隨機變量的獨立性PPT課件

1、隨機變量的獨立性隨機變量的獨立性 隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念隨機變量的獨立性是概率論中的一個重要概念兩事件兩事件A,B獨立的定義是：獨立的定義是：若若P(AB)=P(A)P(B)則稱事件則稱事件A,B獨立獨立 . 設(shè)設(shè) X,Y是兩個是兩個r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有)()(),(yYPxXPyYxXP 則稱則稱X,Y相互相互獨立獨立 .兩隨機變量獨立的定義是：兩隨機變量獨立的定義是：)()(),(yFxFyxFYX用分布函數(shù)表示用分布函數(shù)表示,即即 設(shè)設(shè) X,Y是兩個是兩個r.v，若對任意的，若對任意的x,y,有有則稱則稱X,Y相互相互獨立獨立 . 它表明，兩個它表

2、明，兩個r.v相互相互獨立時，它們的聯(lián)合獨立時，它們的聯(lián)合分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積分布函數(shù)等于兩個邊緣分布函數(shù)的乘積 .),(yxf其中其中是是X,Y的聯(lián)合密度，的聯(lián)合密度，)()(),(yfxfyxfYX 幾乎處處成立，則稱幾乎處處成立，則稱X,Y相互相互獨立獨立 .對任意的對任意的 x, y, 有有 若若 (X,Y)是連續(xù)型是連續(xù)型r.v ，則上述獨立性的，則上述獨立性的定義等價于：定義等價于：這里這里“幾乎處處幾乎處處成立成立”的含義是：的含義是：在平面上除去面在平面上除去面積為積為0的集合外，的集合外，處處成立處處成立.分別是分別是X的的)(),(yfxfYX邊緣密度和邊緣密

3、度和Y 的邊緣密度的邊緣密度 . 若若 (X,Y)是離散型是離散型r.v ，則上述獨立性的，則上述獨立性的定義等價于：定義等價于：)()(),(jijiyYPxXPyYxXP則稱則稱X和和Y相互相互獨立獨立.對對(X,Y)的所有可能取值的所有可能取值(xi, yj),有有 例例1 設(shè)設(shè)(X,Y)的概率密度為的概率密度為其它, 00, 0,),()(yxxeyxfyx問問X和和Y是否獨立？是否獨立？解：解：0)()(dyxexfyxX0)()(dxxeyfyxY,xxe,yex0 即：即：其它, 00,)(xxexfxX其它, 00,)(yeyfyY對一切對一切x, y, 均有：均有：故故X,Y

4、 獨立獨立)()(),(yfxfyxfYXy 0 若若(X,Y)的概率密度為的概率密度為其它,y, yx,)y, x(f01002情況又怎樣？情況又怎樣？解：解：),1 (22)(1xdyxfxXyYydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面積不為由于存在面積不為0的區(qū)域，的區(qū)域，)()(),(yfxfyxfYX故故X和和Y不獨立不獨立 .xy1y=x例例2 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時時30分在某地會面分在某地會面.如果甲來到的時間在如果甲來到的時間在12:15到到12:45之間是均勻之間是均勻分布分布. 乙獨立地到達乙獨立地到達,而且到達時間在而且到達時間在12:00到到

5、13:00之間是均勻分布之間是均勻分布. 試求先到的人等待另一試求先到的人等待另一人到達的時間不超過人到達的時間不超過5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的又甲先到的概率是多少？概率是多少？解解: 設(shè)設(shè)X為甲到達時刻為甲到達時刻,Y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點時為起點,以分為單位以分為單位,依題意依題意,XU(15,45), YU(0,60)其它, 04515,301)(xxfX所求為所求為P( |X-Y | 5) 及及P(XY)其它, 0600,601)(xyfY解解: 設(shè)設(shè)X為甲到達時刻，為甲到達時刻， Y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點，以分為單位，依題意，時為起點，以

6、分為單位，依題意，XU(15,45), YU(0,60)其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由獨立性由獨立性先到的人等待另一人先到的人等待另一人到達的時間不超過到達的時間不超過5分鐘分鐘的概率的概率解一：解一： 45155518001xxdxdyP(| X-Y| 5) xy015451060405 yx5yx=P( -5 X -Y 5)=1/6=1/2xy01545106040yx P(XY) 45156018001xdxdy解二：解二：5|18001yxdxdyP(X Y)P(| X-Y| 5) 類似的問題如：類似的問題如： 甲、乙兩船同日欲靠同一

7、碼頭，設(shè)兩船甲、乙兩船同日欲靠同一碼頭，設(shè)兩船各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到各自獨立地到達，并且每艘船在一晝夜間到達是等可能的達是等可能的 . 若甲船需停泊若甲船需停泊1小時，乙船需小時，乙船需停泊停泊2小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求小時，而該碼頭只能停泊一艘船，試求其中一艘船要等待碼頭空出的概率其中一艘船要等待碼頭空出的概率. 在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的是等可能的. 若收到兩個相互獨立的這種信號若收到兩個相互獨立的這種信號的時間間隔小于的時間間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾擾. 求發(fā)生兩信號互相干

8、擾的概率求發(fā)生兩信號互相干擾的概率. 把長度為把長度為a的線段在任意兩點折斷的線段在任意兩點折斷成為三線段，求它們可以構(gòu)成三角形的成為三線段，求它們可以構(gòu)成三角形的概率概率.長度為長度為a 隨機變量獨立性的概念不難推廣到隨機變量獨立性的概念不難推廣到兩個以上兩個以上r.v的情形的情形. 一般地，一般地，n個隨機變量個隨機變量X1, ，Xn稱稱為獨立的，如果對一切為獨立的，如果對一切x1, ,xn，有，有P(X1x1, ，Xnxn)= niiixXP1)(類似二維變量，不難寫出其它幾個關(guān)于類似二維變量，不難寫出其它幾個關(guān)于獨立性的等價定義。獨立性的等價定義。定理定理1 若連續(xù)型隨機向量（若連續(xù)型

9、隨機向量（X1, ,Xn）的）的概率密度函數(shù)概率密度函數(shù)f(x1, ,xn)可表示為可表示為n個函數(shù)個函數(shù)g1, ,gn之積，其中之積，其中g(shù)i只依賴于只依賴于xi，即，即 f(x1, ,xn)= g1(x1) gn(xn) 則則X1, ,Xn相互獨立相互獨立,且且Xi的邊緣密度的邊緣密度fi(xi)與與gi(xi)只相差一個常數(shù)因子只相差一個常數(shù)因子.最后我們給出有關(guān)獨立性的兩個結(jié)果：最后我們給出有關(guān)獨立性的兩個結(jié)果：定理定理2 若若X1, ,Xn相互獨立相互獨立,而而 Y1=g1(X1, ,Xm), Y2=g2 (Xm+1, ,Xn)則則Y1與與Y2獨立獨立 .我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念隨機變量相互獨立的概念. 給出了各種情給出了各種情況下隨機變量相互獨立的條件，希望同學(xué)況下隨機變量