有理數(shù)及其運算期末復習

1、五星級專題系列 有理數(shù)及運算【本次課目標】1、在具體情境中，理解有理數(shù)及其運算的意義；2、能用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大小。3、借助數(shù)軸理解相反數(shù)與絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值。4、經歷探索有理數(shù)運算法則和運算律的過程；掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算；理解有理數(shù)的運算律，并能利用運算律簡化運算，及能運用有理數(shù)及其運算律解決簡單的實際問題?！局攸c】絕對值的概念和有理數(shù)的運算（包括法則、運算律、運算順序、混合運算）【難點】絕對值的概念及有關計算，有理數(shù)的大小比較【知識點精講】一、有理數(shù)的基礎知識1、三個重要的定義（1）正數(shù)：像1、2.5、這樣大于0的數(shù)叫做

2、正數(shù)；（2）負數(shù)：在正數(shù)前面加上“”號，表示比0小的數(shù)叫做負數(shù)；（3）0即不是正數(shù)也不是負數(shù)，0是一個具有特殊意義的數(shù)字，0是正數(shù)和負數(shù)的分界，不是表示不存在或無實際意義。概念剖析：判斷一個數(shù)是否是正數(shù)或負數(shù)，不能用數(shù)的前面加不加“+”“”去判斷，要嚴格按照“大于0的數(shù)叫做正數(shù)；0小的數(shù)叫做負數(shù)”去識別。正數(shù)和負數(shù)的應用：正數(shù)和負數(shù)通常表示具有相反意義的量。所有正整數(shù)組成正整數(shù)集合；所有負整數(shù)組成負整數(shù)集合；正整數(shù)、0、負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)，正整數(shù)、0、負整數(shù)組成整數(shù)集合；常常有溫差、時差、高度差(海拔差)等等差之說，其算法為高溫減低溫等等；例1 下列說法正確的是( ) A、一個數(shù)前面有“”號，這

3、個數(shù)就是負數(shù)； B、非負數(shù)就是正數(shù)； C、一個數(shù)前面沒有“”號，這個數(shù)就是正數(shù)； D、0既不是正數(shù)也不是負數(shù)；例2 把下列各數(shù)填在相應的大括號中 8，0.125，0， 正整數(shù)集合 整數(shù)集合 負整數(shù)集合 正分數(shù)集合 例3 如果向南走米記為是米，那么向北走米記為是 _, 0米的意義是_。例4 對某種盒裝牛奶進行質量檢測，一盒裝牛奶超出標準質量2克，記作+2克，那么克表示_知識窗口：正數(shù)和負數(shù)通常表示具有相反意義的量，一個記為正數(shù)，另一個就記為負數(shù)，我們習慣上把向東、向北、上升、盈利、運進、增加、收入、高于海平面等等規(guī)定為正，把相反意義的量規(guī)定為負。例5 若 ，則是 ；若，則是 ；若，則是 ；若，則

4、是 ；（填正數(shù)、負數(shù)或0）2、有理數(shù)的概念及分類整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)。有理數(shù)的分類如下：（1）按定義分類： （2）按性質符號分類： 概念剖析：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，也就是說如果一個數(shù)是有理數(shù)，則它就一定可以化成整數(shù)或分數(shù)； 正有理數(shù)和0又稱為非負有理數(shù)，負有理數(shù)和0又稱為非正有理數(shù)整數(shù)和分數(shù)都可以化成小數(shù)部分為0或小數(shù)部分不為0的小數(shù)，但并不是所有小數(shù)都是有理數(shù)，只有有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)；例6 若為無限不循環(huán)小數(shù)且，是的小數(shù)部分，則是（ ）A、無理數(shù) B、整數(shù) C、有理數(shù) D、不能確定例7 若為有理數(shù)，則不可能是（ ） A、整數(shù) B、整數(shù)和分數(shù) C、 D、3、數(shù)軸標有原點、正方向

5、和單位長度的直線叫作數(shù)軸。數(shù)軸有三要素：原點、正方向、單位長度。畫一條水平直線，在直線上取一點表示0（叫做原點），選取某一長度作為單位長度，規(guī)定直線上向右的方向為正方向，就得到數(shù)軸。在數(shù)軸上所表示的數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大，即從數(shù)軸的左邊到右邊所對應的數(shù)逐漸變大，所以正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于負數(shù)。概念剖析：畫數(shù)軸時數(shù)軸的三要素原點、正方向、單位長度缺一不可；數(shù)軸的方向不一定都是水平向右的，數(shù)軸的方向可以是任意的方向；數(shù)軸上的單位長度沒有明確的長度，但單位長度與單位長度要保持相等；有理數(shù)在數(shù)軸上都能找到點與之對應，一般地，設是一個正數(shù)，則數(shù)軸上表示數(shù)的點在原點的右邊，與原點的距離是

6、個單位長度；表示數(shù)的點在原點的左邊，與原點的距離是個單位長度。在數(shù)軸上求任意兩點a、b的距離L,則有公式，這兩個公式選擇那個都一樣。例8 在數(shù)軸上表示數(shù)3的點到表示數(shù)的點之間的距離是10，則數(shù) ；若在數(shù)軸上表示數(shù)3的點到表示數(shù)的點之間的距離是，則數(shù) 。例9 a,b兩數(shù)在數(shù)軸上的位置如圖，則下列正確的是（ ）0 A、 a+b0 B、 ab0 C、0 D、例10 下列數(shù)軸畫正確的是（ ）0122D2012C01B0A4、相反數(shù) 如果兩個數(shù)只有符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)。0的相反數(shù)是0，互為相反的兩個數(shù)，在數(shù)軸上位于原點的兩則，并且與原點的距離相等。概念剖析：“如果兩個數(shù)只有符號不

7、同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)”，不要茫然的認為“如果兩個數(shù)符號不同，那么其中一個數(shù)就叫另一個數(shù)的相反數(shù)”。 很顯然，數(shù)的相反數(shù)是，即與互為相反數(shù)。要把它與倒數(shù)區(qū)分開。 互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應的點一個在原點的左邊，一個在原點的右邊，且離原點的距離相等，也就是說它們關于原點對稱。在數(shù)軸上離某點的距離等于的點有兩個。如果數(shù)和數(shù)互為相反數(shù)，則+=0；或；求一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面加上“”即可；例如的相反數(shù)是；例11 下列說法正確的是（ ）A、若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則這兩個數(shù)一定是一個正數(shù)，一個負數(shù)；B、如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的商為-1；C、如果+=0，則數(shù)和數(shù)互為相反數(shù)

8、；D、互為相反數(shù)的兩個數(shù)一定不相等；例12 求出下列各數(shù)的相反數(shù) 例13 化簡下列各數(shù)的符號 知識窗口：一個數(shù)前面加上“”號，該數(shù)就成了它的相反數(shù)； 一個數(shù)前面的符號確定方法：奇數(shù)個負號相當于一個負號，偶數(shù)個負號相當于一個正號，而與正號的個數(shù)無關。5、絕對值 數(shù)軸上表示數(shù)的點與原點的距離叫做數(shù)的絕對值。（1）絕對值的幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點與原點的距離。（2）絕對值的代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；0的絕對值是0；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，可用字母a表示如下：（3）兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小。概念剖析：“一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示該數(shù)的點與原點的距離”，

9、而距離是非負，也就是說任何一個數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即。 互為相反數(shù)的兩個數(shù)離原點的距離相等，也就是說互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等。 例14 如果兩個數(shù)的絕對值相等，那么這兩個數(shù)是( ) A、互為相反數(shù) B、相等 C、積為0 D、互為相反數(shù)或相等例15 已知ab>0,試求的值。例16 若|x|=-x，則x是_數(shù)；例17 若+3+y2=0，則 = ；例18 將下列各數(shù)從大到小排列起來0、 、 、例19 如果兩個數(shù)和的絕對值相等，則下列說法正確的是（ ） A、 B、 C、 D、不能確定二、有理數(shù)的運算1、有理數(shù)的加法（1）有理數(shù)的加法法則：同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；絕對值不

10、等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；互為相反的兩個數(shù)相加得0；一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。例20 計算下列各式 （ 3）（ 4）+7 +（2）有理數(shù)加法的運算律：加法的交換律 ：a+b=b+a；加法的結合律：( a+b ) +c = a + (b +c)知識窗口：用加法的運算律進行簡便運算的基本思路是：先把互為相反數(shù)的數(shù)相加；把同分母的分數(shù)先相加；把符號相同的數(shù)先相加；把相加得整數(shù)的數(shù)先相加。例21 計算下列各式 2、有理數(shù)的減法（1）有理數(shù)減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。（2）有理數(shù)減法常見的錯誤：顧此失彼，沒有顧到結果的符號；仍用小學計算的

11、習慣，不把減法變加法；只改變運算符號，不改變減數(shù)的符號，沒有把減數(shù)變成相反數(shù)。（3）有理數(shù)加減混合運算步驟：先把減法變成加法，再按有理數(shù)加法法則進行運算；概念剖析：減法是加法的逆運算，用法則“減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)”即可轉化。 轉化后它滿足加法法則和運算律。例22 計算：例23 月球表面的溫度中午是，半夜是，中午比半夜高多少度？例24 已知是6的相反數(shù)，比的相反數(shù)小5，求比大多少？3、有理數(shù)的乘法（1）有理數(shù)乘法的法則：兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；任何數(shù)與0相乘都得0。（2）有理數(shù)乘法的運算律：交換律：ab=ba；結合律：(ab)c=a(bc)；交換律：a(b

12、+c)=ab+ac。（3）倒數(shù)的定義：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)，即ab=1，那么a和b互為倒數(shù)；倒數(shù)也可以看成是把分子分母的位置顛倒過來。概念剖析：“兩個有理數(shù)相乘，同號得正，異號得負”不要誤認為成“同號得正，異號得負” 多個有理數(shù)相乘時，積的符號確定規(guī)律：多個有理數(shù)相乘，若有一個因數(shù)為0，則積為0；幾個都不為0的因數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)來決定，當負因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)時，積為負；當負因數(shù)的個數(shù)為偶數(shù)時，積為正。 有理數(shù)乘法的計算步驟：先確定積的符號，再求各因數(shù)絕對值的積。例25 計算下列各式： 4、有理數(shù)的除法有理數(shù)的除法法則：除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)，0不能做除數(shù)。這個法則

13、可以把除法轉化為乘法；除法法則也可以看成是：兩個數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除，0除以任何一個不等于0的數(shù)都等于0。概念剖析：除法是乘法的逆運算，用法則“除以一個數(shù)，等于乘上這個數(shù)的倒數(shù)”即可轉化，轉化后它滿足乘法法則和運算律。 倒數(shù)的求法：求一個整數(shù)的倒數(shù)，直接可寫成這個數(shù)分之一，即的倒數(shù)為；求一個真分數(shù)和假分數(shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母顛倒一下即可，即的倒數(shù)為；求一個帶分數(shù)的倒數(shù)，應先將帶分數(shù)化為假分數(shù)，再求其倒數(shù)；求一個小數(shù)的倒數(shù)，應先將小數(shù)化為分數(shù)，再求其倒數(shù)。注意：0沒有倒數(shù)。例25 倒數(shù)是其本身的數(shù)有_；例26 計算下列各式： 5、有理數(shù)的乘方（1）有理數(shù)的乘方的定義：求

14、幾個相同因數(shù)a的運算叫做乘方，乘方是一種運算，是幾個相同的因數(shù)的特殊乘法運算，記做“”其中a叫做底數(shù)，表示相同的因數(shù)，n叫做指數(shù)，表示相同因數(shù)的個數(shù)，它所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以a，乘方的結果叫做冪。（2）正數(shù)的任何次方都是正數(shù)，負數(shù)的偶數(shù)次方是正數(shù)，負數(shù)的奇數(shù)次方是負數(shù)，0的任何非0次冪都是0，1的任何非0次冪都是1，偶數(shù)次冪是1、奇數(shù)次冪是；概念剖析：“” 所表示的意義是n個a相乘，不是n乘以a；。因為表示個相乘，而表示個的相反數(shù)；任何數(shù)的偶次冪都得非負數(shù)，即。例27 的意義是_；的意義是_；的意義是_；例28 當，時，則_；例29 計算：例30 若互為相反數(shù)，是自然數(shù)，則（ ）

15、A、和互為相反數(shù) B、和互為相反數(shù)C、和互為相反數(shù) D、和互為相反數(shù)知識窗口：所有的奇數(shù)可以表示為或；所有的偶數(shù)可以表示為。6、有理數(shù)的混合運算（1）進行有理數(shù)混合運算的關建是熟練掌握加、減、乘、除、乘方的運算法則、運算律及運算順序。比較復雜的混合運算，一般可先根據題中的加減運算，把算式分成幾段，計算時，先從每段的乘方開始，按順序運算，有括號先算括號里的，同時要注意靈活運用運算律簡化運算。（2）進行有理數(shù)的混合運算時，應注意：一是要注意運算順序，先算高一級的運算，再算低一級的運算；二是要注意觀察，靈活運用運算律進行簡便運算，以提高運算速度及運算能力。知識窗口：有理數(shù)混合運算的關鍵時把握好運算順

16、序，即先乘方、再乘除、最后加減；有括號的先算括號；若是同級運算，應按照從左到右的順序進行。例31 計算下列各式 例31 已知的絕對值為3、且滿足的一元一次方程，則的值為多少？7、科學記數(shù)法（1）把一個大于10的數(shù)記成的形式，其中是整數(shù)位只有一位的數(shù)，這種記數(shù)方法叫做科學記數(shù)法。（2）與實際完全符合的數(shù)叫做準確數(shù)，與準確數(shù)接近的數(shù)叫做近似數(shù)。一般地，一個近似數(shù)，四舍五入到哪一位，就說這個近似數(shù)精確到哪一位。（3）一個數(shù)，從左邊第一個不是的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止（最末尾一位），所得的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。概念剖析：I 把一個數(shù)用科學記數(shù)法表示為，其中，為自然數(shù)，當時， 為這個數(shù)的整數(shù)位數(shù)減

17、1；例如：用科學記數(shù)法表示得，它滿足 ， （的整數(shù)部分有6位數(shù)）；當時，為0；例如：用科學記數(shù)法表示得；當時，為由變到的過程中小數(shù)點移動位數(shù)的相反數(shù)；科學記數(shù)法既然是將很大的數(shù)或很小的數(shù)一種簡單的記數(shù)方法，那么就在記數(shù)的過程中不能出現(xiàn)幾百、幾千、幾萬或幾百分之一、幾千分之一、幾萬分之一等等詞出現(xiàn)。II 在讓數(shù)字精確和數(shù)有效數(shù)字時應注意：在四舍五入法精確小數(shù)時不可輕視，即如果要求將一個小數(shù)精確到千分位，而四舍五入所得到的結果千分位為0時，該0不能省略。如：將精確到千分位，應為，不應為。其他分位也應注意。在數(shù)一個數(shù)的有效數(shù)字時應該嚴格按照“從左邊第一個不是0的數(shù)字起，到精確到的數(shù)位止（最末尾一位）

18、，所得的數(shù)字”； 科學記數(shù)法的形式中，效數(shù)字只與有關，而與無關。例32 用科學記數(shù)法表示下列各數(shù) 1893400000 800032000 0.000003578012 120萬人民幣；例33 3.256有_位效數(shù)字，它們分別是_；0.032560有_位效數(shù)字，它們分別是_；有_位效數(shù)字，它們分別是_；有_位效數(shù)字，它們分別是_；例34 用四舍五入法完成下列各題 _（精確到千分位），所得結果有_位效數(shù)字，它們分別是_； _（精確到萬分位），所得結果有_位效數(shù)字，它們分別是_；_（精確到個位）所得結果有_位效數(shù)字，它們分別是_；練習：一、選擇題：1、下列說法正確的是（ ）A、非負有理數(shù)即是正有理

19、數(shù) B、0表示不存在，無實際意義C、正整數(shù)和負整數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù) D、整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)2、下列說法正確的是（ ）A、互為相反數(shù)的兩個數(shù)一定不相等 B、互為倒數(shù)的兩個數(shù)一定不相等C、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等 D、互為倒數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等3、絕對值最小的數(shù)是（ ）A、1 B、0 C、 1 D、不存在4、計算所得的結果是（ ）A、0 B、32 C、 D、165、有理數(shù)中倒數(shù)等于它本身的數(shù)一定是（ ）A、1 B、0 C、1 D、±16、（ 3）（ 4）+7的計算結果是（ ）A、0 B、8 C、 14 D、 87、（ 2）的相反數(shù)的倒數(shù)是（ ）A、 B、 C、2 D、 28、化簡：，則是（ ）A、