認識二元一次方程組—教學設計及點評獲獎版

1、第十一屆初中青年數(shù)學教師優(yōu) 秀課展示與培訓活動教學設計課題：5.1認識二元一次方程組第五章二元一次方程組5.1認識二元一次方程組遼寧省朝陽市第一中學李穎 一、教學內(nèi)容及其解析1 .教學內(nèi)容本節(jié)是北師大版八年級數(shù)學上冊第五章二元一次方程組的第一節(jié)，本節(jié)內(nèi)容安排1個課時.具體內(nèi)容是：讓學生通過對實際問題的分析，進一步體會方程的 模型思想，同時理解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念.2 .內(nèi)容解析本節(jié)既是一元一次方程的延續(xù)，又是進一步學習本章后續(xù)內(nèi)容（解二元一次 方程組、應用二元一次方程組、二元一次方程與一次函數(shù)、用二元一次方程組確 定一次函數(shù)表達式、三元一次方程組）的前提，同時也是學習物理、

2、化學等其他 學科知識的一個重要基礎，因此本節(jié)具有承上啟下的作用.列方程（組）解應用 題是聯(lián)系實際的重要方面，突顯了方程作為一種數(shù)學模型的重要特征， 這既是培 養(yǎng)學生邏輯思維能力的載體，也是培養(yǎng)學生應用意識和實踐能力的良好題材.基于學生對一元一次方程理解的基礎上， 本節(jié)從實際問題出發(fā)，通過類比完 成概念的歸納，培養(yǎng)學生歸納概括的能力，突出強調(diào)建模思想，展現(xiàn)方程是刻畫 現(xiàn)實世界數(shù)量關系的有效模型.因此，確定本節(jié)的教學重點是：理解二元一次方 程、二元一次方程組及其解等概念，進一步體會方程的模型思想.二、教學目標及其解析課程標準對本節(jié)的具體要求是探索具體問題中的數(shù)量關系，能根據(jù)數(shù)量關系列出方程，體會模

3、型思想，建立符號意識.通過本章的學習，使學生經(jīng)歷從實際 問題中抽象出二元一次方程（組）的過程，并會解簡單的二元一次方程組，從而 初步理解化未知為已知和化復雜問題為簡單問題的化歸思想.發(fā)展靈活運用有關 知識解決實際問題的能力，培養(yǎng)良好的數(shù)學應用意識 .根據(jù)課程標準，結合學生 實際，我確定本節(jié)的教學目標如下： 1.教學目標（1）通過對實際問題的分析，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關系的 有效模型.（2）理解二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念 ，會判斷一組數(shù)是 不是二元一次方程組的解.2.目標解析達成目標（1）的標志是學生能夠從貼近生活的現(xiàn)實情境中分析數(shù)量關系， 通過設未知數(shù)，建立方程模型，

4、培養(yǎng)學生分析問題、解決問題的能力.在突出重 點、突破難點的教學中，學生能夠自主思考，完善實際問題中的等量關系，列出 二元一次方程組.達成目標（2）的標志是認識二元一次方程（組），會判斷一組數(shù)是不是二元 一次方程組的解.提高對“元”和“次”的認識，同時逐步培養(yǎng)了類比分析和歸 納概括的能力.三、學生學情分析1 .學生已有的基礎學生在七年級已學過一元一次方程，已理解“元”和“次”的含義，經(jīng)歷過 由具體問題抽象出一元一次方程的過程， 初步感受了方程的模型作用，并積累了 利用方程解決實際問題的經(jīng)驗.2 .學生面臨的問題要想達成本節(jié)課的教學目標，需引導學生發(fā)現(xiàn)新方程，歸納有關新概念，使學生逐步建立方程的知

5、識體系.學生可能對應用題有畏難心理，覺得找等量關系 很困難.但本節(jié)所涉及的實際問題均為學生所熟悉的情境，容易被學生接受和理 解，也容易建立相應的數(shù)學模型，這一困難便可消除.但對學生來說，對二元一次 方程（組）解的理解是有難度的，尤其是對二元一次方程組解的理解，這一點需 要在教師的幫助下消除.因此，本節(jié)課的教學難點是：對二元一次方程組解的理 解.為突破難點，我首先引導學生分析同一字母所代表的含義， 再通過列舉數(shù)值、 填表等活動，使難點分散.四、教學策略分析1 .“雞兔同籠”是學生熟知的貫穿于小學、初中的一道經(jīng)典問題，學生能很 輕松地用算術、一元一次方程解決，甚至有的同學可以列出二元一次方程組，

6、用 這個問題引出課題自然、流暢.有趣的“誰的包裹多”和貼近生活的“公園門票” 問題，學生很容易找到等量關系，列出方程，體會方程的模型思想，同時也為后 續(xù)相關概念的探究提供了素材.2 .本節(jié)二元一次方程概念中同樣有“元”和“次”的含義，教學中我讓學生 類比一元一次方程，采用自主探究和小組交流的方式，對所列方程特征進行觀察、 比較，從而歸納出二元一次方程的概念.3 .基于學生對一元一次方程的理解，并積累了利用方程解決實際問題的經(jīng) 驗，本節(jié)引導學生從實際問題出發(fā)，設計以下問題：（1）觀察所列方程，它們有 什么共同特征？ （ 2）兩個方程中未知數(shù)的含義是否分別相同？ （ 3）能否找到滿 足方程的一組未

7、知數(shù)的值?（4）能否找到同時滿足兩個方程的一組未知數(shù)的值？ 通過“問題用”的探究，歸納出二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念.4 .對于學優(yōu)生在小組討論中，集思廣益，引導他們自主探究出本節(jié)的重點概 念；對于學困生主要采取提出質(zhì)疑、同學互解，達到理解概念的目的.5 .對不同層次學生采用不同的教學方法， 培養(yǎng)學優(yōu)生從多角度分析問題，解 決問題的能力.同時，使學困生在問題消除后，也獲得了成功的喜悅，提高了學 習興趣.真正實現(xiàn)了讓不同學生得到不同層次的發(fā)展.五、教學過程設計（一）創(chuàng)設情境，引入新課【教師活動】問題：我國古算名題：今有雞兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雞兔各幾何？這個問題，你見

8、過嗎？【學生活動】學生獨立思考，分析后書寫解題過程，投影展示、學生講解.【設計意圖】以經(jīng)典的古算題“雞兔同籠”拉開了本節(jié)的序曲.引入學生熟知的情境，可 以激發(fā)學生的學習興趣.學生可能用小學的算術方法、七年級的一元一次方程.如果學生沒有列出二元的，教師應進一步引導學生觀察問題中有幾個未知量、幾 個等量關系，進而引導學生設兩個未知數(shù)，列出二元的方程 .如果有的學生已經(jīng) 列出二元的，通過兩種方程的比較，引發(fā)思考，從而順理成章地引出章標題.通過回憶一元一次方程的學習內(nèi)容（定義、解法、應用），提出這一章也要學習上 述內(nèi)容，這節(jié)課先認識二元一次方程組，從而很自然地導入課題.（二）探究新知，形成概念探究活動

9、1二元一次方程、二元一次方程組的概念情境1:【教師活動】一頭老牛和一匹小馬馱著包裹吃力地行走著，老牛喘著氣吃力地說：“累死我了”，小馬說：“你還累，這么大的個，才比我多馱 2個.”老牛氣不過地說： “哼，我從你背上拿來一個，我的包裹就是你的 2倍！ ”，小馬大.真而不信地說： “真的？ ！ ”它們各馱了多少包裹呢？問題：這個問題要求幾個量？教師注意引導學生根據(jù)老牛和小馬的對話， 探索出其中的等量關系，依據(jù)等 量關系列出含有未知數(shù)的方程.【學生活動】學生先獨立思考，代表發(fā)言.學生：設老牛馱了 x個包裹，小馬馱了 y個包裹.老牛馱的包裹數(shù)比小馬馱的多2個，可列方程：x y 2,若老牛從小馬背上拿來

10、1個包裹，就是小馬的兩倍，可列方程：x 1 2 y 1 .【設計意圖】以生動有趣的老牛、小馬的對話引入，可以激發(fā)學生的學習興趣，讓學生體 會生活中無處不在的數(shù)學問題，讓學生再次經(jīng)歷建模的過程 .情境2:【教師活動】昨大，我們8個人去紅山公園玩，買門票共花了 34元.每張成人票5元，每 張兒童票3元.到底去了幾個成人、幾個兒童呢？問題：這個問題要求幾個量？【學生活動】學生先獨立思考，代表發(fā)言.學生：設去了 X個成人，y個兒童.根據(jù)題意得，x y 8, 5x 3y 34.【設計意圖】以貼近生活的問題情境引入，引導學生通過分析問題中的等量關系， 列出含 有兩個未知數(shù)的方程，進一步體會方程的模型思想，

11、同時為后續(xù)關于二元一次方程的討論提供了素材.在問題情境中，如果有學生認為用一元一次方程也可以解答， 教師要肯定其 做法，并將答案保留下來，放到第二節(jié)二元一次方程組解法的學習中去， 讓學生 更有學習的好奇心與積極性.【教師活動】問題：上面的問題中，我們分別得到方程x y 35,2x 4y 94;x y 2, x 1 2( y 1); x y 8,5x 3y 34.這些方程有什么共同的特征呢？【學生活動】學生先獨立思考、再合作交流，通過觀察、分析、比較所列方程的特征，類 比一元一次方程，歸納出二元一次方程的概念 .【設計意圖】由數(shù)學情境挖掘數(shù)學本質(zhì)屬性，去掉問題背景，發(fā)現(xiàn)所列方程的共性，歸納 出二

12、元一次方程的概念，即含有兩個未知數(shù)，并且所含未知數(shù)的項的次數(shù)都是 1 的方程叫做二元一次方程.教師引導學生剖析概念中的關鍵詞，體會“所含未知 數(shù)的項的次數(shù)”，進一步加深對概念的理解.【教師活動】練習：下列方程是二元一次方程嗎？為什么？(1) x y z 8(2) x 5( 2a 3b 13(4) xy y 6(5)7x 6y 4 16 (6) x2 y 7,、1y 9 x【學生活動】學生獨立思考，回歸概念，作出判斷.【設計意圖】進一步鞏固對二元一次方程概念的理解.提高對“元”和“次”的認識 【教師活動】上面的方程x y 8,5x 3y 34中的x含義相同嗎？ y呢？【學生活動】學生思考后回答x

13、、y的含義分別相同，并指出分別代表什么含義.【教師活動】x、y的含義分別相同，因而x、y必須同時滿足這兩個方程，把它們用大括號聯(lián)立起來，得x5xy 8, 3y 34'這樣就組成了 一個二元一次方程組“雞兔同籠”、“誰的包裹多”問題中x、y的含義也分別相同，也可以寫成這樣x-y 2, x 1 2( y 1).師生共同得出概念xyx3, 56x (2) y4y 93x 5x 2y 2(3)y3y 1 4x y 35的形式C A和2x 4y 94【學生活動】 學生自己觀察、比較, 【設計意圖】引導學生體會兩個方程中X、y所代表的含義分別相同，且需要同時滿足兩 個方程.從而得出二元一次方程組的

14、概念： 像這樣，共含有兩個未知數(shù)的兩個一 次方程所組成的一組方程，叫做二元一次方程組 .通過對概念中關鍵詞的分析， 體會“共”的含義，進一步鞏固對概念的理解 .【教師活動】練習：下列方程組是二元一次方程組嗎？為什么？(4) 3c【學生活動】學生依據(jù)概念，作出判斷，舉手作答探究活動2二【教師活動1次方程的一個解、次方程組的解的概念問題1：你能找到適合方程X y 8的X、y的值嗎?問題2:你是如何找的?學生先列舉出x、y的值，并闡述方法：確定一個 x值就能求出一個y值;確定一個y值就能求出一個x值，體會這樣的x、y值可以找到無數(shù)組，然后完成表格.【教師活動】問題4：你能用同樣的方法找到適合方程 5

15、x 3y 34的x、y的值嗎？問題6：你能類比一元一次方程的解，說一說什么是二元一次方程的解嗎？ 【學生活動】學生找到x、y的值，完成表格.通過類比，歸納二元一次方程解的概念：適合一個二元一次方程的一組未知數(shù)的值，叫做這個二元一次方程的一個解.【設計意圖】由學生歸納概括二元一次方程的解的概念，提高學生的語言表達能力.讓學生體會二元一次方程有無數(shù)解，而由表格可觀察出兩個二元一次方程的公共解， 很自然地引入二元一次方程組解的概念：二元一次方程組中各個方程的公共解， 叫做二元一次方程組的解.二元一次方程組的解也是基于同一字母代表同一個含 義，這樣對于每個方程來講相同字母才是一樣的，教師應引導學生體會

16、這一點.【教師活動】問題7:再回到“雞兔同籠”的問題中，觀察、比較兩種方法 .一元一次方程的方法：設雞有x只，則兔有（35-x）只，根據(jù)題意，得2x 4（35-x） 94解得x 2335-23 12（只）答：雞有23只，兔有12只.二元一次方程組的方法：設雞有x只，兔有y只, 根據(jù)題意，得x y 352x 4y 94思考：能否用一元一次方程的解來驗證是不是二元一次方程組的解呢？【學生活動】學生快速口算驗證，發(fā)現(xiàn)是二元一次方程組的解.【設計意圖】利用學生已解出的答案來驗證，學以致用，進一步加深對二元一次方程組解 的理解，體會數(shù)學知識的聯(lián)系性，同時也巧妙地首尾呼應 .【總設計意圖】概念教學的核心是

17、引導學生開展概念活動，首先以實際背景為載體，然后 隱去背景挖掘其本質(zhì)屬性，抽象概括出共同的本質(zhì)特征，從而歸納出數(shù)學概念， 強調(diào)學生經(jīng)歷概念的得出過程，體會概念形成的一般方法 .【教師活動】練習：1.下列4組數(shù)值中,哪些是二元一次方程2xy 10的解?(1)x 2,y 6；x 3,(2)4；1x ；， 2y 9；(4)x 6, y 2.x 2y 10,2 .二元一次方程組y 2x的解是（x4,x3,x2,(1)y3； y6； y4；x 4,(4)y 2.3 .寫出二元一次方程3x y 9的所有正整數(shù)解.【學生活動】學生獨立思考及小組交流，代表講述方法，說明理由 【設計意圖】1題：四個中有三個都是

18、這個方程的解，再次體會二元一次方程有無數(shù)個解2題：鼓勵學生采用多種方法求解.3題：讓學生知道二元一次方程的解有無數(shù)個，但某些二元一次方程的正整 數(shù)解卻有有限個，從而進一步鞏固對概念的理解 .（三）鞏固訓練，檢測目標【教師活動】m 1 2n 31 .若x y9是二元一次方程，則m n x 22 .寫出一個以°為解的二元一次方程（答案不唯一）y 3x3.如果y12是方程組x 2y3x ym的解，那么mnn 【學生活動】學生分析、思考，代表回答.【設計意圖】檢驗對二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念的理解 .（四）課堂小結，深化提升1 .本節(jié)課我們學習了哪些概念？2 .通過本節(jié)課的學習

19、，你還想學習哪些知識？3 .本節(jié)課用到了哪些數(shù)學思想方法？【設計意圖】1 .通過回顧本節(jié)的知識和數(shù)學思想方法， 發(fā)展學生歸納總結能力，發(fā)揮學生 的主體作用，.2 .學生談一談還想學習的內(nèi)容，為本章后續(xù)的學習埋下伏筆，形成知識體系. 同時也是今后研究分式方程、一元二次方程基本的思路 .（五）布置作業(yè)，分層訓練基礎題：習題5.1 1、2、3提高題：習題5.1 5【設計意圖】分層作業(yè)既可以使優(yōu)等生更上一層樓， 又可以調(diào)動學困生學習的積極性，有 利于學生保質(zhì)保量的完成作業(yè)，提高了學習的興趣 .六、課堂教學目標檢測通過二元一次方程、二元一次方程組及其解等概念習題的練習，檢測學生對 本節(jié)重點概念的理解，提高對“元”和“次”的認識.實現(xiàn)對教與學的及時反饋和糾正.在突出重點、突破難點的教學中，設置有針對性的習題，通過自主探究 及合作交流，讓不同層次的學生都學有所得.5.