數(shù)學(xué)選修2-3 第二章隨機(jī)變量及其分布列232 離散型隨機(jī)變量的方差

1、2.3.2離散型隨機(jī)變量的方差離散型隨機(jī)變量的方差 1理解離散型隨機(jī)變量的方差以及標(biāo)準(zhǔn)差的意義，會(huì)根據(jù)分布列求方差和標(biāo)準(zhǔn)差2掌握方差的性質(zhì)，兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差的求解公式，會(huì)利用公式求它們的方差1離散型隨機(jī)變量的方差(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為：標(biāo)準(zhǔn)差(2)隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差反映了隨機(jī)變量取值偏離于均值的 ，方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則隨機(jī)變量偏離于均值的越小(3)D(aXb)2兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布的方差(1)若X服從兩點(diǎn)分布，則D(X)(2)若XB(n，p)，則D(X)平均程度平均程度a2D(X)p(1p)np(1p)思考你能類比樣本數(shù)據(jù)方差的計(jì)算公式，理解離散型隨機(jī)變量方差的計(jì)算公式嗎

2、？2隨機(jī)變量的方差與樣本方差的關(guān)系樣本的方差是隨著樣本的不同而變化的，因此它是一個(gè)變量，而隨機(jī)變量的方差是通過大量試驗(yàn)得出的，刻畫了隨機(jī)變量X與其均值E(X)的平均偏離程度，因此它是一個(gè)常數(shù)(量)而非變量，對(duì)于簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，隨著樣本容量的增加，樣本方差越來越接近于總體的方差3方差的單位是隨機(jī)變量單位的平方；標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位4數(shù)學(xué)期望與方差的關(guān)系(1)數(shù)學(xué)期望和方差是描述隨機(jī)變量的兩個(gè)重要特征數(shù)學(xué)期望是算術(shù)平均值概念的推廣，是概率意義下的平均值，而方差表現(xiàn)了隨機(jī)變量所取的值相對(duì)于數(shù)學(xué)期望的集中與離散的程度(2)E(X)是一個(gè)實(shí)數(shù)，即X作為隨機(jī)變量是可變的，而E(X)是不變的，它描

3、述X的取值的平均水平，D(X)表示隨機(jī)變量X對(duì)E(X)的平均偏離程度，D(X)越大表明平均偏離程度越大，說明X的取值越分散，反之，D(X)越小，X的取值越集中(3)D(X)與E(X)一樣也是一個(gè)實(shí)數(shù)，由X的分布列唯一確定(當(dāng)然方差是建立在數(shù)學(xué)期望這一概念上的).已知Y的分布列為：【分析】(1)利用D(Y)的定義求解；(2)注意到E(Y)是一個(gè)常數(shù)，故D(Z)D(2YE(Y)4D(Y)已知隨機(jī)變量X的分布列如表：甲、乙兩名射手在一次射擊中的得分為兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，已知甲、乙兩名射手在每次射擊中擊中的環(huán)數(shù)均大于6環(huán)，且甲射中10,9,8,7環(huán)的概率分別為0.5,3a，a,0.1，乙射中10,

4、9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2.(1)求，的分布列；(2)求，的均值與方差，并以此比較甲、乙的射擊技術(shù)【分析】利用分布列的概率和為1，求出a，然后分別列出，的分布列，結(jié)合分布列分別求出E()，E()，D()，D(n)【解】(1)依據(jù)題意，0.53aa0.11，解得a0.1.乙射中10,9,8環(huán)的概率分別為0.3,0.3,0.2，乙射中7環(huán)的概率為1(0.30.30.2)0.2.，的分布列分別為(2)結(jié)合(1)中，的分布列可得：E()100.590.380.170.19.2(環(huán))，E()100.390.380.270.28.7(環(huán))，D()(109.2)20.5(99.2)20.3(

5、89.2)20.1(79.2)20.10.96，D()(108.7)20.3(98.7)20.3(88.7)20.2(78.7)20.21.21.由于E()E()，說明甲平均射中的環(huán)數(shù)比乙高；又D()D()，說明甲射中的環(huán)數(shù)比乙集中，比較穩(wěn)定在實(shí)際問題中僅靠離散型隨機(jī)變量的均值還不能完善地說明隨機(jī)變量的分布特征，有時(shí)還要研究其偏離均值的平均程度即方差不能以為兩個(gè)隨機(jī)變量的均值相同了，就認(rèn)為兩者的優(yōu)劣性相同，還應(yīng)該比較兩者的方差甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所得次品數(shù)分別為、，且和的分布列如下：試對(duì)這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較(2012西南師大附中高二檢測(cè))在一個(gè)不透明

6、的紙袋里裝有5個(gè)大小相同的小球，其中有1個(gè)紅球和4個(gè)黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球?yàn)橹?，求摸球次?shù)的期望和方差【分析】 的分布列為：由定義知：E()0.2(12345)3，D()0.2(2212021222)2.求離散型隨機(jī)變量X的均值與方差的基本步驟：(1)理解X的意義，寫出X可能取的全部值；(2)求X取每個(gè)值的概率；(3)寫出X的分布列；(4)由均值的定義求E(X)；(5)由方差的定義求D(X)甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為0.6，被甲或乙解出的概率為0.92，(1)求該題被乙獨(dú)立解出的概率；(2)求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期

7、望和方差若隨機(jī)變量A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p(0p1)，用隨機(jī)變量表示A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)(1)求方差D()的最大值；【分析】利用基本不等式求最值解答數(shù)學(xué)期望與方差的最值問題的主要途徑有：利用基本不等式；利用二次函數(shù)的最值；利用函數(shù)的單調(diào)性設(shè)一次試驗(yàn)的成功率為p，進(jìn)行100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，求當(dāng)p為何值時(shí)，成功次數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的值最大？并求其最大值答案：C2如果X是離散型隨機(jī)變量，E(X)6，D(X)0.5，X12X5，那么E(X1)和D(X1)分別是()AE(X1)12，D(X1)1 BE(X1)7，D(X1)1CE(X1)12，D(X1)2 DE(X1)7，D(X1)2解析：因?yàn)镋(aXb

8、)aE(X)b，D(aXb)a2D(X)，由已知可得E(X1)7，D(X1)2.答案：D3已知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，即B(n，p)，且E()7，D()6，則p等于_4某校甲、乙兩個(gè)班級(jí)各有5名編號(hào)為1,2,3,4,5的學(xué)生進(jìn)行投籃練習(xí)，每人投10次，投中的次數(shù)如下表：則以上兩組數(shù)據(jù)的方差中較小的一個(gè)為s2_.5甲、乙兩個(gè)野生動(dòng)物保護(hù)區(qū)有相同的自然環(huán)境，且野生動(dòng)物的種類和數(shù)量也大致相等，而兩個(gè)保護(hù)區(qū)內(nèi)每個(gè)季度發(fā)現(xiàn)違反保護(hù)條例的事件次數(shù)的分布列分別為甲乙試評(píng)定這兩個(gè)保護(hù)區(qū)的管理水平解：甲保護(hù)區(qū)違規(guī)次數(shù)的均值和方差分別為E()00.310.320.230.21.3；D()(01.3)20.3(11.3)20.3(21.3)20.2(31.3)20.21.21.乙保護(hù)區(qū)的違規(guī)次數(shù)的均值和方差分別為E()00.110