線性代數概念

1、線性代數概念作者:日期:第一講基本概念1.線性方程組的基本概念 線性方程組的一般形式為:an”a.ainXnh,a21 X1a22X2a2nXnb2,am1X1am2X2amnXnbm,其中未知數的個數 n和方程式的個數 m不必相等。線性方程組的解是一個 n維向量 k,k2 ,kn （稱為解向量），它滿足：當每個方程中的未知數Xi都用ki替代時都成為等式。線性方程組的解的情況有三種：無解，唯一解，無窮多解。對線性方程組討論的主要問題有兩個：（1）判斷解的情況。（2）求解，特別是在有無窮多解時求通解。bi b2bm 0的線性方程組稱為齊次線性方程組。n維零向量總是齊次線性方程組的解，稱為零解。因

2、此齊次線性方程組解的情況只有兩種：唯一解（即只要零解）和無窮多解（即有非零解）。把一個非齊次線性方程組的每個方程的常數項都換成0,所得到的齊次線性方程組稱為原方程組的導出齊次線性方程組，簡稱導出組。2.矩陣和向量（1）基本概念矩陣和向量都是描寫事物形態(tài)的數量形式的發(fā)展。由m n個數排列成的一個 m行n列的表格，兩邊界以圓括號或方括號，就成為一個 m n型矩陣。例如21011111022542 93331 8是一個4 5矩陣，對于上面的線性方程組，稱矩陣ai2amai2anb1Aa21a22a2n和A|a21a22a2nb2am1am2amnam1am2amnbm為其系數矩陣和增廣矩陣。增廣矩陣

3、體現了方程組的全部信息，而齊次方程組只用系 數矩陣就體現其全部信息。一個矩陣中的數稱為它的元素，位于第i行第j列的數稱為i, j位元素。元素全為0的矩陣稱為零矩陣，通常就記作 0。兩個矩陣A和B相等（記作 A B）,是指它的行數相等，列數也相等（即它們的類型 相同），并且對應的元素都相等。由n個數構成的有序數組稱為一個 n維向量，稱這些數為它的分量。書寫中可用矩陣的形式來表示向量，例如分量依次是ai,a2, ,an的向量可表示成aiai,a2, an 或 a2，請注意，作為向量它們并沒有區(qū)別，但是作為矩陣，它們不一樣（左邊是1 n矩陣，右邊是n 1矩陣）。習慣上把它們分別稱為行向量和列向量。（

4、請注意與下面規(guī)定的矩陣的行向量和列向量概念的區(qū)別。）一個m n的矩陣的每一行是一個 n維向量，稱為它的行向量；每一列是一個 m維向量, 稱為它的列向量。常常用矩陣的列向量組來寫出矩陣，例如當矩陣A的列向量組為1, 2, , 0時（它們都是表示為列的形式?。┛捎汚 1, 2,矩陣的許多概念也可對向量來規(guī)定，如元素全為0的向量稱為零向量，通常也記作0。兩個向量 和 相等（記作 ），是指它的維數相等，并且對應的分量都相等。（2）線性運算和轉置線性運算是矩陣和向量所共有的，下面以矩陣為例來說明。力口（減）法：兩個 m n的矩陣A和B可以相加（減），得到的和（差）仍是 m n矩陣，記作A B A B ,

5、法則為對應元素相加（減）。數乘：一個m n的矩陣A與一個數c可以相乘，乘積仍為m n的矩陣，記作cA,法 則為A的每個元素乘c。這兩種運算統(tǒng)稱為線性運算，它們滿足以下規(guī)律：加法交換律：ABBA。加法結合律：A B C A B C。加乘分配律：c A B cA cBo c d A cA dAo數乘結合律：c d A cd A。cA 0 c 0或A 0。轉置：把一個m n的矩陣A行和列互換，得到的n m的矩陣稱為 A的轉置，記作AT（或A）。有以下規(guī)律： AT T Ao A BT AT BTO cA T cAT o轉置是矩陣所特有的運算， 如把轉置的符號用在向量上，就意味著把這個向量看作矩陣了。當

6、 是列向量時，T表示行向量，當是行向量時，T表示列向量。向量組的線性組合：設1, 2, , s是一組n維向量，Ci,C2, ,Cs是一組數，則稱c11c2 2cs s為1, 2, , s的（以Cl,C2, ,Cs為系數的）線性組合。n維向量組的線性組合也是 n維向量。3 3） n階矩陣與幾個特殊矩陣行數和列數相等的矩陣稱為方陣，行列數都為n的矩陣也常常叫做 n階矩陣。把n階矩陣的從左上到右下的對角線稱為它對角線。（其上的元素行號與列號相等。）下面列出幾類常用的 n階矩陣，它們都是考試大綱中要求掌握的。對角矩陣：對角線外的元素都為 0的n階矩陣。單位矩陣：對角線上的元素都為 1的對角矩陣，記作

7、E （或I ）。數量矩陣：對角線上的元素都等于一個常數c的對角矩陣，它就是 cEo上三角矩陣：對角線下的元素都為0的n階矩陣。下三角矩陣：對角線上的元素都為0的n階矩陣。對稱矩陣：滿足 AT A矩陣。也就是對任何i,j, i,j位的元素和 j,i位的元素總是 相等的n階矩陣。（反對稱矩陣：滿足AT A矩陣。也就是對任何i,j,i,j位的元素和j,i位的元素 之和總等于0的n階矩陣。反對稱矩陣對角線上的元素一定都是0。）4 .矩陣的初等變換和階梯形矩陣矩陣有以下三種初等行變換： 交換兩行的位置。 用一個也_0_的常數乘某一行的各元素。 把某一行的倍數加到另一行上。（稱這類變換為倍加變換）類似地，

8、矩陣還有三種初等列變換，大家可以模仿著寫出它們，這里省略了。初等行變換與初等列變換統(tǒng)稱初等變換。階梯形矩陣：一個矩陣稱為階梯形矩陣，如果滿足：如果它有零行，則都出現在下面。如果它有非零行，則每個非零行的第一個非0元素所在的列號自上而下嚴格單調遞增。把階梯形矩陣的每個非零行的第一個非0元素所在的位置稱為臺角。簡單階梯形矩陣：是特殊的階梯形矩陣，特點為：臺角位置的元素為1。 并且其正上方的元素都為 0。每個矩陣都可以用初等行變換化為階梯形矩陣和簡單階梯形矩陣。這種運算是在線性代數的各類計算題中頻繁運用的基本運算，必須十分熟練。請注意：1. 一個矩陣用初等行變換化得的階梯形矩陣并不是唯一的，但是其非

9、零行數和臺角位置是確定的。2. 一個矩陣用初等行變換化得的簡單階梯形矩陣是唯一的。4.線性方程組的矩陣消元法線性方程組的基本方法即中學課程中的消元法：用同解變換把方程組化為階梯形方程組(即增廣矩陣為階梯形矩陣的方程組)。線性方程組的同解變換有三種： 交換兩個方程的上下位置。 用一個非0的常數乘某個方程。把某個方程的倍數加到另一個方程上。以上變換反映在增廣矩陣上就是三種初等行變換。線性方程組求解的基本方法是消元法，用增廣矩陣或系數矩陣來進行，稱為矩陣消元法。對非齊次線性方程組步驟如下：(1)寫出方程組的增廣矩陣 A|，用初等行變換把它化為階梯形矩陣B| 。(2)用B|判別解的情況：如果最下面的非

10、零行為0,0, ,0|d，則無解，否則有解。有解時看非零行數r (r不會大于未知數個數 n), r n時唯一解；r n時無窮多解。 (推論：當方程的個數 m n時，不可能唯一解。)(3)有唯一解時求解的初等變換法：去掉B |的零行，得到一個n n 1矩陣B。| ° ,并用初等行變換把它化為簡單階梯形矩陣 E | ，則就是解。對齊次線性方程組：(1)寫出方程組的系數矩陣 A,用初等行變換把它化為階梯形矩陣Bo(2)用B判別解的情況：非零行數 r n時只有零解：r n時有非零解(求解方法在 第五章講)。(推論：當方程的個數 m n時，有非零解。)討論題1 .設A是n階矩陣，則(A) A是

11、上三角矢I陣A是階梯形矩陣。(B) A是上三角矩陣A是階梯形矩陣。(C) A是上三角矩陣A是階梯形矩陣。(D) A是上三角矩陣與A是階梯形矩陣沒有直接的因果關系。2 .下列命題中哪幾個成立？(1)如果A是階梯形矩陣，則 A去掉任何一行還是階梯形矩陣。(2)如果A是階梯形矩陣，則 A去掉任何一列還是階梯形矩陣。(3)如果 A| B是階梯形矩陣，則 A也是階梯形矩陣。(4)如果 A| B是階梯形矩陣，則 B也是階梯形矩陣。A(5)如果是階梯形矩陣，則 A和B都是階梯形矩陣。B第二講行列式一.概念復習1 .形式和意義形式：用n2個數排列成的一個 n行n列的表格，兩邊界以豎線，就成為一個n階行列如果行

12、列式的列向量組為1, 2n,則此行列式可表本為aiia12aina21a22a2nanian2ann21意義：是一個算式，把這 n2個元素按照一定的法則進行運算，得到的數值稱為這個行列式的值。請注意行列式和矩陣在形式上和意義上的區(qū)別。當兩個行列式的值相等時，就可以在它們之間寫等號！（不必形式一樣，甚至階數可不同。）每個n階矩陣A對應一個n階行列式，記作 A。行列式這一講的核心問題是值的計算，以及判斷一個行列式的值是否為0。2 .定義（完全展開式）2階和3階行列式的計算公式：alla12aiia22ai2a2i 0a21 a 22aila12a13a21a22 a23 aiia22a33ai2a

13、23a31ai3a21a32ai3a22a31aiia23a32ai2a21a33a31a32a33一般地，一個n階行列式aiia12aina21a22a2nanian2ann的值是許多項的代數和， 每一項都是取自不同行， 不同列的n個元素的乘積，其一般形式為:iji 2j2njn這里把相乘的n個元素按照行標的大小順序排列，它們的列標j1j2 jn構成1,2, ,n的一個全排列（稱為一個 n元排列），共有n!個n元排列，每個n元排列對應一項，因此共有 n! 個項。所謂代數和是在求總和時每項先要乘1或1。規(guī)定 ji j2 jn為全排列jij2 jn的逆序數（意義見下面），則項ij1 2j2 an

14、jn所乘的是1 JlJ2 jn o全排列的逆序數即小數排列在大數右面的現象出現的個數。逆序數可如下計算：標出每個數右面比它小的數的個數，它們的和就是逆序數。例如求436512的逆序數：3 2 3 2 0 0436512， 4365123 2 3 2 0 0 10。至此我們可以寫出 n階行列式的值：a11 a2a1na21 a22a2nj"2 jn11j1 a2j2 anjn °32 jnan1 an2ann這里表示對所有n元排列求和，稱此式為 n階行列式的完全展開式。j1 j2 jn用完全展開式求行列式的值一般來說工作量很大。只在有大量元素為0,使得只有少數項不為0時，才可

15、能用它作行列式的計算。例如對角行列式，上（下）三角行列式的值就等 于主對角線上的元素的乘積，因為其它項都為0。3 .化零降階法把n階行列式的第i行和第j列劃去后所得到的 n 1階行列式稱為i,j位元素aj的余子式，記作M j。稱Aj1 i jM j為元素aj的代數余子式。定理（對某一行或列的展開）行列式的值等于該行（列）的各元素與其代數余子式乘積之和。命題 第三類初等變換（倍加變換）不改變行列式的值。化零降階法用命題把行列式的某一行或列化到只有一個元素不為0,再用定理，于是化為計算一個低1階的行列式。化零降階法是實際計算行列式的主要方法，因此應該熟練掌握。4 .其它性質行列式還有以下性質： 把

16、行列式轉置值不變，即ATI |A。 某一行（列）的公因子可提出。于是，cA cn A。對一行或一列可分解，即如果某個行（列）向量，則原行列式等于兩個行列式之和，這兩個行列式分別是把原行列式的該行（列）向量換為或所得到的行列式。例如12， 1， 2, 把兩個行（列）向量交換，行列式的值變號。 如果一個行（列）向量是另一個行（列）向量的倍數，則行列式的值為0。0。如果A與B都是方陣（不必同階）某一行（列）的各元素與另一行（列）的對應元素的代數余子式乘積之和A Bl °范德蒙行列式：形如的行列式（或其轉置）。它由因此范德蒙行列式不等于01i11a1a2a3an2222aia2a3ann i

17、n in inaa2a3an,an所決定,它的值等于,an兩兩不同。對于元素有規(guī)律的行列式（包括n階行列式），常?？衫眯再|簡化計算，例如直接化為三角行列式等。5.克萊姆法則克萊姆法則應用在線性方程組的方程個數等于未知數個數n （即系數矩陣為n階矩陣）的情形。此時，如果它的系數矩陣的行列式的值不等于0,則方程組有唯一解，這個解Di/D,D2/D, ,Dn/D ,這里D是系數行列式的值，Di是把系數行列式的第i個列向量換成常數列向量所得到的行列式的值。說明與改進：按法則給的公式求解計算量太大， 沒有實用價值。因此法則的主要意義在理論上， 用在 對解的唯一性的判斷，而在這方面法則不夠。法則的改進：

18、系數行列式不等于 0是唯一解的 充分必要條件。實際上求解可用初等變換法：對增廣矩陣 A| 作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃嚕篈| E| , 就是解。用在齊次方程組上：如果齊次方程組的系數矩陣A是方陣，則它只有零解的充分必要條件是A 0。第三講矩陣一.概念復習1 .矩陣乘法的定義和性質定義2. 1當矩陣A的列數和B的行數相等時，和 A和B可以相乘，乘積記作 AB。AB的行數和A相等，列數和B相等。AB的i,j位元素等于A的第i個行向量和B的第jbnb12b1s設Aa21a22a2n,Bb21b22b2sam1am2amnbn1bn2bns個列向量（維數相同）對應分量乘積之和。C11C21c12c

19、22c1 sC2 sC ABCm1 cm2cms貝Uq ai1b1j ai2b2jainbnj °矩陣的乘法在規(guī)則上與數的乘法有不同：矩陣乘法有條件。矩陣乘法無交換律。矩陣乘法無消去律，即一般地由AB 0推不出A 0或B 0。由AB AC和A 0推不出B C。（無左消去律）由BA CA和A 0推不出B C 。（無右消去律）請注意不要犯一種常見的錯誤：杷數的乘法的性質簡單地搬用到矩陣乘法中來。矩陣乘法適合以下法則:加乘分配律ABCAB AC , A B C AC BC。數乘性質cA B c AB o 結合律AB C A BC AB T BTATo2. n階矩陣的方哥和多項式任何兩個n階

20、矩陣A和B都可以相乘，乘積 AB仍是n階矩陣。并且有行列式性質：AB A B。如果AB BA,則說A和B可交換。方哥 設k是正整數，n階矩陣A的k次方哥Ak即k個A的連乘積。規(guī)定 A0 E。顯然A的任何兩個方哥都是可交換的，并且方哥運算符合指數法則：AkAhAkho AkhAkho但是一般地ABk和AkBk不一定相等!n階矩陣的多項式設fxamXm am iXm 1 ax a0,對n階矩陣A規(guī)定mam Aam 1Am 1a1AaoE。稱為A的一個多項式。請?zhí)貏e注意在常數項上加單位矩陣E。乘法公式 一般地，由于交換性的障礙，小代數中的數的因式分解和乘法公式對于 n階 矩陣的不再成立。但是如果公式

21、中所出現的 n階矩陣互相都是乘法交換的， 則乘法公式成立。 例如當A和B可交換時，有：A B 2 A2 2AB B2 ；2 _ 2_ABA BA BA BA Bom二項展開式成立： A B mCrmAm iBi等等。i 1前面兩式成立還是 A和B可交換的充分必要條件。同一個n階矩陣的兩個多項式總是可交換的。一個n階矩陣的多項式可以因式分解。3 .分塊法則矩陣乘法的分塊法則是簡化矩陣乘法的一種方法。對兩個可以相乘的矩陣A和B ,可以先用縱橫線把它們切割成小矩陣(一切 A的縱向切割和 B的橫向切割一致！)，再用它們 來作乘法。(1)兩種常見的矩陣乘法的分塊法則A11A12BnB12A11B11A1

22、2B21A11B12AI2 B22A21A22B21B22A21B11A22 B21A21B12A22 B22(2)要求Aj的列數Bjk和的行數相等。準對角矩陣的乘法: 形如0A2的矩陣稱為準對角矩陣，其中A,A2, ,Ak都是方陣。兩個準對角矩陣A10 A0-0B100A200B20B0Ak00Bk如果類型相同，即Ai和Bi階數相等,ABAiBi0AkBk(2)乘積矩陣的列向量組和行向量組設A是m n矩陣B是n s矩陣。A的列向量組為n , B的列向量組為AB的列向量組為s，則根據矩陣乘法的定義容易看出(也是分塊法則的特殊情形)AB的每個列向量為:1,2,A 1,A2,Ab1,b2, ,bn

23、 Tb1b2 2bn n。應用這兩個性質可以得到：如果bli , b2i ,bnii A 1bii1 b2i 2bnin °即：乘積失邱車AB的第i個列向量i是A的列向量組1, 2, n的線性組合，組合系數就是B皿i個列向量 i的各分量。類似地，乘積失邱車AB的Hi個行向量是B的行向量組的線性組合， 組合系數就是 A加第J個行向量的各分量。以上規(guī)律在一般教材都沒有強調，但只要對矩陣乘法稍加分析就不難得出。它們無論在理論上和計算中都是很有用的。(1)當兩個矩陣中，有一個的數字很簡單時，直接利用以上規(guī)律寫出乘積矩陣的各個 列向量或行向量，從而提高了計算的速度。(2)利用以上規(guī)律容易得到下

24、面幾個簡單推論：用對角矩陣 從左側乘一個矩陣，相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各行向量；用對角矩陣 從右側乘一個矩陣，相當于用的對角線上的各元素依次乘此矩陣的各列向量。數量矢I陣kE乘一個矩陣相當于用 k乘此矩陣；單位矩陣乘一個矩陣仍等于該矩陣。兩個同階對角矩陣的相乘只用把對角線上的對應元素相乘。求對角矩陣的方哥只需把對角線上的每個元素作同次方哥。（3）矩陣分解：當一個矩陣 可以構造一個矩陣 B,使得CC的每個列向量都是另一個AB。A的列向量組的線性組合時,例如設A 一，C 2,3,2,令131B 21 0 ,則 C AB。112（4）初等矩陣及其在乘法中的作用對單位矩陣E作一次初等（

25、行或列）交換，所得到的矩陣稱為初等矩陣。有三類初等矩陣:E i, j :交換E的i , j兩行（或列）所得到的矩陣。E i c :用非0數c乘E的第i行（或列）所得到的矩陣，也就是把E的對角線上的第i個元素改為c。E i, j c i j ：把E的第j行的c倍加到第i行上（或把第i列的c倍加到第j列上） 所得到的矩陣，也就是把 E的i,j位的元素改為c。命題 對矩陣作一次初等行（列）變換相當于用一個相應的初等矩陣從左（右）乘它。4 .矩陣方程和可逆矩陣（伴隨矩陣）（1）矩陣方程矩陣不能規(guī)定除法，乘法的逆運算是解下面兩種基本形式的矩陣方程：（1） AX B o （II） XA B o這里假定A是

26、行列式不為 0的n階矩陣，在此條件下，這兩個方程的解都是存在并且 唯一的。（否則解的情況比較復雜。）當B只有一列時，（I）就是一個線性方程組。由克萊姆法則知它有唯一解。如果 B有s 列，設B 1, 2, , s，則X也應該有s列，記X X1，X2, ,Xs,則有AXi 一 i 1,2, ,s，這是s個線性方程組。由克萊姆法則，它們都有唯一解，從而 AX B有唯 一解。這些方程組系數矩陣都是 A,可同時求解，即得（I）的解法：勝A皿旦并列作矩陣 A B ,對它作初等行變換，使得A變?yōu)閱挝痪仃?，此時 B變?yōu)閒t_X_。AB EX（II）的解法：對兩邊轉置化為（I）的形式：AT XT BT。再用解（

27、I）的方法求出XT, 轉置得X。AT BTE XT矩陣方程是歷年考題中常見的題型，但是考試真題往往并不直接寫成（I）或（II）的形式，要用恒等變形簡化為以上基本形式再求解。（2）可逆矩陣的定義與意義定義 設A是n階矩陣，如果存在n階矩陣B ,使得AB E , BA E ,則稱A為可 逆矩陣。此時B是唯一的，稱為 A的逆矩陣，通常記作 A1。如果A可逆，則A在乘法中有消去律:AB 0 B 0； AB AC B C。（左消去律）； BA 0 B 0 ； BA CA B C。（右消 去律）如果A可逆，則A在乘法中可移動（化為逆矩陣移到等號另一邊）：AB C B A 1C。BA C B CA 1。由此得到基本矩陣方程的逆矩陣解法：（I） AX B 的解 X A1B。（II） XA B 的解 X BA1。這種解法想法自然，好記憶，但是計算量比初等變換法大（多了一次矩陣乘積運算）。（3）矩陣可逆性的判別與性質定理 n階矩陣A可逆 A 0。證明 " "對AA 1 E兩邊取行列式，得 |A