[高等教育]4-1-2簡諧運動-振動能量

1、第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動4.1 4.1 簡諧振動簡諧振動4.2 4.2 諧振動的能量諧振動的能量4.3 4.3 諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量投影表示法諧振動的旋轉(zhuǎn)矢量投影表示法4.4 4.4 諧振動的合成諧振動的合成4.5 4.5 阻尼振動阻尼振動 受迫振動受迫振動 共振共振第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動kl0 xmoAA一、一、 模型模型00Fx 1.1.彈簧振子彈簧振子第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動makxF0dd222 xtx mk2令令積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定積分常數(shù)，根據(jù)初始條件確定)cos(

2、tAxxxFmo平衡位置平衡位置 0外外F動力學(xué)方程動力學(xué)方程運動學(xué)方程運動學(xué)方程振動方程振動方程特特 征征 方方 程程第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動2. 2. 單擺單擺 mgsinmgF 0dd222 t)cos(m tsin,5時時動力學(xué)方程動力學(xué)方程運動學(xué)方程運動學(xué)方程tmamgF 22dtdmlml 振動方程振動方程條件：條件：lmoAPnptplg2令令第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動3. 3. 復(fù)擺復(fù)擺 mglM 22ddtImgl 0dd222 tImgl 2 )cos( tm)5(oC*lP（ 點為質(zhì)心）點為質(zhì)心）C

3、平衡位置平衡位置 0外外M動力學(xué)方程動力學(xué)方程運動學(xué)方程運動學(xué)方程振動方程振動方程繞不過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動的剛體稱為復(fù)擺。繞不過質(zhì)心的軸轉(zhuǎn)動的剛體稱為復(fù)擺。第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動)cos()sin(2dd tAtAtx1.v)cos()cos(. tAtAtxa2222dd2)cos(tAxxxFmo二、二、 速度和加速度速度和加速度 Avm 2 Aam 第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動tx圖圖tv圖圖ta圖圖TAA2A2AxvatttAAoooTT)cos(tAx0取取2T)2cos(tA)sin(tAv)cos(2tA)cos

4、(2tAa第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動)cos(tAx1.1.振幅振幅maxxA 2.2.周期、頻率周期、頻率kmT2彈簧振子周期彈簧振子周期2T 周期周期21T 頻率頻率T22 圓頻率圓頻率)(cosTtA周期和頻率僅與振動系周期和頻率僅與振動系統(tǒng)統(tǒng)本身本身的物理性質(zhì)有關(guān)的物理性質(zhì)有關(guān)注意注意tx圖圖AAxT2Tto三、描述諧振動的物理量三、描述諧振動的物理量第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動201 1）相位在相位在 內(nèi)變化，內(nèi)變化，質(zhì)點質(zhì)點無相同無相同的運動狀態(tài)；的運動狀態(tài)； 2 2）初）初相位相位 描述質(zhì)點描述質(zhì)點初始初始時刻

5、的運動狀態(tài)時刻的運動狀態(tài). . ) 0( t) (2nn相差相差 為整數(shù)為整數(shù) 質(zhì)點運動狀態(tài)質(zhì)點運動狀態(tài)全同全同. .（周期性）（周期性）20( ( 取取 或或 ) )tx圖圖AAxT2Ttovvv 初相位初相位 3. 3. 相位相位 t第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動xxFmo sin Av cosAx X v B O C O B 0BCX第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 X V B 0 A O O 0 -vm C -A 0 O 0 vm B A 0 0BC2 23 2例：例： 一小球初始時用手托著，手一松，小球做簡諧振動，一小球初

6、始時用手托著，手一松，小球做簡諧振動，在最低處時，在最低處時， 再次到達平衡位置時，再次到達平衡位置時，? ? x最低處時：最低處時：X=A, V=0; 0 再次到達平衡位置再次到達平衡位置X=0, V=-Vm; 21 第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 X V B 0 A O O 0 -vm C -A 0 O 0 vm B A 0 0BC2000 ;:VXOB2 23 2 200;:VXCO 2300 ;:VXOC 22300 ;:VXBO0 2 2123或或2/ 或或第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動22020vxA00tanxv 3

7、) 3) 常數(shù)常數(shù) 和和 的確定的確定A000vv xxt初始條件初始條件cos0Ax sin0Av 對給定振動系統(tǒng)，周期對給定振動系統(tǒng)，周期( (或者角頻率或者角頻率) )由系統(tǒng)本身由系統(tǒng)本身性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定性質(zhì)決定，振幅和初相由初始條件決定. .三要素三要素)sin(tAv)cos(tAx第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動cos0A2 0sin0Av2 0sin取取0, 0, 0vxt已知已知 求求討論討論xvo)2 cos(tAxAAxT2Tto第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動四、振動圖像四、振動圖像 同一質(zhì)點在

8、不同時刻的位移同一質(zhì)點在不同時刻的位移 xt圖圖TTA 2 ,t0時：時：x0， v0的方向看下時刻的的方向看下時刻的x， x向位移的正方向，向位移的正方向，v00; x向位移的負(fù)方向，向位移的負(fù)方向， v00.tx圖圖AAxT2Ttovv第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 cosAAx 20 求求020 0v,AxtO已知已知例例1 1：3321 或或cos000 sinv又又3 故故第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動例例2; 2; 將一彈簧振子豎直懸掛，已知彈簧的勁度系數(shù)為將一彈簧振子豎直懸掛，已知彈簧的勁度系數(shù)為k1.6Nm1,彈簧

9、下端掛一質(zhì)量為彈簧下端掛一質(zhì)量為M0.025kg的物體，的物體，物體處于平衡狀態(tài)物體處于平衡狀態(tài)，(1)若將物體下拉到若將物體下拉到x00.10m處，處，然后自由釋放；然后自由釋放；(2)若將物體下拉到若將物體下拉到x00.10m處處, ,再給它再給它向下運動的初速度向下運動的初速度v0=0.8ms-1, 寫出振動方程寫出振動方程x第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動已知：已知： k1.6Nm1 m0.025kg 處于平衡狀態(tài)處于平衡狀態(tài)（1）x00.10m處，自由釋放處，自由釋放（2）x00.10m處，處， v0=0.8ms-1x解：平衡位置：解：平衡位置：0 kb

10、mgkmgb 位移位移x處：處：kxbxkmgF )( dd022 xmktx18 smk dd0222 xtx )cos( tAx第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動（1）t0 時，時， x00.10m， vo =0mx100. 0 tx810 cos. （2）t0 時，時， x00.10m， vo =0.8ms-122020 vxA mvxA14022020. cosAx 022 cos44 或或 000 sin,v又又4 故故）（48140 txcos. 第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動例例3 3：已知：已知k，m；定滑輪定滑輪I，

11、R初始位置時彈簧無伸長，靜止釋放初始位置時彈簧無伸長，靜止釋放求（求（1 1）m m的運動為簡諧振動的運動為簡諧振動 （2 2）振動周期（）振動周期（3 3）振動方程）振動方程平衡位置處：平衡位置處：0 kbmg位移位移x x處：處：maTmg 1 IRTRT 21)(bxkT 2 Ra T2T2T1T1mg證明證明: : （1 1）取物體、彈簧和圓盤為研究對象，取物體、彈簧和圓盤為研究對象，分析它們受力分析它們受力注：研究簡諧運注：研究簡諧運動時動時, ,坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點建立在平衡位置建立在平衡位置第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 dd0222 xRImktx

12、dd0222 xtx 2RImk/ 令令2222RImkT/)( 第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動二）用能量方法研究系統(tǒng)的運動二）用能量方法研究系統(tǒng)的運動該系統(tǒng)的機械能守恒，則有該系統(tǒng)的機械能守恒，則有0212121222 mgxkxImv 兩邊求導(dǎo)兩邊求導(dǎo)0 dtdxkxdtdIdtdvmv T2T2T1T1mgmgbmgxbxkImv 222)(212121 第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動與上結(jié)果相同與上結(jié)果相同注：從能量守恒導(dǎo)出簡諧運動方程的思路，對研究非機械注：從能量守恒導(dǎo)出簡諧運動方程的思路，對研究非機械運動十分重要，因為

13、此時已不宜用受力分析的方法了！運動十分重要，因為此時已不宜用受力分析的方法了！022222 kxvdtxdvRIdtxdmv0)(222 kxmRIdtxd0)(222 xmRIkdtxd式中式中RvdtxdRdtdvdtdxdtxddtdv ,1,2222第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動)cos()( tAx3初始位置時彈簧無伸長，靜止釋放，求振動方程初始位置時彈簧無伸長，靜止釋放，求振動方程T=0時，時，x0=b, v0=022020 vxA kmgb cosAx 0 cosbb 1 cos )cos( tkmgx第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1

14、簡諧運動簡諧運動例例4 4、已知物體作簡諧運動的圖線，試根據(jù)圖、已知物體作簡諧運動的圖線，試根據(jù)圖線寫出其振動方程。線寫出其振動方程。 st mx04. 002. 0002. 004. 02解：解：設(shè)振動方程為設(shè)振動方程為 tAxcos由圖知由圖知mA04. 0 0,2, 000 vAxt32又由圖知又由圖知第四章第四章 機械振動機械振動4 1 4 1 簡諧運動簡諧運動 st mx04. 002. 0002. 004. 02 tAxcosmA04. 0 320,222 vAx22cos2 Axt時時， k232 351k2，取取 353222 2 322040 txcos.第四章第四章 機械振

15、動機械振動4 4 2 2 諧運動的能量諧運動的能量)(sin21212222ktAmmEv)(cos2121222ptkAkxE線性回復(fù)力是線性回復(fù)力是保守力保守力，作，作簡諧簡諧運動的系統(tǒng)運動的系統(tǒng)機械能守恒機械能守恒 以彈簧振子為例以彈簧振子為例)sin()cos(tAtAxv22pk21AkAEEEmk /2一、動能和勢能一、動能和勢能二、總能量二、總能量振幅不變振幅不變第四章第四章 機械振動機械振動4 4 2 2 諧運動的能量諧運動的能量簡諧運動能量圖簡諧運動能量圖txtv221kAE 0tAxcostAsinvv, xtoT4T2T43T能量能量oTttkAE22pcos21tAmE

16、222ksin21第四章第四章 機械振動機械振動4 4 2 2 諧運動的能量諧運動的能量能量守恒能量守恒簡諧運動方程簡諧運動方程推導(dǎo)推導(dǎo)常量222121kxmEv0)2121(dd22kxmtv0ddddtxkxtmvv0dd22xmktx第四章第四章 機械振動機械振動4 4 2 2 諧運動的能量諧運動的能量三、平均能量三、平均能量2411220總總EAmdtETETkk 241120總總EkAdtETETpp 四、二個特殊位置的能量四、二個特殊位置的能量時時21Ax .總總EAkkxE414212122 p總總總總EAkkAEEEk434212122 p2. 求求Ep=Ek的位置的位置22221212121)()(pAkkAEEEk 總總Ax22 第四章第四章 機械振動機械振動4 4 2 2 諧運動的能量諧運動的能量 例例 質(zhì)量為質(zhì)量為 的物體，以振幅的物體，以振幅 作簡諧運動，其最大加速度為作簡諧運動，其最大加速度為 ，求求：kg10. 0m100 . 122sm0 . 4（1）振