解析幾何圓問題的幾何處理辦法

1、例說(shuō)解析幾何圓問題的常規(guī)處理辦法 一、知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)1:圓的概念和方程(1)平面內(nèi)到定點(diǎn)距離等于定值的點(diǎn)的集合(軌跡)稱為圓；(2)以(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x aj+(y b j = r2；以匚：，_E 1為圓心， 以 血+E -4F為半徑的圓的一般方程為：222x +y +Dx+Ey+F =0 (D2+E2 4F >0)；以 A(x1, y1 1 B(x2, y2 )為直徑的圓的方程為：x -xi x -x2 y -yi y -y2 =0x = a r cos -i(3)以(a,b)為圓心，以r為半徑的圓的參數(shù)方程為：x(其中9是參數(shù))。y = b r sin

2、 二知識(shí)點(diǎn)2:圓的位置關(guān)系(1)點(diǎn)與圓的位置關(guān)系點(diǎn)(m, n 方圓 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ：若 m2 + n2 + Dm +En+F<0,點(diǎn)在圓內(nèi)；若 m2+n2 + Dm +En + F= 0,點(diǎn)在圓上；若22m十n十Dm+En + F a 0 ,點(diǎn)在圓外。 222點(diǎn)(m,n 盧圓(xa) +(yb) = r :若(maj+(nbf<r2,點(diǎn)在圓內(nèi)；若(maf+(nbj = r2,點(diǎn)在圓上；若222.(ma) +(nb) >r ,點(diǎn)在圓外。(2)直線與圓的位置關(guān)系聯(lián)立直線方程 A x+ By O 與圓x2+y2 + Dx+Ey + F= 0得一

3、元二次方程2ax +bx +c = 0 ,若 = 0,直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)(相切)；若A >0,直線和圓有 2個(gè)交點(diǎn)(相交)；若 <0 ,直線和圓沒有交點(diǎn)(相離)?！?. 22,一、. r Aa + Bb + C 廿圓(x -a)+ (y - b)= r的圓心到直線 Ax + By + C=0的距離為 d =J_ 。右,a2 b2d =r ,直線和圓有一個(gè)交點(diǎn)(相切)；若d < r ,直線和圓有 2個(gè)交點(diǎn)(相交)；若d a r ,直線 和圓沒有交點(diǎn)(相離)。圓(xaj +(ybj = r2 與直線 Ax + By +C =0 相交于 A(x1, y1 ), B( x2, y2)

4、兩點(diǎn)。則：(3)圓與圓的位置關(guān)系-222222, 一O1 :(x x1)+(yy1)=r1,O1:(x x2) +( y y2)= r2的 圓 心 距22O1O2 -xl - x2 j - I： yi - y2若O1O2 "+2,則兩圓外離；若O1O2 =1+2,則兩圓外切；若|r1-r|2<0。2 <r1+r2 ,則兩圓相交；若OO2 = 口，則兩圓內(nèi)切；若 OO2 口，則兩圓內(nèi)含；二、典例分析問題1：待定系數(shù)法求解圓的標(biāo)準(zhǔn)方程例題1： (2014陜西)若圓C的半徑為1,其圓心與點(diǎn)(1 , 0)關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程 為.2解析：由題意可得圓的圓心為(1,

5、 0),故而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程為：(x-1)+y2=1變式：(2014山東)圓心在直線x- 2y= 0上的圓C與y軸的正半軸相切，圓 C截x軸所得弦的長(zhǎng)為25,則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .解析：由題意可得圓心坐標(biāo)可設(shè)為(2y,y ),根據(jù)圓與y軸的正半軸相切，故而可得r = 2y, y a0 ,根據(jù)弦長(zhǎng)公式可得 273 = 2,(2y j -y2 = y =1,故而可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：_ 2. 2(x -2 ) +(y -1 ) =4。問題2:利用距離公式求解圓的位置關(guān)系例題2： (2016山東)已知圓M： x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長(zhǎng)度是 272,則圓 M與圓N

6、： (x1)2+(y1)2= 1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切B.相交C.外切D.相離2 oa解析：由題意可得圓的標(biāo)準(zhǔn)萬(wàn)程為 x2 + (y - a ) =a2,圓心到直線的距離為：d =戈,根根據(jù),_2弦長(zhǎng)公式可得 2金=2 a2 _ 里=a =2 ,故而圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+（y2； = 22,:2MN =后，故而可得2 1 < MN <2+1,兩圓相交。例題3: （2014江西）在平面直角坐標(biāo)系中，A, B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以 AB為直徑的圓C與直線2x+y4= 0相切，則圓C面積的最小值為（0.(6-25)兀解析：由平面直角坐標(biāo)系的性質(zhì)可得/AOB =90。故而可得圓C

7、的圖像經(jīng)過原點(diǎn)0。由圖像可得點(diǎn)0到直線的距離和到點(diǎn) O的距離相等，故而當(dāng)OC _L l時(shí)，半徑最小，此時(shí)r =1d =1=5,故而面積的最小值為 5n o 22.524A為圓心，b22變式：（2017新課標(biāo)1卷）已知雙曲線C:當(dāng)當(dāng)=1（a>0, b>0）的右頂點(diǎn)為A,以a b為半徑做圓 A,圓A與雙曲線C的一條漸近線交于 M、N兩點(diǎn)。若/ MAN =60° ,則C的離心b,0A=a=、3b2 . 2%2,故而率為 解析：如圖所示，過點(diǎn) A作漸近線的垂線 AB,由/MAN =60、Z BAN =30°,a23、3b2b2=,解得by、2a2問題3:巧思圓的幾何性質(zhì)

8、與最值、范圍問題0）.若圓C上存在點(diǎn)P,使得/APB = 90°,則m的最大值為（）A.7B.6C.5D.4解析：根據(jù)/APB =90*可得點(diǎn)P在以AB為直徑的圓上，故而點(diǎn) P的軌跡方程為222 .x +y =m故而此問題可轉(zhuǎn)化為以 AB為直徑的圓與圓 C有交點(diǎn)的問題,m -1 EOC Em+1= m1E5Em + 1,解得 4MmM6 ,故而選 B。變式：（2014全國(guó)課標(biāo)2）設(shè)點(diǎn)M（x0, 1）,若在圓O: x2+y2=1上存在點(diǎn)N,使得OMN = 45°,則x0的取值范圍是（）A. - 1 , 1B.C.亞亞D.例題 4： （2014 北京，7）已知圓 C: （x3）

9、2+（y4）2= 1 和兩點(diǎn) A（-m,0）, B（m,0）（m>-冬唆解析：點(diǎn)M（x°, 1）在直線y=1上，而直線y=1與圓x2+y2= 1相切.據(jù)題意可設(shè)點(diǎn)N（0, 1）,如圖， 則只需 /OMN>45即可，此時(shí)有 tan Z OMN =JMN>tan 45,得 0<|MN| N|=1,即 0<風(fēng)|當(dāng)M位于點(diǎn)（0, 1）時(shí)，顯然在圓上存在點(diǎn)N滿足要求，綜上可知1 <xo< 1.問題4:利用基本不等式求解圓的最值問題例題5: （2016吉林長(zhǎng)春質(zhì)量監(jiān)測(cè)）設(shè)m, nC1）2=1相切，則m+n的取值范圍是（R,若直線(m+ 1)x+ (n+1

10、)y2=0 與圓(x1)2+(ya.i-T3, 1 + 憫 b.(-8, 1-峋51+弧 2-2的 U 2 + 20 + 8)+ oo)0.2-272, 2+2的D.(-oo,根據(jù)直線圓 的位置關(guān)系可得m 1 n 1 -2=1 = m+n = J(m化簡(jiǎn)可得m + n +1 = mn ,根據(jù)基本不等式2一(m + n ) -4( m + n)-4 之0 ,解一兀次不等式可得m + n < 2 - 2 J2或者m+n至2+2r 2當(dāng)且僅當(dāng) m = n時(shí)取等號(hào)。故而選 D。問題5:巧用建系法解答 定長(zhǎng)+動(dòng)點(diǎn)”問題 例題6: （2016四川）已知正三角形 ABC的邊長(zhǎng)為2寸3,平面ABC內(nèi)的動(dòng)

11、點(diǎn)P, M滿足|AP|= 1 ,而= MC,則|BM|2的最大值是（）43A.449B，37+673C37+2/33 D.解析：如圖所示，以BC中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，此時(shí):A(0,3 ),B(-向0 >C(百0 )。故而可得點(diǎn)P在以A為圓心，以1為半徑的圓上，故而點(diǎn)2p的軌跡方程為x + (y - 3) = 1 ,由PM =MC可得點(diǎn) M為CP的中點(diǎn)。假設(shè)點(diǎn) M坐標(biāo)為（x, y）,故而可得點(diǎn)P坐標(biāo)為（2x -石2 y ）,代入軌跡方程化簡(jiǎn)可得:xW1, 一,1,=-。此時(shí)可得點(diǎn) M在4Q值,。I2 2 J,一 ,1 為圓心，以1為半徑的圓上。2BM=BQmax49o4問題7:巧用

12、參數(shù)方程（三角換元）法解答取值范圍問題2222xVxV例題7：已知橢圓 +j=i（m >0）與雙曲線 22=1付>0）有相同的焦點(diǎn)，則 m+n的取 25 m7n值范圍是 （）A. 0,6 B. 3,6 C. 3,2,6D. 16,9解析：由題意可得25m2 =7+n2= m2+n2 =18 ,解法1:不妨設(shè) m + n = z ,故而點(diǎn)（m,n）在直線m+n z = 0與圓m2 + n2 = 18（ m > 0,n > 0 ）上, 亦即直線與圓在第一象限部分有交點(diǎn)。故而根據(jù)圖像可得直線 m + n = z在平彳亍線11和12之間，根據(jù)圓與直線位置關(guān)系可得相切時(shí)d=lm=3"= m=