基于MATLAB的光纖光柵耦合模理論及其譜線(xiàn)特性

1、 研究生課程論文封面 課程名稱(chēng) 光電子學(xué) 論文題目基于MATLAB勺光纖光柵耦 合模理論及其譜線(xiàn)特性 授課學(xué)期 20132013 學(xué)年至 20142014 學(xué)年 第 學(xué)期 學(xué) 院 物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院 支 業(yè)_ 丑 學(xué) 學(xué) 號(hào) 20120108872012010887 姓 名一 王璐瑋 任 課 教 師一 秦主雄 交 稿 日 期 20142014 年 0101 月 0101 日 成 績(jī)_ 閱讀教師簽名. 日 期 壘冒3 廣西師范大學(xué)研究生學(xué)院制 基于MATLAB勺光纖光柵耦合模理論及其譜線(xiàn)特性 0.前言 光纖光柵是近二十幾年來(lái)迅速發(fā)展的光纖器件，其應(yīng)用是隨著寫(xiě)入技術(shù)的不 斷改進(jìn)而發(fā)展起來(lái)的，逐漸在

2、實(shí)際中得到應(yīng)用。 1978年，加拿大通信研究中心的Hill等發(fā)現(xiàn)纖芯參錯(cuò)的光纖具有光敏性， 并 利用駐波干涉法制成了世界上第一根光纖光柵。光纖的光敏性主要是指光線(xiàn)的折 射率在收到某些波長(zhǎng)的激光照射后，會(huì)發(fā)生永久改變的特性。通常情況需要紫外 光照射，折射率會(huì)向著增大的方向改變。具有光敏性的光纖主要是纖芯參錯(cuò)的光 纖，受到紫外光照射后，纖芯折射率會(huì)增加，而包層折射率不變。 在光纖光柵的發(fā)展過(guò)程中，參錯(cuò)光纖的載氫技術(shù)具有重要意義。參錯(cuò)光纖本 身具有光敏性，單當(dāng)要求折射率改變較大時(shí)，相應(yīng)就要提高纖芯的參錯(cuò)濃度，這 會(huì)影響光纖本身的特性。1993年，貝爾實(shí)驗(yàn)室的Lemaire等用光纖載氫技術(shù)增強(qiáng) 了光纖

3、的光敏性，這種發(fā)發(fā)適用丁任何參錯(cuò)的光纖。通過(guò)光纖的載氫能夠?qū)⒃诓?增加參錯(cuò)濃度情況下，使光纖的光敏性大大提高。 在平面介質(zhì)光波導(dǎo)中，布拉格光柵的應(yīng)用比較早，主要應(yīng)用丁半導(dǎo)體激光器 中，而后出現(xiàn)了光纖布拉格光柵，隨著光纖光柵寫(xiě)入技術(shù)的成熟，光纖光柵在光 通信和傳感中得到廣泛應(yīng)用，特別是在光通信領(lǐng)域。光纖布拉格光柵和長(zhǎng)周期光 纖光柵的特性和應(yīng)用有許多不同之處，也有類(lèi)似的地方，都可用丁通信和傳感等 領(lǐng)域。 光纖布拉格光柵的周期一般在微米以下，根據(jù)耦合模理論，這樣的周期表現(xiàn) 為使向前傳播的纖芯模與向后傳播的纖芯模之間發(fā)生耦合，結(jié)果在輸出端表現(xiàn)為 很窄的帶阻濾波特性。作為一種反射型的光纖無(wú)源器件，光纖布

4、拉格光柵對(duì)溫度， 應(yīng)變都有相當(dāng)程度的敏感特性，其在光纖激光器，波分復(fù)用，可調(diào)諧光纖濾波器， 高速光纖通信系統(tǒng)的色散補(bǔ)償及光纖傳感器等反面有許多重要應(yīng)用。 對(duì)丁長(zhǎng)周期光纖光柵，其光柵的周期較長(zhǎng)，根據(jù)光波導(dǎo)的耦合模理論，表現(xiàn) 為向前傳播的纖芯模和同向傳播的包層模的耦合。特定長(zhǎng)度和耦合系數(shù)的長(zhǎng)周期 光纖光柵可以將纖芯模耦合到包層中而損耗掉。一般來(lái)說(shuō)，與光纖布拉格光纖相 比，長(zhǎng)周期光纖光柵的光譜帶寬較大，其最典型的應(yīng)用時(shí)參供光纖放大器增益平 坦，帶阻濾波器和傳感。 1. 耦合模理論 耦合模方程是從麥克斯韋方程經(jīng)過(guò)一系列推導(dǎo)得到的，其基本思想是：利用 可求解光波導(dǎo)的解，研究受到微擾的光波導(dǎo)，或者相互有影

5、響的光波導(dǎo)，其理論 基礎(chǔ)在丁規(guī)則光波導(dǎo)的具有正交性，即： e htzdxdy= 2 oO 利用麥克斯韋方程組，經(jīng)過(guò)變換可得： * Et - K：n2Et = - jz 土 z Ht 八 b ht V - jbUu 棉 * 弘= bJ t * I 二-冬 t * 妃 I u】dz J 眼0 。 n 屁j 其中，P u為模序數(shù)為u的本征模的傳播常數(shù) 利用模的正交關(guān)系，可以得到: da dz 耦合系數(shù)： K. = n2 - n； a et ejdxdy J W V w 2 z j 了1 1 L 1 K申刀廣I乙乙hu dxdy 2*8 An nj 在無(wú)耦合情況下有: A =0 dz 手-jb 0 d

6、z 設(shè)a+加=2Aje此，a-尾=2e，根據(jù)以上兩式，可以得出微擾光波 導(dǎo)中的電場(chǎng)、t t Ht - K：nH =z。 :Et -:z 對(duì)丁電場(chǎng)和磁場(chǎng)欠量，有： Et（x,y,z）=e（x,y/, Ht（x,y,z）= ht（x, y e職 在微擾光波導(dǎo)中，橫向電、磁欠量可以看作 e和h提的線(xiàn)性疊加，即: 則: fdbn .門(mén) W 偵 一 Ja。氣 3、 v j2 z dz - t t 站 . . . 從耦合系數(shù)方程可知，K12 = K21。前行模和后行模的自耦合系數(shù)相等，即, 故可統(tǒng)一記為K；。 對(duì)紫外激光寫(xiě)入的均勻正弦布拉格光柵，折射率分布為： n1(z)= n11 + (z)|1 + c

7、os z I 卜 I ! M jj 其中, A為光柵的周期；。為折射率調(diào)制的緩變包絡(luò)，通常稱(chēng)為切趾或切趾 函數(shù); n*相當(dāng)丁坐標(biāo) z處折射率改變量的幅值。通常情況下，折射率改變量可 寫(xiě)為: J r 仁 n(z)= n? (z)|1 + cos 一 : I A =An(z) + cos 代入橫向耦合系數(shù)K.中，并改寫(xiě)為: cos 其中, 2 n - - z = -一- z et x,y etx,y dxdy = k m。 翟寸(z)和&neff均是z的慢變函數(shù)，當(dāng)兩個(gè)下標(biāo)相同時(shí)，Kz)為自耦合系數(shù), 不同時(shí)為互耦合系數(shù)。但對(duì)丁光纖布拉格光柵，只有纖芯模之間的耦合，對(duì)單模 光纖，曰=卜=1

8、。 利用關(guān)系: 2 二 cos z I A J 將K.t L的表達(dá)式中余弦表示為指數(shù)形式，并代入耦合模方程，則會(huì)出現(xiàn)指數(shù)項(xiàng) e葉叩。 發(fā)生較強(qiáng)的耦合，其前面的系數(shù)才會(huì)對(duì)方程的解有大的影響，顯然，括號(hào)中同時(shí) 取+時(shí)，該指數(shù)項(xiàng)不可能為零，因此，只能取-。從而得到如下簡(jiǎn)化后的耦合模方 程： dA j2 z jB e dz dB jA e dz 求解方程組后可以得到 A和B。設(shè)光柵區(qū)在0L,上述方程組可化為兩個(gè) 獨(dú)立的二階常微分方程，取邊界條件，z=0時(shí)，A=A(0);z=L時(shí)，B=B(L)。當(dāng)式2 a 6 2 時(shí)，可以得到方程的解為： A(z) = egSC0Shs(LF jsinhSL)A(0)-

9、eT 冬心B(L) scosh(sL j6 sinh(sL ) scosh(sL )- j 6 sinh(sL ) B#點(diǎn)直上蜒虻A(chǔ) A(0)+e* 、scosh(sL 卜 jgnh(sL ) 其中，s2 82 =若-82。對(duì)一般情況，可取A (0)=1,B(L)=0,則得到光纖布 在耦合模方程中，只有該項(xiàng)的指數(shù)部分為零時(shí)，才會(huì)使兩個(gè)模之間 dA dz jA 11 jB e2z dB dz jB 11 - jA ej2z 21 koFeff 二一 - 二 - 二 R31 其中 2 在上述方程中，起主導(dǎo)作用的是等號(hào)右邊的第二項(xiàng)，為了簡(jiǎn)便，可以忽略含 有翟11的項(xiàng)。從而得到如下的耦合模方程： 12

10、 11 j 2、z scosh sz ) j、sinh sz scosh sL - j、sinh sL 拉格光柵的反射率和透射率為： - R(0)|B(0,2 ”*sinh2(sL) R = - = - 2 = - - 1 - 1 - 1 - R(0) |A(0 s cosh(sL)+& sinh (sL) .2 一 T PA(L) |A(L) s2 I = - = - y = - 一 2 2 .2. _2.2. PA(0) |A(0j s cosh (sL)+& sinh (sL) 在相位匹配條件下，5=0,對(duì)應(yīng)了最大反射率和最大透射率，即： 2 2 Rm,、= tanh M

11、L ), Tma cos(J) 若設(shè)光柵的輸入端功率為 P1(0)=1, P2(0)=0,則諧振時(shí)光功率分別為 PB =tanh2(KL ), PA =cosh(KL ),下圖給出了相位匹配條件下，即對(duì)諧振波長(zhǎng)的光 功率轉(zhuǎn)換。 程序編碼： kL=linspace(0,5); figure P_B=(tanh(kL).A2; plot(kL,P_B, r ) ; hold on P_A=(cosh(kL).A-2; plot(kL,P_A, b );grid 程序運(yùn)行如下： 0 0.5 1 1.5 2 2.S 3 3.5 4 4.6 5 FIG1.光纖布拉格光柵的功率轉(zhuǎn)換 光纖布拉格光柵中耦合模

12、的兩個(gè)模都是纖芯模，但是反向傳播，相位匹配條 件為& = 0 ,即： , , ，一， 一 一 2 二 利用傳播常數(shù)和有效折射率的關(guān)系 P =neff,可以將上式改寫(xiě)為： B = 2膏 利用上述光纖布拉格光柵的反射率和透射率公式，可以畫(huà)出其反射譜和透射 譜，程序編碼如下： lambda=linspace(1540,1560,5000); k=(1.2*pi./lambda)*10A(-3);s=sqrt(k.A2-delta.A2); delta=3*pi*(lambda-1550)./(1550A2); y1=(sinh(2e6*s).A2)./(cosh(2e6*s).A2-(del

13、ta.A2./k.A2); subplot(2,1,1);plot(z,y1, r); xlabel(波長(zhǎng)(nm) ),ylabel(反射率); title( FBG 反射譜);grid; y2=1./(cosh(2e6*s).A2+(delta.A2./s.A2).*sinh(2e6*s).A2); subplot(2,1,2);plot(z,y2, b); xlabel(波長(zhǎng)(nm) ),ylabel(透射率); title( FBG透射譜);grid; 程序運(yùn)行如下: FIG2.光纖布拉格光柵反射譜和透射譜 Figure 1 I” I 3. 相移光纖布拉格光柵 其中，q（z）為第i個(gè)相移

14、點(diǎn)的相移量。 相移光纖布拉格光柵的耦合模方程可以通過(guò)傳輸矩陣來(lái)表示。傳輸矩陣是由 耦合模方程得到的，可以用丁均勻和非均勻光纖光柵。類(lèi)似的，利用上述方法， 并考慮到： 可以得到耦合模方程: =cosh*s(z* 一 乙)】+ j sinhs(zi4t z)】 s 2 = j sinh【s(zi4l z He-即什也 e* s相移光纖布拉格光柵是在均勻的折射率余弦調(diào)制光纖中，在某個(gè)或某些位置 上出現(xiàn)相位偏移，結(jié)果會(huì)在反射譜中出現(xiàn)一個(gè)較窄的缺口，可以有多個(gè)相移，相 應(yīng)會(huì)出現(xiàn)多個(gè)缺口。 對(duì)相移光纖布拉格光柵，折射率變化時(shí)分段連續(xù)的，因此，不能再用一個(gè)函 數(shù)來(lái)表示，需要用分段函數(shù)來(lái)表示。折射率調(diào)制可以寫(xiě)

15、成： rfn An(z)= n舟(z)|1 +cos z + Ojz) =An(z)|1 + cos z + Q(z) cos 史 z十% I A e dA dz jB ej 2 經(jīng)過(guò)復(fù)雜的計(jì)算, dB dz 可以得到耦合模方程的解，并寫(xiě)成矩陣的形式為: jA ej 2 J ZiZi 其中，F(xiàn)z Sn S12 5時(shí)，令S2 5婦62 =一-如，得: Sii s2 - j sinh fe(zi4 - z)8%zi+* feJ* s s22 =coshlsz書(shū)zi )】j sinhs(z* z )】倡倒隊(duì)拶) 當(dāng)K d時(shí)，令 s2=&2_W,可以得到： s11 = J costslz* -

16、 m )1+ j sins(z* -二)】：ei) s2 = j sins(zid4 z)ezi+Hzi e* s s21 = j sins(Zz z).# ej s s22 = cosEs(z* 乙)】j %sins(z* z ).ej*Zi) 矩陣F*稱(chēng)為傳輸矩陣。如果光線(xiàn)中只有一段均勻光纖布拉格光柵，通常有 zi zi 1- B(Zf)=0,所以: 利用上述相移光纖布拉格光柵的反射率和透射率公式，可以圓出其反射譜和 透射譜，程序編碼如下： function PhaseFiber_by_TransmissionMatrix_mine n=500;lamda=1e-9*linspace(15

17、45,1555,n); R1,R2,R3,R4=Transmission_FBG; subplot(2,2,1);plot(lamda*1e9,R1, r); title( fai=0 );grid axis(1545,1555,0,1); xlabel(波長(zhǎng)/nm );ylabel(反射率); subplot(2,2,2);plot(lamda*1e9,R2, c); title( fai=pi/2 );grid 魚(yú) A（乙），A（z ）= | Si s22 則反射率和透射率分別為： B（z2 A z 2 空AZi s22 2 % , T = s22 欄1 1 s22 axis(1545,1

18、555,0,1); xlabel(波長(zhǎng)/nm );ylabel(反射率); subplot(2,2,3);plot(lamda*1e9,R3, g); title( fai=pi );grid axis(1545,1555,0,1); xlabel(波長(zhǎng)/nm );ylabel(反射率); subplot(2,2,4);plot(lamda*1e9,R4, b); title( fai=3*pi/2 );grid axis(1545,1555,0,1); xlabel(波長(zhǎng)/nm );ylabel(反射率); end function F1=Transmission_FBG1(lamda,la

19、mda_B,dn,n_eff,i) delta=2*pi*n_eff*(1./lamda-1./lamda_B); j=sqrt(-1); k=pi*dn/lamda_B;L(1)=1e-3; s=sqrt(kA2-delta.A2); s11(i,1)=(cosh(s(i)*L(1)+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(-j* delta(i)*L (1); s12(i,1)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(-j*delta(i)*L (1); s21(i,1)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*ex

20、p(j*delta(i)*L (1); s22(i,1)=(cosh(s(i)*L(1)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(1).*exp(j*d elta(i)*L (1); F1=s11(i,1) s12(i,1);s21(i,1) s22(i,1); End function R1,R2,R3,R4=Transmission_FBG n=500;n_eff=1.458; dn=1.2e-3;j=sqrt(-1); lamda_B=1550e-9; lamda=1e-9*linspace(1545,1555,n); delta=2*pi*n_eff*(1./lam

21、da-1./lamda_B); k=pi*dn/lamda_B;s=sqrt(kA2-delta.A2); for i=1:n L(2)=1e-3; s111(i,2)=(cosh(s(i)*L (2) )+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j *delta(i)* L(2); s112(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)* L(2) ).*exp(j*0) ; s121(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)* L(2) ).*exp

22、(-j*0 ); s122(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L (2); F12=s111(i,2) s112(i,2);s121(i,2) s122(i,2); F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F12=F12*F1;R1(i)=(abs(-F12(2,1)/F12(1,1)A2; s211(i,2)=(cosh(s(i)*L (2) )+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j *

23、delta(i)* L(2); s212(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L (2) ).*exp(j*pi /2); s221(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L (2) ).*exp(-j*p i/2); s222(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L (2); F22=s211(i,2) s212(i,2);s221(i,2) s222(i,2); F1=

24、Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F22=F22*F1;R2(i)=(abs(-F22(2,1)/F22(1,1)A2; s311(i,2)=(cosh(s(i)*L (2) )+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j *delta(i)* L(2); s312(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)*L (2) ).*exp(j*pi ); s321(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(

25、i)*L (2) ).*exp(-j*p i); s322(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L (2); F32=s311(i,2) s312(i,2);s321(i,2) s322(i,2); F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F32=F32*F1;R3(i)=(abs(-F32(2,1)/F32(1,1)A2; s411(i,2)=(cosh(s(i)*L (2) )+j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i

26、)*L(2).*exp(-j *delta(i)* L(2); s412(i,2)=j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(-j*delta(i)* L(2) ).*exp(j*3* pi/2); s421(i,2)=-j*k./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j*delta(i)*L (2) ).*exp(-j*3 *pi ； s422(i,2)=(cosh(s(i)*L(2)-j*delta(i)./s(i).*sinh(s(i)*L(2).*exp(j* delta(i)*L (2); F42=s411(i,2) s412(i,2);s421(i

27、,2) s422(i,2); F1=Transmission_FBG1(lamda,lamda_B,dn,n_eff,i); F42=F42*F1;R4(i)=(abs(-F42(2,1)/F42(1,1)A2; end end 程序運(yùn)行如下: FIG3.相移光纖布拉格光柵反射譜和透射譜 4. 切趾光纖布拉格光柵 對(duì)折射率均勻調(diào)制的光纖布拉格光柵，兩端都是整齊的開(kāi)始和結(jié)束，或者說(shuō) 是突然地開(kāi)始和結(jié)束，沒(méi)有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程。如果使光柵折射率調(diào)制的開(kāi)始和結(jié)束 都有一個(gè)過(guò)渡過(guò)程，其折射率調(diào)制包絡(luò)不是均勻的，而是呈現(xiàn)一定的函數(shù)形式， 就會(huì)使得光柵的光譜有很大的改進(jìn)，此稱(chēng)為光柵的切趾，這樣的光柵稱(chēng)之為切趾

28、光柵。 在前面的分析中，光纖纖芯的折射率調(diào)制為： n（z）= n1 1 +。（z）|1 + cos z + *（z） 其中，o(z )取常數(shù)。也就是等振幅調(diào)制的情況，這種情況下，除了主反射帶外， 光纖光柵的反射譜還有較大的旁瓣，這在很多情況下是不利的，因此，設(shè)法消除 或者抑制旁瓣對(duì)光纖光柵的應(yīng)用具有重要思意義。采用切趾的方法可以很好地抑 制方瓣。 切趾相當(dāng)丁使折射率調(diào)制幅度 。不再是包定的，而是隨z緩慢變換，通常按 一定的函數(shù)關(guān)系變化，這也相當(dāng)丁耦合系數(shù)在整個(gè)光柵區(qū)不是均勻的而是按照一 定的函數(shù)變化，一般表示為: 二 Z-：f z 其中，f(Z)是相當(dāng)丁數(shù)字濾波器中的窗口函數(shù)，通常稱(chēng)為切趾函數(shù)

29、。常用的切 趾函數(shù)有高斯函數(shù)、漢明函數(shù)或升余弦函數(shù)、布萊克曼函數(shù)、 tanh函數(shù)、Cauchy 函數(shù)、sinc函數(shù)等，它們的表示式如下： 高斯函數(shù)： f z = e L 2 2B f z = sin cA 2zf 2 , f2Cz 1 - L ) 其中，L是整個(gè)光纖光柵的長(zhǎng)度，也可以是折射率分布輪廓的兩個(gè)半值之間的寬 度；G A K 8簡(jiǎn)日。，P均為常數(shù)。 根據(jù)光纖布拉格光柵的反射率和透射率公式，利用高斯函數(shù)，并取不同的 值，可以推導(dǎo)并畫(huà)出其反射譜和透射譜，程序編碼如下： 漢明函數(shù): 布萊克曼函數(shù): f z)= 1 H cos 1 1 B cos 2z L Bcos Sz、 L J tanh函

30、數(shù): 一( f(z)=1 + tanh|P 1-2 2z L sinc函數(shù): Cauchy 數(shù): % . FBG . z=linspace(1545,1555,5000);L=2e-3; k=(1.2*pi./z)*10A(-3);delta=3*pi*(z-1550)./(1550A2); s=sqrt(k.A2-delta.A2); y=(sinh(2e6*s).A2)./(cosh(2e6*s).A2-(delta.A2./k.A2); subplot(3,3,1);plot(z,y);title( FBG反射譜); xlabel(波長(zhǎng) nm);ylabel(透射率);grid; % .

31、 G=4 . z=linspace(1545,1555,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3; k0=(1.2*pi./z)*10A(-3);f1=exp(-4*(x/L).A2);k=k0.*f1; delta=3*pi*(z-1550)./(1550A2); s=sqrt(k.A2-delta.A2); y1=(sinh(2e6*s).A2)./(cosh(2e6*s).A2-(delta.A2./k.A2); subplot(3,3,7);plot(z,y1, m); title( (G=4); xlabel(波長(zhǎng) nm);ylabel(透射率); gri

32、d; subplot(3,3,4);plot(x,f1, r); title(高斯函數(shù)切趾(G=4); grid; % . G=8 . z=linspace(1548,1552,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3; k0=(1.2*pi./z)*10A(-3);f2=exp(-8*(x/L).A2);k=k0.*f2; delta=3*pi*(z-1550)./(1550A2); s=sqrt(k.A2-delta.A2); y2=(sinh(2e6*s).A2)./(cosh(2e6*s).A2-(delta.A2./k.A2); subplot(3,3,8

33、);plot(z,y2, m); title( (G=8); xlabel(波長(zhǎng) nm);ylabel(透射率); grid; subplot(3,3,5);plot(x,f2, r); title(高斯函數(shù)切趾(G=8); grid; % . G=16 . z=linspace(1548,1552,1000);x=linspace(-L,L,1000);L=2e-3; k0=(1.2*pi./z)*10A(-3);f3=exp(-16*(x/L).A2);k=k0.*f3; delta=3*pi*(z-1550)./(1550A2); s=sqrt(k.A2-delta.A2); y3=(s

34、inh(2e6*s).A2)./(cosh(2e6*s).A2-(delta.A2./k.A2); subplot(3,3,9);plot(z,y3, m); title( (G=16); xlabel(波長(zhǎng) nm);ylabel(透射率); grid; subplot(3,3,6);plot(x,f3, r); title(高斯函數(shù)切M (G=16); grid; 程序運(yùn)行如下: File Edit View Insert Tools Debug Desktop Wiindow Help 光纖光柵的切趾可以是對(duì)均勻光纖光柵，也可以是對(duì)喟啾光纖光柵。對(duì)均勻 光纖光柵，切趾可以起到抑制旁瓣的作用

35、，對(duì)喟啾光纖光柵，可以起到抑制旁瓣 和通帶內(nèi)的反射率抖動(dòng)，并且改善色散特性等作用。 5. 喟啾光纖布拉格光柵 喟啾光纖布拉格光柵是一種周期不均勻的光纖光柵，其周期沿 z軸緩慢變化, 這種變化可以是線(xiàn)性的，也可以是非線(xiàn)性的，當(dāng)周期沿著 z方向做線(xiàn)性變化時(shí)， 稱(chēng)為線(xiàn)性喟啾光纖光柵，否則為非線(xiàn)性喟啾光纖光柵。對(duì)正弦型的光柵，折射率 變化仍可寫(xiě)為： n（z）= R1 + |1 + cos = : 、一 A M Figures - Figure 1 I D H 崩國(guó) 、V妃K 酬 ID O 2 二 -z e（z）卜 AJ 。田tn日田可 FIG4.高斯切劇:光纖布拉格光柵反射譜和透射譜 其中，“（z）為

36、z的線(xiàn)性函數(shù)。下面僅談?wù)摼€(xiàn)性喟啾光纖布拉格光柵。 喟啾光纖布拉格光柵的周期可以寫(xiě)為： A = - , 0 z L 1 Fz L 其中，L為光柵長(zhǎng)度；A為光柵起始端的周期；F為喟啾系數(shù)，反應(yīng)喟啾的大小。 F=O寸為均勻光纖光柵。 設(shè)喟啾光纖布拉格光柵的周期為（因?yàn)?Fz 1 ）： L F X = A 1 z , 0 u z L I L J 并將其分成M個(gè)小段，光柵的起始點(diǎn)坐標(biāo)為 z1,其它分界點(diǎn)坐標(biāo)依次為 z2、 F = FMFMK f 其中, 2 = j _ sins z.yz le/1 zi ej i s =-jsin【戒乙書(shū)一 z )&卒* e s * 乙）】j sins（z中 一

37、 乙）ke辱 i） 這里，i=1,2, vM ; 4=：F：L，F(xiàn)為喟啾系數(shù)。 根據(jù)以上反射率和透射率公式，可以畫(huà)出其反射譜和透射譜，程序編碼如下: L=0.04;neff=1.47;C=10e-9;n=50;m=1501; deltaneff=0.0001;j=sqrt(-1); lambda1=1549;lambda2=1551; lambda=linspace(lambda1,lambda2,m)*1e-9; z -1 ,ZM*則總的傳輸矩陣為: Fi = S11 S12 S11 J coss( z .1 - zi 1 j-sins zi zi 1 ej z” & =cosS(z

38、 deltalambda=(lambda2-lambda1)/m*1e-9; for k=1:m F=1 0;0 1; for i=1:n deltaneff=0.0001*exp(-4*(-L/2+i*L/n)A4)/LA4); lambda_D=(1550-C*L/2+C*i*L/n)*1e-9; delta=2*pi*neff*(1/lambda(k)-1/lambda_D)+2*pi*deltaneff/ lambda(k)+(4*pi*neff)*C*(-L/2+i*L/n)/lambda_DA2; kac=pi*deltaneff/lambda(k); s=sqrt(kacA2-d

39、eltaA2); F=F*cosh(s*L/n)-j*(delta/s)*sinh(s*L/n),-j*(kac/s)*sinh(s*L/n); j*(kac/s)*sinh(s*L/n),cosh(s*L/n)+j*(delta/s)*sinh(s*L/n); end R(k)=(abs(-F (3)/F(1)A2; end plot(1e9*lambda,R); axis(1549 1551 0 1);xlabel( 波長(zhǎng)nm);ylabel(反射率); title(喟啾光纖布拉格光柵的反射譜); grid 程序運(yùn)行如下: FIG5.喟啾光纖布拉格光柵反射譜 6. 長(zhǎng)周期光纖光柵 199祁

40、，Vengsarkar等報(bào)道了有關(guān)長(zhǎng)周期光纖光柵的制作方法、特性和在通 信領(lǐng)域的應(yīng)用，此后對(duì)這一新型的光纖器件進(jìn)行了大量的實(shí)驗(yàn)和理論研究，使得 人們對(duì)長(zhǎng)周期光纖光柵的特性有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)，制作方法得到了進(jìn)一步的發(fā) 展，理論也逐步完善起來(lái)。 長(zhǎng)周期光纖光柵有著與光纖布拉格光柵不同的特性和應(yīng)用場(chǎng)合，目前主要應(yīng) 用丁帶阻濾波器和摻供光纖放大器的增益均衡。長(zhǎng)周期光纖光柵是由丁前向傳播 的纖芯模與同向傳播的包層模之間產(chǎn)生耦合,因此涉及的模式包括纖芯模和包層 模，在一定條件下還涉及纖芯模與輻射模的耦合。 長(zhǎng)周期光纖光柵的周期比光纖布拉格光柵的周期大得多,在幾十微米到幾白 微米，雖然僅僅是周期比較大，但是這

41、樣的結(jié)構(gòu)引起的模的模式已完全不同丁光 纖布拉格光柵，其光譜也有較大差別。 長(zhǎng)周期光纖光柵的透射譜較寬，一定周期的光纖光柵不只形成一個(gè)損耗峰， 往往可以形成數(shù)個(gè)損耗峰，這些峰之間的間隔也比較大，有些在幾十納米以上。 每一個(gè)損耗峰對(duì)應(yīng)纖芯模被耦合到一個(gè)包層模中。 對(duì)均勻長(zhǎng)周期光纖光柵，纖芯模只和具有軸對(duì)稱(chēng)場(chǎng)分布的一階奇次包層模耦 合。對(duì)一般的通信光纖，一階包層模可以有一兩白個(gè)。設(shè)纖芯模和包層模的傳播 常數(shù)分別為Pc和：,為一階包層模的根序號(hào)，光柵周期為 A ,則諧振條件 為： 2- 八 =0 一 n（z） = n1 + （z）|1 + cos I ! 其中，(z)為與光柵的相移或喟啾有關(guān)的附加相位

42、。纖芯的折射率改變量為: nJznBz jl + cos 均勻長(zhǎng)周期光纖光柵使纖芯模和同向的包層模發(fā)生耦合，而包層模之間的耦 合很弱。對(duì)單模光纖，同一方向只有一個(gè)纖芯模，而包層模則較多，所以在一般 的耦合模方程對(duì)紫外激光寫(xiě)入的長(zhǎng)周期光纖光柵, 率未發(fā)生改變。與光纖布拉格光柵類(lèi)似, A 只有折射率發(fā)生了擾動(dòng)，而包層的折射 柵區(qū)的折射率分布為： ,yi z + Wz）卜， JJJ r r1 v - =An（z）|1 十 cos 2 JzW（z） I A I dA dz =廣 AKLe， V 是一個(gè)方程組，曰 p取所有發(fā)生耦合的模的序數(shù)。在一定波長(zhǎng)范 中，與反向本征模有關(guān)的分量均為零，即一般的耦合模

43、方程可以簡(jiǎn) 化為： 圍內(nèi)，可以只考慮纖芯模和一個(gè)包層模發(fā)生耦合，這樣簡(jiǎn)化得到的結(jié)果和實(shí)驗(yàn)很 接近，丁是耦合模方程可以寫(xiě)為： 曾小K jAzK； dz 竺 jA2K；2 jAg2z dz 其中，A1(z)為纖芯模的振幅；A2(z)為包層模的振幅；氏和臼2分別為纖芯模 和包層模的傳播常數(shù)。而長(zhǎng)周期光纖光柵的橫向耦合系數(shù) K中，可以得到： K七(z X1 + cos |色 z + * (z JJ 爭(zhēng) 訴 L 1 A JJ 其中，代中(z )是z的慢變函數(shù)，一般稱(chēng)為耦合常數(shù)。當(dāng)兩個(gè)下標(biāo)相同時(shí)為自耦合 系數(shù)，不同時(shí)為互耦合系數(shù)，而上式后一部分則變化較快。而本田(z)的表達(dá)式為: 2 -Q 一 z = 2

44、 z et x, y 如 x, y dxdy = k n 即 可以得到長(zhǎng)周期光纖光柵的耦合模方程: ? = jAi ii jA? z 1 dz 華=jA2 22 jA ej2z 1 dz 一 i心 2冗 一 其中，6 =七一七 - ；翟=12/2=翟21/2.為了簡(jiǎn)述上述方程，引 2 A ) 入如下變換： A = R z ej11 22 z/2ej - /2 A2 = S z ej11 22 z/2ej、/2 根據(jù)下述關(guān)系： cos A z + g 項(xiàng) e）提y 則耦合模方程簡(jiǎn)化為： dR j。R z j S z dz dS j。S z j R z dz - 11 - 22 1 d ，、 其中

45、，痣=8 - - - ，通常11比翟22大得多，故22可忽略，該 2 2 dz 方程具有較簡(jiǎn)單的解析解。 利用類(lèi)似丁求解光纖布拉格光柵耦合模方程的方法，可以求出上面方程組的 解，即： R z = C1 cos sz C2 sin sz S z ）=C3cossz C4sin sz , 2 2 2 2 其中，s=。 + K 。設(shè)初始條件為 z =乙時(shí)，R = R（乙）， S = S（z ）,則有： R 乙 =C1 cos s乙 C2sin sz S z1 = C3cos s乙 C4sin s乙 從而可以得到方程組： sC2 - J ；C1 - j C3 cos szEsC1 - j； C2 -

46、j C4 sin sz = 0 一 J C1 J。C3 sC4 cos sz 一 J C2 一 sC3 JC4 sin sz）= 0 對(duì)任意的z, cos（szsin（sz）前面的系數(shù)應(yīng)為0。通過(guò)計(jì)算和簡(jiǎn)化，可以 得到長(zhǎng)周期光纖光柵的耦合模方程，寫(xiě)成矩陣的形式為： R(z) R(z =Frs S(z) s21 s22| S S 其中，矩陣Frs的元素分別為: 5： = cosWz-乙)】+ JsinHz -乙 s 5； = J sin -s z - z1 I s s； = j sin ls(z - z1)】 s ；=cos1; z - 乙 1 - j 一 sin Ls z -乙】 s 對(duì)一段長(zhǎng)

47、為L(zhǎng)的均勻長(zhǎng)周期光纖光柵，設(shè)其分布在 0L ,在光纖光柵的起 始端，包層模的振幅為零，即S(0) = 0，貝U： 一 。 1 R(L)= |cos(sL)+ j sin(sL) R(0) I s S L - j -sin sL R 0 s sin2 sL 透射率和損耗率分別相當(dāng)丁纖芯基模中沒(méi)有發(fā)生不分的能量和已經(jīng)耦合到 包層中的能量占輸入能量的比例。 根據(jù)上述反射率和透射率公式，可以畫(huà)出長(zhǎng)周期光纖光柵反射譜和透射譜, 程序編碼如下： z=1e-9*linspace(1500,1599,1000);k=30; %怕勺單位是1/m. n1=1.468;n2=1.463;L=pi/60;k11=6e

48、0; %k11(自己取得值)相當(dāng)丁使得中心波長(zhǎng)有微小的偏移 delta=pi*(n1-n2)*(1./z-1/(1550*1e-9); sita=delta+k11; s=sqrt(kA2+sita.A2); D=kA2./s.A2.*(sin(s*L).A2); plot(1e9*z,1-D, r); xlabel(波長(zhǎng)/nm );ylabel(透射率); title( LFBG透射譜)； grid;丁是，透射率為： A L2 |RL 0 ! 損耗率為： 2 2 2 . 二 cos sL - 2 ; sin sLi)=1 - 2 ,- 2 = - sin sL cr + K 2 S L R0

49、 程序運(yùn)行如下: 從上圖中可以看出，透射譜相對(duì)丁中心波長(zhǎng)有一個(gè)微小的偏移， 此為1項(xiàng)對(duì) 譜線(xiàn)所產(chǎn)生的影響，而實(shí)際的諧振波長(zhǎng)為: 1 九= - A 1 一 - 一 11 22 2- 其中，七為設(shè)計(jì)波長(zhǎng)。從上述式子可知，實(shí)際的諧振波長(zhǎng) 人比設(shè)計(jì)波長(zhǎng)乳d大。 7. 光纖布拉格光柵的級(jí)聯(lián)（雙光纖布拉格光柵） A.兩個(gè)諧振頻率不同時(shí) 設(shè)有兩個(gè)級(jí)聯(lián)光柵，周期分別為 人1和A 2,長(zhǎng)度分別為L(zhǎng)1和L2,初始端相 距為do取第一個(gè)始端為坐標(biāo)原點(diǎn)。 出 - K d A d 1 - ii FIG6.均勻長(zhǎng)周期光纖光柵的透射譜 根據(jù)光纖布拉格光柵的傳輸矩陣可以知道： 其中， i=/2 , s；， =2 -2二/上

50、i 2 = w/2 , s2 = W -；，廠(chǎng)2 = 2 q： / A： 根據(jù)上述反射率和透射率公式，可以畫(huà)出其反射譜，程序編碼如下: function Double_FBG n_eff=i.47;L= 2e-3;Li=2e-3; lambda_Brag=i552e-9; lambda_Bragi=i548e-9; lambda=ie-9*linspace(i545,i555,i000); kappa_L=5; kappa=kappa_L/L;kappai=kappa_L/Li; %流耦合系數(shù) F = i 0;0 i; for num = i:i000 delta(num) = 2*pi*n_

51、eff*(i/lambda(num)-i/lambda_Brag); s(num)=sqrt(kappaA2-delta(num).A2); sii(num)=cosh(s(num)*L)-i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); si2(num)=-i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s2i(num)=i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s22(num)=cosh(s(num)*L)+i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); f0=sii(num) si2(num);s2i

52、(num) s22(num);Fi = |cosh( L1 )+ j -sinhGL ) e&Li - si 一 -j 1sinh L1 ej* Si j 旦 sinh( L1)e跖 - 一& 一 1 k coshsL )_ j sinhLJ e si |cosh(s2L2 )+ j 二sinh(&L2 ) e2 _ 5 一 -j Msinh(s2L2 e*2 ) s2 jFh s2L2 ej22d L2 s2 |cosh(s2L2) j 箜sinh(s2L2) ej&L2 _ s2 一 則 F =F2E = F” F2i Fi2 F22 .反射率和透射率分別為

53、: F2i Fii T = Fii - 2 Fi2F2i deltal(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag1); t(num)=sqrt(kappa1A2-delta1(num).A2); t11(num)=cosh(t(num)*L1)-i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); t12(num)=-i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t21(num)=i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t22(num)=cosh(t(num)*L1)+

54、i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); f1=t11(num) t12(num);t21(num) t22(num); f=f1*f0; r3(num)=f(2,1)/f(1,1); 哌射系數(shù) R3(num)=(abs(f(2,1)/f(1,1)A2; %5 射率 end plot(lambda*1e9,R3, r );hold on; xlabel(波長(zhǎng) /nm );ylabel(反射率); title( 雙光柵反射譜);grid on end 程序運(yùn)行如下: FIG7.雙把光纖布拉格光柵的反射譜 B.兩個(gè)諧振頻率相同時(shí)(法布里-珀羅光纖布拉格光柵濾波器

55、) 當(dāng)兩個(gè)光柵的諧振頻率相同時(shí)，它們將形成法布里 -珀羅干涉。在耦合系數(shù) 和光柵之間的距離合適時(shí)，會(huì)形成梳狀反射譜。設(shè)兩個(gè)光柵的長(zhǎng)度、耦合系數(shù)均 相同，取L = L? = L ,陽(yáng)=2 = K , A = A? = A ,利用上節(jié)傳輸矩陣可以計(jì)算反 射譜。計(jì)算時(shí)，xL不能取太大，因?yàn)槿√髸r(shí)，第一個(gè)光柵的反射率過(guò)大，透 射光太弱，就無(wú)法形成干涉。同時(shí) L也不能取太大，否則，反射峰輪廓很窄，就 不會(huì)出現(xiàn)多反射峰。 同上，可以畫(huà)出其反射譜，程序編碼如下： function F_P_FBG_Filter n_eff=1.47;L=1e-3;L1=1e-3;i=sqrt(-1); lambda_Bra

56、g=1550e-9;lambda_Brag1=1550e-9; lambda=1e-9*linspace(1547,1553,1000);h=15e-3; kappa_L=1;kappa=kappa_L/L;kappa1=kappa_L/L1; 農(nóng)流耦合系數(shù) F=eye(2); for num = 1:1000 delta(num) = 2*pi*n_eff*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag); s(num)=sqrt(kappaA2-delta(num).A2); s11(num)=cosh(s(num)*L)-i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(

57、num)*L); s12(num)=-i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s21(num)=i*(kappa/s(num)*sinh(s(num)*L); s22(num)=cosh(s(num)*L)+i*(delta(num)/s(num)*sinh(s(num)*L); f0=s11(num) s12(num);s21(num) s22(num); m=exp(-i*L*delta(num) exp(-i*delta(num)*L);exp(i*delta(num)*L) exp(i*L*delta(num); delta1(num) = 2*pi*n_eff

58、*(1/lambda(num)-1/lambda_Brag1); t(num)=sqrt(kappa1A2-delta1(num).A2); t11(num)=cosh(t(num)*L1)-i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); t12(num)=-i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t21(num)=i*(kappa1/t(num)*sinh(t(num)*L1); t22(num)=cosh(t(num)*L1)+i*(delta1(num)/t(num)*sinh(t(num)*L1); f1=t11(num) t1

59、2(num);t21(num) t22(num); n=exp(-i*L1*delta1(num) exp(-i*delta1(num)*(L1+h); . exp(i*delta1(num)*(L1+h) exp(i*L1*delta1(num); f=(f1.*n)*(f0.*m); r(num)=f(2,1)/f(1,1);R(num)=(abs(f(2,1)/f(1,1)A2; end plot(lambda*1e9,R, r );xlabel(波長(zhǎng) /nm );ylabel(反射率); title( F-P光纖布拉格光柵濾波器的反射譜);grid on end程序運(yùn)行如下: FIG8.F-P光纖布拉格光柵濾波器的反射譜 8. 后記 由丁光纖本身的低損耗、抗電磁干擾，它在遠(yuǎn)距離通信中得到了廣泛應(yīng)用， 并隨之在通信、傳感領(lǐng)域得到重視和應(yīng)用。經(jīng)過(guò)近二三十年的研究與實(shí)踐，光纖 光柵種類(lèi)迅速增加，出現(xiàn)了各種非均勻光纖光柵。在實(shí)際需要的推動(dòng)下，光纖光 柵家族不斷得到完善和豐富，也在通信和傳感領(lǐng)域起到了無(wú)法代替的作用。 光纖布拉格光柵相當(dāng)丁一個(gè)置丁光纖中的反射型光學(xué)濾波器，通過(guò)改變參 數(shù)，帶寬可以在較大范圍內(nèi)變化，達(dá)到兆赫量級(jí)的窄帶濾波。光纖布拉格光柵的 周期較小，一般在微米量級(jí)一下，在幾毫米內(nèi)就有