3-重修高數(shù)(1)--導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、第四章第四章 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、一、洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則二、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的單調(diào)性三、函數(shù)的極值三、函數(shù)的極值四、函數(shù)的最值四、函數(shù)的最值機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 如果在某極限過程下如果在某極限過程下, ,函數(shù)函數(shù) f ( x)與與g(x) 同時(shí)同時(shí)趨于零或同時(shí)趨于無窮大，則可能存在趨于零或同時(shí)趨于無窮大，則可能存在也可能不存在也可能不存在, ,通常把這類極限稱為通常把這類極限稱為不定式不定式，并分別簡(jiǎn)記為常用洛必達(dá)法則來求解并分別簡(jiǎn)記為常用洛必達(dá)法則來求解. .一、一、 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則或或，( )lim( )f xg x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄

2、上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1、型不定式、型不定式0000( )lim( )lim( )0 xxxxf xg x0( )( )xg x 在在的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，0( )(3)lim( )xxfxg x 存存在在或或?yàn)闉?0( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 則則定理、定理、如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足：滿足：( )( )f xg x和和機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 011()limxxx 求求為為例例1 1、任任意意實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)100111001()()limlimxxxxx 型型解：解：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄

3、目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 202limxxxeex練練求求習(xí)習(xí)1 1、200000222001limlimlimxxxxxxxxxeexeeeex型型型型解：解：221arctanlimxxx 例例求求、22222121111010111arctanlimlimlimlimxxxxxxxxxxx解解：型型 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 3023tanlimsinxxxx練練、求求習(xí)習(xí)3300222200331199009tantanlimlimsinsectanlimlimxxxxxxxxxxxxxx解解：型型2、型不定式、型不定式 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng)

4、目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 00( )lim( )lim( )xxxxf xg x 0( )( )xg x 在在的的某某一一去去心心鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)，且且，0( )(3)lim( )xxfxg x 存存在在或或?yàn)闉?0( )( )limlim( )( )xxxxf xfxg xg x 則則定理、定理、如果函數(shù)如果函數(shù) 滿足：滿足：( )( )f xg x和和22222313333333300 tansincossinlimlimlimtansincossincossinlimlim,.cossinxxxxxxxxxxxxxxxxx, ,型型又又，所所以以原原式式型型機(jī)

5、動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 233tanlimtanxxx例例 、求求解解3lnlimnxxx求求練練習(xí)習(xí) 、1110lnlimlimlimnnnxxxxxxnxnx解解：型型注：注：如果反復(fù)使用洛必達(dá)法則也無法確定如果反復(fù)使用洛必達(dá)法則也無法確定則洛必達(dá)法則失效，需用別的方法求極限則洛必達(dá)法則失效，需用別的方法求極限. .)()(xgxf或能斷定或能斷定)()(xgxf 的極限，的極限，無極限，無極限，機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 200001112sinsincoslimlimsincosxxxxxxxxx極極限限不不存存在在，洛

6、洛必必達(dá)達(dá)法法則則失失效效，此此題題可可用用別別的的辦辦法法求求例例如如型型解解如如下下：220001110sinsinlimlimlimsinsinxxxxxxxxxxx機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 練習(xí)題：練習(xí)題：011512341sinlimsinsinlimsinlnlimln()limxxxxxxxxxxxxxxxex求求求求求求求求、3、其它類型不定式、其它類型不定式00001 型型，型型，型型，型型，型型機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 00 它它們們都都可可以以通通過過適適當(dāng)當(dāng)變變形形轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為或或型型求求解解. .不定

7、式除不定式除00 型外，還有型外，還有和和型或者型或者 型型型：型： 0 110000( 型型) )0 變?yōu)樽優(yōu)閤xxlnlim30 30lnlimxxx 4013limxxx 3lim30 xx xxxlnlim30 例例4 4、求求解：解：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 型型:通分相減變?yōu)橥ǚ窒鄿p變?yōu)?型型00例例5 5、求求)ln11(lim1xxxx （ 型）型）解：解： )ln11(lim1xxxx 1ln1lim(1)lnxxxxxx (0)0型型xxxxxln111lnlim1 xxxxln11lnlim1 xxxx111lim21 21 (0)0型型

8、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1000 型不定式型不定式: :通常用取對(duì)數(shù)的方法或利用通常用取對(duì)數(shù)的方法或利用 ( )( )ln( )( )g xg xf xf xe 00 化為化為 型不定式，再化為型不定式，再化為 型或型或 型求解。型求解。 0例例6 6、 求求xxx 0lim0(0)型型xxxxxxxxeexlnlimln000limlim 0limlnxxx 又又xxx1lnlim0 2011limxxx 0)(lim0 xx1lim00 exxx 解解: :所以所以機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例7 7、求求xxxsin0

9、)(cotlim ,)(cotsinxxy lnsinlncotyxx 則則 yxlnlim0 xxxsin1cotlnlim0 xxxxxcossin1sin1cot1lim220 0cossinlim20 xxx yx0lim解：解：設(shè)設(shè)xxxcotlnsinlim0 0 型型所以所以 xxxsin0)(cotlim yxeln0lim10 e機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 () 型型例例8 8、求求xexxln11)(lnlim 1 型型,)(lnln11xxy )ln(lnln11lnxxy 11110(0ln(ln)lnlimlnlimliml)nxexe

10、xexx xyxx 型型1)ln1(lim xex所以所以 1ln11)(lnlim exxex解法一：解法一：機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 解法二：解法二：11111111lnlnlim(ln )lim (ln)xxxexexxe 1 1、定理、定理1 1：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)，上連續(xù)， 在開區(qū)間在開區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，則內(nèi)可導(dǎo)，則 若在若在(a,b)內(nèi)內(nèi) 則則 f (x)在區(qū)間在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）內(nèi)單調(diào)增加（或單調(diào)減少）二、函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的單調(diào)性 ( )0( )0fxfx或或abab機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目

11、錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2、單調(diào)區(qū)間求法、單調(diào)區(qū)間求法(2)(2)求求 不存在的點(diǎn)，不存在的點(diǎn)， 以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干區(qū)間，以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干區(qū)間，0( ),( )( )fxfxfx 找找出出和和(1)確定函數(shù)的定義域（有時(shí)是給定的區(qū)間）確定函數(shù)的定義域（有時(shí)是給定的區(qū)間）( )fx (3)(3)在各區(qū)間上判斷在各區(qū)間上判斷 的符號(hào)，確定單調(diào)性的符號(hào)，確定單調(diào)性機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 例例1 1、確定函數(shù)確定函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間. .xxxf3)(3 解：解： 233311( )()()fxxxx

12、機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 , 函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域?yàn)闉?2011( )fxxx 令令得得，用用這這兩兩點(diǎn)點(diǎn)將將定定義義域域分分成成三三個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間，討討論論如如下下：11111100(,)(, )( ,)( )( )xfxf x 1111( )(,)( ,)(, )f x 故故在在和和上上單單調(diào)調(diào)增增加加，在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少. . 解：解：函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,), 練習(xí)練習(xí)1 1、確定函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。的單調(diào)區(qū)間。32yx 332xy 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí) 不存在，且不存在使不存在，且不存在使 的點(diǎn)的點(diǎn), ,0 xy 0 y用用 將定義域分成

13、兩個(gè)區(qū)間，討論如下：將定義域分成兩個(gè)區(qū)間，討論如下：0 x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 000(, )( ,)( )( )xfxf x 不不存存在在00( )(, )( ,)f x故故在在上上單單調(diào)調(diào)減減少少，在在上上單單調(diào)調(diào)增增加加. .三、函數(shù)的極值三、函數(shù)的極值000000001( )()( )(),( )( )( )(),( )( )f xxx xxf xf xf xxxf xf xf xf xxxf x 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，若若對(duì)對(duì)該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)的的任任一一點(diǎn)點(diǎn)(1)(1)恒恒有有則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大值值, ,點(diǎn)點(diǎn)

14、稱稱為為的的一一個(gè)個(gè)極極大大值值點(diǎn)點(diǎn)；(2)(2)恒恒有有則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)取取得得、定定極極小小值值, ,點(diǎn)點(diǎn)稱稱為為的的一一義義：個(gè)個(gè)極極小小值值點(diǎn)點(diǎn). .函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極大值極小值統(tǒng)稱為極值極值，極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)極值點(diǎn)。機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 注注2 2：極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)一般不唯一。極大值點(diǎn)與極小值點(diǎn)一般不唯一。 如下圖中如下圖中A A、C C、E E都是極大值點(diǎn)，都是極大值點(diǎn)， B B、 D D都是極小值點(diǎn)。都是極小值點(diǎn)。ab1x3x5x2x4xABCDE機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返

15、回返回 結(jié)束結(jié)束 注注1：極值是局部性的，并非在整個(gè)區(qū)間上最大最小極值是局部性的，并非在整個(gè)區(qū)間上最大最小注注3：極大值未必大于極大值未必大于極小值，如左圖極小值，如左圖A、D2 2、定理、定理1 1（極值第一判別法）：（極值第一判別法）： 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且的某鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且)(xf0 x00(),fx 000100( )( );( );( )xxfxxxfxf xx 若若在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi), ,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，則則在在點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極大大值值. .000200( )( );( );( )xxfxxxf

16、xf xx 若若在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi), ,當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，則則在在點(diǎn)點(diǎn)取取得得極極小小值值. .03( )( )( )fxf xx 若若在在該該鄰鄰域域內(nèi)內(nèi), ,恒恒為為正正或或恒恒為為負(fù)負(fù), ,則則在在點(diǎn)點(diǎn)沒沒有有極極值值. . 3 3、求極值的步驟：、求極值的步驟：(1)(1)求函數(shù)的定義域求函數(shù)的定義域( (有時(shí)是給定的區(qū)間有時(shí)是給定的區(qū)間););(3)(3)以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干區(qū)間，以這些點(diǎn)為分界點(diǎn)，將定義域分成若干區(qū)間， 討論各個(gè)區(qū)間分界點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)以判別討論各個(gè)區(qū)間分界點(diǎn)兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)以判別機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2)(2

17、)求求 不存在的點(diǎn)，不存在的點(diǎn)，0( ),( )( )fxfxfx 找找出出和和 例例1 1、求函數(shù)求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間和極值的單調(diào)區(qū)間和極值. .32)1()1()( xxxf解：解：函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,(223)1()1(3)1)(1(2)( xxxxxf)15()1)(1(2 xxx12310115( ),fxxxx 令令得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)：，用這三個(gè)點(diǎn)將定義域用這三個(gè)點(diǎn)將定義域分成四個(gè)部分區(qū)間，討論如下分成四個(gè)部分區(qū)間，討論如下極大值極大值,3125345651 f極小值極小值0)1( f機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1 511 51(, / ) (

18、,)( /),故故單單調(diào)調(diào)增增加加區(qū)區(qū)間間為為，單單調(diào)調(diào)減減少少區(qū)區(qū)間間為為，1111 51 51 5 111000(,)(, / )/( / , )( ,)( )( )xfxf x )(xf0 x233311( )()(),fxxxx xxf6)( 12011( )fxxx 令令得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)，由于由于160(),f 06)1( f定理定理2(2(極值第二判別法極值第二判別法) )設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 具有具有二階導(dǎo)數(shù)，且二階導(dǎo)數(shù)，且 ， 0)(0 xf000()()fxfx 存存在在, ,例例2 2、求函數(shù)求函數(shù) 的極值的極值. . xxxf3)(3 解：解：函數(shù)的定義域?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?,), 所以所以 為極大值為極大值, , 為極小值為極小值. .2) 1( f2)1