《張量分析》報告

1、一 愛因斯坦求和約定1.1指標(biāo) 變量的集合： 表示為：寫在字符右下角的 指標(biāo)，例如xi中的i稱為下標(biāo)。寫在字符右上角的指標(biāo)，例如yj 中的j稱為上標(biāo)；使用上標(biāo)或下標(biāo)的涵義是不同的。用作下標(biāo)或上標(biāo)的拉丁字母或希臘字母，除非作了說明，一般取從1到n的所有整數(shù)，其中n稱為指標(biāo)的范圍。1.2求和約定若在一項中，同一個指標(biāo)字母在上標(biāo)和下標(biāo)中重復(fù)出現(xiàn)，則表示要對這個指標(biāo)遍歷其范圍1，2，3，n求和。這是一個約定，稱為求和約定。例如：筒寫為：啞指標(biāo)自由指標(biāo)，在每一項中只出現(xiàn)一次，一個公式中必須相同遍歷指標(biāo)的范圍求和的重復(fù)指標(biāo)稱為“啞標(biāo)”或“偽標(biāo)”。不求和的指標(biāo)稱為自由指標(biāo)。1.3 Kronecker-d符號

2、（克羅內(nèi)克符號）和置換符號Kronecker-d符號定義置換符號定義為:i,j,k的這些排列分別叫做循環(huán)排列、逆循環(huán)排列和非循環(huán)排列。置換符號主要可用來展開三階行列式：因此有：同時有：Kronecker-d和置換符號符號的關(guān)系為：二 張量代數(shù)2.1張量的加法(減法)兩個同階、同變異(結(jié)構(gòu)) 的張量可以相加(或相減)。張量相加(或相減)是相加(或相減)其同名的分量。設(shè)是張量，則也是張量?？梢宰C明，張量相加(減)的結(jié)果是一個同階同變異張量。2.2對稱張量、斜對稱張量1）對稱張量若張量滿足如下的關(guān)系式：這樣的張量稱為二階對稱張量。例如，基本度量張量和相伴度量張量 都是對稱張量。2）斜對稱張量若張量滿

3、足以下關(guān)系式：則稱為二階斜對稱張量。斜對稱張量也稱為反對稱張量。3）二階張量的分解任何一個一般二階張量 都可以分解成一個對稱張量和一個反對稱張量之和，即：4）高階張量的對稱和反對稱 高階張量可以是關(guān)于一對下標(biāo)(或上標(biāo))對稱或反對稱。例如置換張量，它關(guān)于任一對下標(biāo)是反對稱的：2.3張量的乘法兩個張量的外積是將它們的分量相乘。這樣的運算產(chǎn)生一個新張量，其階數(shù)是相乘兩張量的階數(shù)之和。設(shè) 、 是張量，則外積張量乘法的性質(zhì)：張量的乘法是不可交換的。由幾個張量連乘的乘積，則乘積張量中指標(biāo)排列的次序由連乘張量的排列次序確定。張量與張量不相等。若 是對稱張量，是斜對稱張量，可以很容易證明，它們的乘積等于0，即

4、: 由于置換張量是關(guān)于任一對指標(biāo)的反對稱張 量，因此它與任何一個二階對稱張量的乘積等于0。2.4張量的縮并、內(nèi)積在混合張量中，使一個上標(biāo)和一個下標(biāo)相等，然后按求和約定求和，這樣的運算，稱為縮并。每一縮并，得到一個新張量，比原張量降兩階。設(shè)是一個四階混合張量。作縮并運算，則:若令指標(biāo)i與k相等，可得：縮并運算可以應(yīng)用于任意階混合張量。還可將乘法和縮并結(jié)合起來形成新張量，這種運算稱為兩張量的內(nèi)乘法，得到的張量稱為該兩張量的內(nèi)積。如：三 張量的擴展3.1基矢量的偏導(dǎo)數(shù)與克里斯托弗(Christoffel)符號求一個矢量的導(dǎo)數(shù)，必須對它的各個分量與基矢量乘積之和求導(dǎo)：可以看出基矢量對于坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)也是

5、矢量，它也可以分成沿對偶基矢量或基矢量方向的分量：式中: 是沿 方向的分量；稱為第一種克里斯托弗符號；是沿 方向的分量; 稱為第二種克里斯托弗符號。3.2 Hamilton 算子記 由于 可知算子 服從向量的定義。 設(shè) 為三維區(qū)域 中的標(biāo)量場，關(guān)于 的左右梯度為 ， 其中 ，下標(biāo)中的逗號表示對其后坐標(biāo)的微商， 。從上述兩式可以看出標(biāo)量的左右梯度相等。 設(shè) 為三維區(qū)域 中的向量場，關(guān)于 的左右散度為 ， 從上面兩式可以看出向量的左右散度相等。 關(guān)于向量場 的左右旋度為 ， 對于 的左右旋度，有關(guān)系式 。 標(biāo)量場 的Laplace算子 為， 向量場 的Gauss公式為 其中 為區(qū)域 的邊界曲面，

6、， 為 上的單位外法向量。 向量場 的Stokes公式為 這里 為任意曲面， 為 的邊界曲線，在邊界 上積分的環(huán)向與 的外法向 依右手定向規(guī)則： 指向觀察者，從觀察者來看，曲線沿反時針為正。 第二部分 張量的簡單運用張量分析在許多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，現(xiàn)在所學(xué)的彈塑性力學(xué)就有簡單的運用介紹，而且張量分析在巖石流變中的應(yīng)用也非常有意義。巖石流變本構(gòu)方程在小變形情況下有： 如上所述，巖石流變在引進了張量分析后，其表達變得很簡便，便于計算和學(xué)習(xí)。第三部分 張量分析的展望首先，感謝張志鎮(zhèn)老師的教導(dǎo)，讓我深刻學(xué)習(xí)了張量分析。張量分析在開始階段，學(xué)習(xí)困難，入門不易，但是我相信我以后可以通過繼續(xù)學(xué)習(xí)打到預(yù)期的學(xué)習(xí)目標(biāo)。