定積分的應用元素法ppt課件

1、第六章利用元素法處理利用元素法處理: 定積分在幾何上的運用定積分在幾何上的運用定積分的運用第一節(jié)定積分的元素法 一、什么問題可以用定積分處理一、什么問題可以用定積分處理 ? 二二 、如何運用定積分處理問題、如何運用定積分處理問題 ? 第六章 表示為niiixfU10)(lim一、什么問題可以用定積分處理一、什么問題可以用定積分處理 ? ? 1) 所求量 U 是與區(qū)間a , b上的某分布 f (x) 有關(guān)的2) U 對區(qū)間 a , b 具有可加性 , 即可經(jīng)過“大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 取極限取極限baxxfd)(niiixf10)(lim定積分定義一個整體量 ;二二 、如

2、何運用定積分處理問題、如何運用定積分處理問題 ? ?第一步第一步 利用利用“化整為零化整為零 , 以常代變以常代變 求出部分量求出部分量的的微分表達式xxfUd)(d第二步第二步 利用利用“ 積零為整積零為整 , 無限累加無限累加 求出整體量的求出整體量的積分表達式Uxxfbad)(這種分析方法稱為元素法 (或微元分析法 )元素的幾何外形常取為元素的幾何外形常取為: 條條, 帶帶, 段段, 環(huán)環(huán), 扇扇, 片片, 殼殼 等等近似值準確值四、四、 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充補充) 三、知平行截面面積函數(shù)的三、知平行截面面積函數(shù)的 立體體積立體體積第二節(jié)一、一、 平面圖形的面積平面圖形的

3、面積二、二、 平面曲線的弧長平面曲線的弧長 定積分在幾何學上的運用 第六章 ybxa)(2xfy )(1xfy O一、平面圖形的面積一、平面圖形的面積1. 直角坐標情形直角坐標情形設曲線)0()(xfy與直線)(,babxax及 x 軸所圍曲那么xxfAd)(dxxfAbad)(邊梯形面積為 A ,右以下圖所示圖形面積為 xxfxfAbad)()(21Oxbay)(xfy xxdxxxxd例例1. 計算兩條拋物線計算兩條拋物線22,xyxy在第一象限所圍圖形的面積 . 解解: 由由xy 22xy 得交點) 1, 1 ( , )0,0(xxxAd)(d22332x01331x3110AxyOxy

4、 22xy Oxy224 xyxy例例2. 計算拋物線計算拋物線xy22與直線的面積 . 解解: 由由xy224 xy得交點)4,8( , )2,2()4,8(yyyAd)4(d221184 xy所圍圖形)2,2(221yy442361y為簡便計算, 選取 y 作積分變量,那么有42Ayyydab例例3. 求橢圓求橢圓12222byax解解: 利用對稱性利用對稱性 , xyAdd所圍圖形的面積 . 有axyA0d4利用橢圓的參數(shù)方程)20(sincosttbytax運用定積分換元法得024Atbsinttad)sin(202dsin4ttbaba4212ba當 a = b 時得圓面積公式xxx

5、dxyOxya2O例例4. 求由擺線求由擺線)cos1 (, )sin(tayttax)0( a的一拱與 x 軸所圍平面圖形的面積 .)cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad2sin42042)2(tu 令uuadsin8042uuadsin162042216a4321223 a20Attad)cos1 (2022xyo)(xfy abxyo)(1xfy )(2xfy ab曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積 badxxfA)(曲邊梯形的面積曲邊梯形的面積21|( )( )|baAfxfxdx直角坐標系下平面圖形面積的計算直角坐標系下平面圖形面積的計算xxxx x 2. 2. 極坐

6、標情形極坐標情形,0)(, ,)(C設求由曲線)(r及,射線圍成的曲邊扇形的面積 .)(r d在區(qū)間,上任取小區(qū)間d,那么對應該小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為d)(21d2A所求曲邊扇形的面積為d)(212AxO對應 從 0 變例例5. 計算阿基米德螺線計算阿基米德螺線解解:)0( aardd)(212a20A22a331022334a到 2 所圍圖形面積 . a2xOxa2Ottadcos82042例例6.6.計算心形線計算心形線所圍圖形的面積 . 解解:)0()cos1 (aardd)cos1 (2122a02A02ad2cos44(利用對稱性)2t令28a43212223a2coscos

7、21)2cos1 (21aa2xyO例例7. 計算心形線計算心形線與圓所圍圖形的面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,)0()cos1 (aar所求面積ar d)cos1 (2122a2221aA 22221aad)2cos21cos223(2432122aa22245aa 2a2sin2a例例8. 求雙紐線求雙紐線所圍圖形面積 . 解解: 利用對稱性利用對稱性 ,2cos22ard2cos212a404A402a)2(d2cos0那么所求面積為42a思索思索: 用定積分表示該雙紐線與圓用定積分表示該雙紐線與圓sin2ar 所圍公共部分的面積 .2Adsin2026ad2cos21462a

8、4答案答案:4yxO二、平面曲線的弧長二、平面曲線的弧長定義定義: 假設在弧假設在弧 AB 上恣意作內(nèi)接折上恣意作內(nèi)接折線線 ,0M1iMiMnM當折線段的最大邊長 0 時, 折線的長度趨向于一個確定的極限 ,此極限為曲線弧 AB 的弧長 , 即并稱此曲線弧為可求長的.iiMM1定理定理: 恣意光滑曲線弧都是可求長的恣意光滑曲線弧都是可求長的.(證明略)ni 10lims那么稱OAByxsdabyxO(1) 曲線弧由直角坐標方程給出:)()(bxaxfy)(xfy 弧長元素(弧微分) :xxxdxyd12因此所求弧長xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2) 曲線弧由參

9、數(shù)方程給出:)()()(ttytx弧長元素(弧微分) :因此所求弧長tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3) 曲線弧由極坐標方程給出:)()( rr,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧長d)()(22rrsd)()(22yxd)()(22rr那么得sd弧長元素(弧微分) :(本人驗證)例例9. 求延續(xù)曲線段求延續(xù)曲線段ttyxdcos2解解:,0cosx此題22xxysd1222的弧長.xxd)cos(12202xxd2cos2220022sin222x4例例10. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a一拱)20(t的弧長 .

10、解解:tstytxd)()(d2dd2dd )cos1 (22tata22sintdttad)cos1 (2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyOa2d222aa例例11. 求阿基米德螺線求阿基米德螺線相應于 02一段的弧長 . 解解:)0( aard)()(d22rrsd12 ad1202as212a21ln2102)412ln(24122aara2Oar 例例. 求求. )0(d22axax解解: 令令,22axu, 1 v那么,22axxuxv 22axxxaxxd22222axxxaxaaxd22222)(22axxxaxd2222d2axxa 原式

11、=2221axxCaxxa)(ln2222xaxd22三、知平行截面面積函數(shù)的立體體積三、知平行截面面積函數(shù)的立體體積設所給立體垂直于x 軸的截面面積為A(x), ,)(baxA在那么對應于小區(qū)間d,xxx的體積元素為xxAVd)(d因此所求立體體積為xxAVbad)(xabxxxd( )A x上延續(xù),Oxy)(yx特別 , 當思索延續(xù)曲線段2)(xf軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時, 有軸繞xbxaxfy)()(xdbaV當思索延續(xù)曲線段)()(dycyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周圍成的立體體積時,有2)(yyddcVycdxyabxyabO)(xfy xayxb例例12. 計算由橢圓計算由橢圓12222

12、byax所圍圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積. 解解: 方法方法1 利用直角坐標方程利用直角坐標方程)(22axaxaaby那么xxaabad)(220222(利用對稱性)3222312xxaab0a234abOaV02xy d2x方法方法2 利用橢圓參數(shù)方程利用橢圓參數(shù)方程tbytaxsincos那么xyVad202ttabdsin23222 ab32234ab1 02特別當b = a 時, 就得半徑為a 的球體的體積.343aayxbOxa2xyO例例13. 計算擺線計算擺線)cos1 ()sin(tayttax)0( a的一拱與 y0所圍成的圖形分別繞 x 軸 , y 軸旋轉(zhuǎn)而成的立

13、體體積 .解解: 繞繞 x 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為xyVaxd202利用對稱性利用對稱性 022)cos1 (2tattad)cos1 ( ttad)cos1 (2033ttad2sin16063uuadsin322063332 a6543212325aay)2(tu 令xyad202xyOa2a繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為)cos1 ()sin(tayttax)0( aa2yyxVayd)(202222)sin(ttattadsin2yyxad)(2021)(2yxx 22)sin(ttattadsin0留意上下限 !2023dsin)sin(tttta336a)(1yxx 注注

14、分部積分對稱關(guān)于2202dsin)sin(tttt20322d)sinsin2sin(tttttt)( tu令uuusin)2(22uu2sin)(2uu dsin3(利用“偶倍奇零)0dsin4uuu02dsin4uu24uudsin820222184226柱殼體積闡明闡明: xxxdy也可按柱殼法求出yVyx2柱面面積xyxd2)cos1 ()sin(tayttaxxyxVayd2202)sin(tta)cos1 (ta22td02Oa2xy偶函數(shù)yVttattad)cos1 ()sin(222202043d2sin)sin(8tttta2tu 令043dsin)2sin2(16uuuua

15、2 uv令vvvvadcos)2sin2(164322奇函數(shù)奇函數(shù)336a軸所圍圖及表示xtxxfytV)0(, )()(例例14. 設設)(xfy 在 x0 時為延續(xù)的非負函數(shù), 且 ,0)0(f形繞直線 xt 旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積 ,證明:. )(2)(tftV 證證:xtxxd利用柱殼法xxfxtVd)()(2d那么xxfxttVtd)()(2)(0 xxfttd)(20 xxfxtd)(20 xxftVtd)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV 故)(xfxOy例例15. 一平面經(jīng)過半徑為一平面經(jīng)過半徑為R 的圓柱體的底圓中心的圓柱體的底圓中心 ,并與底面交成 角,2

16、22Ryx解解: 如下圖取坐標系如下圖取坐標系,那么圓的方程為垂直于x 軸 的截面是直角三角形,其面積為tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0Rtan323R利用對稱性計算該平面截圓柱體所得立體的體積 .ORxyxORx),(yxyR思索思索: 可否選擇可否選擇 y 作積分變量作積分變量 ?此時截面面積函數(shù)是什么 ?如何用定積分表示體積 ?)(yA提示提示:tan2yx22tan2yRyVR0tan2yyRyd22解解: 垂直垂直 x 軸的截面是橢圓軸的截面是橢圓1)1 ()1 (22222222axaxczby例例16. 計算由曲面

17、計算由曲面1222222czbyax所圍立體(橢球體)它的面積為)1 ()(22axcbxA因此橢球體體積為xbcaxd)1 (22cb20acba34特別當 a = b = c 時就是球體體積 .)(axaaV02x233axx的體積.Oazxycb例例17. 求曲線求曲線132xy與 x 軸圍成的封鎖圖形繞直線 y3 旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(1994 考研)解解: 利用對稱性利用對稱性 ,y10 x,22x21 x,42x故旋轉(zhuǎn)體體積為V432xxd)2(321022xxd)1 (2361022xxd) 1(22122xxd) 1(2202215448在第一象限 xxd)4(322122x1

18、2yBCAO3內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 平面圖形的面積邊境方程參數(shù)方程極坐標方程2. 平面曲線的弧長曲線方程參數(shù)方程方程極坐標方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐標方程直角坐標方程留意留意: 求弧長時積分上求弧長時積分上下限必需上大下小下限必需上大下小21( )( )dbtatAydxtttd)(212A3. 知平行截面面積函數(shù) A(x) 的立體體積baxxAVd)(旋轉(zhuǎn)體的體積2)(yxA繞 x 軸 :4. 旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積sySd2d側(cè)面積元素為(留意在不同坐標系下 ds 的表達式)yxxA2)(繞 y 軸 :(柱殼法)(xyy ,)(軸旋轉(zhuǎn)繞xxyy 四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)

19、面積四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積 (補充補充)設平面光滑曲線, ,)(1baCxfy求上的圓臺的側(cè)面積位于d,xxxsySd2d積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積xxfxfSbad)(1)(22,0)(xf且它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積 .取側(cè)面積元素:)(2xfxxfd)(12xxyO)(xfy abxyO)(xfy absySd2d側(cè)面積元素xyd2sdxd假設光滑曲線由參數(shù)方程)()()(ttytx給出, 那么它繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的)(2ttttd)()(22S留意留意:側(cè)面積為xyd2原因是的線性主部 .不是薄片側(cè)面積S 思索與練習思索與練習1.用定積分表示圖中陰影部分的面積 A

20、及邊境長 s .提示提示: 交點為交點為, )3,9( , ) 1, 1 (yAd 312yx 032 yxyxO13y)32(y2y332yd 31241yyd 31221弧線段部分直線段部分)52ln()376ln(4155373s以 x 為積分變量 , 那么要分兩段積分, 故以 y 為積分變量. 2. 試用定積分求圓)()(222bRRbyx繞 x 軸RbR上上半圓為22xRby y22xRx下下222)(xRb222)(xRbxd求體積 :提示提示:方法方法1 利用對稱性利用對稱性旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積 V 及外表積 S .OxyRV02bR222OxyRbR方法方法2 用柱殼法用柱殼法V

21、dy2x2ydRbRbV4ybyRyd)(22ybR222闡明闡明: 上式可變形為上式可變形為2 RV b2d2bR 20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx此式反映了環(huán)體元素的另一種取法(如下圖). dd2bRVOxyRbR求側(cè)面積求側(cè)面積 :R02)(222xRbxyd12R02)(222xRbxyd12相同二者2yRb08xyd12bR24利用對稱性RS2b2S上式也可寫成d2bR20上上半圓為,22xRby下下 y22xRx它也反映了環(huán)面元素的另一種取法: d2dbRS作業(yè)作業(yè) P284 2 (1) ; 3; 4; 5 (2); 9; 面積部分：面積部分： 體積部分：體積部分：P286 13; 14 ; 15 (1), (4) ; 17; 18補充題補充題: 設有曲線設有曲線 , 1xy過原點作其切線 , 求由此曲線、切線及 x 軸圍成的平面圖形繞 x 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的外表積.備用題備用題解：解：1. 求曲線