（整理版）高二數(shù)學(xué)第三章第3節(jié)幾何概型理知識(shí)精講人教新課標(biāo)A必修

1、高二數(shù)學(xué) 第三章第3節(jié)幾何概型 理 知識(shí)精講人教新課標(biāo)a版必修3一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：1了解幾何概型的概念及根本特點(diǎn)2熟練掌握幾何概型中概率的計(jì)算公式3會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算4能運(yùn)用模擬的方法估計(jì)概率，掌握模擬估計(jì)面積的思想二、重點(diǎn)、難點(diǎn)：重點(diǎn)：掌握幾何概型中概率的計(jì)算公式；并能進(jìn)行簡(jiǎn)單的幾何概率計(jì)算。難點(diǎn)：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型，并能正確應(yīng)用幾何概型的概率計(jì)算公式解決問(wèn)題。三、考點(diǎn)分析：本局部?jī)?nèi)容是新增的內(nèi)容，對(duì)幾何概型的要求僅限于體會(huì)幾何概型的意義，所以在練習(xí)時(shí)，側(cè)重于一些簡(jiǎn)單的試題即可。1區(qū)別古典概型與幾何概型2理解隨機(jī)模擬求幾何概型的概率1、幾何概型的概念： 對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，我們將每個(gè)根

2、本領(lǐng)件理解為從某個(gè)特定的可以幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的時(shí)機(jī)都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生那么可以理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)。這里的區(qū)域可以是線(xiàn)段，平面圖形，立體圖形等用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱(chēng)為幾何概型。2、幾何概型的根本特點(diǎn)：1試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果根本領(lǐng)件有無(wú)限多個(gè)；2每個(gè)根本領(lǐng)件出現(xiàn)的可能性相等。3、幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域內(nèi)為事件，那么事件發(fā)生的概率。說(shuō)明：1的測(cè)度不為；2其中“測(cè)度的意義依確定，當(dāng)分別是線(xiàn)段，平面圖形，立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度分別是長(zhǎng)度，面積和體積。3區(qū)域?yàn)椤伴_(kāi)區(qū)域；4區(qū)域內(nèi)

3、隨機(jī)取點(diǎn)是指：該點(diǎn)落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何局部的可能性大小只與該局部的測(cè)度成正比而與其形狀位置無(wú)關(guān)。4、模擬計(jì)算幾何概型的步驟：1構(gòu)造圖形作圖；2模擬投點(diǎn)，計(jì)算落在陰影局部的點(diǎn)的頻率；3利用算出相應(yīng)的量。知識(shí)點(diǎn)一：幾何概型的根本概念例1：判斷以下試驗(yàn)中事件a發(fā)生的概率是古典概型，還是幾何概型。1拋擲兩顆骰子，求出現(xiàn)兩個(gè)“4點(diǎn)的概率；2如以下圖，圖中有兩個(gè)轉(zhuǎn)盤(pán)，甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤(pán)游戲，規(guī)定當(dāng)指針指向b區(qū)域時(shí)，甲獲勝，否那么乙獲勝，在兩種情況下分別求甲獲勝的概率。思路分析：1題意分析：此題考查的是幾何概型與古典概型的特點(diǎn)，古典概型具有有限性和等可能性。而幾何概型那么是在試驗(yàn)中出現(xiàn)無(wú)限多

4、個(gè)結(jié)果，且與事件的區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)。2解題思路：根據(jù)古典概型和幾何概型的概念進(jìn)行分析解決。解答過(guò)程：1拋擲兩顆骰子，出現(xiàn)的可能結(jié)果有6×636種，且它們都是等可能的，因此屬于古典概型；2游戲中指針指向b區(qū)域時(shí)有無(wú)限多個(gè)結(jié)果，而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在b區(qū)域，概率可以用b區(qū)域的面積與總面積的比來(lái)衡量，即與區(qū)域長(zhǎng)度有關(guān)，因此屬于幾何概型。解題后的思考：幾何概型和古典概型是兩類(lèi)不同的概率模型，各有各的特點(diǎn)。想要區(qū)別兩者，關(guān)鍵是要掌握它們的特征中的異同點(diǎn)。知識(shí)點(diǎn)二：幾何概型的三種根本類(lèi)型例2：在等腰直角三角形中，在斜邊上任取一點(diǎn)，求小于的概率。思路分析：1題意分析：此題考查了測(cè)度為長(zhǎng)度的幾何概型的概

5、率的計(jì)算問(wèn)題。2解題思路：點(diǎn)隨機(jī)地落在線(xiàn)段上，故線(xiàn)段為區(qū)域。當(dāng)點(diǎn)位于以下圖中線(xiàn)段內(nèi)時(shí)，故線(xiàn)段即為區(qū)域。解答過(guò)程：解：在上截取。于是。答：小于的概率為。解題后的思考：在對(duì)幾何問(wèn)題中的概率求解時(shí)，我們首先要分析其是否為幾何概型，然后看試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積，然后結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行運(yùn)算。例3：取一個(gè)邊長(zhǎng)為的正方形及其內(nèi)切圓如以下圖，隨機(jī)向正方形內(nèi)丟一粒豆子，求豆子落入圓內(nèi)的概率。思路分析：1題意分析：此題考查的是測(cè)度為面積的幾何概型的概率求解問(wèn)題2解題思路：由于是隨機(jī)丟豆子，故可認(rèn)為豆子落入正方形內(nèi)任意一點(diǎn)的時(shí)機(jī)都是均等的，于是豆子落入圓中的概率應(yīng)等于圓面積與正方形面積的比

6、。解答過(guò)程：解：記“豆子落入圓內(nèi)為事件，那么有。答：豆子落入圓內(nèi)的概率為。解題后的思考：在對(duì)幾何問(wèn)題中的概率求解時(shí)，我們首先要分析其是否為幾何概型，然后看試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積，然后結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行運(yùn)算。例4：在高產(chǎn)小麥種子中混入了一粒帶銹病的種子，從中隨機(jī)取出，含有帶銹病的種子的概率是多少？思路分析：1題意分析：此題考查的是測(cè)度為體積的幾何概型的概率求解問(wèn)題。2解題思路：帶銹病的種子在這種子中的分布可以看作是隨機(jī)的，取得的種子可視作區(qū)域，所有種子可視為區(qū)域。解答過(guò)程：解：取出小麥種子，其中將“含帶銹病的種子這一事件記為，那么。答：含有帶銹病種子的概率為。解題后的思

7、考：在對(duì)幾何問(wèn)題中的概率求解時(shí)，我們首先要分析其是否為幾何概型，然后看試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度面積或體積，然后結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行運(yùn)算。小結(jié)：遇到有關(guān)概率的試題，首先分析清楚試題是古典概型還是幾何概型，然后把實(shí)際問(wèn)題復(fù)原為幾何問(wèn)題，結(jié)合相應(yīng)的概率公式進(jìn)行求解運(yùn)算。知識(shí)點(diǎn)三：將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何概型的綜合運(yùn)用例5：如圖，在線(xiàn)段上任取一點(diǎn)，試求：1為鈍角三角形的概率；2為銳角三角形的概率。思路分析：1題意分析：此題考查了結(jié)合平面幾何的知識(shí)進(jìn)行幾何概型的概率的求解運(yùn)算。2解題思路：點(diǎn)c落在線(xiàn)段ab上任何一個(gè)位置是隨機(jī)的，是等可能的。那么試驗(yàn)研究的區(qū)域就是線(xiàn)段ab，而“為鈍角三角形時(shí)，點(diǎn)c

8、的區(qū)域是什么？這是我們分析問(wèn)題的關(guān)鍵。先找臨界值，為直角三角形時(shí)，點(diǎn)c的位置分別在d、e位置，然后分析在哪個(gè)區(qū)域內(nèi)是鈍角三角形即可。解答過(guò)程：解：如圖，由平面幾何知識(shí)：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。1當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段或上時(shí)，為鈍角三角形記“為鈍角三角形為事件，那么即為鈍角三角形的概率為。2當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上時(shí)，為銳角三角形，記“為銳角三角形為事件，那么即為銳角三角形的概率為。解題后的思考：此題考查了在實(shí)際問(wèn)題中，能合理運(yùn)用幾何知識(shí)，解決概率問(wèn)題，同時(shí)也考查了我們分類(lèi)討論的思想，提高數(shù)學(xué)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性。例6：有一個(gè)半徑為的圓，現(xiàn)在將一枚半徑為的硬幣向圓投去，如果不考慮硬幣完全落在圓外的情況，試求硬幣完全落入圓內(nèi)

9、的概率。思路分析：1題意分析：此題是以圓為背景，研究幾何概型的概率的試題。2解題思路：首先分析試驗(yàn)的所有結(jié)果的區(qū)域是半徑為5的圓的面積，要想使硬幣“完全落入圓內(nèi)那么硬幣所在的區(qū)域是多少呢？由于硬幣的半徑為1，所以硬幣的中心必須在與圓o同心且半徑為4的圓內(nèi)時(shí)才能說(shuō)硬幣完全落入圓內(nèi)，結(jié)合幾何概型概率公式求解。解答過(guò)程：解：由題意，如圖，因?yàn)橛矌磐耆湓趫A外的情況是不考慮的，所以硬幣的中心均勻地分布在半徑為的圓內(nèi)，且只有中心落入與圓同心且半徑為的圓內(nèi)時(shí)，硬幣才完全落入圓內(nèi)。記“硬幣完全落入圓內(nèi)為事件，那么答：硬幣完全落入圓內(nèi)的概率為。解題后的思考：此題涉及圓圓相內(nèi)含時(shí)的兩圓位置關(guān)系。例7：一海豚在水

10、池中自由游弋，水池為長(zhǎng)30 m，寬20 m的長(zhǎng)方形，求海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2 m的概率。思路分析：1題意分析：考查實(shí)際中幾何概型的運(yùn)用，如何把實(shí)際問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，是培養(yǎng)我們分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力。2解題思路：首先構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形。然后分析事件所研究的圖形與的整個(gè)圖形的關(guān)系。解答過(guò)程：解：對(duì)于幾何概型，關(guān)鍵是要構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何度量來(lái)求隨機(jī)事件的概率.如以下圖，區(qū)域是長(zhǎng)30 m、寬20 m的長(zhǎng)方形.圖中陰影局部表示事件a：“海豚嘴尖離岸邊不超過(guò)2m，問(wèn)題可以理解為求海豚嘴尖出現(xiàn)在以下圖中陰影局部的概率。由于區(qū)域的面積為30×20600m2，陰

11、影a的面積為30×2026×16184m2pa。解題后的思考：利用幾何圖形來(lái)求隨機(jī)事件的概率，是我們經(jīng)常用到的方法。而將實(shí)際問(wèn)題向幾何圖形的轉(zhuǎn)化是難點(diǎn)。例8：取一根長(zhǎng)度為3m的繩子，拉直后在任意位置剪斷，那么剪得兩段的長(zhǎng)都不小于1m的概率有多大？用隨機(jī)模擬方法解決思路分析：1題意分析：此題考查隨機(jī)試驗(yàn)近似求概率的近似值。2解題思路：在任意位置剪斷繩子，那么剪斷位置到一端點(diǎn)的距離取遍0，3內(nèi)的任意數(shù)，并且每一個(gè)實(shí)數(shù)被取到都是等可能的。因此在任意位置剪斷繩子的所有結(jié)果根本領(lǐng)件對(duì)應(yīng)0，3上的均勻隨機(jī)數(shù)，其中取得的1，2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)就表示剪斷位置與端點(diǎn)距離在1，2內(nèi)，也就是剪得兩段的

12、長(zhǎng)都不小于1m。這樣取得的1，2內(nèi)的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)與0，3內(nèi)個(gè)數(shù)之比就是事件a發(fā)生的概率。解題過(guò)程：解法1：1利用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生一組0到1區(qū)間的均勻隨機(jī)數(shù)a1rand。2經(jīng)過(guò)伸縮變換，aa1×3。3統(tǒng)計(jì)出1，2內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)n1和0，3內(nèi)隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)n。4計(jì)算頻率fna即為概率pa的近似值。解法2：做一個(gè)帶有指針的圓盤(pán)，把圓周三等分，標(biāo)上刻度0，3這里3和0重合。轉(zhuǎn)動(dòng)圓盤(pán)記下指針指在1，2表示剪斷繩子位置在1，2范圍內(nèi)范圍內(nèi)的次數(shù)n1及試驗(yàn)總次數(shù)n，那么fna即為概率pa的近似值。解題后的思考：用隨機(jī)數(shù)模擬的關(guān)鍵是把實(shí)際問(wèn)題中事件a及根本領(lǐng)件總體對(duì)應(yīng)的區(qū)域轉(zhuǎn)化為隨機(jī)數(shù)的范圍。解法2用

13、轉(zhuǎn)盤(pán)產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，這種方法可以親自動(dòng)手操作，但費(fèi)時(shí)費(fèi)力，試驗(yàn)次數(shù)不可能很大；解法1用計(jì)算機(jī)器產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，可以產(chǎn)生大量的隨機(jī)數(shù)，又可以自動(dòng)統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的結(jié)果，同時(shí)可以在短時(shí)間內(nèi)屢次重復(fù)試驗(yàn)，可以對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性有更深刻的認(rèn)識(shí)。小結(jié)：1、幾何概型是不同于古典概型的又一個(gè)最根本、最常見(jiàn)的概率模型，其概率計(jì)算原理通俗、簡(jiǎn)單，對(duì)應(yīng)隨機(jī)事件及試驗(yàn)結(jié)果的幾何量可以是長(zhǎng)度、面積或體積。2、如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)，并且每個(gè)結(jié)果發(fā)生的可能性相等，那么該試驗(yàn)可以看作是幾何概型.通過(guò)適當(dāng)設(shè)置，將隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，即可利用幾何概型的概率公式求事件發(fā)生的概率。 高考對(duì)這局部?jī)?nèi)容的考查一般主要側(cè)

14、重于簡(jiǎn)單的運(yùn)算問(wèn)題。理解幾何概型，就是將隨機(jī)事件轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題，結(jié)合長(zhǎng)度比或者面積比，體積比進(jìn)行求解即可。一般以小題的形式出現(xiàn)，分值在5分左右。一、預(yù)習(xí)新知“正確嗎？二、預(yù)習(xí)點(diǎn)撥探究與反思【反思】？探究任務(wù)二：充分條件與必要條件【反思】1如何判定充分條件，必要條件，充要條件？2能否用集合的思想解決這類(lèi)問(wèn)題？答題時(shí)間：45分鐘一、選擇題1、點(diǎn)a為周長(zhǎng)等于3的圓周上的一個(gè)定點(diǎn)，假設(shè)在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)b，那么劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率 a. 2/3 b. 1/3 c. 1/4 d. 不能確定2、在線(xiàn)段0，3上任取一點(diǎn)，那么此點(diǎn)坐標(biāo)大于1的概率是 a. 1/3 b. 2/3 c. 1/2 d. 1/33

15、、某人睡午覺(jué)醒來(lái)，覺(jué)察表停了，他翻開(kāi)收音機(jī)想聽(tīng)電臺(tái)整點(diǎn)報(bào)時(shí)，那么他等待的時(shí)間小于10分鐘的概率是 a. b. c. d. 4、在1萬(wàn)平方公里的海域中有40平方公里的大陸架貯藏著石油，假假設(shè)在海域中任意一點(diǎn)鉆探，那么鉆到油層面的概率是 a. b. c. d. 二、填空題5、在平面直角坐標(biāo)系xoy中，設(shè)d是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的絕對(duì)值均不大于2的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，e是到原點(diǎn)的距離不大于1的點(diǎn)構(gòu)成的區(qū)域，向d中隨機(jī)投一點(diǎn)，那么所投的點(diǎn)落在e中的概率是 。6、如下圖，在直角坐標(biāo)系xoy內(nèi)，射線(xiàn)ot落在120°的終邊上，任作一條射線(xiàn)oa，那么射線(xiàn)oa落在xot內(nèi)的概率為 。7、如下圖，在一個(gè)邊長(zhǎng)為5cm

16、的正方形內(nèi)部畫(huà)一個(gè)邊長(zhǎng)為3cm的小正方形，向大正方形內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)，那么所投的點(diǎn)落入小正方形內(nèi)的概率為 。8、向面積為9的abc內(nèi)任投一點(diǎn)p，那么pbc的面積小于3的概率是 。9、地鐵列車(chē)每10分鐘一班，在車(chē)站停1分鐘，那么乘客到達(dá)站臺(tái)立即乘上車(chē)的概率是 。10、在區(qū)間1，1上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，的值介于0到之間的概率為_(kāi)。三、解答題11、平面上畫(huà)了一些彼此相距2a的平行線(xiàn)，把一枚半徑ra的硬幣任意擲在這個(gè)平面上，求硬幣不與任一條平行線(xiàn)相碰的概率是多少？一、選擇題1、a 解析：設(shè)事件m為“劣弧的長(zhǎng)度小于1”，那么滿(mǎn)足事件m的點(diǎn)b可以在定點(diǎn)a的兩側(cè)與定點(diǎn)a構(gòu)成的弧長(zhǎng)小于1的弧上隨機(jī)取一點(diǎn)，由幾何概型的概率公式得pm。2、b 由于點(diǎn)的坐標(biāo)大于1，那么所在的位置為1到3之間的位置，故有答案b3、a 由于整點(diǎn)報(bào)時(shí)，故隨機(jī)試驗(yàn)的區(qū)域長(zhǎng)度為60分鐘，而等待的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，由幾何概型概率公式那么得到答案a4、c 結(jié)合，在哪一點(diǎn)鉆都是等可能的，那么所研究的區(qū)域?yàn)?萬(wàn)平方米，而可以采到石油的區(qū)域僅僅是40平方米，由幾何概型概率公式得到答案c二、填空題5、解：如圖：區(qū)域d表示邊長(zhǎng)為4的正方形abcd的內(nèi)部含邊界，區(qū)域e表示圓及其內(nèi)部，因此6、 本試題為幾何概型。因?yàn)檎麄€(gè)區(qū)域?yàn)橐恢?600，而落在xot內(nèi)的區(qū)域度數(shù)為1200，故所求的概率為7、 由測(cè)度為正方形面積，那我們根據(jù)小正方的面積除以大正方形的面積