數(shù)項級數(shù)收斂性的判別(共14頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上班級：數(shù)學091 姓名：韓海飛數(shù)項級數(shù)收斂性的判別摘要：文章對數(shù)項級數(shù)收斂性的判別方法進行了歸納總結，得到一般的解題思路.關鍵詞： 判別方法 歸納總結 數(shù)項級數(shù) 斂散性 解題思路引言： 在講解數(shù)項級數(shù)斂散性判別方法時，每講一種判別方法，學生按照指定的判別方法進行解題，一般都能很容易求得結果，而當把多種判別方法講完，再讓學生作綜合判別時， 學生要么束手無策，要么選擇判別方法時帶有盲目性 ，拿作判別方法進行實驗性解題，只要求得結果，不問方法的簡單與繁瑣，而不是先從簡單方法入手，往往用一種簡單的方法就可以輕松解題，卻用較繁瑣方法費了九牛二虎之力，結果還不一定正確，造成這種情

2、況的主要原因主要是學生對所學的判別方法的使用條件及特點不太熟悉，解題思路比較亂 .所以在講解完常數(shù)項級數(shù)斂散性判別方法之后，非常有必要歸納總結一下.一、定義定義1：設有數(shù)列 表達式 （1）稱為數(shù)項級數(shù)，可記為 ，其中 稱為數(shù)項級數(shù)（1）的第n項或一般項。定義2： 稱為級數(shù)（1）的第n個部分和，數(shù)列 稱為它的部分和數(shù)列。定義3：設 是級數(shù)（1）的部分和數(shù)列，若則說級數(shù)（1）的和是S，這時也說級數(shù)（1）是收斂（于S）的。記為： 。若 是發(fā)散數(shù)列，則稱級數(shù)（1）發(fā)散。余項： 定義4：絕對收斂：若收斂，則稱級數(shù)絕對收斂 條件收斂：若發(fā)散，則稱級數(shù)條件收斂二、性質(zhì)定理定理12.2 若級數(shù)與都收斂，則對任

3、意常數(shù)，級數(shù)也收斂.定理12.3 去掉、增加或改變級數(shù)的有限個項并不改變級數(shù)的斂散性.定理12.4 在收斂級數(shù)的項中任意加括號,既不改變級數(shù)的收斂性,也不改變它的和.三、分類1、等比級數(shù)（幾何級數(shù)）:2、級數(shù)：3、正項級數(shù): 若，則稱為正項級數(shù)4、一般級數(shù)：任意 ，則稱為一般級數(shù)三、等比級數(shù)收斂性的判別法等比級數(shù)（幾何級數(shù)） ， 時，級數(shù)收斂 時，級數(shù)發(fā)散四、級數(shù)收斂性判別法：級數(shù)(1)當時，級數(shù)發(fā)散(2)當時，級數(shù)收斂例：為p-級數(shù)，p=2>1，顯然此級數(shù)是收斂的.五、正項級數(shù)收斂性的判別法（1）比較原則：設與是兩個正項級數(shù)，若（1） 當時，兩級數(shù)同時收斂或同時發(fā)散；（2） 當且級數(shù)收

4、斂時，級數(shù)也收斂；（3） 當且級數(shù)發(fā)散時，級數(shù)也發(fā)散；例： 判別級數(shù)的斂散性解：由于 ，根據(jù)比較原則，及調(diào)和級數(shù)發(fā)散，所以級數(shù)也發(fā)散.（2）比式判別法（極限形式）若為正項級數(shù)，且則 (1)當時，級數(shù)也收斂；(2)當時，或時，級數(shù)發(fā)散；注：當時，）比式判別法不能對級數(shù)的斂散性作出判斷，因為它可能是收斂的，也可能是發(fā)散的.例如，級數(shù)與，它們的比式極限都是 但是收斂的，而是發(fā)散的.（3）根式判別法（極限形式）若為正項級數(shù)，且則(1)當時，級數(shù)收斂(2)當時，級數(shù)發(fā)散注：當時，根式不能對級數(shù)的斂散性作出判斷例如，級數(shù)與，二者都有，但是收斂的，而是發(fā)散的.但是收斂的，而是發(fā)散的.例：判別級數(shù)的斂散性解：

5、由于 故用比式判別法無法判定此級數(shù)的斂散性，現(xiàn)在用根式判別法來考察這個級數(shù)，由于 所以 由根式判別法知原級數(shù)收斂.（4）積分判別法：設是上非負遞減函數(shù)那么正項級數(shù)與非正常積分同時收斂或同時發(fā)散；例：討論級數(shù)的斂散性 解：研究非正常積分，由于當時收斂 時發(fā)散，由積分判別法級數(shù)在時收斂 時發(fā)散（5）拉貝判別法（極限形式）若為正項級數(shù)，且存在，則(1)當時，級數(shù)收斂；(2)當時，級數(shù)發(fā)散；(3)當時拉貝判別法無法判斷.例：討論級數(shù)當時的斂散性解：無論哪一個值，級數(shù)的比式極限都有所以用比式判別法都無法判別此級數(shù)的斂散性，現(xiàn)在應用拉貝判別法來討論，當時，由于所以級數(shù)是發(fā)散的.當時，由于這時，拉貝判別法也

6、無法對此級數(shù)作出判斷，當時，由于所以級數(shù)收斂.六、一般級數(shù)收斂性的判別法（1）級數(shù)若，則此級數(shù)發(fā)散. 例：判斷級數(shù)的斂散性解：由于 ，所以原級數(shù)發(fā)散（2）（基本判別法）如果正項級數(shù)的部分和數(shù)列具有上界,則此級數(shù)收斂. 例：判定正項級數(shù)的斂散性. 分析：本題無法直接使用定義、柯西判別法、達朗貝爾判別法,或比較判別法以及其他的判別法進行判斷,因此可選用基本定理進行判斷.解 記,則級數(shù)的前項和所以原級數(shù)的部分和數(shù)列有上界,于是原級數(shù)收斂. （3）柯西收斂準則級數(shù)收斂的充要條件：當時，有： 例：證明級數(shù)的收斂證明：由于=<=<因此，對任給正數(shù) ，取，使得當m>N 及任意自然數(shù)p，由上

7、式就有<<由柯西收斂準則推得級數(shù)是收斂的.（4）絕對收斂定義法：若級數(shù)各項絕對值所組成的級數(shù)收斂，則原級數(shù)收斂； 例：的各項絕對值所組成的級數(shù)是應用比式判別法，對于任意實數(shù)都有=0因此，所考察的級數(shù)對任何實數(shù)都絕對收斂.（5）萊布尼茲判別法：若交錯級數(shù)滿足下述兩個條件：(1)數(shù)列單調(diào)遞減；(2)則級數(shù)收斂.例：考察級數(shù) 的斂散性.解：因為發(fā)散，不滿足絕對收斂定義，而此級數(shù)滿足萊布尼茨條件，故收斂.（6）阿貝耳判別法：設級數(shù)若為單調(diào)有界數(shù)列，且級數(shù) 收斂，則級數(shù)收斂.例：討論級數(shù) (x>0)的斂散性.解：對于數(shù)列 來說，當x>0時，0<<=1又即數(shù)列 是單調(diào)有

8、界的，又 收斂，由阿貝爾判別法知道級數(shù)收斂.（7）狄利克雷判別法：設級數(shù)若單調(diào)遞減，且又級數(shù)的部分和數(shù)列有界，則級數(shù)收斂.例： 證明：若數(shù)列 具有性質(zhì)： ,則級數(shù) 對任何x都收斂.證明：因為=當x時,故有： 所以級數(shù) 的部分和數(shù)列當x時有界，由狄利克雷判別法得級數(shù)收斂.以上方法是常見的方法，接下來我們來看由比較原則衍生出的幾種不常見的方法。1. 不等式的利用 在此我們常用到的不等式有以下幾種：（1）;（2）;（3）;（4） 個人認為,前三個不等式大家都用得比較熟練,最后一個不等式不太能在做題時想到.對于些題目看似很復雜,但利用不等式后就會豁然開朗.此處是將原數(shù)放大,主要運用比較準則.例： ,且

9、收斂,證明絕對收斂?(此題正是利用了不等式,輕松地證明了此題.)解：又 、收斂,則收斂,故絕對收斂.例： 判別級數(shù)的斂散性.解：利用不等式 有因為收斂,故收斂.2. 等價量法 等價量法實際上應用的就是無窮小或大的等價代換,方法簡單易掌握,同樣也是一種放大縮小的應用.例：判別級數(shù)的斂散性.可利用等價代換,但這里先將原式前項改寫為的形式.解：當時，=. 而收斂,故由比較原則知原級數(shù)收斂.3. Taylor展開式 Taylor展開式看似與級數(shù)完全不沾邊,但在以前的學習中,Taylor公式還用于計算函數(shù)近似值的問題,正是這個橋梁連接了兩者.常用函數(shù)的Maclaurin公式是在解題中最常用.如下例:例：

10、判別級數(shù)的斂散性.解： 原級數(shù)發(fā)散4. 對數(shù)判別法 此方法對判別“冪指型”或含“”級數(shù)很有效.首先介紹一下這個定理：定理（對數(shù)判別法） 設為正項級數(shù),若有，使當時, (5) 則收斂;若時, (6) 則發(fā)散.證明如下:若時,不等式(5)成立,則. 由于級數(shù)收斂,所以收斂.同理可證當不等式(6)成立時, 發(fā)散. 例：判別級數(shù)的斂散性.解：.對,必存在,使當時, , 故原級數(shù)收斂.例：判別級數(shù)的斂散性.解： 由L'Hospital法則知, . 故對,存在,使當時, 原級數(shù)收斂.5. 拆項法 有一種應用廣泛,形式多變,方便靈活的方法,即將一般項通過等價變換、有理化、三角函數(shù)基本公式等拆成幾項之

11、差,大大降低了難度,解決了無從下手的窘境.這也是一種常見的方法,容易掌握.例：判別級數(shù)的斂散性.解：而 收斂;而對于,當時收斂,當時發(fā)散. 綜上可知,原級數(shù)當當時收斂,當時發(fā)散. 例：判斷級數(shù)的斂散性,若收斂,是條件收斂還是絕對收斂?解： ,得到一個交錯級數(shù) 則易知級數(shù)收斂,但其絕對值級數(shù)發(fā)散. 故原級數(shù)條件收斂.總結了數(shù)項級數(shù)斂散性的判別法和解題思路后，我們就能更好地掌握如何先則數(shù)項級數(shù)斂散性的判別法，做到避繁就簡，思路清晰，起到事半功倍的效果. 參考文獻：1華東師范大學數(shù)學系編數(shù)學分析（第三版）北京大學高等教育出版社，19912數(shù)學分析習題解析下冊，陜西師范大學出版社，19933 劉羽.正

12、項級數(shù)斂散性的判別法研究J.網(wǎng)絡財富,2009.23(23):98-101.4 斯琴.正項級數(shù)的斂散性判別法J. 河套大學學報,2009.6(2): 18-22.5 楊鐘玄.關于正項級數(shù)斂散性判別法及其聯(lián)系J.天水師專學報,1999,19(3):80-83.6費定暉,周學圣,郭大鈞,等.吉米多維奇數(shù)學分析習題集題解(四) M. 2版. 濟南: 山東科學技術出版社, 1999:2- 3,38- 41. The Induction about Convergence Criterions of Constant Term Series and the Analysis of Thinks of Solution Abstract: The article