（整理版）相關(guān)性和最小二乘估計(jì)易錯(cuò)點(diǎn)例析

1、相關(guān)性和最小二乘估計(jì)易錯(cuò)點(diǎn)例析根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，判定兩個(gè)變量且有線性相關(guān)關(guān)系，然后利用最小二乘法求出回歸直線方程，并利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和估計(jì)，這是一個(gè)完整的雙變量統(tǒng)計(jì)的過(guò)程。在這一統(tǒng)計(jì)分析過(guò)程中，有以下幾點(diǎn)易于出錯(cuò)，初學(xué)者要特別注意。一、把函數(shù)關(guān)系當(dāng)作相關(guān)關(guān)系例1、以下兩變量中具有相關(guān)關(guān)系的是a正方體的體積與邊長(zhǎng)；b勻速行駛的車輛的行駛距離與時(shí)間；c人的身高與體重；d人的身高與視力錯(cuò)解：選a或b。分析：函數(shù)關(guān)系的兩個(gè)變量之間是一種確定的關(guān)系，而相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量之間是一種不確定的關(guān)系，因此，不能把相關(guān)系等同于函數(shù)關(guān)系。本例中，a和b都是函數(shù)關(guān)系，d那么無(wú)相關(guān)關(guān)系。正解選c。例2、以下各

2、關(guān)系中，不屬于相關(guān)關(guān)系的是a名師出高徒b球的外表積與體積c家庭的支出與收入d人的年齡與體重錯(cuò)解：選a。分析：正解選b，球的外表積與體積之間是函數(shù)關(guān)系。二、把不相關(guān)或非線性相關(guān)當(dāng)作線性相關(guān)時(shí)的年降雨量？年平均氣溫年降雨量mn748542507813574701432錯(cuò)解：按照最小二乘法可求出這兩個(gè)變量之間的線性回歸方程，進(jìn)而計(jì)算出估計(jì)值；分析：以x軸為年平均氣溫，y軸為年降雨量，作出相應(yīng)的散點(diǎn)圖如下：可以發(fā)現(xiàn)圖中各點(diǎn)并不在一條直線的附近，所以兩者不具有相關(guān)關(guān)系，沒(méi)必要用回歸直線進(jìn)行擬合，用最小二乘法公式求得回歸直線也是沒(méi)有意義的。例4某機(jī)構(gòu)曾研究溫度對(duì)某種細(xì)菌的影響，在一定溫度下，經(jīng)x時(shí)間，細(xì)菌

3、的數(shù)量指數(shù)為y，數(shù)據(jù)如下：(1,2) (2,5) (3,10) (4,17) (5,26)(6,37) (7,50) (8,65) (9,82) (10,101)問(wèn)：關(guān)于這兩個(gè)變量的關(guān)系，你能得出什么結(jié)論？錯(cuò)解：判斷兩個(gè)變量是線性相關(guān)，按最小二乘法的步驟，求出線性回歸方程；分析：事實(shí)上我們觀察可以發(fā)現(xiàn)2121，5221，10321，,17421，,26521，因此，我們可以認(rèn)為x與y之間的關(guān)系是y=x2+1，并非是線性相關(guān)關(guān)系。防止這類錯(cuò)誤的方法很簡(jiǎn)單，那就是根據(jù)已經(jīng)數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，進(jìn)行曲線擬合，從而判斷兩個(gè)變量是線性相關(guān)還是非線性相關(guān)或不相關(guān)。 三、把估計(jì)值當(dāng)作實(shí)際值例5一位母親記錄了她兒子

4、3到9歲的身高，數(shù)據(jù)如下表：年齡(歲)3456789身高()10由此她用最小二乘法求出了身高y與年齡x的回歸直線方程，并預(yù)測(cè)兒子10歲時(shí)的身高，那么以下的表達(dá)正確的選項(xiàng)是( )（a） 兒子10歲時(shí)的身高一定是145.83（b） 兒子10歲時(shí)的身高在145.83以上（c） 她兒子10歲時(shí)的身高在145.83左右（d） 她兒子10歲時(shí)的身高在145.83以下錯(cuò)解：a分析：顯然，年齡與身高之間是一種相關(guān)關(guān)系，利用最小二乘法求出的回歸方程是對(duì)兩個(gè)變量的最正確線性擬合，我們可以利用回歸方程對(duì)數(shù)量變化做出預(yù)測(cè)，但這只是估計(jì)事物開(kāi)展的一個(gè)最可能出現(xiàn)的結(jié)果，并非一定出現(xiàn)。實(shí)際上，身高并非只由年齡一個(gè)因素決定，

5、兒子10歲時(shí)的身高比預(yù)測(cè)值有誤差也是正常的，正確答案為c。四、計(jì)算失誤例6回歸直線的回歸系數(shù)b的估計(jì)值是1.23，5，4，那么回歸直線的方程是( ) a=1.23x4 b=x+1.23 c=1.23x+0.08 d錯(cuò)解：b分析：回歸直線方程為bxa，其中b是回歸系數(shù)，而一次函數(shù)的習(xí)慣寫(xiě)法為yaxb，錯(cuò)解把它們混淆了。對(duì)回歸方程bxa有ab，即ba，因此回歸直線一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)，。正確答案為c。例7為分析初中升學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)對(duì)高一學(xué)生學(xué)習(xí)情況的影響，在高一年級(jí)學(xué)生中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，他們的入學(xué)成績(jī)與期末考試成績(jī)?nèi)缦卤恚簩W(xué)生編號(hào)12345678910入學(xué)成績(jī)63674588817152995876期末成績(jī)65785282928973985675（1） 假設(shè)變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線的方程；（2） 假設(shè)某學(xué)生的入學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，試估計(jì)他的期末成績(jī)錯(cuò)解： 1故所求線性回歸直線方程是2某學(xué)生入學(xué)成績(jī)?yōu)?0分，代入上式可求得。顯然這是不符合實(shí)際的。分析：錯(cuò)解求出a、b后，把回歸直線方程公式中bxa的a、b位置互換了；事實(shí)上，回歸方程應(yīng)為，把這個(gè)學(xué)生的入學(xué)成績(jī)80代入這個(gè)方程可出，即這個(gè)學(xué)生期末成績(jī)的預(yù)測(cè)分值約為84分。一般地，用最小二乘法求回歸