（整理版）高中數(shù)學(xué)知識要點重溫（13）直線及線性規(guī)劃

1、高中數(shù)學(xué)知識要點重溫13直線及線性規(guī)劃1直線的傾斜角的范圍：0，x軸及平行于x軸的直線傾斜角是0而不是；y軸及平行于y軸的直線的傾斜角為而不是沒有傾斜角只是斜率不存在；斜率的范圍會求傾斜角的范圍，記?。寒?dāng)傾斜角是銳角時，斜率k與同增同減，當(dāng)是鈍角時，k與也同增同減。斜率的求法：依據(jù)直線方程依據(jù)傾斜角依據(jù)兩點的坐標方向向量以=m,nm0為方向向量的直線的斜率為。關(guān)注斜率在求一類分式函數(shù)值域時的運用。舉例1兩點a(1，5)，b(3，2)，直線l的傾斜角是直線 傾斜角的一半，那么直線l的斜率為： 解析：記直線l的傾斜角為，那么直線ab的傾斜角為2，其斜率tan2= tan=-3或tan=而由tan2

2、=>0得2是銳角，那么0，aoxytan=。舉例2 函數(shù)的值域為 。解析：記pcos,sin,a(-3,1)那么y=kpa，p點的軌跡是圓心為原點的圓，如右圖：當(dāng)直線pa與圓相切時，其斜率分別為0和，y=kpa ，0。注：這里存在一個kpa在0與“之間還是“之外的問題，原那么是其間是否有斜率不存在的情況，假設(shè)有那么在“之外，假設(shè)無那么在“之間。穩(wěn)固1 直線：那么傾斜角的范圍是： 。穩(wěn)固2實數(shù)x,y滿足的取值范圍為 abcd遷移 點p是曲線上的動點，設(shè)點p處切線的傾斜角為，那么的取值范圍是a、 b、 c、 d、2“點斜式是直線方程的最根本形式，是其它各種形式的源頭，但它不能表示斜率不存在的

3、直線；解決“直線過定點的問題多用“點斜式?！靶苯厥阶钅鼙磉_直線的函數(shù)性質(zhì)一次函數(shù)，一次項系數(shù)是斜率，“斜截式中所含的參數(shù)最少2個，而其它各種形式中都是3個，所以用待定系數(shù)法求直線方程時多設(shè)為“斜截式，它也不能表示斜率不存在的直線?！敖鼐嗍阶钅芊从持本€與坐標軸的位置關(guān)系；注意：截距是坐標而不是距離；在兩坐標軸上截距相等的直線斜率為-1或過原點；“截距式不能表示斜率為0、斜率不存在以及過原點的直線?！皟牲c式完全可以由“點斜式替代，“兩點式不能表示斜率為0和斜率不存在的直線，但它的變形“積式：卻能表示所有的直線?！耙话闶侥鼙硎舅械闹本€，它是直線方程的“終極形式。舉例直線直線對任意實數(shù)k恒過點p1，

4、-2；方程kx+y-k+2=0可以表示所有過點p1，-2的直線；當(dāng)k=±1及k=2時直線在坐標軸上的截距相等；假設(shè)，那么直線與直線ab及直線都有公共點；使得直線與線段ab有公共點的k的范圍是-3，1；使得直線與線段ab有公共點的k的范圍是，-31，。解析：直線：y +2= - kx -1恒過p1，-2，方程kx+y-k+2=0不能表示直線x=1，當(dāng)k= -1時直線在坐標軸上的截距相反；假設(shè)，那么點mx0,y0在直線ab上截距式，又點p1，-2在直線，而直線過點m，p兩點式，即與直線ab有公共點m，與直線有公共點p；直線與線段ab有公共點，不宜先解方程組再解不等式組麻煩，數(shù)形結(jié)合易見，

5、直線正確。 穩(wěn)固圓c：x2+(y-)2=1，那么在坐標軸上的截距相等且與圓相切的直線有 條？遷移 對任意實數(shù)m，直線m+2x-(2m-1)y-(3m-4)=0和橢圓恒有公共點，那么m的取值范圍是 。3.“到角的范圍：0，“到角公式就是兩角差的正切公式，多用于解決與角平分線有關(guān)的問題；“夾角的范圍：0，。兩直線：a1x+b1y+c1=0,：a2x+b2y+c2=0平行、垂直的條件有“比和“積兩種形式重合只有“比式，如：a1a2+b1b2=0，假設(shè)、不重合，那么a1b2=a2b1；判斷兩直線位置關(guān)系時要特別注意斜率不存在及斜率為0的情形。舉例1直線：x=1到直線：2x+y+1=0的角是： aarc

6、tan2, barctan c- arctan2 d arctan(-)解析：記直線到的角為，直線的傾斜角為，作圖可見=-，tan=-cot=,應(yīng)選b。舉例2px0,y0是直線：f(x,y)=0外一點，那么直線f(x,y)+fx0,y0=0與直線的位置關(guān)系是 ； 設(shè)a、b、c分別是abc中角a、b、c的對邊，那么直線:與直線的位置關(guān)系是 。解析：方程f(x,y)=0與f(x,y)+fx0,y0=0兩變量的系數(shù)完全相同，而fx0,y00，即常數(shù)項不同，故平行；由正弦定理知：，故垂直。穩(wěn)固直線l1的方程為y=x，直線l2的方程為y=ax+b(a,b為實數(shù))，當(dāng)直線l1與l2夾角的范圍為0，時，a的

7、取值范圍是：a.(,1)(1,)，b.(0，1) ， c.(,)， d.(1,)遷移直線與直線互相垂直，那么|的最小值是：a1b2c4d5 4點到直線的距離公式在求三角形的面積、判斷直線與圓的位置關(guān)系、求圓的弦長、解決與圓錐曲線的第二定義有關(guān)的問題等場合均有運用，推導(dǎo)兩平行線間的距離公式也是它的一個運用。舉例 5x12y60，那么的最小值是:a. b. c. d. 1解析：表示直線：5x12y60上的動點到原點的距離，其最小值即原點到直線的距離，選a。注：此題假設(shè)代入消元、配方求最值那么很麻煩。穩(wěn)固直線過點1，0，且被兩平行直線3x+y-6=0和 3x+y+3=0所截得的線段長為9，那么直線的

8、方程為 。遷移 假設(shè)動點px,y滿足|x+2y-3|=，那么p點的軌跡是：a圓 b、橢圓 c、雙曲線 d、拋物線提高假設(shè)a、b、c為實數(shù)，恒存在實數(shù)x,y,使得ay-bx=ca2+b2 b.c2>a2+b2 ca2+b2(m,n)關(guān)于直線y=±x+b的對稱點m(±nb，±m+b)，即：將m點的坐標代入對稱軸方程求得m/的坐標；但對稱軸斜率不為±1時，只可根據(jù)中、垂建立方程組(即mm/與對稱軸垂直且其中點在對稱軸上)，解出對稱點坐標。光線反射問題、角平分線問題、到兩定點距離之和差的最值問題等都與對稱有關(guān)。舉例1將一張畫有直角坐標系的圖紙折疊一次，使得

9、點a0，2與點b4，0重合，假設(shè)此時點c7，3與點dm，n重合，那么m+n的值是 。解析：“折痕是ab的中垂線：y=2x-3，c7，3、dm，n關(guān)于對稱，那么：m+n=。舉例2在abc中，a2，3，角b的平分線為y軸，角c的平分線為：x+y=4,求bc邊所在的直線方程解析：由題意知直線ba、bc關(guān)于y軸對稱，即a關(guān)于y軸的對稱點a1(-2,3)在直線bc上；直線ca、cb關(guān)于對稱，即a關(guān)于的對稱點a2(1,2)在直線cb上；直線bc即直線a1a2：x+3y-7=0, 穩(wěn)固點a在x軸上，點b在直線：y=x上，c2，1，那么abc的周長的最小值為 。遷移 點a(1、1)，曲線c上的點(x、y)滿足

10、： ，一束光線從點a出發(fā)經(jīng)y軸反射到曲線c上的最短路程是： a b c 8 d 10 ax+by+c>0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0的右側(cè)，不等式ax+by+c<0(a>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0的左側(cè)；a0時情況相反。也可以說：不等式ax+by+c>0(b>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0的上方，不等式ax+by+c<0(b>0)所表示的區(qū)域為直線ax+by+c=0的下方；b0時情況相反。目標函數(shù)z=mx+ny(m>0)在“可行域d內(nèi)的最值：令mx+ny=0, 在“可行域d內(nèi)平移直線mx+ny=0使

11、之位于最左側(cè)，此時z取得最小值; 位于最右側(cè)，此時z取得最大值;m<0時情況相反。如果z=mx+ny(n>0), 也可以說：在“可行域d內(nèi)平移直線mx+ny=0使之位于最下方，此時z取得最小值; 位于最上方，此時z取得最大值;n<0時情況相反。假設(shè)線性目標函數(shù)的最優(yōu)解不止一個，那么目標函數(shù)為0的直線與“可行域的一個邊界平行或重合。舉例 x,y滿足約束條件：2x-y0,x+y-20,6x+3y18,且z=ax+y(a>0)取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個, 求a的值。解析：要使目標函數(shù)取得最小值的最優(yōu)解有無窮多個，令ax+y=0并平移使之與過點c可行域中最左側(cè)的點的邊界重合即

12、可，注意到a>0，只能和ac重合，a=1舉例2點p(3,-1)和q(-1,2)，直線：ax+2y-1=0與線段pq有公共點，那么實數(shù)a的取值范圍為：a1或a3 c.a3解析：此題可參照“3舉例的做法，確定直線的斜率的范圍?，F(xiàn)在用不等式所表示的區(qū)域解決：直線與線段pq有公共點即點p、q在直線的兩側(cè)或在直線上，記：f (x,y)= ax+2y-1,那么f(3,-1)f(-1,2) 0,解得：a1或a3，選b?！?舉例也可照此辦理。穩(wěn)固1 x,y滿足約束條件：2x-y0,x+y-20,6x+3y18,且z=ax+y取得最大值的最優(yōu)解恰為,3，那么a的取值范圍是 。穩(wěn)固2點-2，t在直線2x-3

13、y+6=0的上方，那么t的取值范圍是 。遷移 雙曲線x2-y2=1右支上一點pa,b到直線y=x的距離為，那么a+b的值是( ) a. - b. c. -或7關(guān)注“線性規(guī)劃問題的各種“變式：“可行域由不等式和方程共同確定為線段或射線，“約束條件由二次方程的“區(qū)間根間接提供，“約束條件非線性，目標函數(shù)非線性，如：斜率，距離等。a舉例 實系數(shù)方程的一個根大于0且小于1，另一個根大于1且小于2，那么的取值范圍是 解析：=，數(shù)形結(jié)合容易得到使實系數(shù)方程的兩根分別在(0，1)和(1，2)內(nèi)當(dāng)且僅當(dāng)： 點p，的可行域如右，記a1，2，線段pa的斜率為，=,1。穩(wěn)固 假設(shè)x,y滿足:x+y-30,x-y+1=0,3x-y-50,設(shè)y=kx,那么k的取值范圍是_提高 不等式ax2+bx+a<0(ab>0)的解集是空集，那么a2+b2-2b的取值范圍是 。簡答1穩(wěn)固1，穩(wěn)固2a，遷移b；2、穩(wěn)固3，遷移；3、穩(wěn)固c， 遷移b；4、穩(wěn)固4x+3y-4=0或x=1；遷移將條件變形為： ，由圓錐曲線的統(tǒng)一定義知p點軌跡為雙曲線；提高 將條件變形為：，問題轉(zhuǎn)化為：直線和圓的公共點，于是有： 即：c2a2+b2；5、穩(wěn)固 ，遷移a；6、穩(wěn)固1 -2a2，穩(wěn)固2t