實數(shù)教材分析

1、第十三章實數(shù)教材分析青院附中佟銘一、本章主要內(nèi)容及地位、作用：本章的主要內(nèi)容是平方根、立方根的概念和求法，實數(shù)的有關(guān)概念和運 算.（通過本章的學習，學生對數(shù)的認識就由有理數(shù)的范圍擴大到實數(shù)范圍，本 章之前的數(shù)學內(nèi)容都是在有理數(shù)范圍內(nèi)討論的，學習本章之后，將在實數(shù)范圍內(nèi)研究問題.）（雖然本章的內(nèi)容不多，篇幅不大，但在中學數(shù)學中占有重要的地位。）本章內(nèi)容不僅是后面學習二次根式、一元二次方程以及解三角形等知識的基 礎(chǔ)，也為學習高中數(shù)學中不等式、函數(shù)以及解析幾何等的大部分知識作好準備.二、本章知識結(jié)構(gòu)框圖：1. 本章知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)如下圖所示：2. 本章知識的展開順序如下圖所示:（“本章知識結(jié)構(gòu)圖”展示

2、了本章知識的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：由于乘方與開方互為逆運算，所以開平方和開立方運算是以平方和立方運算為基礎(chǔ)的，因此平方根和立方根的概念離不開平方和立方的概念.無理數(shù)的引入使得數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大 到了實數(shù)） 三、本章課程學習目標:1了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根；2. 了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負數(shù)的平方根， 會用立 方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根；3. 了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點對應(yīng)， 有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大到實數(shù)后， 概念、運算等的一 致性及其發(fā)展變化；4 能用有理數(shù)估計一

3、個無理數(shù)的大致范圍.四、本章中考要求:知識考試水平基本要求略咼要求較咼要求無理數(shù)了解無理數(shù)的概念會用有理數(shù)估計一個 無理數(shù)的大致范圍平方根及算術(shù)平方根了解平方根及算術(shù)平 方根的概念，會用根 號表示非負數(shù)的平方 根及算術(shù)平方根會用平方運算求某些 非負數(shù)的平方根，會 用計算器求平方根立方根會用根號表示數(shù)的立方根會用立方運算求某些 數(shù)的立方根，會用計算器求立方根實數(shù)了解實數(shù)的概念會進行簡單的實數(shù)運算二次根式及其性質(zhì)了解二次根式的概 念，會確定二次根式 有意義的條件會利用二次根式的性 質(zhì)進行化簡；能根據(jù) 二次根式的性質(zhì)對代 數(shù)式作簡單變形，在 特定條件下，確定字 母的值二次根式的化簡和運算理解二次根式

4、加、減、 乘、除運算法則會進行二次根式的化 簡，會進行二次根式 的混合運算（二次根 式的個數(shù)不超過三 個；不要求分母有理 化）五、本章重點、難點：1 本章的重點是算術(shù)平方根和平方根的概念和求法。（它們是理解立方根的概念和求法、實數(shù)的意義和運算的直接基礎(chǔ).）2.本章的難點是平方根和實數(shù)的概念.（學生對正數(shù)開平方有兩個結(jié)果感到不習慣，容易將算術(shù)平方根和平方根混淆.實數(shù)的概念是一個構(gòu)造性的定義， 比較抽象，學生真正理解這個概念也有一 定的困難.）六、本章課時安排：本章教學時間約需8課時，具體分配如下（僅供參考）：13. 1平方根3課時13. 2立方根2課時13. 3實數(shù)2課時數(shù)學活動小結(jié)1課時七、本

5、章教材內(nèi)容分析：13.1平方根(本小節(jié)主要介紹平方根與算術(shù)平方根的概念，這兩個概念屬本章的重點內(nèi)容。只有把握住概念才能正確地進行求平方根運算，理解實數(shù)的概念，為學習后續(xù)的知識作好準備。)1 平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：(1)定義不同；(2)個數(shù)不同；(3)表示方法不同聯(lián)系：(1)具有包含關(guān)系；(2)存在條件相同；(3)0的平方根、算術(shù)平方根均 為0.例1.求下列各數(shù)的算術(shù)平方根(1) 100(2) 0.0001(3) ,16(4) . (-3 )2注意指出書寫形式：切忌 100=, 100 =10或 100二-10 -.16的算術(shù)平方根學生容易出錯，認為是 4,應(yīng)該認清楚被開方數(shù).例2

6、.求下列各數(shù)的平方根(1) 0.25(2) 36 (3) -、81(4) ( - 2)4(學生在實際解題中.常常把平方根與算術(shù)平方根混淆，錯用符號，為了解決這一問題，如，在求36的平方根時，不是直接寫出36的平方根是-6，而是 采用如下的書寫格式逐漸過渡)解:：62 =36,(-6)2 =36.36的平方根是_6.解：62 =36,(-6)2 =36_ 36 = 6.求:x2 =36解：x = 、36 二 6.例3.(恰當?shù)剡\用正反例，讓學生判斷，是鞏固基本概念的一個方法.)25如為使學生對平方根的性質(zhì)有較探的印象，可舉如下數(shù)：64, 36，,0， 9,1210. 0004等，要學生思考，其中

7、哪些數(shù)有平方根 ？哪些數(shù)沒有平方根？為什么？又 女口，為使學生能正確理解算術(shù)平方根概念， 能與平方根概念作出區(qū)別，要求思考：(或-16)表示什么？對不對？匚16丄716丄4對不對？4 是16的平方根？ 16的平方根是4?2. 對于式子.aa，士詁a (a>0)的理解. 例4.求下列各式的值(1) 144(2) 0.81(3) _21(4) - .(-17 )2注意：書寫形式.144 =12在解決每個題時，可以先讀題，再說出式子含義，最后再求值。3 .及時總結(jié)三種重要非負數(shù)：a， a2， Va (a > 0).4. 兩個重要公式*孑小=/ (a") 及Wa 2 =a (a“

8、.-a (ac0)5. 落實一個基本功：讓學生熟練掌握 1到20的平方，便于求常用數(shù)的平方根。6. 初步了解無限不循環(huán)小數(shù).(1) 讓學生經(jīng)歷用夾逼的辦法估計.2的大小，感受.2是無限不循環(huán)小數(shù). 在具體實例中，了解無限不循環(huán)小數(shù)的特征.(3) 會使用計算器求數(shù)的平方根.(利用計算器求平方根，較多感受無理數(shù)的近 似值)(4) 會用有理數(shù)估計無理數(shù)的大小.例5.(1) a是7的整數(shù)部分，b是. 7的小數(shù)部分，求(b-、.7)a的值.(2) a是5+-. 11的整數(shù)部分，b是5-, 11的小數(shù)部分，求a+b的值.7. 理解平方與開平方互為逆運算，明確三級運算中的互逆關(guān)系.13.2立方根1. 在類比

9、思想的引導(dǎo)下，學習立方根的概念與性質(zhì)(本節(jié)從內(nèi)容到知識的展開順序都與上一節(jié)平方根基本平行，主要研究立方 根的概念和求法.學習立方根的意義在于，一方面它有著廣泛的應(yīng)用，因為空間 形體都是三維的，有關(guān)體積等的計算經(jīng)常涉及開立方的問題；另一方面，立方根是奇次方根的特例，就像平方根是偶次方根的特例一樣，它對進一步研究奇次方 根的性質(zhì)有典型的代表意義.)例如：概念教學可以從問題入手：(1) 什么數(shù)有平方根，只有非負數(shù)才有立方根嗎？(2) 平方根如何表示，猜想一下立方根可以怎樣表示？(3) 回顧平方根的特征，能試著總結(jié)一下立方根的特征嗎？它們有什么異同？(4) 求一個數(shù)的立方根的運算與什么運算互為逆運算2

10、. 會用計算器求立方根.3. 落實一個基本功：讓學生熟練掌握 例6.求下列各數(shù)的立方根.(1) -8 -0.001 1到10的立方，便于求常用數(shù)的立方根。12564注：強調(diào)書寫格式,切忌-8 = 一2認準被開方數(shù).例7.求下列各式的值(1) 3 125 (2) 3 -125 (3)125(4)3( - 2)(5) (3 -8)3注：讀準各式的符號；并用文字語言說明各式的含義.借助課本P81頁習題9歸納重要結(jié)論：3 a3 =a;幼一a = -Va ;(幼a)3 = a 結(jié)合立方根的重要結(jié)論，與平方根中的重要結(jié)論相比較.例8.解方程(1) X3 二七3 彳”(X 1)2-8仁 0x +1 =55注

11、：借助平方根，立方根的定義解高次方程，一方面鞏固了定義，另一方面讓學生體會到轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，即高次化低次；難化易；不會化會.例9.求下列代數(shù)式的值.(1)若a 1.a b =0 求a2002 b2002 .(2) 若 a+2 +4jb-10=0 求Vbi ai(3) 若 J-a3有意義, 求1 -a若 a v0 ,求(a2 +2a3 若 a4)a b - 3是 a b 3的算術(shù)平方根,ab3a 2b是a 2b的立方根,求 3 B - A .注:重視對非負數(shù)算術(shù)根的非負性的認識與應(yīng)用對平方根，立方根中主要結(jié)論的應(yīng)用13.3實數(shù)1.在數(shù)系擴充的原則指導(dǎo)下把有理數(shù)過渡到實數(shù)概念擴充：相反數(shù)，絕對值，

12、倒數(shù)等等數(shù)系擴充后原有的運算法則仍然成立例10.填空3 -64的絕對值若x仝則x=.(3) 若 x =州 _77 貝y x=.(4) 在數(shù)軸上表示.3的點與原點的距離是；在數(shù)軸上與原點距離是.7的點表示的數(shù)是:在數(shù)軸上與表示-2的點距離為3的點表示的實數(shù)為；大于- .3小于2的整數(shù)是實數(shù)m滿足m - m =0,則m的取值范圍例11.比較下列各組實數(shù)的大小.(1) ,5 與 2.23(2)- 3 與-32(3)1 -5 與 1 - 3 -2、3 與-3 .2(5) 3,4 ,3 502.類比有理數(shù)的分類，認識實數(shù)的分類自然數(shù)有理數(shù)實數(shù)無理數(shù)負整數(shù)正分數(shù)負分數(shù)'正無理數(shù)，負無理數(shù)正實數(shù)丿實

13、數(shù)零負實數(shù)正有理數(shù)正無理數(shù)負有理數(shù)負無理數(shù):負整數(shù)負分數(shù)例12.把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合中3 273 ,-3.1415926 ,334 ,-3 3 , -7 , 0.303003000 41138-0.050505 ；正有理數(shù)/正無理數(shù)/負有理數(shù)f/負無理數(shù)/注：提醒學生不要被數(shù)的外表所迷惑，要透過“現(xiàn)象”看“本質(zhì)”3. 適當介紹勾股定理，嘗試著讓學生在數(shù)軸上找一些無理點.(將數(shù)學活動1提 前。意義在于感受無理數(shù)的存在性，認識更多的無理數(shù)。4. 在實際操作的基礎(chǔ)上，讓學生體會實數(shù)與數(shù)軸上的點的對應(yīng)關(guān)系.及平面直角坐標系中的點與有序?qū)崝?shù)對的對應(yīng)關(guān)系.5. 有關(guān)實數(shù)計算的教學，需要掌控好尺度.

14、關(guān)于二次根式的運算，以后還會進一步的學習，教學時注意掌握現(xiàn)有計算的難度.例14.計算 3 -8 (-2)2 -32(2) _221641 _ 3 -2 .3注：區(qū)分運算符號與性質(zhì)符號；在運算中，再滲透實數(shù)的有關(guān)概念.例 15.若實數(shù) x,y,z滿足 2x_y + J2y + z + (z_)2 = 0,求 x + y+z的值.2注：在問題解決的過程中，注意非負性；小結(jié)非負實數(shù)：a2, a, 7a(a0).例16.化簡下列各式(1)若ac0,abc0化簡 a-b-4$3 - b-a + V3咅亠各同 |b| |ab|(3) x-1+|5-x注:含絕對值號的代數(shù)式的化簡是重點也是難點.應(yīng)遵循逐步滲

15、透，不斷加深的 原則. 此處字母的取值范圍為全體實數(shù). 分類的標準應(yīng)按正實數(shù)，負實數(shù),零分類考慮.掌握好分類標準，不斷加強分 類討論的意識. 有關(guān)實數(shù)的化簡，在二次根式的學習中還會涉及到，此處不宜太難,應(yīng)給學 生留有繼續(xù)學習的空間八、幾點教學建議：1. 加強與實際的聯(lián)系抽象的概念，借助簡單實際背景給出這種編寫的特點，分解了學習中的難點，感 受了數(shù)學的實用性，易于學生接受，也體會到了數(shù)學的抽象性2. 加強知識間的聯(lián)系本章內(nèi)容屬于 數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域，有關(guān)數(shù)的內(nèi)容，學生已經(jīng)系統(tǒng)學過有理數(shù)，對 有理數(shù)的概念和運算等有了較深刻的認識.因而本章很多內(nèi)容可以類比有理數(shù)的 相關(guān)內(nèi)容得出.另外平方根,立方根在內(nèi)容

16、上也有很多類似之處.教學中注意利用 類比的方法，既有助于加強知識間的相互聯(lián)系，同時通過新舊知識的類比，可使學 生的學習形成正遷移.思想的教育重于知識，及時進行知識的總結(jié)有利于提高學生 的學習能力.類型項目平方根立方根被開方數(shù)非負數(shù)任意實數(shù)符號表示土寸a需性質(zhì)一個正數(shù)有兩個平方根，且 互為相反數(shù)；零的平方根為零；負數(shù)沒有平方根；一個正數(shù)有一個正的立方 根；一個負數(shù)有一個負的立方 根；零的立方根是零；重要結(jié)論（肓）2 =a（a 蘭0） 廠7:a（a0）va = a = *一a（a < 0）（呢）留給學生探索交流的空間本章編寫時注意借助實際背景，讓學生通過觀察、思考、討論等探究活動歸納得 出結(jié)

17、論教材中多次設(shè)置探究欄目，這些欄目多以填空形式出現(xiàn).教學中適當給出 時間,讓學生多實踐，引導(dǎo)學生從具體問題發(fā)現(xiàn)特征，在交流討論中歸納出結(jié)論.體 會從特殊到一般的過程，有利于發(fā)展學生的思維能力，可有效地改變學生學習的方 式. 適當發(fā)揮計算器的作用，加強估算能力的培養(yǎng) = a= a煒=一需估算是一種具有實際應(yīng)用價值的運算能力.本章安排了利用計算器求數(shù)的平方根，立方根，以及利用有理數(shù)估計無理數(shù)的大致范圍等內(nèi)容.這個環(huán)節(jié)的設(shè)置將有利于 幫助學生感受無理數(shù)無限不循環(huán)的特點，更好的認識無理數(shù).教學中，可結(jié)合具體 情況,利用多種途徑培養(yǎng)學生的運算能力.5. 把握好教學要求本章對于某些內(nèi)容采用提前滲透，逐步提

18、高的編寫方式：（1）本章將點的坐標擴展到實數(shù)范圍，建立點與有序?qū)崝?shù)對的對應(yīng)關(guān)系，為后續(xù)學習函數(shù)的圖像，函數(shù)與方程，不等式的關(guān)系等打下了基礎(chǔ)（2）本章通過一個例題學習實數(shù)的簡單運算.（p85,例2）為說明有理數(shù)的運算法則和運算性質(zhì)等在實數(shù)范圍內(nèi)仍成立而關(guān)于實數(shù)的運算在后面的二次根式一章中還要繼續(xù)研究，此處不必過難.（3）為了讓學生更好地理解數(shù)軸上表示無理數(shù)的點的存在性，本章涉及到了勾 股定理.這個內(nèi)容后面還會專門再學，此處僅讓學生了解即可.我們的教學，應(yīng)用一種發(fā)展的，動態(tài)的觀點來看待，不能要求處處一步到位本 章教學中類比思想，分類討論思想較突出.思想的教學，不一定都體現(xiàn)在題目中，在 概念的教學中

19、的滲透，是會遷移到對題目的解決中.希望學生在學習新知識的過程 中,更好的感悟數(shù)學思想.隨著時間的推移，具體的知識也許會在學生的頭腦中遺 忘，但解決問題的思想還在，將是基礎(chǔ)教育實效性的體現(xiàn).九、知識要點及參考例題（1）平方根知識要點：1. 定義（1） 如果x2二a（a _0），那么x叫做a的平方根。記作：x=7a，其中 a叫做a的正的平方根，-、£叫做a的負的平方根。0的平方根是0.（2） 我們把平方根中正的平方根，叫做a的算術(shù)平方根，通常表示為 ,a.0的平方根也叫做0的算術(shù)平方根。因此 0的算術(shù)平方根是0，即、0 =0。（3）平方根的性質(zhì)0個正數(shù)有兩個平方根，它們互為相反數(shù)；0有一

20、個平方根，它是 0本身；負數(shù)沒有平方根。(_ .a)? =a(a _0).參考例題：例1求下列各數(shù)的算術(shù)平方根：49(1) 900 ;(2) 1 ;( 3);(4) 14 .64例2求下列各數(shù)的平方根：492(1) 64 ;(2) 一 ; (3) 0.0004 ; (4) ( 25) ；( 5) 11。121/例3 (1 ) G64 2等于多少?國等于多少？(2 )(屁 丫等于多少？ 121 丿2(3 )對于正數(shù)a, (Ji )等于多少？例4 求滿足下列條件的未知數(shù) x:22 25(1) x =49(2) x =81(易錯題),25的算術(shù)平方根是;,25的平方根是;比較大小(*)(1)已知例8

21、14與 15；13的整數(shù)部分為a,小數(shù)部分為b, 判斷下列各式中字母 x的取值范圍：(2) 4 與- 15 ;(3) 3 與：15 - 1 ；求代數(shù)式a2 a b的值。- x :.2 - 3x : J(x - 3)2:1 ；;3x- 6影;4-拓展練習1、 ( 1)求下列各式的值42(2) ； (-4)2(3) 0, 0.8)2(2) 對于任意數(shù)a,. a2 一定等于a嗎？2、求下列x的值：(1) 4x2 =202(2) 16x 49=0(3) (x-1)2 =253、已知數(shù) M的平方根為a+3及2a 15,求M(2) 立方根知識要點：31. 如果x =a,那么x叫做a的立方根。2. 立方根的

22、基本性質(zhì)：（1） （鋸y=a,即_a = _va。（2） 一個正數(shù)的立方根為正的，一個負數(shù)的立方根為負的，0的立方根為0。 參考例題：例1求下列各數(shù)的立方根：8（1）-27;（2）；（3）0.126;（4）-5.1253 a表示a的立方根，那么（3 a）3等于什么？ 3 a3呢？例2求下列各式的值:(1)3 -8;(2) 3 0.064;(3)(2x-1)3 一83 340512x =一32.計算:3x 3 0.064例3.填空：(1)若 爲=1.732后=5.477，求 7550,75500,703,7053若 V525 = 1.738 ,馮0525 = 0.8067 求 V525拓展練習1

23、 .求下列中的x的值：8（x -3）3 =273. 一個正方形的面積變?yōu)樵瓉淼?m倍，則邊長變?yōu)樵瓉淼?倍；一個立方體的體積變?yōu)樵瓉淼膎倍，則棱長變?yōu)樵瓉淼?倍。（3）實數(shù)知識要點：1. 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為 。2. 無理數(shù)和有理數(shù)一樣，也有正負之分。（1） 從符號考慮，實數(shù)可以分為 、。（2） 另外從實數(shù)的概念也可以進行如下分類： 、。3. （1）相反數(shù)：a的相反數(shù)是 ; 0的相反數(shù)仍是 ;2）倒數(shù)：當aO寸，a的倒數(shù)（0沒有倒數(shù)）是 ;（3）絕對值：正數(shù)的絕對值是 ;負數(shù)的絕對值是它的 ; 0的絕對值30)是；即：| a |= * (a = 0) (a£0)4. (1)每一個實數(shù)

24、都可以用數(shù)軸上的一個 來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個點都表示一個，即實數(shù)與數(shù)軸上的點是 的；(2)在數(shù)軸上，右邊的點表示的數(shù)總比左邊的點表示的數(shù) 參考例題： 例1、實數(shù)概念把下列各數(shù)分別填入相應(yīng)的集合內(nèi)：-3 8 ,0, 0.3737737773二，5，2，(相鄰兩個3之間7的個數(shù)逐次增加1)例2、實數(shù)分類內(nèi)容1 你能把上面各數(shù)分別填入下面相應(yīng)的集合內(nèi)嗎?內(nèi)容2 0屬于正數(shù)嗎？ 0屬于負數(shù)嗎？例3、實數(shù)的相關(guān)概念內(nèi)容11 在有理數(shù)中，數(shù)a的相反數(shù)是什么？絕對值是什么？當a不為0時，它的倒數(shù)是什么？2 - 2的相反數(shù)是什么？ 3 5的倒數(shù)是什么？ ,3 ,0,n的絕對值分別是什么?內(nèi)容2:想一想

25、：1 3n的絕對值是。，它的絕對值是，當2想一想：a是一個實數(shù)，它的相反數(shù)是a工0寸，它的倒數(shù)是。例4、探究實數(shù)與數(shù)軸上點之間的對應(yīng)關(guān)系 內(nèi)容1：如圖所示，認真觀察，議一議：(1) 如圖，OA=OB，數(shù)軸上A點對應(yīng)的數(shù)表示什么？它介于哪兩個整數(shù)之間？(2) 如果將所有有理數(shù)都標到數(shù)軸上，那么數(shù)軸被填滿了嗎？十、相關(guān)課題學習材料專題一數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用1 實數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，請化簡：|a - Ja2 - Jb7 ._ILaob122實數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則a,-a, , a的大小關(guān)系是： a*>-1a0專題二非負數(shù)及其應(yīng)用1、如果.、X - 2 + (x+y-3) 2=0,求 x,y 的值。2、已知