函數(shù)H（x）是方程（5.1）的一個積分因子.同理，可以得到如下平行的結果.定理5微分方程（5.1）有一個只依賴于y的積分因子的充要條件是：表達式Q(x,y) _ fP(x,y).x；:yP(x,y)= H(y)只依賴于y,而與x無關；而且此時函數(shù)k（y）例1求解微分方程= e（y）dy是方程（5.1）的一個積分因子.(3x3y)dx (2x y -x)dy = 0(5.8):P:Q解 這里上匚=1,竺=4xy 1,因此原方程不是恰當方程，由于:Y：:x于是由定理4知，原方程有積分因子(Y)dx(x)=ex將它乘

5、（5.8）式，得到一個恰當方程ydx - xdy一3xdx +2ydy +-2=。，x(3x3dx 2x2ydy) (ydx -xdy) = 0.ii i,、i . i其中第二組由上述討論知，有積分因子,22或，若同時考慮到第一組，則P（x）=土 是x y x y xyx兩組的公共的積分因子，從而是方程（5.8）的積分因子.為了使這種分組求積分因子的方法一般化，給出下面的有關積分因子的一個性質(zhì)定理定理6若.=P（x, y）是方程（5.i）的一個積分因子，使得(x,y)P(x, y)dx = Tx, y)Q(x, y)dy = d：，(x, y)則x, y）g（中（x, y）也是（5.i）的積分

6、因子，其中g（）是任一可微的非零函數(shù)證明 (x, y)g(：、(x, y)( P(x, y)dx Q(x, y)dy) = g3(x, y)d：，(x, y)=dg（）d，所以P（x, y）g（中（x, y）也是（5.i）的積分因子下面就介紹分組求積分因子法.設將方程（5.i）的左端分成兩組，即寫成：(Rdx + Qidy) +(P2dx +Q2dy) = 0 ,由此可求得通積分-x2y2旦=C.2x由于于是值得注意的是,同一個微分方程可以有許多積分因子,例如ydxxdy = 0這么一個簡單的微分方程,成兩組:12yy、xdy - ydx d(_)=-2-，x xX、ydx - xdy d(_

7、)=-2-，y yx ydx - xdy d(arctan ) =22,y x yx ydx - xdyd(ln ).y xyi i22,上等都是這個微分方程的積分因子x y xy.由此再來看上面的例1,將（5.8）式的左端分其中第一組和第二組各有積分因子土和k2,使得:Ni(Rdx+Qidy) =di,七(Pzdx + Qzdy) = d2.由定理6,對任意可微函數(shù)gi和g2,卜偈1(1)是第一組的積分因子，七g2(中2)是第二組的積分因子如果能夠找到適當?shù)膅1和g2,使得igi(中J = %g2(2)=日，那么P也就是原方程(5.i)的積分因子.例2求解微分方程(x3y -2y2)dx x

8、4dy = 0解把方程改寫為(x3ydx x4dy) - 2y2dx = 0(5.9)不難看出，前一組有積分因子和通積分xy=C，故它有更一般的積分因子g(xy),前一組有積xx分因子和通積分x = C，故它有更一般的積分因子Jygjx).為使關系式y(tǒng)yi,、i,、gi(xyH g2(x) x y成立，可取,、i ,、igi(xy), g2(x)=.(xy)x從而得到原方程的積分因子P = 3，以它乘方程(5.9)的兩端，得到x yii- d(xy) -dx = 0 ,積分即得通解2x3y =4.2Cx4i此外，原方程還有解x = 0和y = 0，它們是在用 乘方程(5.9)的兩端時丟掉的xy

9、例3討論齊次方程P(x, y)dx Q(x, y)dy = 0的積分因子，其中P(x,y),Q(x,y)都是x, y的m次齊次函數(shù)，且一次連續(xù)可微解 由4知道，變換y=xu能把(5.10)變?yōu)樽兞糠蛛x的方程.事實上，由于P(x,y), Q(x, y)的(5.i0)齊次性可知成立:P(x, y) =P(x,xu) =xmP(1,u), Q(x, y) =Q(x,xu)= xmQ(1,u).此外，還有dy = xdu +udx ,一起代入(5.10)式，得:xm( P(1,u) Q(1,u)udx xQ(1,u)du = 0.要把它變?yōu)榍‘敺匠蹋恍柙诘仁絻蛇叧艘苑e分因子 = = m m 1 1 - - - = =- - -xm1P(1,u) Q(1,u) xP(x,y) yQ(x,y)本章關于一階微分方程的初等積分法基本上可以分為兩類：一類方法的基礎是變量分離的方程，方 法的特點是將所考慮的方程通過適當?shù)淖兞看鷵Q化為變量分離的方程.令一類方法的基礎是恰當方程，方發(fā)的特點是，尋找適當?shù)姆e分因子，將所給的方程化為恰當方程熟悉各