四邊形輔助線專題訓(xùn)練

1、各種輔助線作法一與平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1. 利用一組對(duì)邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形：當(dāng)涉及到平行，且要求證的結(jié)論 中和平行四邊形的性質(zhì)有關(guān)，可通過添加輔助線構(gòu)造平行四邊形例1.如圖，已知點(diǎn)0是平行四邊形ABCD的對(duì)角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是 平行四邊形求證：0E與AD互相平分.2. 利用兩組對(duì)邊平行構(gòu)造平行四邊形：當(dāng)圖形中涉及到一組對(duì)邊平行時(shí)，可通 過作平行線構(gòu)造另一組對(duì)邊平行，得到平行四邊形解決問題.例 2如圖，在ZkABC 中，E、F 為 AB 上兩點(diǎn).AE=BF, ED/AC, FG/AC 交 BC 分別為D, G求證:ED+FG=AC.3. 利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形：

2、利用對(duì)角線互相平分構(gòu)造平行四邊形, 實(shí)際上長(zhǎng)采用了平移法構(gòu)造平行四邊形.當(dāng)已知中點(diǎn)或中線應(yīng)思考這種方法.例3.已知AD是ZkABC的中線，BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.求證BF=AC.二.和菱形有關(guān)的輔助線的作法：連接菱形的對(duì)角線，借助菱形的判定定理 或性質(zhì)定定理解決問題常見的方法：(1)作菱形的髙；(2)連結(jié)菱形的對(duì)角線. 例4.如圖，在ZkABC中，ZACB=90° , ZBAC的平分線交BC于點(diǎn)D, E是AB上 一點(diǎn)，且AE二AC, EF/BC交AD于點(diǎn)F,求證：四邊形CDEF是菱形.例5 如圖，四邊形ABCD長(zhǎng)菱形，E為邊AB上一個(gè)定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn), 求證

3、EF+BF的最小值等于DE長(zhǎng).三. 與矩形有輔助線作法:(1)計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三 角形借助勾股定理解決問題；(2)證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對(duì)角線借助 對(duì)角線相等這一性質(zhì)解決問題.例6如圖，巳知矩形ABCD-點(diǎn)，PA=3, PB=4, PC=5.求PD的長(zhǎng).四.與正方形有關(guān)輔助線的作法：作對(duì)角線是解決正方形問題的常用輔助線. 例7如圖，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE/AC,且AE=AC,又CF/AE.丄求證：ZBCF= 2 ZAEB.四.與梯形有關(guān)輔助線的作法：(1)作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三 角形；(2)作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；(3)作一對(duì)角線的平行線

4、， 構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；(4)延長(zhǎng)兩腰構(gòu)成三角形；(5)作兩腰的平行 線等.例 8.巳知，如圖 9,在梯形 ABCD 中，AD/BC, AB=AC, ZBAC=90° , BD=BC, BD交AC于點(diǎn)0求證：CO=CD.例 9 等腰梯形 ABCD 中，AD/BC, AC丄BD, AD+BC=10, DE丄BC 于 E求 DE 的長(zhǎng).說明：當(dāng)有對(duì)角線或垂直成梯形時(shí)，常作梯形對(duì)角線的平行線，構(gòu)造平行四邊形, 等腰三角形或直角三角形來解決.六.與中點(diǎn)有關(guān)的輔助線作法1、有中線時(shí)可倍長(zhǎng)中線，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形.例10已知：如圖，AD為AABC中線，求證：AB+AC>2A

5、D.類題10.已知：如圖，AD為AABC的中線，AE二EF.求證：BF=AC2有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，加倍此線段，構(gòu)造全等三角形或平行四邊形. 例11.已知：如圖，在AA3C中，ZC = 90° , M為AB中點(diǎn)，P、Q分別在AC、BC上，且PM丄于M.求證：PQ? = AP丄+ BQ?.3有中點(diǎn)時(shí)，可連結(jié)中位線例12(1)如圖，AABC中，D、E分別為AB、AC上點(diǎn)，且BD=CE, M、N為BE、 CD中點(diǎn)，連MN交AB. AC于P、Q,求證：AP二AQ.例13.如圖，AABC中，AD是高，CE為中線，DG丄CE, G為垂足，DC=BE.求 證：(1) G 是 CE 的中點(diǎn)；(

6、2) ZB = 2ABCE4有底邊中點(diǎn)，連中線，利用等腰三角形“三線合一”性質(zhì)證題例14.已知：如圖，在RtSABC中，ZBAC= 90°, AB二AC, D為BC邊中點(diǎn)，P 為BC上一點(diǎn)，PF丄AB于F, PE丄AC于E求證：DF=DE.例15矩形ABCD,E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC=CE,F為AE中點(diǎn)，求證：BF丄FD&與梯形中點(diǎn)有關(guān)的輔助線：有腰中點(diǎn)時(shí)，常見以下三種引輔助線法例16.在直角梯形ABCD中，AD/7BC, A3丄BC, M為CD的中點(diǎn)求證：AM二MB.七和中位線有關(guān)輔助線的作法例17如圖，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0, AC=BD, E. F分

7、別是AB. CD 中點(diǎn)，EF分別交AC. BD于點(diǎn)H、G.求證：0G=0H.遇中點(diǎn)，常作中位線，借助中位線的性質(zhì)解題.【課下作業(yè)】K A ABC和ADBE為等腰直角三角形，ZABC=ZDBE=90° , A> B. D在同一直 線上，M、N. P分別是AD. AC、DE邊上的中點(diǎn)，說明MP與MN的關(guān)系并證明。2、如上題A. B. D不在同一直線上，其余條件不變，上述結(jié)論長(zhǎng)否發(fā)生變化?3>平行四邊形ABCD,對(duì)角線相交于點(diǎn)0, P. E、F分別是AD. OB、0C的中點(diǎn), AC=2AB0 求證：PE二EF4. 等腰梯形 ABCD 中，DC/7AB, ZA0B=60o , E

8、、F. M 分別是 0D、0A. BC 的中 點(diǎn)。求證：ZkEFM是等邊三角形。5. 如圖，在四邊形ABCD中，AB=CD, M. N. P、Q分別是AD. BC. BD. AC的中 點(diǎn)。求證：MN與PQ互相垂直平分。C6. A ABC中，E是AB的中點(diǎn)，CD平分ZACB, AD丄CD,垂足為點(diǎn)D,求證：2DE=BC-AC7. BD. CE分別為ZkABC外角平分線，AM丄BD于M, AN丄CE于N,探究MN與AB. BC. AC的關(guān)系。8. AABC 中，AB=AC, ZBAC=« ,在 AB. AC 上截取 AD. AE,且 AD=AE,連結(jié) DE。 如圖1,易證BD二CE,如圖2,將AADE逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn)到如圖所示位置，連結(jié)BD.(2)點(diǎn)G. F分別是等腰ZiABC、等腰ZXADE底邊的中點(diǎn)，ZBAC=ZDAE=« ,點(diǎn) P是線段CD的中點(diǎn)，試探索ZGPF與a的關(guān)系，并加以證明。9.我們給出如下定義：有一組相鄰角相等的四邊形叫做等鄰角四邊形.請(qǐng)解答 下列問題：(1) 寫出一個(gè)你所學(xué)過的特殊四邊形中是等鄰角四邊形的圖形的名稱；(2) 如圖1,在AABC中，AB二AC,點(diǎn)D在BC上，且CD=C