（整理版）　離散型隨機(jī)變量的均值與方差2

1、68離散型隨機(jī)變量的均值與方差導(dǎo)學(xué)目標(biāo)： 1.理解取有限個值的離散型隨機(jī)變量均值、方差的概念.2.能計算簡單離散型隨機(jī)變量的均值、方差，并能解決一些實(shí)際問題自主梳理1離散型隨機(jī)變量的均值與方差假設(shè)離散型隨機(jī)變量x的分布列為xx1x2xixnpp1p2pipn(1)均值稱e(x)_為隨機(jī)變量x的均值或_，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的_(2)方差稱d(x)_為隨機(jī)變量x的方差，它刻畫了隨機(jī)變量x與其均值e(x)的_，其_為隨機(jī)變量x的標(biāo)準(zhǔn)差2均值與方差的性質(zhì)(1)e(axb)_.(2)d(axb)_.(a，b為實(shí)數(shù))3兩點(diǎn)分布與二項分布的均值、方差(1)假設(shè)x服從兩點(diǎn)分布，那么e(x)_，d(x)

2、_.(2)假設(shè)xb(n，p)，那么e(x)_，d(x)_.自我檢測1假設(shè)隨機(jī)變量x的分布列如下表，那么e(x)等于()x012345p2x3x7x2x3xxa. b. c. d.2(·菏澤調(diào)研)隨機(jī)變量x服從二項分布，且e(x)2.4，d(x)1.44，那么二項分布的參數(shù)n，p的值為()an4，p0.6 bn6，pcn8，p0.3 dn24，p3(·全國)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為x，那么x的數(shù)學(xué)期望為()a100 b200 c300 d4004(·浙江)某畢業(yè)生參加人才招聘會，

3、分別向甲、乙、丙三個公司投遞了個人簡歷假定該畢業(yè)生得到甲公司面試的概率為，得到乙、丙兩公司面試的概率均為p，且三個公司是否讓其面試是相互獨(dú)立的，記x為該畢業(yè)生得到面試的公司個數(shù)假設(shè)p(x0)，那么隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望e(x)_.5(·杭州月考)隨機(jī)變量的分布列如下：101pabc其中a，b，c成等差數(shù)列假設(shè)e()，那么d()_.探究點(diǎn)一離散型隨機(jī)變量的期望與方差例1袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，表示所取球的標(biāo)號(1)求的分布列、期望和方差；(2)假設(shè)ab，e()1，d()11，試求a，b的值變式遷移1編號1,2

4、,3的三位學(xué)生隨意入座編號為1,2,3的三個座位，每位學(xué)生坐一個座位，設(shè)與座位編號相同的學(xué)生的個數(shù)是x.(1)求隨機(jī)變量x的分布列；(2)求隨機(jī)變量x的數(shù)學(xué)期望和方差探究點(diǎn)二二項分布的期望與方差例2(·黃山模擬)a、b是治療同一種疾病的兩種藥，用假設(shè)干試驗組進(jìn)行比照試驗每個試驗組由4只小白鼠組成，其中2只服用a，另2只服用b，然后觀察療效假設(shè)在一個試驗組中，服用a有效的小白鼠的只數(shù)比服用b有效的多，就稱該試驗組為甲類組設(shè)每只小白鼠服用a有效的概率為，服用b有效的概率為. (1)求一個試驗組為甲類組的概率；(2)觀察3個試驗組，用表示這3個試驗組中甲類組的個數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望變式

5、遷移2某學(xué)生在上學(xué)路上要經(jīng)過4個路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是，遇到紅燈時停留的時間都是2 min.(1)求這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈的概率；(2)求這名學(xué)生在上學(xué)路上因遇到紅燈停留的總時間的分布列及期望探究點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量期望與方差的應(yīng)用例3購置某種保險，每個投保人每年度向保險公司交納保費(fèi)a元，假設(shè)投保人在購置保險的一年度內(nèi)出險，那么可以獲得10 000元的賠償金假定在一年度內(nèi)有10 000人購置了這種保險，且各投保人是否出險相互獨(dú)立保險公司在一年度內(nèi)至少支付賠償金10 000元的概率為1.(1)求一投保人在一年度內(nèi)出險的概率p；(2)設(shè)保

6、險公司開辦該項險種業(yè)務(wù)除賠償金外的本錢為50 000元，為保證盈利的期望不小于0，求每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)(：元)變式遷移3因冰雪災(zāi)害，某柑桔基地果林嚴(yán)重受損，為此有關(guān)專家提出兩種拯救果樹的方案，每種方案都需分兩年實(shí)施假設(shè)實(shí)施方案一，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量恢復(fù)到災(zāi)前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分別是0.3、0.3、0.4；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.25倍、1.0倍的概率分別是0.5、0.5.假設(shè)實(shí)施方案二，預(yù)計第一年可以使柑桔產(chǎn)量到達(dá)災(zāi)前的1.2倍、1.0倍、0.8倍的概率分別是0.2、0.3、0.5；第二年可以使柑桔產(chǎn)量為第一年產(chǎn)量的1.2倍、1.0倍的概率分別是0

7、.4、0.6.實(shí)施每種方案第一年與第二年相互獨(dú)立，令i(i1,2)表示方案i實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量到達(dá)災(zāi)前產(chǎn)量的倍數(shù)(1)寫出1、2的分布列；(2)實(shí)施哪種方案，兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大？(3)不管哪種方案，如果實(shí)施兩年后柑桔產(chǎn)量達(dá)不到、恰好到達(dá)、超過災(zāi)前產(chǎn)量，預(yù)計利潤分別為10萬元、15萬元、20萬元問實(shí)施哪種方案的平均利潤更大？1假設(shè)ab，那么e()ae()b，d()a2d()2假設(shè)b(n，p)，那么e()np，d()np(1p)3求離散型隨機(jī)變量的期望與方差的常用方法有：(1)隨機(jī)變量的分布列求它的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接按定義(公式)求解；(2)隨機(jī)變量的期望、方差，求的線性

8、函數(shù)ab的期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，可直接用的期望、方差的性質(zhì)求解；(3)如能分析所給隨機(jī)變量，是服從常用的分布(如兩點(diǎn)分布、二項分布等)，可直接利用它們的期望、方差公式求解(總分值：75分)一、選擇題(每題5分，共25分)1(·福州質(zhì)檢)某一隨機(jī)變量的概率分布列如下，且e()6.3，那么a的值為()4a9pba.5 b6 c7 d82設(shè)b(n，p)，假設(shè)有e()12，d()4，那么n、p的值分別為()a18， b16， c20， d15，3隨機(jī)變量x的分布列為x124p那么e(5x4)等于()a15 b11 c2.2 4設(shè)擲1枚骰子的點(diǎn)數(shù)為，那么()ae()3.5，d(2 be()3.5

9、，d()ce()3.5，d()3.5 de()3.5，d()5(·成都調(diào)研)拋物線yax2bxc (a0)的對稱軸在y軸的左側(cè)，其中a、b、c3，2，1,0,1,2,3，在這些拋物線中，記隨機(jī)變量為“|ab|的取值，那么的數(shù)學(xué)期望e()為()a. b. c. d.二、填空題(每題4分，共12分)的概率分布列如下表：x123p(x)？?。空埿∨Ｍ瑢W(xué)計算的數(shù)學(xué)期望盡管“！處完全無法看清，且兩個“？處字跡模糊，但能斷定這兩個“？處的數(shù)值相同據(jù)此，小牛給出了正確答案e()_.7(·泰安模擬)設(shè)離散型隨機(jī)變量x的可能取值為1,2,3,4.p(xk)akb(k1,2,3,4)又x的均值

10、e(x)3，那么ab_.8兩封信隨機(jī)投入a、b、c三個空郵箱，那么a郵箱的信件數(shù)x的數(shù)學(xué)期望e(x)_.三、解答題(共38分)9(12分)(·江西)某飲料公司招聘了一名員工，現(xiàn)對其進(jìn)行一次測試，以便確定工資級別公司準(zhǔn)備了兩種不同的飲料共8杯，其顏色完全相同，并且其中4杯為a飲料，另外4杯為b飲料，公司要求此員工一一品嘗后，從8杯飲料中選出4杯a飲料假設(shè)4杯都選對，那么月工資定為3 500元；假設(shè)4杯選對3杯，那么月工資定為2 800元；否那么月工資定為2 100元令x表示此人選對a飲料的杯數(shù)假設(shè)此人對a和b兩種飲料沒有鑒別能力(1)求x的分布列；(2)求此員工月工資的期望10(12分

11、)(·山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員a、b、c進(jìn)行圍棋比賽，甲對a、乙對b、丙對c各一盤甲勝a、乙勝b、丙勝c的概率分別為0.6,0.5，0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨(dú)立(1)求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；(2)用表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望e()、；乙工程的利潤與產(chǎn)品價格的調(diào)整有關(guān)，在每次調(diào)整中，價格下降的概率都是p(0<p<1)設(shè)乙工程產(chǎn)品價格在一年內(nèi)進(jìn)行2次獨(dú)立的調(diào)整，記乙工程產(chǎn)品價格在一年內(nèi)的下降次數(shù)為，對乙工程投資十萬元，取0、1、2時，一年后相應(yīng)利潤是1.3萬元、1.25萬元、0.2萬元隨機(jī)變量1、2分別表示對甲、乙兩工程各投資十萬元一年

12、后的利潤(1)求1、2的概率分布和數(shù)學(xué)期望e(1)、e(2)；(2)當(dāng)e(1)<e(2)時，求p的取值范圍68離散型隨機(jī)變量的均值與方差自主梳理1(1)x1p1x2p2xipixnpn數(shù)學(xué)期望平均水平(2) (xie(x)2pi平均偏離程度算術(shù)平方根2.(1)ae(x)b(2)a2d(x)3(1)pp(1p)(2)npnp(1p)自我檢測4.解析由題意知p(x0)(1p)2，p.隨機(jī)變量x的分布列為：x0123pe(x)0×1×2×3×.5.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引要求期望，需先求出分布列，要求分布列，需先求隨機(jī)變量取每個值的概率，而求概率離不開常見

13、事件概率的計算方法第(2)小題注意性質(zhì)e(ab)ae()b，d(ab)a2d()的應(yīng)用解(1)的分布列為01234pe()0×1×2×3×4×1.5.d()(01.5)2×(11.5)2×(21.5)2×(31.5)2×(41.5)2×2.75.(2)由d()a2d()，得a2×2.7511，即a±2.又e()ae()b，所以當(dāng)a2時，由12×1.5b，得b2；當(dāng)a2時，由12×1.5b，得b4.或變式遷移1解(1)p(x0)；p(x1)；p(x3).隨機(jī)

14、變量x的分布列為x013p(2)e(x)0×1×3×1.d(x)(10)2×(11)2×(31)2×1.例2解題導(dǎo)引(1)準(zhǔn)確理解事件“甲類組的含義，把“甲類組這一復(fù)雜事件用幾個互斥的根本領(lǐng)件的和來表示；(2)第(2)小題首先判斷隨機(jī)變量服從二項分布，再求其分布列和均值解(1)設(shè)ai表示事件“一個試驗組中，服用a有效的小白鼠有i只，i0,1,2，bi表示事件“一個試驗組中，服用b有效的小白鼠有i只，i0,1,2.依題意有p(a1)2××，p(a2)×.p(b0)×，p(b1)2×

15、15;.所求的概率為pp(b0a1)p(b0a2)p(b1a2)×××.(2)的可能值為0,1,2,3，且b.p(0)3，p(1)c××2，p(2)c×2×，p(3)3.的分布列為0123p數(shù)學(xué)期望e()0×1×2×3×.變式遷移2解(1)設(shè)這名學(xué)生在上學(xué)路上到第三個路口時首次遇到紅燈為事件a.因為事件a等價于事件“這名學(xué)生在第一和第二個路口沒有遇到紅燈，在第三個路口遇到紅燈，所以事件a的概率為p(a)××.(2)由題意可得，的可能取值為0,2,4,6,8(：min

16、)事件“2k等價于事件“該學(xué)生在上學(xué)路上遇到k次紅燈(k0,1,2,3,4)，所以p(2k)ck4k (k0,1,2,3,4)即的分布列是02468p所以的期望是e()0×2×4×6×8×.例3解題導(dǎo)引各投保人是否出險互相獨(dú)立，且出險的概率都是p，投保人中出險人數(shù)b(104，p)，進(jìn)而利用二項分布的有關(guān)性質(zhì)求解解各投保人是否出險互相獨(dú)立，且出險的概率都是p，記投保的10 000人中出險的人數(shù)為，那么b(104，p)(1)記a表示事件：保險公司為該險種至少支付10 000元賠償金，那么發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)0，p(a)1p()1p(0)1(1p)104，又

17、p(a4，故p0.001.(2)該險種總收入為10 000a元，支出是賠償金總額與本錢的和支出10 00050 000.盈利10 000a(10 00050 000)，盈利的期望為e()10 000a10 000e()50 000，由b(104,103)知，e()10 000×103，e()104a104e()5×104104a104×104×1035×104.e()0104a104×105×1040a1050a15(元)故每位投保人應(yīng)交納的最低保費(fèi)為15元變式遷移3解(1)1的所有取值為0.8、0.9、1.0、1.125、

18、1.25，2的所有取值為0.8、0.96、1.0、1.2、1.44.1、2的分布列分別為：1p2p(2)令a、b分別表示方案一、方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量這一事件，p(a)0.150.150.3，p(b)0.240.080.32.可見，方案二兩年后柑桔產(chǎn)量超過災(zāi)前產(chǎn)量的概率更大(3)令表示方案i的預(yù)計利潤，那么1101520p2101520p所以e(1)14.75，e(2)14.1，可見，方案一的預(yù)計利潤更大課后練習(xí)區(qū)1c由分布列性質(zhì)知：0.50.1b1，b0.4.e()4×0.5a×0.19×0.46.3.a7.2ae()np12，d()np(1p)4.1

19、p，p，n18.3ae(x)1×0.42×0.34×0.32.2，e(5x4)5e(x)411415.4be()1×2×3×4×5×6×3.5，d()(13.5)2(23.5)2(33.5)2(43.5)2(53.5)2(63.5)2.5a對稱軸在y軸的左側(cè)(a與b同號)的拋物線有2ccc126條，的可取值有0、1、2，p(0)，p(1)，p(2)，e()0×1×2×.62解析設(shè)“？處的數(shù)值為x，那么“！處的數(shù)值為12x，那么e()1·x2×(12x)3x

20、x24x3x2.7.解析離散型隨機(jī)變量x的可能取值為1,2,3,4.p(xk)akb (k1,2,3,4)，所以(ab)(2ab)(3ab)(4ab)1，即10a4b1，又x的均值e(x)3，那么(ab)2(2ab)3(3ab)4(4ab)3，即30a10b3，a，b0，ab.8.解析由題意知xb，e(x)2×.9解(1)x的所有可能取值為0,1,2,3,4.(2分)p(xi)(i0,1,2,3,4)(4分)即x01234p(6分)(2)令y表示此員工的月工資，那么y的所有可能取值為2 100，2 800,3 500.(8分)那么p(y3 500)p(x4)，p(y2 800)p(x

21、3)，p(y2 100)p(x2).e(y)3 500×2 800×2 100×2 280.(10分)所以此員工月工資的期望為2 280元(12分)10解(1)設(shè)甲勝a的事件為d，乙勝b的事件為e，丙勝c的事件為f，那么，分別表示甲不勝a，乙不勝b，丙不勝c的事件因為p(d)0.6，p(e)0.5，p(f)0.5，由對立事件的概率公式知p()0.4，p()0.5，p()0.5.(2分)紅隊至少兩人獲勝的事件有：de，df，ef，def.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，(4分)因此紅隊至少兩人獲勝的概率為pp(de)p(df)p(ef)p(def)0.6×