數(shù)學建模GDP預測

1、GDP是衡量國家經(jīng)濟實力，經(jīng)濟規(guī)模的重要指標，是國家制定宏觀調(diào)控政策的重要依據(jù)。人均GDP是最能體現(xiàn)一個國家的經(jīng)濟實力、發(fā)展水平和生活水準的綜合指標，它不僅考慮了經(jīng)濟總量的大小，而且結(jié)合了人口多少的因素，在國際上被廣泛用于評價和比較一個國家和地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展水平。本文利用線性自回歸模型研究我國人均GDP數(shù)據(jù)的建模預測問題，得到以下結(jié)果：1應用線性自回歸模型對我國人均GDP進行建模預測，建模中采用最小二乘估計方法進行擬合，用最佳預測方法進行預測。關鍵詞：中國人均GDP；AR模型；最小二乘估計利用AR模型進行人均GDP預測1、 AR模型AR模型是一種常見的時間序列模型。在這個模型中，時間序列的現(xiàn)在值

2、是用該序列過去數(shù)值的線性組合加上一個白噪聲擾動項來表示。白噪聲是滿足某些特定統(tǒng)計意義的時間序列統(tǒng)計變量，如用來表示，對于所有，必須滿足: E()=0 (1) Var()=2 (2) COV(,-k)=COV(-i,-k-i)=0(對所有i，k，ik)(3)其中為常數(shù)。對于時間序列Y,如果滿足:Y=1Y-1+2Y-2+nYn+ (4)就稱模型(4)為n階自回歸模型,式(4)中，1，2n都是未知參數(shù)，是相應的白噪聲序列。因此，使用滯后算子表達式可以將式(4)寫為：QnLY= (5)式中： QnL=1-1L-nLn (6)式(6)稱作滯后算子三的n階AR多項式。Qn(L)=0稱為模型的特征方程。特征

3、方程的n個根i，i=l，2，n，稱為模型的特征根。如果n個特征根都在單位圓外，即： i>1 i=1，2，n 則稱模型是穩(wěn)定的，故式(7)又稱為平穩(wěn)性條件。AR(n)模型與多元回歸模型不同，多元回歸模型是一種靜態(tài)數(shù)學模型，它描述的只是一個變量與另外一組變量在同一時刻的靜態(tài)相關。由于AR模型不存在其它的自變量，不受模型變量“相互獨立”假定條件的約束。因此，用AR模型及其原理可以構成多種模型以消除或改進普通回歸預測中由于自變量選擇，多重共線性，序列相關等原因所造成的困難。此外，在AR模型中，各種因素對預測目標的影響是通過它們在時間過程中的總和體現(xiàn)被考慮的，是將序列歷史觀察值作為諸因素影響與作用

4、的結(jié)果用于建立其本身的歷史序列線性回歸模型的，因此，用普通最小二乘法就可以對模型進行估計和求解。在許多實際問題中，我們得到的量測數(shù)據(jù)序列顯然不能近似看作是平穩(wěn)的，某些序列并不是穩(wěn)定在同一水平上，而是具有明顯的增長或減少趨勢。由于建立時間序列模型通常是要求該序列具有平穩(wěn)性，因此，對于非平穩(wěn)時間序列則要先將觀測到的時間序列進行差分運算，化為平穩(wěn)時間序列，再使用AR模型對這個差分序列建模預測。2、 數(shù)據(jù)的的平穩(wěn)性檢驗與平穩(wěn)化處理采用逆序檢驗法判定處理后的時間序列是否平穩(wěn):逆序檢驗法的一般步驟:第一步，由時間序列求出一個大致不相關的均值或方差的序列。具體地可以將整個序列分成M段，然后求出每段數(shù)據(jù)按時間

5、平均的均值和方差，設所得序列為y1，y2，ym。第二步，計算均值序列(或方差序列)的逆序總數(shù)。對于yi(i=1，2，m一1)來說，若后邊有一個值大于它，即yj(j>i)，則稱為一個逆序，記yi的逆序數(shù)為Ai(即它后面有Ai個值大于它)，逆序總數(shù)為A=i=1m-1Ai第三步，計算統(tǒng)計量進行統(tǒng)計檢驗可以證明，一個隨機序列的逆序總數(shù)A具有以下的期望和方差:E(A)=14m(m-1)D(A)=m(2m2+3m-5)72其中，m為數(shù)據(jù)個數(shù)，并且統(tǒng)計量Z=A+12-E(A)D(A)漸近服從于N(0，1)分布。因此對于均值(或方差序列)y1,y2,ym可以依據(jù)以上三式求出統(tǒng)計量Z的值，在顯著水平=0.

6、05情況下，Z<1.96，則認為序列無明顯的趨勢，否則認為序列是非平穩(wěn)的。3、 AR(n)模型參數(shù)的估計建立自回歸模型之前，我們僅僅只是掌握了大量的觀測數(shù)據(jù)。因此在進行動態(tài)數(shù)據(jù)預處理后，必須先從這些樣本數(shù)據(jù)中估計出模型參數(shù)，而采用不同的估計方法會帶來不同的誤差，其大小直接影響了模型的精度。我們先在階數(shù)給定的情形下，即假設自回歸階數(shù)n已知時，為已經(jīng)進行過零均值化的觀測數(shù)據(jù)y1，y2，yN建立一個AR(n)模型 Y=j=1njY-j+ 0 (7)先討論此模型的參數(shù)估計，然后再討論模型階數(shù)的估計。AR模型的最小二乘估計理論最小二乘估計是線性模型中最常用的估計方法，它有計算簡單的優(yōu)點。如果d1,

7、d2,dn是自回歸系數(shù)1,2,n的估計，白噪聲j的估計定義為: j=yi-(d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n) p+1jN (8)通常稱j, p+1jN為殘差。如果d1,d2,dn是自回歸系數(shù)1,2,n的較好估計，殘差的方差不應當很大。于是，合理的估計量d1,d2,dn應當使得殘差平方和 S(d1,d2,dn)=j=p+1Nyi-(d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n)(9)的取值比較小。另一方面，在考慮用yj-1,yj-2,yj-n的線性組合d1yj-1+d2yj-2+dnyj-n對yi進行預測時，合理的估計量d1,d2,dn也應當使得預測誤差的平方和取值較小?；谝陨显?，我們

8、把由(9)定義的S(d1,d2,dn)最小值點稱為自回歸系數(shù)的最小二乘估計。引入列向量和矩陣Y=yp+1yp+2yN， X=ypyp-1y1yp+1ypy2yN-1yN-2yN-p， d=d1d2dn可以把函數(shù)S(d1,d2,dn)寫成(N-p)維歐氏空間中距離的形式 S(d1,d2,dn)=|Y-Xd|2根據(jù)垂直距離最短的道理，S(d1,d2,dn)的最小值點d應當使得(Y-Xd)和X的每個列向量正交，也就是d使得 XTY-Xd=0 (10)實際上，若d是(10)的解，則對任一個p維列向量c=(c1,c2,cp)T，有 Sc1,c2,cp=Y-Xd2=Y-Xd-Xc-d2 =|Y-Xd|2+

9、|X(c-d)|2+2Xc-dT(Y-Xd) =|Y-Xd|2+|X(c-d)|2 |Y-Xd|2于是，線性方程組(10)的任一解是自回歸系數(shù)(1,2,n)的最小二乘估計。特別當p×p對稱矩陣XTX正定時，自回歸系數(shù)的最小二乘估計是唯一的，由 (1,2,n)=(XTX)-1XTY給出。白噪聲方差2的最小二乘估計為 2=1N-pS(1,2,n)BI C定階準則 BIC(k)=logk2+klnNNBIC中符號的意義與AIC相同。我們將BIC(k)在(0,1,2,p0)中的第一個最小值點p稱為AR(n)模型的BIC定階。但是當N不是很大時，用BIC定階有時會低估階數(shù)P，造成模型的較大失真

10、。所以在實際問題中，特別當樣本量不是很大時，BIC定階效果并不如AIC。本文將選取BIC定階準則確定AR模型的階數(shù)。參數(shù)估計是在給定階次的情況下進行的，由于事先無法判斷模型的階次，因此在建模過程中應先給定模型的階次，然后再按上面所述的最小二乘法估計出AR模型的參數(shù)，得到各階模型，最后取BIC(k)值最小的階次作為模型的最佳階次，同時也確定了AR模型參數(shù)。人均GDP的AR預測建模(1) 原始數(shù)據(jù)下面將對我國和美國的人均GDP采用AR模型進行分析與預測。表2-1是1956年-2012年我國人均GDP的原始數(shù)據(jù)，以年份來統(tǒng)計，一共57個數(shù)據(jù)，它們是等間距的時間序列，在本文的研究中將數(shù)據(jù)分為兩個部分，

11、第一部分是從1956年-2009年，第二部分是從2009年一2012年。將第一部分的數(shù)據(jù)作為原始數(shù)據(jù)，用于對模型進行估計，第二部分的數(shù)據(jù)則作為實驗數(shù)據(jù)，用以檢驗預測的正確性，即前54個數(shù)據(jù)用于估計，后3個數(shù)據(jù)用于預測。中國1956-2012歷年人均GDP單位：元年份人均GDP年份人均GDP年份人均GDP年份人均GDP19561661971290198696320018,6221957168197229419871,11220029,3981958200197331019881,366200310,5421959216197431119891,519200412,3361960218197532

12、919901,644200514,1851961185197631819911,893200616,5001962173197734119922,311200720,1691963181197838119932,998200823,7081964208197941919944,044200925,6051965240198046319955,046201029,7481966255198149219965,846201133,9891967236198252819976,420201238,3541968223198358319986,7961969244198469519997,159197

13、0276198585820007,858美國1956-2012歷年人均GDP單位：美元建模和預測分析在對我國人均GDP數(shù)據(jù)樣本建立線性自回歸模型，建模之前需要對數(shù)掘進行平穩(wěn)化處理，根據(jù)19562012年數(shù)據(jù)自身特點及建模的需要，對數(shù)據(jù)進行對數(shù)變換和差分運算。即Y=2lnA，其中是差分算子，A表示第年的人均GDP總量，在對我國19562012年人均GDP的數(shù)據(jù)樣本進行對數(shù)變換和差分運算進行平穩(wěn)化處理，處理后的數(shù)據(jù)序列如圖22，并對處理后的數(shù)據(jù)進行逆序檢驗，檢驗處理后的數(shù)據(jù)是否平穩(wěn)。設Y為我國人均GDP的數(shù)據(jù)序列，則樣本Y1,Y2,Y54是1956年-2012年的人均GDP數(shù)據(jù)序列，現(xiàn)采用逆序檢驗法對其進行平穩(wěn)性檢驗：運用上述數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性檢驗和平穩(wěn)化處理方法，我們將對人均GDP數(shù)據(jù)分成M=7段，得出每段數(shù)據(jù)的方差序列為： ，且逆序總數(shù)A=