第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

1、第二章第二章連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析的時(shí)域分析本章的主要講授內(nèi)容本章的主要講授內(nèi)容1、微分方程的建立和求解、微分方程的建立和求解2、起始點(diǎn)的跳變、起始點(diǎn)的跳變從從0-到到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換3、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)、自由響應(yīng)和強(qiáng)迫響應(yīng)4、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)5、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)6 、卷積、卷積7 、卷積的性質(zhì)、卷積的性質(zhì)8 、用算子符號(hào)表示微分方程、用算子符號(hào)表示微分方程第一節(jié)第一節(jié)引言引言一、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析方法一、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分析方法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸出連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸出數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)模型模型輸入輸入輸出法輸出法或端口

2、描述法或端口描述法輸入激勵(lì)信號(hào)（輸入激勵(lì)信號(hào)（t的函數(shù)）的函數(shù)）連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸入連續(xù)時(shí)間信號(hào)輸入輸出響應(yīng)信號(hào)（輸出響應(yīng)信號(hào)（t的函數(shù)）的函數(shù)）高階微分方程高階微分方程（t及及t的導(dǎo)數(shù)）的導(dǎo)數(shù)）系統(tǒng)分析的任務(wù)系統(tǒng)分析的任務(wù)：對(duì)給定的系統(tǒng)模型和輸入信號(hào)求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。對(duì)給定的系統(tǒng)模型和輸入信號(hào)求系統(tǒng)的輸出響應(yīng)。二、時(shí)域分析法二、時(shí)域分析法時(shí)域時(shí)域法：不通過任何變換，直接法：不通過任何變換，直接求解求解系統(tǒng)的系統(tǒng)的微分微分、積分、積分方程方程。系統(tǒng)的分析與計(jì)算全部在系統(tǒng)的分析與計(jì)算全部在時(shí)域時(shí)域內(nèi)進(jìn)行。內(nèi)進(jìn)行。時(shí)域時(shí)域分析法優(yōu)點(diǎn)：直觀，物理概念清楚，是學(xué)習(xí)各種變換域分析法優(yōu)點(diǎn)：直觀，物理概念清楚，

3、是學(xué)習(xí)各種變換域分析方法的基礎(chǔ)。分析方法的基礎(chǔ)。目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種算法軟件的開發(fā)，使這一經(jīng)典目前計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，各種算法軟件的開發(fā)，使這一經(jīng)典的方法的方法重新重新得到廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。得到廣泛的關(guān)注和應(yīng)用。三、時(shí)域分析法手段三、時(shí)域分析法手段時(shí)域時(shí)域分析法有兩種：分析法有兩種：一種一種經(jīng)典法經(jīng)典法直接求解微分方程；直接求解微分方程；另一種是另一種是卷積法卷積法；即已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，將沖激響；即已知系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)，將沖激響應(yīng)與輸入激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行卷積積分。應(yīng)與輸入激勵(lì)信號(hào)進(jìn)行卷積積分。1、經(jīng)典法、經(jīng)典法經(jīng)典法求微分方程：求經(jīng)典法求微分方程：求齊次解齊次解和和特解特解。經(jīng)典法著重說

4、明經(jīng)典法著重說明物理意義物理意義。建立建立自由響應(yīng)自由響應(yīng)和和強(qiáng)迫響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)、零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)和和零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)概念。概念。它使線性系統(tǒng)分析在理論上更完善，為解決實(shí)際問題帶來方它使線性系統(tǒng)分析在理論上更完善，為解決實(shí)際問題帶來方便。便。2、卷積法、卷積法卷積卷積法：用卷積積分法：用卷積積分只能求到只能求到系統(tǒng)的系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)。零輸入響。零輸入響應(yīng)仍要用經(jīng)典法求得。應(yīng)仍要用經(jīng)典法求得。卷積法：物理概念明確，運(yùn)算過程方便，是系統(tǒng)分析的卷積法：物理概念明確，運(yùn)算過程方便，是系統(tǒng)分析的基本基本方法。是近代計(jì)算分析系統(tǒng)的強(qiáng)有力工具。方法。是近代計(jì)算分析系統(tǒng)的強(qiáng)有力工具。卷積法卷積

5、法也是時(shí)域與變換域分析線性系統(tǒng)的一條也是時(shí)域與變換域分析線性系統(tǒng)的一條紐帶紐帶，通過它，通過它把變換域分析賦清晰的物理概念。把變換域分析賦清晰的物理概念。3、算子符號(hào)法、算子符號(hào)法微分方程的算子符號(hào)表示法：微分方程的算子符號(hào)表示法：它使微分、積分方程的表示及某些運(yùn)算簡(jiǎn)化。它使微分、積分方程的表示及某些運(yùn)算簡(jiǎn)化。也是時(shí)域經(jīng)典法向拉普拉斯變換法的一種過渡。也是時(shí)域經(jīng)典法向拉普拉斯變換法的一種過渡。第二節(jié)第二節(jié)微分方程式的建立微分方程式的建立與求解與求解一、微分方程的建立線性時(shí)不變系統(tǒng)線性時(shí)不變系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型建立數(shù)學(xué)模型建立線性的常系數(shù)微分方程線性的常系數(shù)微分方程具體系統(tǒng)物理模型具體系統(tǒng)物理模型也即：

6、按照元件的約束特性及按照元件的約束特性及系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的約束特性常常系數(shù)微分方程建立系數(shù)微分方程建立例例2-1)(tvciLiRiRLC) (tisRLC并聯(lián)電路如圖所示如圖所示RLC并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓并聯(lián)電路，求并聯(lián)電路的端電壓v(t)與激勵(lì)源與激勵(lì)源is(t)間的關(guān)系。間的關(guān)系。解：把解：把v(t)作為變量，根據(jù)元件的電壓電流關(guān)系有：作為變量，根據(jù)元件的電壓電流關(guān)系有：電阻：電阻：)(1)(tvRtiR電感：電感：tLdvLti)(1)(電容電容：)()(tvdtdCtic)()(1)(1)(22tidtdtvLtvdtdRtvdtdCS將上三式化簡(jiǎn)得將上三式化簡(jiǎn)得：

7、根據(jù)基爾霍夫電流定律有：根據(jù)基爾霍夫電流定律有：)()()()(titititiSLRC例例2-2如圖所示機(jī)械位移系統(tǒng)，質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦系數(shù)為f，外加牽引力為Fs(t)，求外加牽引力Fs(t)與剛體運(yùn)動(dòng)速度v(t)間的關(guān)系。解：由機(jī)械系統(tǒng)元件特性：彈簧在彈性限度內(nèi)，拉力k與位移x成正比。設(shè)剛度系數(shù)為k，有dvtxt)()(tkdvktF)()(其中f為摩擦系數(shù)。剛體在光滑表面滑動(dòng)，摩擦力f(t)與速度v(t)成正比。)()(tvftFfsFkmf機(jī)械位移系統(tǒng)kFfFmF運(yùn)動(dòng)物體的慣性力由牛頓第二定律決定：化簡(jiǎn)得：)()(tvdtdmtFm

8、sFkmf機(jī)械位移系統(tǒng))()()()(tFdvktvftvdtdmst)()()()(22tFdtdtkvtvdtdftvdtdms此為機(jī)械位移系統(tǒng)的微分方程。整個(gè)系統(tǒng)力的平衡由達(dá)朗貝爾原理確定：01NiiF作業(yè)vP81，2-1二、微分方程的求解v1.微分方程表達(dá)式微分方程表達(dá)式( )( )e tr t設(shè)n階復(fù)雜系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為，響應(yīng)信號(hào)為1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd r tdr tdr tCCCC r tdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdt其n階微分方程為v、微分方程的經(jīng)典法全解形式、微分方程的經(jīng)典

9、法全解形式:e(t)注自由項(xiàng) 為代入方程右端化簡(jiǎn)后的函數(shù)式則由時(shí)域經(jīng)典法求解可得其完全解為則由時(shí)域經(jīng)典法求解可得其完全解為)(tr)(trh)(trp其中齊次解其中齊次解即由齊次方程的特征方程求出特征根再列寫解。即由齊次方程的特征方程求出特征根再列寫解。由方程右端為零構(gòu)成的齊次方程而定；由方程右端為零構(gòu)成的齊次方程而定；)(trh其中特解其中特解)(trp根據(jù)方程右端激勵(lì)構(gòu)成的根據(jù)方程右端激勵(lì)構(gòu)成的“自由項(xiàng)自由項(xiàng)”而定。而定。101CCC0nnn即特征方程為 v、齊次方程的求解、齊次方程的求解0)()()()(11110trCtrdtdCtrdtdCtrdtdCnnnnnn齊次齊次方程為：方程

10、為：齊次齊次方程的解為：方程的解為：tAetr)(tAe或函數(shù)的線性組合。將其解代入齊將其解代入齊次方程，并化簡(jiǎn)：次方程，并化簡(jiǎn)：解得此方程的解得此方程的n個(gè)根：個(gè)根：n,21稱為微分方程的特征根。v（1）特征根的求解）特征根的求解v（2）特征根的情況分析）特征根的情況分析nititntthineAeAeAeAtr12121)(（）特征根各不相同（）特征根各不相同（無重根）（無重根）的情況下，微分方程的齊次解為的情況下，微分方程的齊次解為則則相應(yīng)于相應(yīng)于 1的的k階重根，有階重根，有k項(xiàng)：項(xiàng)：kitikitkkkketAeAtAtAtA11221111)()(其中常數(shù)其中常數(shù)A1,A2,An由

11、初始條件決定。由初始條件決定。（）特征根（）特征根（有重根）（有重根）的情況下，如的情況下，如 1是方程的是方程的k階重根，即：階重根，即：1210122110)()(kniiknnnnnCCCCCCv例例2-3)()(12)(16)(7)(2233tetrtrdtdtrdtdtrdtd求求如下所示的微分方程的齊次解。如下所示的微分方程的齊次解。ttheAeAtAtr33221)()(對(duì)應(yīng)的齊次解為：對(duì)應(yīng)的齊次解為：特征根：特征根：3),(221重根解：系統(tǒng)的特征方程為解：系統(tǒng)的特征方程為327161200) 3()2(2因式分解：因式分解：其中其中A1，A2，A3為待定系數(shù)。為待定系數(shù)。v4

12、、微分方程的特解、微分方程的特解微分方程的微分方程的特解特解rp(t)的函數(shù)形式與的函數(shù)形式與激勵(lì)信號(hào)激勵(lì)信號(hào)的形式的形式有關(guān)有關(guān)。將將激勵(lì)激勵(lì)e(t)代入方程式的右端，代入方程式的右端，化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)后右端函數(shù)式稱為后右端函數(shù)式稱為“自由自由項(xiàng)項(xiàng)”。通過通過觀察自由項(xiàng)觀察自由項(xiàng)的函數(shù)形式，的函數(shù)形式，試選特解函數(shù)式試選特解函數(shù)式。代入方程代入方程，求得求得特解函數(shù)式中的特解函數(shù)式中的待定系數(shù)待定系數(shù)。即求出特解。即求出特解rp(t)。v（1）求特解的步驟）求特解的步驟v（2）幾種典型激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)特解的形式）幾種典型激勵(lì)信號(hào)對(duì)應(yīng)特解的形式pt1121ppppBtBtBtBtetBe)sin()cos

13、(21wtBwtB)cos( wtettp)sin( wtettp)sin()()cos()(1111wteDtDtDwteBtBtBtppptppp若表中的若表中的特解與齊次解重復(fù)特解與齊次解重復(fù)，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)：，則應(yīng)在特解中增加一項(xiàng)：t倍乘倍乘表中特解。表中特解。v例子例子2-4給定微分方程式給定微分方程式)()()(3)(2)(22tedttdetrtrdtdtrdtd;)() 1 (2tte如果已知：如果已知：;)()2(tete分別求兩種情況下此方程的特解。分別求兩種情況下此方程的特解。3221)(BtBtBtrp為使為使等式兩端平衡，設(shè)特解函數(shù)式：等式兩端平衡，設(shè)特解函數(shù)式

14、：2)(ttett22代入方程右端，得到：解:(1)將321,BBB為為待定系數(shù)，將此式代入方程：待定系數(shù)，將此式代入方程：ttBBBtBBtB2)322()34(323212121等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有：等式兩端各對(duì)應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有：032223413321211BBBBBB2710,92,31321BBB聯(lián)立解得：聯(lián)立解得：27109231)(2tttrp特解特解為：為：tpBetr)(tete)(時(shí)，設(shè)特解為：時(shí)，設(shè)特解為：解解:(2)當(dāng)當(dāng)B為為待定系數(shù)，將此式代入方程：待定系數(shù)，將此式代入方程：3132BeeBeBeBettttt特解：特解：tpetr31)(

15、系統(tǒng)方程的完全解：系統(tǒng)方程的完全解：titipheeAtrtrtri31)()()(21為待定系數(shù)，由邊界條件決定。iA第第三節(jié)三節(jié)起始點(diǎn)的跳變從起始點(diǎn)的跳變從0-到到0+狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換v一、響應(yīng)區(qū)間一、響應(yīng)區(qū)間在在系統(tǒng)分析中，定義：系統(tǒng)分析中，定義：響應(yīng)區(qū)間響應(yīng)區(qū)間：確定激勵(lì)信號(hào)：確定激勵(lì)信號(hào)e(t)加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。加入后系統(tǒng)的狀態(tài)變化區(qū)間。一般激勵(lì)一般激勵(lì)e(t)都是從都是從t=0時(shí)刻加入，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為：時(shí)刻加入，此時(shí)系統(tǒng)的響應(yīng)區(qū)間定為：t0v二、起始狀態(tài)二、起始狀態(tài)系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的一組狀態(tài)：系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的一組狀態(tài)：稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的起始狀

16、態(tài)起始狀態(tài)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱0-狀態(tài)狀態(tài).)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn起始狀態(tài)包含了計(jì)算未來響應(yīng)的全部起始狀態(tài)包含了計(jì)算未來響應(yīng)的全部“過去過去”信息。信息。由于受激勵(lì)的影響，這組狀態(tài)從由于受激勵(lì)的影響，這組狀態(tài)從t=0-到到t=0+時(shí)刻可能發(fā)生變化。時(shí)刻可能發(fā)生變化。系統(tǒng)系統(tǒng)0-狀態(tài)：就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況。狀態(tài)：就是系統(tǒng)中儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況。v三、初始條件三、初始條件確定系統(tǒng)完全響應(yīng)：確定系統(tǒng)完全響應(yīng)：)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn通常為了確定系統(tǒng)的待定系數(shù)，須根據(jù)系統(tǒng)的通常為了確定系統(tǒng)的待定系數(shù)，須根據(jù)系統(tǒng)的0

17、-狀態(tài)和激勵(lì)狀態(tài)和激勵(lì)信號(hào)情況求出信號(hào)情況求出0+的狀態(tài)。的狀態(tài)。初始條件初始條件：（導(dǎo)出的起始狀態(tài)）：由響應(yīng)區(qū)間：（導(dǎo)出的起始狀態(tài)）：由響應(yīng)區(qū)間t=0+時(shí)刻組時(shí)刻組成的一組狀態(tài)：成的一組狀態(tài)：)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi式中式中為待定系數(shù)，是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)為待定系數(shù)，是由響應(yīng)區(qū)間內(nèi)t=0+時(shí)刻的一組狀態(tài)確定的。時(shí)刻的一組狀態(tài)確定的。iA0,C(0 )(,00 )(0 )(0 )(0 )(0 )cLccLLuiuiiLu 定定：儲(chǔ)能元件的儲(chǔ)能情況或狀態(tài)當(dāng)無沖激電流或階躍電壓強(qiáng)迫作用于 時(shí)或當(dāng)無沖激電壓或階躍電流強(qiáng)迫作用實(shí)際電路的初始條件于 時(shí)或狀態(tài)00t 決定一般系統(tǒng)：

18、微分方程右端自由項(xiàng)函數(shù)式中有無狀態(tài)的初始條（）及狀態(tài)件其導(dǎo)數(shù)有無跳變v四、初始條件的求取四、初始條件的求取 v五、沖激函數(shù)匹配法五、沖激函數(shù)匹配法 沖激沖激函數(shù)匹配法原理：函數(shù)匹配法原理：根據(jù)根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端時(shí)刻微分方程左右兩端的的 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。系統(tǒng)的系統(tǒng)的0-狀態(tài)到狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含自由項(xiàng)是否包含 (t) 及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有如果包含有 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0-到到0+狀態(tài)狀態(tài)發(fā)生了跳變，即發(fā)生了跳變，即等等或)0

19、( )0( )0()0(rrrr沖激沖激函數(shù)匹配法步驟函數(shù)匹配法步驟： 函數(shù)只匹配函數(shù)只匹配 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，使方程兩端這些函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，使方程兩端這些函數(shù)項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等。項(xiàng)對(duì)應(yīng)相等。（1）先從最高階項(xiàng)開始匹配；）先從最高階項(xiàng)開始匹配； 匹配從方程左端匹配從方程左端r(k)(t)的最高階項(xiàng)開始，首先使方程右的最高階項(xiàng)開始，首先使方程右端端 函數(shù)最高階次項(xiàng)得到匹配。函數(shù)最高階次項(xiàng)得到匹配。（2）最高階項(xiàng)匹配好后對(duì)低階項(xiàng)的影響；）最高階項(xiàng)匹配好后對(duì)低階項(xiàng)的影響； 每次匹配方程低階每次匹配方程低階 函數(shù)項(xiàng)時(shí)，如果方程左端所有同階次函數(shù)項(xiàng)時(shí)，如果方程左端所有同階次 函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)之和不能和右端匹

20、配，則由左端函數(shù)各項(xiàng)系數(shù)之和不能和右端匹配，則由左端r(k)(t)最高階項(xiàng)最高階項(xiàng)中補(bǔ)償。中補(bǔ)償。（3）匹配低階項(xiàng)。）匹配低階項(xiàng)。已匹配好的高階次已匹配好的高階次 函數(shù)項(xiàng)系數(shù)不變。函數(shù)項(xiàng)系數(shù)不變。( )33()(dr tr tdtt設(shè)某系統(tǒng)方程(0 )(0 )9rr ( )13dr tdt（ ）法：由方程平衡知必含( )3 ( )r tt含( )9 ( )dr ttdt 方程平衡還含v例子例子 9)0()0(brr399abc 由方程平衡求得，則代入方程得)( 3)()()()3()( ttucbtbata( )( )( )( )( )( )( )dr tatbtc u tdtr tatb u

21、 t (2)法：可設(shè)v舉例舉例2 2：v解解：(0 )tv如圖所示電路，如圖所示電路，t0t0 t0+ +時(shí)的零輸入響應(yīng)（法時(shí)的零輸入響應(yīng)（法2 2）1( )(n)knktkknmAuh tte當(dāng)時(shí)， （設(shè)特征方程的根為 個(gè)單根）()(1)h( )( )( )( ),nmm nm nmttttE 當(dāng)時(shí)，還須含、 、而各項(xiàng)系數(shù)由決定( )h t+則為t0 時(shí)滿足起始態(tài)為零的微分齊次方程的解( )( )(0 )0(0 )kkkAhh其中用沖激匹配法由推出求得3. 利用利用H(p)求沖激響應(yīng)求沖激響應(yīng)v系統(tǒng)微分方程用算子法表示為：系統(tǒng)微分方程用算子法表示為：v先假設(shè)先假設(shè)nm,這時(shí)，用轉(zhuǎn)移算子表示的

22、沖激響應(yīng)為：這時(shí)，用轉(zhuǎn)移算子表示的沖激響應(yīng)為：)()()()(01110111tbpbpbpbthapapapmmmmnnn11101110121212( )( ) ( )( )( )( )( )( )mmmmnnnmnnb pbpb pbh tH Pttpapa paKKKtppph th th t1. 設(shè)系統(tǒng)特征方程的根均為單根，則設(shè)系統(tǒng)特征方程的根均為單根，則故沖激響應(yīng)為：故沖激響應(yīng)為：2. 若特征方程的根有若特征方程的根有2重根（較常見），則與之對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)的形式重根（較常見），則與之對(duì)應(yīng)的沖激響應(yīng)的形式為：見第五章拉普拉斯反變換為：見第五章拉普拉斯反變換)()(111tueKtht

23、nititueKthi1)()(tektk)(21vn=m時(shí)，有時(shí)，有vn0圖形右移；圖形右移；t0后為零)()(, 101tuAethth得，特征根為特征方程為：1,2,BeBeBeBetttt得帶入方程中，得設(shè)特解為)()()(tutthmnet又22( )( )( )( )zir tr te th t)()()()(tuttuteett(0 )(0 )10hhA 解：由方程平衡得)()(tuthet即2( )( )r th tv卷積積分的上、下限討論卷積積分的上、下限討論（1）若）若（2）若）若 為因果信號(hào)，為因果信號(hào)， 為一般信號(hào)，則上、下為一般信號(hào)，則上、下限可寫為限可寫為（3）若）

24、若 為一般信號(hào)，為一般信號(hào)， 為因果信號(hào)，則上、下為因果信號(hào)，則上、下限可寫為限可寫為（4）若）若 均為一般信號(hào)，則上、下限應(yīng)為均為一般信號(hào)，則上、下限應(yīng)為注：因果信號(hào)：注：因果信號(hào)：dtfftftfty)()()()()(2121下限可寫為均為因果信號(hào)，則上、)(),(21tftfdtfftftftyt)()()()()(20121)(1tf)(2tfdtfftftfty)()()()()(20121dtfftftftyt)()()()()(2121)(1tf)(2tf)(),(21tftfdtfftftfty)()()()()(2121表示?？捎脼橐蚬盘?hào)，則時(shí)，時(shí)，)()()(, 0)(

25、0; 0)(0tutftftfttft第八節(jié)第八節(jié) LTI系統(tǒng)的響應(yīng)系統(tǒng)的響應(yīng)v全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)全響應(yīng)零輸入響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)v例例28：用卷積的方法求零狀態(tài)響應(yīng)：用卷積的方法求零狀態(tài)響應(yīng)齊次解齊次解)()()(thtetrzsv解：先求單位沖激響應(yīng)解：先求單位沖激響應(yīng)h(t)521)5)(2(61107610710746)(212222pkpkpppppppppppppH31)5)(2(6)5(34)5)(2(6)2(5221kkppppkppppk5312341)(pppH)(31)(34)()(52tuetuetthttv然后求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)然后求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)t0時(shí)，時(shí)，e(

26、t)=4u(t)則：則：)()1543858()(1513215132143134)(*)(4)()()()()(5252052tueetueedeetdhtethtetrttttttzs作業(yè)vP84，2-13，2-14，2-16第九節(jié)用算子符號(hào)表示微分方程一、算子符號(hào)v1.算子符號(hào)概念算子符號(hào)概念1()PPtdefdefddtd：微分算符，積分算符算符定義01101111( )( )r( )( )( )( )( )( )PnnnnmmmmnCr tCr tCtC r tEe tEe tEe tEPPPtPeP階系統(tǒng)高階微分方程的算符表示：v2.算子符號(hào)基本規(guī)則算子符號(hào)基本規(guī)則( )( )D

27、pN p：對(duì)算子多項(xiàng)式、可進(jìn)行，但不能進(jìn)因式行分解公規(guī)則一因子相消ddxyxycdtdtpxpyp 解得如，算子不可消去公因子：算子的不可隨意顛倒，且“先除規(guī)后乘除順序則二乘”可相消11pxpxxpp 等于不相等如 算子多項(xiàng)式僅僅是一種運(yùn)算符號(hào)，代數(shù)方程中的運(yùn)算規(guī)則算子多項(xiàng)式僅僅是一種運(yùn)算符號(hào)，代數(shù)方程中的運(yùn)算規(guī)則有的適用算子多項(xiàng)式，有的不適用，這里提出兩條基本規(guī)則：有的適用算子多項(xiàng)式，有的不適用，這里提出兩條基本規(guī)則：v3.用算子符號(hào)建立方程用算子符號(hào)建立方程( )( )LpLLv ti tLp：其中為等效電感感抗值元件等效算符的算符表示1( )( )CcCpvti tCp其中為等效電容容抗

28、值的算符表示v舉例舉例2.14 + iC(t) Lp - (1) 1/Cp (2) R2 - e(t) R1 i(t) iL(t) 用算符建方程舉例：如圖1所示系統(tǒng)。畫出含算符電路圖如圖2所示。 11R Vte4)( Vte2)( 12FC 1)(ticHL41)(tiL232R)(t is 解：解：)2(0)(1)(1) 1 ()()(1)(121tiCpRLptiCptetiCptiCpRLL列寫其回路方程)2(0)(1)(1) 1 ()()(1)(121tiCpRLptiCptetiCptiCpRLL列 寫 的 回 路 方 程 為ppppppppteCpRLpCpCpCpRCpRLpCp

29、teti1234111111234101)(1111101)()(212由克萊姆法則解方程：14123121CLRR)(46)(10722tepptipp：利用算子符號(hào)規(guī)則化簡(jiǎn))(4)(6)( e)(10)(7)(2222tedttdedttdtidttdidttidppteppppppptepp107)(4611234112341)(1234122v舉例舉例2.15:)()(tppA零，求已知系統(tǒng)的起始狀態(tài)為)()()(tppAtx解：設(shè))()()(2tAtxpp則0)0 ()0 ()()()()()(2xxtAtxtxptxp即dtdp注意：系統(tǒng)的起始狀態(tài)為零20( ) ()( )( )

30、0tp x tpx tx t 解：時(shí)， 、根：此方程有兩個(gè)特征方程eettAAtx21)(得方程解件函數(shù)平衡估算求初始條由微分方程的2( ) ()( )( )( )p x tpx tx tA t解：)()()()()()()(tAutAutAutA平衡導(dǎo)數(shù)關(guān)系平衡)()()()()()(2tAutpxtAutAtxp：令即(0 )(0 )0,(0 )(0 )xxxxA解：AAAAA21210代入解得兩個(gè)方程式AAAA21,解得)()(tuAtxeettv4.傳輸算子概念傳輸算子概念用輸入輸出描述系統(tǒng)時(shí)，關(guān)心的是輸入激勵(lì)對(duì)輸出響應(yīng)的影響，它們之間的關(guān)系是通過微分方程形式相聯(lián)系，即：把響應(yīng)r(t)

31、與激勵(lì)e(t)之間關(guān)系表示成顯式形式：)()()()(tepDpNtr可通過此算子完整地建立描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。則：)()()(pDpNpH定義為系統(tǒng)傳輸算子。( )( )( )DnptNrept階系統(tǒng)高階微分方程的簡(jiǎn)式表示：10111011()()nnnnmmmmC pC pCpNDCE pE pEpEpp其 中 算 子 多 項(xiàng) 式作業(yè)vP87，2-28v總結(jié)總結(jié)本章本章主要講授的內(nèi)容有：主要講授的內(nèi)容有：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析1、微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解2、起始點(diǎn)的跳變起始點(diǎn)的跳變從從0+到到0-狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換3、零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)

32、和零狀態(tài)響應(yīng)4、沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)5 、卷積卷積6 、卷積的性質(zhì)卷積的性質(zhì)7 、用算子符號(hào)表示微分方程用算子符號(hào)表示微分方程v1.微分方程的建立和求解微分方程的建立和求解連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法：不通過任何變換，直接連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析法：不通過任何變換，直接求解求解系系統(tǒng)的統(tǒng)的微分微分、積分、積分方程方程。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析方法：經(jīng)典法，卷積法，算子法。連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析方法：經(jīng)典法，卷積法，算子法。( )( )e tr t設(shè)n階復(fù)雜系統(tǒng)激勵(lì)信號(hào)為，響應(yīng)信號(hào)為1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnmmmmmmd r tdr

33、 tdr tCCCC r tdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdt其n階微分方程為v微分方程的微分方程的經(jīng)典法經(jīng)典法全解形式全解形式:e(t)注自由項(xiàng) 為代入方程右端化簡(jiǎn)后的函數(shù)式)(tr)(trh)(trp其中齊次解其中齊次解即由齊次方程的特征方程求出特征根再列寫解。即由齊次方程的特征方程求出特征根再列寫解。由方程右端為零構(gòu)成的齊次方程而定；由方程右端為零構(gòu)成的齊次方程而定；)(trh其中特解其中特解)(trp根據(jù)方程右端激勵(lì)構(gòu)成的根據(jù)方程右端激勵(lì)構(gòu)成的“自由項(xiàng)自由項(xiàng)”而定。而定。強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)v2、起始點(diǎn)的跳變起始點(diǎn)的跳變從從0+到到0-狀態(tài)的轉(zhuǎn)換狀態(tài)的轉(zhuǎn)換系

34、統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的一組狀態(tài)：系統(tǒng)在激勵(lì)信號(hào)加入前瞬間的一組狀態(tài)：稱為系統(tǒng)的稱為系統(tǒng)的起始狀態(tài)起始狀態(tài)，簡(jiǎn)稱，簡(jiǎn)稱0-狀態(tài)狀態(tài).)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn起始狀態(tài)起始狀態(tài)初始條件：（導(dǎo)出的起始狀態(tài)）：由響應(yīng)區(qū)間t=0+時(shí)刻組成的一組狀態(tài)：)0(,)0( ),0( ),0( ),0(11rdtdrrrrnn)()()()(1treAtrtrtrpnitiphi它確定系統(tǒng)完全響應(yīng)的系數(shù)：它確定系統(tǒng)完全響應(yīng)的系數(shù)：v沖激函數(shù)匹配法沖激函數(shù)匹配法 沖激沖激函數(shù)匹配法原理：函數(shù)匹配法原理：根據(jù)根據(jù)t=0時(shí)刻微分方程左右兩端時(shí)刻微分方程左右兩端的的 (t)及其

35、各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。及其各階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該平衡相等。系統(tǒng)的系統(tǒng)的0-狀態(tài)到狀態(tài)到0+狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端狀態(tài)有沒有跳變決定于微分方程右端自由項(xiàng)是否包含自由項(xiàng)是否包含 (t) 及其各階導(dǎo)數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)。如果包含有如果包含有 (t)及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的及其各階導(dǎo)數(shù)，說明相應(yīng)的0-到到0+狀態(tài)狀態(tài)發(fā)生了跳變，即發(fā)生了跳變，即等等或)0( )0( )0()0(rrrr101CCC0innnlk如和 分別為特征方程的 個(gè)單根和一個(gè) 次重根( )zir t其中由激勵(lì)為零構(gòu)成齊次方程零輸入響應(yīng)齊次方程的而定即由求出特征根特征方程再列寫解(無外加激勵(lì)作用而僅考慮起始狀態(tài)產(chǎn)生的響應(yīng))(k)(k)zi

36、z1i1r(r ( )0 )r(0 )irkjjjlktiiziijtAB tBAee則其中系數(shù) 、 由初始條件而定v3.零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)和零狀態(tài)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)：零輸入響應(yīng)：沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有沒有外加激勵(lì)信號(hào)的作用，只有起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。起始狀態(tài)（起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能）所產(chǎn)生的響應(yīng)。( )()( )zszzszspshrrtrttrt 其中由初始態(tài)為零時(shí)的方程求解而定即零狀態(tài)響應(yīng)(無起始狀態(tài)作用而僅考慮外加激勵(lì)產(chǎn)生的響應(yīng))1011110111( )( )( )( )( )( )( )( )( ),(0( )()0nnzszszsnn zsnnmm

37、mmmmkzshzsspzd rtdrtdrtCCCC rtdtdtdtd e tde tde tEEEE e tdtdtdtrtrrt其中和分別為如下方程的齊次解和特解v零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng) 零狀態(tài)響應(yīng)：零狀態(tài)響應(yīng)：不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始不考慮起始時(shí)刻系統(tǒng)儲(chǔ)能的作用（起始狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。狀態(tài)等于零），由系統(tǒng)的外加激勵(lì)信號(hào)所產(chǎn)生的響應(yīng)。v系統(tǒng)全響應(yīng)系統(tǒng)全響應(yīng)系統(tǒng)全響應(yīng)的表達(dá)式：系統(tǒng)全響應(yīng)的表達(dá)式： 零狀態(tài)響應(yīng)零輸入響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)自由響應(yīng)nktzsknktziknktktBeAeAtBeAtrkkk111)()()(v4.沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng) ( )h tt 產(chǎn)生（沖激響應(yīng)：系統(tǒng)激）勵(lì)零狀態(tài)響應(yīng)1011111( )011( )(