定積分的應(yīng)用元素法ppt課件

1、第六章利用元素法處理利用元素法處理: 定積分在幾何上的運(yùn)用定積分在幾何上的運(yùn)用定積分的運(yùn)用第一節(jié)定積分的元素法 一、什么問(wèn)題可以用定積分處理一、什么問(wèn)題可以用定積分處理 ? 二二 、如何運(yùn)用定積分處理問(wèn)題、如何運(yùn)用定積分處理問(wèn)題 ? 第六章 表示為niiixfU10)(lim一、什么問(wèn)題可以用定積分處理一、什么問(wèn)題可以用定積分處理 ? ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對(duì)區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可經(jīng)過(guò)“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個(gè)整體量 ;二二 、如

2、何運(yùn)用定積分處理問(wèn)題、如何運(yùn)用定積分處理問(wèn)題 ? ?第一步第一步 利用利用“化整為零化整為零 , 以常代變以常代變 求出部分量求出部分量的的微分表達(dá)式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“ 積零為整積零為整 , 無(wú)限累加無(wú)限累加 求出整體量的求出整體量的積分表達(dá)式Uxxfbad)(這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 )元素的幾何外形常取為元素的幾何外形常取為: 條條, 帶帶, 段段, 環(huán)環(huán), 扇扇, 片片, 殼殼 等等近似值準(zhǔn)確值四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充) 三、知平行截面面積函數(shù)的三、知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的

3、面積二、二、 平面曲線的弧長(zhǎng)平面曲線的弧長(zhǎng) 定積分在幾何學(xué)上的運(yùn)用 第六章 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標(biāo)情形直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲那么xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右以下圖所示圖形面積為 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd例例1. 計(jì)算兩條拋物線計(jì)算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍圖形的面積 . 解解: 由由xy 22xy 得交點(diǎn)) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy

4、 22xy Oxy224 xyxy例例2. 計(jì)算拋物線計(jì)算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點(diǎn))4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡(jiǎn)便計(jì)算, 選取 y 作積分變量,那么有42Ayyydab例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax運(yùn)用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當(dāng) a = b 時(shí)得圓面積公式xxx

5、dxyOxya2O例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積21|( )( )|baAfxfxdx直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算直角坐標(biāo)系下平面圖形面積的計(jì)算xxxx x 2. 2. 極坐

6、標(biāo)情形極坐標(biāo)情形,0)(, ,)(C設(shè)求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,那么對(duì)應(yīng)該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212AxO對(duì)應(yīng) 從 0 變例例5. 計(jì)算阿基米德螺線計(jì)算阿基米德螺線解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形面積 . a2xOxa2Ottadcos82042例例6.6.計(jì)算心形線計(jì)算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對(duì)稱性)2t令28a43212223a2coscos

7、21)2cos1 (21aa2xyO例例7. 計(jì)算心形線計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,)0()cos1 (aar所求面積ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2a2sin2a例例8. 求雙紐線求雙紐線所圍圖形面積 . 解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0那么所求面積為42a思索思索: 用定積分表示該雙紐線與圓用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462a

8、4答案答案:4yxO二、平面曲線的弧長(zhǎng)二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義定義: 假設(shè)在弧假設(shè)在弧 AB 上恣意作內(nèi)接折上恣意作內(nèi)接折線線 ,0M1iMiMnM當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng) 0 時(shí), 折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長(zhǎng) , 即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.iiMM1定理定理: 恣意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的恣意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)ni 10lims那么稱OAByxsdabyxO(1) 曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長(zhǎng)元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長(zhǎng)xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲線弧由參

9、數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長(zhǎng)元素(弧微分) :因此所求弧長(zhǎng)tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長(zhǎng)d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr那么得sd弧長(zhǎng)元素(弧微分) :(本人驗(yàn)證)例例9. 求延續(xù)曲線段求延續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx此題22xxysd1222的弧長(zhǎng).xxd)cos(12202xxd2cos2220022sin222x4例例10. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長(zhǎng) .

10、解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2d222aa例例11. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應(yīng)于 02一段的弧長(zhǎng) . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 例例. 求求. )0(d22axax解解: 令令,22axu, 1 v那么,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式

11、=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22三、知平行截面面積函數(shù)的立體體積三、知平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在那么對(duì)應(yīng)于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd( )A x上延續(xù),Oxy)(yx特別 , 當(dāng)思索延續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí), 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當(dāng)思索延續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時(shí),有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy xayxb例例12. 計(jì)算由橢圓計(jì)算由橢圓12222

12、byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標(biāo)方程利用直角坐標(biāo)方程)(22axaxaaby那么xxaabad)(220222(利用對(duì)稱性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos那么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當(dāng)b = a 時(shí), 就得半徑為a 的球體的體積.343aayxbOxa2xyO例例13. 計(jì)算擺線計(jì)算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立

13、體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202xyOa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0留意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注注

14、分部積分對(duì)稱關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226柱殼體積闡明闡明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Oa2xy偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua

15、2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函數(shù)奇函數(shù)336a軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()(例例14. 設(shè)設(shè))(xfy 在 x0 時(shí)為延續(xù)的非負(fù)函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:. )(2)(tftV 證證:xtxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d那么xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(xfxOy例例15. 一平面經(jīng)過(guò)半徑為一平面經(jīng)過(guò)半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,2

16、22Ryx解解: 如下圖取坐標(biāo)系如下圖取坐標(biāo)系,那么圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積 .ORxyxORx),(yxyR思索思索: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22解解: 垂直垂直 x 軸的截面是橢圓軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例16. 計(jì)算由曲面

17、計(jì)算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)它的面積為)1 ()(22axcbxA因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22cb20acba34特別當(dāng) a = b = c 時(shí)就是球體體積 .)(axaaV02x233axx的體積.Oazxycb例例17. 求曲線求曲線132xy與 x 軸圍成的封鎖圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(1994 考研)解解: 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x1

18、2yBCAO3內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊境方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2. 平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程留意留意: 求弧長(zhǎng)時(shí)積分上求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必需上大下小下限必需上大下小21( )( )dbtatAydxtttd)(212A3. 知平行截面面積函數(shù) A(x) 的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(留意在不同坐標(biāo)系下 ds 的表達(dá)式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)

19、面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補(bǔ)充補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺(tái)的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xxyO)(xfy abxyO)(xfy absySd2d側(cè)面積元素xyd2sdxd假設(shè)光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 那么它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的)(2ttttd)()(22S留意留意:側(cè)面積為xyd2原因是的線性主部 .不是薄片側(cè)面積S 思索與練習(xí)思索與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A

20、及邊境長(zhǎng) s .提示提示: 交點(diǎn)為交點(diǎn)為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 那么要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸RbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbxd求體積 :提示提示:方法方法1 利用對(duì)稱性利用對(duì)稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及外表積 S .OxyRV02bR222OxyRbR方法方法2 用柱殼法用柱殼法V

21、dy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22ybR222闡明闡明: 上式可變形為上式可變形為2 RV b2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體元素的另一種取法(如下圖). dd2bRVOxyRbR求側(cè)面積求側(cè)面積 :R02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對(duì)稱性RS2b2S上式也可寫(xiě)成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面元素的另一種取法: d2dbRS作業(yè)作業(yè) P284 2 (1) ; 3; 4; 5 (2); 9; 面積部分：面積部分： 體積部分：體積部分：P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18補(bǔ)充題補(bǔ)充題: 設(shè)有曲線設(shè)有曲線 , 1xy過(guò)原點(diǎn)作其切線 , 求由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的外表積.備用題備用題解：解：1. 求曲線