電磁場第二章習題解答

1、第二章習題解答 2.1 一個平行板真空二極管內(nèi)的電荷體密度為，式中陰極板位于，陽極板位于，極間電壓為。如果、橫截面，求：（1）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量；（2）和區(qū)域內(nèi)的總電荷量。 解 （1） （2） 2.2 一個體密度為的質(zhì)子束，通過的電壓加速后形成等速的質(zhì)子束，質(zhì)子束內(nèi)的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解 質(zhì)子的質(zhì)量、電量。由得 故 2.3 一個半徑為的球體內(nèi)均勻分布總電荷量為的電荷，球體以勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球內(nèi)的電流密度。解 以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球內(nèi)任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球內(nèi)的電荷體密度為故 2.4 一個半徑為

2、的導(dǎo)體球帶總電荷量為，同樣以勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，求球表面的面電流密度。解 以球心為坐標原點，轉(zhuǎn)軸（一直徑）為軸。設(shè)球面上任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球面的上電荷面密度為故 2.5 兩點電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場強度。解 電荷在處產(chǎn)生的電場為電荷在處產(chǎn)生的電場為故處的電場為2.6 一個半圓環(huán)上均勻分布線電荷，求垂直于圓平面的軸線上處的電場強度，設(shè)半圓環(huán)的半徑也為，如題2.6 圖所示。解 半圓環(huán)上的電荷元在軸線上處的電場強度為 在半圓環(huán)上對上式積分，得到軸線上處的電場強度為2.7 三根長度均為，均勻帶電荷密度分別為、和地線電荷構(gòu)成等邊三角形。設(shè)，計算三角形中心

3、處的電場強度。解 建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為題2.7圖則故等邊三角形中心處的電場強度為2.8 點電荷位于處，另點電荷位于處，空間有沒有電場強度的點？解 電荷在處產(chǎn)生的電場為 電荷在處產(chǎn)生的電場為處的電場則為。令，則有由上式兩端對應(yīng)分量相等，可得到 當或時，將式或式代入式，得。所以，當或時無解； 當且時，由式，有解得但不合題意，故僅在處電場強度。29 一個很薄的無限大導(dǎo)電帶電面，電荷面密度為。證明：垂直于平面的軸上處的電場強度中，有一半是有平面上半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生的。解 半徑為、電荷線密度為的帶電細圓環(huán)在軸上處的電場強度為 題2.10圖故整個導(dǎo)電帶電面在軸上處的電場

4、強度為而半徑為的圓內(nèi)的電荷產(chǎn)生在軸上處的電場強度為2.10 一個半徑為的導(dǎo)體球帶電荷量為，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應(yīng)強度。解 球面上的電荷面密度為當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉(zhuǎn)時，球面上位置矢量點處的電流面密度為將球面劃分為無數(shù)個寬度為的細圓環(huán)，則球面上任一個寬度為細圓環(huán)的電流為 細圓環(huán)的半徑為，圓環(huán)平面到球心的距離，利用電流圓環(huán)的軸線上的磁場公式，則該細圓環(huán)電流在球心處產(chǎn)生的磁場為 故整個球面電流在球心處產(chǎn)生的磁場為 2.11 兩個半徑為、同軸的相同線圈，各有匝，相互隔開距離為，如題2.11圖所示。電流以相同的方向流過這兩個線圈。（1）求這兩個線

5、圈中心點處的磁感應(yīng)強度；（2）證明：在中點處等于零；（3）求出與之間的關(guān)系，使中點處也等于零。解 （1）由細圓環(huán)電流在其軸線上的磁感應(yīng)強度 得到兩個線圈中心點處的磁感應(yīng)強度為 （2）兩線圈的電流在其軸線上處的磁感應(yīng)強度為所以 故在中點處，有 （3） 令 ，有 即 故解得 題 2.12圖2.12 一條扁平的直導(dǎo)體帶，寬為，中心線與軸重合，通過的電流為。證明在第一象限內(nèi)的磁感應(yīng)強度為 ， 式中、和如題2.12圖所示。解 將導(dǎo)體帶劃分為無數(shù)個寬度為的細條帶，每一細條帶的電流。由安培環(huán)路定理，可得位于處的細條帶的電流在點處的磁場為則 所以 2.13 如題2.13圖所示，有一個電矩為的電偶極子，位于坐標

6、原點上，另一個電矩為的電偶極子，位于矢徑為的某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為 式中，是兩個平面和間的夾角。并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解 電偶極子在矢徑為的點上產(chǎn)生的電場為所以與之間的相互作用能為因為，則 又因為是兩個平面和間的夾角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得因此 于是得到 ()故兩偶極子之間的相互作用力為 ()() 由上式可見，當時，即兩個偶極子共線時，相互作用力值最大。2.14 兩平行無限長直線電流和，相距為，求每根導(dǎo)線單位長度受到的安培力。解 無限長直線電流產(chǎn)生的磁場為 直線電流每單位長度受到的安培力為 式中是由電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長度受到的安培力為 2.15 一根通電流的無限長直導(dǎo)線和一個通電流的圓環(huán)在同一平面上，圓心與導(dǎo)線的距離為，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為這里是圓環(huán)在直線最接近圓環(huán)的點所張的角。解 無限長直線電流產(chǎn)生的磁場為圓環(huán)上的電流元受到的安培