Matlab線性代數(shù)入門

1、線性代數(shù)線性代數(shù)MatlabMatlab入門入門作者作者 劉進生劉進生 太原理工大學太原理工大學 數(shù)學系數(shù)學系 歡迎進入MATLAB世界TEL:60147692021-12-20MATLABMATLAB的發(fā)展史的發(fā)展史 MATLAB的產(chǎn)生是與數(shù)學計算緊密聯(lián)系在一起的產(chǎn)生是與數(shù)學計算緊密聯(lián)系在一起的。的。70年代中期年代中期,美國的穆勒教授及其同事在美國國美國的穆勒教授及其同事在美國國家基金會的資助下家基金會的資助下,開發(fā)了線性代數(shù)的開發(fā)了線性代數(shù)的Fortran子程子程序庫。不久序庫。不久,他在給學生開線性代數(shù)課時他在給學生開線性代數(shù)課時,為了讓學為了讓學生能使用子程序庫又不至于在編程上花費過

2、多的時生能使用子程序庫又不至于在編程上花費過多的時間間,便為學生編寫了使用子程序的接口程序。他將這便為學生編寫了使用子程序的接口程序。他將這個接口程序取名為個接口程序取名為MATLAB,意為意為“矩陣實驗室矩陣實驗室”。2021-12-20MATLABMATLAB的發(fā)展史的發(fā)展史l80年代初他們又采用年代初他們又采用c語言編寫了語言編寫了MATLAB的核的核心心,成立了成立了MsthWorks公司并將公司并將MATLAB正式推正式推向市場。自向市場。自1984年出版以來經(jīng)過不斷的研究年出版以來經(jīng)過不斷的研究,增增加了許多功能。加了許多功能。lMATLAB由主包和功能各異的工具箱組成由主包和功能

3、各異的工具箱組成,其基其基本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是矩陣本數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)是矩陣.l目前目前MATLAB巳成為國際公認的最優(yōu)秀的數(shù)學巳成為國際公認的最優(yōu)秀的數(shù)學應用軟件之一。應用軟件之一。2021-12-20MATLABMATLAB的主要功能和特性的主要功能和特性l主要功能主要功能:l1.數(shù)值計算功能數(shù)值計算功能l2.符號計算功能符號計算功能l3.數(shù)據(jù)分析和可視數(shù)據(jù)分析和可視 化化功能功能 l4.文字處理功能文字處理功能l5.SIMULINK動態(tài)仿動態(tài)仿真功能真功能l主要特點主要特點:l1. 1.功能強大功能強大 MATLAB含有含有30多個應多個應用于不同領(lǐng)域的工具箱用于不同領(lǐng)域的工具箱.l2. 2.界面友好界面

4、友好 MATLAB其指令表達方其指令表達方式與習慣上的數(shù)學表達式與習慣上的數(shù)學表達式非常接近式非常接近,編程效率高編程效率高.l3. 3.擴展性強擴展性強 用戶可自由地開發(fā)自己用戶可自由地開發(fā)自己的應用程序的應用程序2021-12-20MATLABMATLAB入門入門l1.如何進入如何進入 matlab軟件軟件:在桌面直接雙擊在桌面直接雙擊matlab圖標，即可進入軟件圖標，即可進入軟件Matlab界面界面2021-12-20MATLABMATLAB主界面主界面2021-12-20工作空間計算舉例工作空間計算舉例: :輸入命令輸入命令: l A=1 5 2;3 6 4;6 8 9la1=Ala

5、2=det(A)la3=inv(A) 的轉(zhuǎn)置、行列式與逆。的轉(zhuǎn)置、行列式與逆。，求，求已知已知例例AA 9864632511Matlab界面界面2021-12-20工作空間計算舉例工作空間計算舉例:輸入命令輸入命令: A=1 1 -1;2 4 5;1 -3 -4b=12;6;10X=Ab 1043654212 2.zyxzyxzyx求求解解方方程程組組例例輸出方程組的解：輸出方程組的解： X=5.4545 3.0909 -3.4545 Matlab界面界面2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之向量的創(chuàng)建向量的創(chuàng)建一、向量的創(chuàng)建：一、向量的創(chuàng)建：1.行向量：行向量： x= 1, 2,

6、3, 4, 5 或或: x=1 2 3 4 52.列向量列向量: x=1; 2; 3; 4 或或: x=1 2 3 42021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之向量的創(chuàng)建向量的創(chuàng)建MATLAB(shuzu1)逗號逗號或或空格空格作用：分隔某一行的元素。作用：分隔某一行的元素。分號分號作用：區(qū)分不同的行。作用：區(qū)分不同的行。Enter作用：輸入列向量時，按作用：輸入列向量時，按Enter鍵開始一新行鍵開始一新行2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之向量運算向量運算二、向量的運算命令二、向量的運算命令：1.向量向量a與與b的加法：的加法：a + b2.向量向量a與與b的減法：的減法

7、：a b3.數(shù)數(shù)k乘以向量乘以向量a： k * a 4.向量向量a的轉(zhuǎn)置：的轉(zhuǎn)置： a5.向量向量a與與b的數(shù)量積：的數(shù)量積：dot (a,b)或或 a * b 6.向量向量a的模：的模：norm(a)2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之向量運算向量運算 例：例：已知已知 a = 3,-1,-2 , b = 1,2,-1 ，c=3,求求1.a+b , ca, (-2a) + 3b 2.dot (a,b ), a*b , norm(a) 命令集：命令集： a=3 1 2 ; b=1 2 1; c=3; a1=a+b a2=c*a a3=(-2*a) + 3*b b1=dot(a,b)

8、 b2=a*b b3=norm(a) MATLAB(shuzu2)2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣創(chuàng)建矩陣創(chuàng)建例例:A=1 2 3;4 5 6;7 8 9例例:B = 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 5 4 3 2 1 一一. 矩陣的創(chuàng)建矩陣的創(chuàng)建逗號逗號或或空格空格作用：分隔某一行的元素。作用：分隔某一行的元素。分號分號作用：區(qū)分不同的行。作用：區(qū)分不同的行。Enter作用：輸入矩陣時，按作用：輸入矩陣時，按Enter鍵開始一新行鍵開始一新行MATLAB(matrix1)2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算lA*k 數(shù)乘矩陣數(shù)乘矩陣lA

9、+B 矩陣加法矩陣加法lA*B 矩陣乘法矩陣乘法lAn A的的n次冪次冪lAB 等價于等價于 inv(A) * BlB/A 等價于等價于 B * inv(A)lA A的轉(zhuǎn)置的轉(zhuǎn)置lrank(A) 矩陣的秩矩陣的秩l二二. 矩陣的運算命令矩陣的運算命令2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算ldet(A) A的行列式的行列式lcompan(A)A的伴隨矩陣的伴隨矩陣linv(A) 或或A-1 A矩陣求逆矩陣求逆lB,jb=rref(A) 階梯狀行的最簡式階梯狀行的最簡式,jb表示基向量所在表示基向量所在的列，的列，A(:,jb)表示表示A列向量的基（最大無關(guān)組）列向量的基

10、（最大無關(guān)組）lrrefmovie(A) 給出每一部化簡過程給出每一部化簡過程lD,X=eig(A)A的特征值與特征向量的特征值與特征向量lnorm(A)矩陣的范數(shù)矩陣的范數(shù)lorth(A) 矩陣的正交化矩陣的正交化lpoly(A) 特征多頂式特征多頂式2021-12-20輸入命令輸入命令: la=1 0 -2;-1 3 2lb=-2 1 0;2 -3 6lc=a-bld=3*a+b。求求，例已知例已知BABABA 3,632012231201線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-1-1)2021-12-20輸入命令輸入命令: la=2 1 4 0;1 -1

11、 3 4lb=1 3 1;0 -1 2 ;1 -3 1;4 0 -2lc=a*b。求求，例已知例已知ABBA,20413121013143110412 線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-1-21)2021-12-20輸入命令輸入命令: la=2 -1 3;4 0 1lb=0 5 2;1 -3 4lc=a+bld=a*b線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-1-8)。求求，例已知例已知TTTABBABA,431250104312 2021-12-20輸入命令輸入命令: la=1 2 0;3 -1 4;1 -2 1lb=a

12、2+a-eye(3)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-1-51)。求求，例已知例已知)(, 1)(1214130212AfxxxfA 2021-12-20輸入命令輸入命令: la=1 1 1;1 1 -1;1 -1 1lb=1 -1 0;2 -2 5;3 4 1lc=det(a*b)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-1-7)。求求，例已知例已知|,150421321111111111ABBA 2021-12-20輸入命令輸入命令: la=1 3 1;2 -1 1;4 -3 2lb=1 0 2;2 1 -1;-1 2

13、 4lformat rat %有理格式lc=a-1ld=inv(b)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-2-1)。求求，例已知例已知11,421112201234112131 BABA2021-12-20輸入命令輸入命令: la=1 1 -1;-2 1 1;1 1 1lb=2;3;6lx=a-1*b線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-2-21)。求求例已知例已知XX,632111112111 2021-12-20輸入命令輸入命令: la=2 1 -1;-2 1 0;1 -1 0lb=1 -1 3;4 3 2lx=b*a

14、-1線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-2-22)。求求例已知例已知XX,234311011012112 2021-12-20輸入命令輸入命令: la=4 2 3;1 1 0;-1 2 3lx=(a-2*eye(3)-1*a線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-2-3)。求求并且并且例已知例已知XXAAXA,2,321011324 2021-12-20輸入命令輸入命令: la1=4 2;-1 1la2=1 2;-3 2lA=a1 eye(2);zeros(2) a2lb1=2 -3;0 5lb2=-2 1;1 2lB=e

15、ye(2) b1;zeros(2) b2lC=A+BlD=A*B線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-3-1)。求求例已知例已知ABBABA,2100120050103201,3300210010110124 2021-12-20輸入命令輸入命令: la1=6;la2=5 1;3 1;lA=a1 zeros(1, 2);zeros(2, 1) a2lb1=3 1;1 2;lb2=-1 2;2 -3;lB=b1 zeros(2) ;zeros(2) b2lC=inv(A)lD=inv(B)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3

16、-3-2)。求求例已知例已知11,3200210000210013,130150006 BABA2021-12-20輸入命令輸入命令: la1=3 4;4 -3;la2=2 0;2 2;lA=a1 zeros(2) ;zeros(2) a2lC=A8lD=det(A)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算。求求例例已已知知|,22000200003400438AA MATLAB(matrix3-3-4)2021-12-20輸入命令輸入命令: lA=1 0 0 1;1 2 0 -1;3 -1 0 4;1 4 5 1lB=3 2 -1 -3 -2;2 -1 3 1 -3;7 0 5 -1 -

17、8lC=1 1 1 0 5;2 1 -1 1 1;1 2 -1 1 2;0 1 2 3 3la=rank(A)lb=rank(B)lc=rank(C)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算MATLAB(matrix3-4-1)。例例求求矩矩陣陣的的秩秩，其其中中 33210211211111250111,815073131223123,1541401310211001CBA2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算sym 符號變量，矩陣或向量定義函數(shù)符號變量，矩陣或向量定義函數(shù)三三. 符號矩陣及運算命令符號矩陣及運算命令sym a 將將a定義為符號變量定義為符號變量

18、sym (a b) 將將a ,b定義為符號向量定義為符號向量sym(a b;1 2) 將將a ,b,1,2定義為符號矩陣定義為符號矩陣sym (A) 將將A定義為符號矩陣定義為符號矩陣將矩陣的方括號置于創(chuàng)建符號表達式的單引號將矩陣的方括號置于創(chuàng)建符號表達式的單引號中，元素可以是數(shù)字，符號或表達式中，元素可以是數(shù)字，符號或表達式syms 符號變量符號變量syms a b 將將a,b定義為符號變量定義為符號變量2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算符號變量、符號向量、符號矩陣的運算與數(shù)值變符號變量、符號向量、符號矩陣的運算與數(shù)值變量、數(shù)值向量、數(shù)值矩陣的運算完全相同量、數(shù)

19、值向量、數(shù)值矩陣的運算完全相同符號矩陣運算命令符號矩陣運算命令的全部根。的全部根。，求，求例設例設0)(8141121)(2 xfxxxfl輸入命令輸入命令: lA=sym(1 2 1;1 4 x;1 8 x2)lD=det(A)lF=factor(D)MATLAB(Determinant 1-1-2)2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之矩陣運算矩陣運算。例例計計算算行行列列式式333322221111dcbadcbadcbal輸入命令輸入命令: lsyms a b c dlA=1 1 1 1;a b c dl a2 b2 c2 d2;a3 b3 c3 d3lD=det(A)lF=

20、simple(D)MATLAB(Determinant)2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之線性相關(guān)性線性相關(guān)性lrank(A) 矩陣的秩lB,jb=rref(A) 階梯狀行的最簡式,jb表示基向量所在的列，A(:,jb)表示A列向量的基（最大無關(guān)組）lrrefmovie(A) 階梯狀給出每一部化簡過程運算命令運算命令），（），（），（求求它它的的最最大大無無關(guān)關(guān)組組例例求求向向量量組組的的秩秩，并并1, 4, 215 ,7301 , 421321 輸入命令輸入命令: a1=1 -2 4 1;a2=0 3 -7 5;a3=-1 2 -4 -1;A=a1 a2 a3rrefmovie

21、(A)Matlab界面界面2021-12-20輸入命令輸入命令: la1=1 2 -1;a2=2 -3 1;a3=4 1 -1;lA=a1 a2 a3lb1=1 1 1 2;b2=3 1 2 5;b3=2 0 1 3;b4=1 -1 0 1;lB=b1 b2 b3 b4lc1=1 2 1 3;c2=4 -1 -5 -6;c3=1 -3 -4 -7;c4=2 1 -1 0;lC=c1 c2 c3 c4la,ja=rref(A);a=A(:,ja)lb,jb=rref(B);b=B(:,jb)lc,jc=rref(C);c=C(:,jc)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之線性相關(guān)性線性相關(guān)性MATLAB

22、(matrix3-4-2)），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（），（）關(guān)關(guān)組組相相關(guān)關(guān)性性并并求求它它的的最最大大無無例例討討論論向向量量組組的的線線性性0112743165-1431213101-1310252132111211413-2121143214321321 2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之解方程組解方程組一一. 求方程組的唯一解或特解求方程組的唯一解或特解l輸入命令輸入命令: lA=1 2 3 -2;2 -1 -2 -3;3 2 -1 2;2 -3 3 1l b=6;8;4;-8lformat rat %有理格式lX=Ab 83324212

23、3832262324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求求解解線線性性方方程程組組例例MATLAB(Determinant1-3-8)1. 求解求解Ax=b ：當：當det(A)0時，可用時，可用 x=Ab2021-12-20l輸入命令輸入命令: lA=1 2 3 -2;2 -1 -2 -3;3 2 -1 2;2 -3 3 1l b=6;8;4;-8lformat rat %有理格式lB=rref(A b)lX=B(:,5) 833242123832262324321432143214321xxxxxxxxxxxxxxxx求求解解線線性性方方程程組組例例MATLAB

24、(Determinant1-3-8a)2. 求解求解Ax=b：當：當det(A)0時時, 也可用也可用rref線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之解方程組解方程組2021-12-20l輸入命令輸入命令: lA=2 -3 1 5;-3 1 2 -4;-1 -2 3 1l b=6;5;11lformat rat %有理格式lX1=AblB=rref(A b)lX2=B(:,5)的的一一個個特特解解求求線線性性方方程程組組例例 113254236532432143214321xxxxxxxxxxxxMATLAB(equations 4-3-31a)3. 求求Ax=b的一個特解：當?shù)囊粋€特解：當A不滿秩時不滿

25、秩時, 也可用也可用Ab或或rref線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之解方程組解方程組注注 當當A不滿秩時不滿秩時,用用Ab可能有誤差，用可能有誤差，用rref較好較好2021-12-20l輸入命令輸入命令: lA=1 1 2 -1;2 1 1 -1;2 2 1 2lformat rat %有理格式lB=null(A,r)lsyms klX=k*B的的通通解解求求線線性性方方程程組組例例 02220202432143214321xxxxxxxxxxxxMATLAB(equations 4-2-21a)1. 求求Ax=0 的通解的通解, 可用可用null或或rref線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之解方程組

26、解方程組注注 null給出方程組解空間的一組基給出方程組解空間的一組基二二. 求方程組的通解或基礎(chǔ)解系求方程組的通解或基礎(chǔ)解系2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之解方程組解方程組l輸入命令輸入命令: lA=1 1 0 -3 -1;1 -1 2 -1 0;4 -2 6 3 -4;3 3 0 3 -7lformat ratlB=null(A,r)lsyms k1 k2lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)lC=rref(A)的的通通解解求求線線性性方方程程組組例例 07333043624020354215432143215421xxxxxxxxxxxxxxxxxMATLAB(eq

27、uations 4-2-23)2021-12-20MATLAB(equations 4-3-31)2. 求求Ax=b 的通解的通解, 可用可用rref或或null以及以及Ab線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之解方程組解方程組 113254236532432143214321xxxxxxxxxxxx求求解解線線性性方方程程組組例例l輸入命令輸入命令: lA=2 -3 1 5;-3 1 2 -4;-1 -2 3 1l b=6;5;11lX0=AblB=null(A)lsyms k1 k2lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+X02021-12-20MATLAB(equations 4-3-32)

28、線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之解方程組解方程組 4289932322432143214321xxxxxxxxxxxx求求解解線線性性方方程程組組例例l輸入命令輸入命令: lA=1 1 2 -2;2 3 9 -9;2 1 -1 1l b=3;8;4lformat ratlX0=AblB=null(A)lsyms k1 k2lX=k1*B(:,1)+k2*B(:,2)+X02021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之內(nèi)積與正交內(nèi)積與正交求向量的內(nèi)積與矩陣的正交化的命令求向量的內(nèi)積與矩陣的正交化的命令l向量向量a與與b的數(shù)量積：的數(shù)量積：dot (a,b)或或 a * b l向量向量a的模的模：n

29、orm(a)l矩陣矩陣A的正交規(guī)范化：的正交規(guī)范化：B=orth(A) B的列向量與的列向量與A的列向量具有相同的空間，的列向量具有相同的空間，B且正交且正交），（），（），（），（），（），（），（）準準正正交交化化例例求求下下列列向向量量組組的的標標6002113113131111212615121214321321 2021-12-20輸入命令輸入命令: a1=2 -1 -2;a2=-1 5 1;a3=6 2 -1;a1=a1/norm(a1)a2=a2-(a1*a2) *a1;a2=a2/norm(a2)a3=a3-(a1*a3)*a1-(a2*a3)*a2;a3=a3/norm(a3

30、)b1=1 1 1 1;b2=3 -1 3 -1;b3=1 3 -1 1;b4=-2 0 0 6;b1=b1/norm(b1)b2=b2-(b1*b2)*b1;b2=b2/norm(b2)b3=b3-(b1*b3)*b1-(b2*b3)*b2;b3=b3/norm(b3)b4=b4-(b1*b4)*b1-(b2*b4)*b2- (b3*b4)*b3;b4=b4/norm(b4)線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之內(nèi)積與正交內(nèi)積與正交MATLAB(innerporduct5-1-3)2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之內(nèi)積與正交內(nèi)積與正交輸入命令輸入命令: lA=4 0 0;0 3 1;0 1 3lB=orth(A)lD=B*BMATLAB(orthogonal)正正交交規(guī)規(guī)范范化化。例例將將矩矩陣陣 310130004A2021-12-20線性代數(shù)實驗線性代數(shù)實驗之之特征值與特征向量特征值與特征向量求矩陣特征值與特征向量的命令求矩陣特征值與特征向量的命令lV=eig(A) A的特征向量的特征向量l V,D=eig(A) A的特征值與特征向量的特征值與特征向量