曲線擬合試驗(yàn)報(bào)告材料

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)數(shù)值分析課程設(shè)計(jì)報(bào)告學(xué)生姓名學(xué)生學(xué)號(hào)所在班級(jí)指導(dǎo)教師成績(jī)?cè)u(píng)定一、課程設(shè)計(jì)名稱函數(shù)逼近與曲線擬合二、課程設(shè)計(jì)目的及要求實(shí)驗(yàn)?zāi)康模簩W(xué)會(huì)用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式，并應(yīng)用算法于實(shí)際問題。學(xué)會(huì)基本的矩陣運(yùn)算，注意點(diǎn)乘和叉乘的區(qū)別。 實(shí)驗(yàn)要求：編寫程序用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式，并求平方誤差，做出離散函數(shù)（）和擬合函數(shù)的圖形；用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)polyfit 求解上面最小二乘法曲線擬合多項(xiàng)式的系 數(shù)及平方誤差，并用 MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)plot作出其圖形，并與（1）結(jié)果進(jìn)行 比較。三、課程設(shè)計(jì)中的算法描述用最小二乘法多項(xiàng)式曲線擬合，根據(jù)給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，并不要求這條曲線精確 的經(jīng)過這

2、些點(diǎn)，而是擬合曲線無限逼近離散點(diǎn)所形成的數(shù)據(jù)曲線。思路分析：從整體上考慮近似函數(shù)p（x）同所給數(shù)據(jù)點(diǎn)（。丫）誤差0= p（x。-y的大小，常用的方法有三種：一是誤差 = p（x。- %絕對(duì)值的最大m值max。，即誤差向量的無窮范數(shù)；二是誤差絕對(duì)值的和工，即誤差向量的i m范數(shù)；三是誤差平方和£ r-的算術(shù)平方根，即類似于誤差向量的 2范數(shù)。前兩 i =0種方法簡(jiǎn)單、自然，但不便于微分運(yùn)算，后一種方法相當(dāng)于考慮2范數(shù)的平方，此次采用第三種誤差分析方案。算法的具體推導(dǎo)過程：1 .設(shè)擬合多項(xiàng)式為：2 .給點(diǎn)到這條曲線的距離之和，即偏差平方和:3 .為了求得到符合條件的a的值，對(duì)等式右邊求

3、偏導(dǎo)數(shù)，因而我們得到了:4 .將等式左邊進(jìn)行一次簡(jiǎn)化，然后應(yīng)該可以得到下面的等式5 .把這些等式表示成矩陣的形式，就可以得到下面的矩陣:一5nnZXjInnZXjZx2j=1j=1aannkk 書2 XjZ xL=ij=i6 .將這個(gè)范德蒙得矩陣化簡(jiǎn)后得到1X11 X2 m*1Xnn1-nZXjkzyii 二a。i三nnzk書 XaiIyii =1i=1nz2kX縣一n zyii=1i=17 .因?yàn)閄* A=Y ,那么A = Y/X ,計(jì)算得到系數(shù)矩陣，同時(shí)就得到了擬合曲線四、課程設(shè)計(jì)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)環(huán)境：MATLAB2010實(shí)驗(yàn)內(nèi)容：給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)（00.50.60.70.80.91.011.751.

4、962.192.442.713.001）用最小二乘法求擬合數(shù)據(jù)的多項(xiàng)式；2）用MATLA的部函數(shù)polyfit函數(shù)進(jìn)行擬合。實(shí)驗(yàn)步驟1）首先根據(jù)表格中給定的數(shù)據(jù)，用 MATLA歆件畫出數(shù)據(jù)白散點(diǎn)圖（圖1）。2）觀察散點(diǎn)圖的變化趨勢(shì)，近似于二次函數(shù)。則用二次多項(xiàng)式進(jìn)行擬合，取一組基函數(shù)，并令，其中是待定系數(shù)。3）用MATLABi序作線性最小二乘法的多項(xiàng)式擬合，求待定系數(shù)。算法實(shí)現(xiàn)代碼如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=（xA2）' x' ones（7,1）;A=R'y'

5、;4）用MATLAB?序計(jì)算平均誤差。算法實(shí)現(xiàn)代碼如下：y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;z=（y-y1）A2;sum（z）5）作出擬合曲線和數(shù)據(jù)圖形（圖2） o6）用MATLA的內(nèi)部函數(shù)polyfit求解上面最小二乘法曲線擬合多項(xiàng)式的系數(shù)及 平方誤差。算法實(shí)現(xiàn)代碼如下：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;A=polyfit(x,y,2);%二次多形式擬合 z=polyval(A,x);Ad=s

6、um(z-y).A2)7)繪制使用polyfit函數(shù)實(shí)現(xiàn)的擬合圖形。(圖3)五、程序流程圖圖5-1用最小二乘法求多項(xiàng)式擬合曲線流程圖圖5-2用polyfit函數(shù)求多項(xiàng)式擬合曲線流程圖文案大全六、實(shí)驗(yàn)結(jié)果圖6-1表中數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖2.02.6242.221.01.6141 2圖6-2.最小二乘法實(shí)現(xiàn)的擬合曲線第1問系數(shù)為A = 1.0000 1.0000 1.0000則多項(xiàng)式的方程為平方誤差和為ans =1.9722e-031圖6-3. polyfit函數(shù)實(shí)現(xiàn)的擬合函數(shù)第2問系數(shù)為A = 1.0000 1.0000 1.0000則多項(xiàng)式的方程為平方誤差和為ans = 1.9722e-031七、實(shí)驗(yàn)

7、結(jié)果分析編寫程序用最小二乘法求擬合曲線的多項(xiàng)式的過程中，求出的數(shù)據(jù)和擬合函 數(shù)的平方誤差很小，達(dá)到了很高的精度要求，以及通過散點(diǎn)求得的擬合曲線比較 實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)光滑。而用MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)求polyfit 求解的曲線擬合多項(xiàng)式和平方誤差與 程序求得的相同，還有就是雖然求解過程簡(jiǎn)單了，但用 MATLAB勺內(nèi)部函數(shù)做出 的圖形由明顯的尖點(diǎn)，不夠光滑。此次實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)較少，而且數(shù)據(jù)基本都是可靠數(shù)據(jù)。但是在應(yīng)用實(shí)際問題中，數(shù)據(jù)會(huì)很龐雜，此時(shí)對(duì)于最小為乘法的算法就需要進(jìn)一步的細(xì)化。例如在進(jìn)行數(shù)據(jù)采集時(shí)，由于數(shù)據(jù)采集器（各種傳感器）或機(jī)器自身的原因及其外部各種因素的制約， 導(dǎo)致數(shù)據(jù)偶爾會(huì)有大幅度的波動(dòng)，及產(chǎn)生

8、一些偏差極大的數(shù)據(jù)，不能真實(shí)反映數(shù)據(jù)的可靠性，所以會(huì)對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行篩選或修正。而此時(shí)就可應(yīng)用曲線擬合的最小二乘法的進(jìn)行處理。八、實(shí)驗(yàn)心得體會(huì)在日常的學(xué)習(xí)和生活中，我們可能會(huì)遇到各種方面的跟數(shù)據(jù)有關(guān)的問題，并不是所有的數(shù)據(jù)都是有用，必須對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)奶幚?，然后找出?shù)據(jù)之間的關(guān)系，然后進(jìn)行分析得出結(jié)果。此次實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本沒有大的區(qū)別，可是MATLA提供給我們一個(gè)特別簡(jiǎn)潔的辦法，應(yīng)用一個(gè)函數(shù)即可實(shí)現(xiàn)相同的結(jié)果。雖然很方便，但是對(duì)于初學(xué)者來說，我覺得打好基礎(chǔ)才是關(guān)鍵，對(duì)于一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)該掌握其最基本的原理，然后在將它應(yīng)用于實(shí)際。通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)我也理解到了，數(shù)值分析是一個(gè)工具學(xué)科，它教給了我們分析和解決數(shù)值計(jì)

9、算問題得方法，使我從中得到很多關(guān)于算法的思想，從中受益匪淺。文案大全附錄：源代碼散點(diǎn)圖：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;plot(x,y,'r*')title(' 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖');legend(' 數(shù)據(jù)點(diǎn)(xi,yi ) ');xlable('x');ylable('y');最小二乘擬合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;R=(xA2)' x' ones(7,1);A=Ry'x1=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y1=1 1.75 1.96 2.19 2.44 2.71 3.00;x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=x.A2+x+1;plot(x1,y1,'k+',x,y,'r')title(' 實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)點(diǎn)的散點(diǎn)圖及擬合曲線');z=(y-y1).A2;sum(z)Polyfit 函數(shù)擬合：x=0 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0;y=1 1.75 1.96 2.1