高二數(shù)學(xué)人教A版選修1-2全套

1、 欄目鏈接欄目鏈接目錄 欄目鏈接欄目鏈接11回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接1了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念了解隨機誤差、殘差、殘差圖的概念2會通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果會通過分析殘差判斷線性回歸模型的擬合效果3掌握建立回歸模型的步驟掌握建立回歸模型的步驟4了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用了解回歸分析的基本思想方法和初步應(yīng)用 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接題型一題型一 線性回歸模型的求解及應(yīng)用線性回歸模型的求解及應(yīng)用 欄目鏈接欄目鏈接例例1一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定

2、加工零件所花一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了費的時間，為此進行了4次試驗，收集的數(shù)據(jù)如下：次試驗，收集的數(shù)據(jù)如下：零件個數(shù)零件個數(shù)x/個個1234加工時間加工時間y/小時小時2358 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接分析：分析：解答過程如下：解答過程如下：解析：解析：(1)根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)可作出散點圖如下：根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)可作出散點圖如下： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1某種產(chǎn)品的廣告費用支出某種產(chǎn)品的廣告費用支出x與銷售額與銷售額y之間有如下的對之間有如下的

3、對應(yīng)數(shù)據(jù)應(yīng)數(shù)據(jù)(單位：萬元單位：萬元)：x/萬萬元元24568y/萬萬元元3040605070(1)畫出散點圖；畫出散點圖；(2)求回歸方程；求回歸方程；(3)據(jù)此估計廣告費用支出為據(jù)此估計廣告費用支出為10萬元時銷售額萬元時銷售額y的值的值 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接題型二題型二 模型擬合效果的分析模型擬合效果的分析 欄目鏈接欄目鏈接例例2 一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的一個車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此進行了時間，為此進行了10次試驗，測得數(shù)據(jù)如下：次試驗，測得數(shù)據(jù)如下：零件數(shù)零件數(shù)

4、x/個個102030405060708090100加工時間加工時間y/分鐘分鐘626875818995102108115122(1)如果如果y與與x具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程具有線性相關(guān)關(guān)系，求回歸直線方程(2)根據(jù)求出的回歸直線方程，預(yù)測加工根據(jù)求出的回歸直線方程，預(yù)測加工200個零件所用的時間為多個零件所用的時間為多少？少？(3)求出相關(guān)指數(shù)求出相關(guān)指數(shù)R2，作出殘差圖，并對模型擬合效果進行分析，作出殘差圖，并對模型擬合效果進行分析 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析解析：(1)列出下表：列出下表：i12345678910 xi102030405060708090100yi626

5、875818995102108115122xiyi6201 3602 2503 2404 4505 7007 1408 64010 35012 200 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接yi626875818995102108115122i61.668.375.081.788.495.0101.7108.4115.1121.8yi29.723.716.710.72.73.310.316.323.330.3yii0.400.3000.700.6000.300.400.100.20 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接注：注：橫坐標(biāo)為零件個數(shù)橫坐標(biāo)為零件個數(shù)，縱坐

6、標(biāo)為殘差縱坐標(biāo)為殘差由由R20.999 62非常接近于非常接近于1，可知回歸直線模型擬合效果較可知回歸直線模型擬合效果較好殘差圖中的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中好殘差圖中的殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，也說明選用的線性回歸模型較為合適也說明選用的線性回歸模型較為合適，帶狀區(qū)域的寬度比較帶狀區(qū)域的寬度比較狹窄狹窄，說明了模型擬合精度較高說明了模型擬合精度較高點評：點評：解決本題的關(guān)鍵在于公式的運用解決本題的關(guān)鍵在于公式的運用 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2關(guān)于關(guān)于x與與y有如下數(shù)據(jù)：有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接

7、欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接題型三題型三 非線性回歸分析非線性回歸分析 欄目鏈接欄目鏈接例例3 在化學(xué)反應(yīng)過程中某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速率在化學(xué)反應(yīng)過程中某化學(xué)物質(zhì)的反應(yīng)速率y(g/min)與一種催化劑的量與一種催化劑的量x(g)有關(guān)，現(xiàn)收集了有關(guān)，現(xiàn)收集了8組數(shù)據(jù)列于下表組數(shù)據(jù)列于下表中，試建立中，試建立y與與x之間的回歸方程之間的回歸方程.x1518212427303336y6830277020565350 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點圖如下圖所示根據(jù)收集的數(shù)據(jù)作散點圖如下圖所示，根據(jù)樣本根據(jù)樣本點分布情況可選用兩種曲線模型來擬合點分布情況可選用兩種曲線模型來

8、擬合(1)可認為樣本點集中在某二次曲線可認為樣本點集中在某二次曲線yc1x2c2的附近，令的附近，令tx2，則變換后樣本點應(yīng)該分布在直線則變換后樣本點應(yīng)該分布在直線ybta，ac2)的的周圍周圍由題意得變換后由題意得變換后t與與y樣本數(shù)據(jù)表：樣本數(shù)據(jù)表： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接t2253244415767299001 0891 296y6830277020565350作作y與與t的散點圖如下：的散點圖如下： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接由由y與與t的散點圖可觀察到樣本數(shù)據(jù)點并不分布在一條直線的的散點圖可觀察到樣本數(shù)據(jù)點并不分布在一條直線的周圍周圍，因此不宜用線性回歸方程因此不

9、宜用線性回歸方程ybta(bc1，)來擬合來擬合，也不宜用二次曲線也不宜用二次曲線yc1x2c2來擬合來擬合y與與x之間的關(guān)系之間的關(guān)系(2)根據(jù)根據(jù)x與與y散點圖也可以認為樣本點集中在某一條指數(shù)型函散點圖也可以認為樣本點集中在某一條指數(shù)型函數(shù)數(shù)yc1ec2x的周圍的周圍令令zln y，則則zc2xln c1.即變換后樣本點應(yīng)該分布在直線即變換后樣本點應(yīng)該分布在直線zbxa(aln c1，)的周的周圍由圍由y與與x的數(shù)據(jù)表可得的數(shù)據(jù)表可得z與與x的數(shù)據(jù)表：的數(shù)據(jù)表：x1518212427303336z1.7922.0793.4013.2964.2485.3234.1745.858 欄目鏈接欄目

10、鏈接 欄目鏈接欄目鏈接作出作出z與與x的散點圖：的散點圖： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：下表為收集到的一組數(shù)據(jù)：x21232527293235y711212466115325(1)作出作出x與與y的散點圖，并猜測的散點圖，并猜測x與與y之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；(2)建立建立y與與x的關(guān)系式，并利用所得模型，預(yù)報的關(guān)系式，并利用所得模型，預(yù)報x40時時的值的值 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：(1)利用表中數(shù)據(jù)利用表中數(shù)據(jù)，作出散點圖如下：作出散點圖如下：從散點圖可以看出從散點圖可以看出x與與y不

11、是線性相關(guān)關(guān)系不是線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)所學(xué)知識可根據(jù)所學(xué)知識可以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)曲線以發(fā)現(xiàn)樣本點分布在一條指數(shù)函數(shù)曲線yaebx的周圍的周圍，其中其中a，b為常數(shù)為常數(shù)(2)對對yaebx取自然對數(shù)取自然對數(shù)，ln yln abx，令令uln y，cln a，則變換為線性回歸模型則變換為線性回歸模型，ucbx.數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為：數(shù)據(jù)可轉(zhuǎn)化為： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接x21232527293235u1.9462.3983.0453.1784.1904.7455.784散點圖如下圖所示：散點圖如下圖所示： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接12獨立性檢驗的基本思

12、想及其初步應(yīng)用獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接1了解獨立性檢驗了解獨立性檢驗(只要求只要求22列聯(lián)表列聯(lián)表)的基本思想的基本思想，記住記住K2的計算公式的計算公式2了解實際推斷原理和假設(shè)檢驗的基本思想及其初了解實際推斷原理和假設(shè)檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用步應(yīng)用3通過實際問題培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣通過實際問題培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，激發(fā)學(xué)生學(xué)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和主動性習(xí)的積極性和主動性，增強社會實踐能力增強社會實踐能力，培養(yǎng)分培養(yǎng)分析問題、解決問題的能力析問題、解決問題的能力 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接題型一題型一 利用圖

13、形分析兩分類變量的相關(guān)性利用圖形分析兩分類變量的相關(guān)性 欄目鏈接欄目鏈接例例1打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，打鼾不僅影響別人休息，而且可能與患某種疾病有關(guān)，下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問：每晚都打鼾與患心臟病下表是一次調(diào)查所得的數(shù)據(jù)，試問：每晚都打鼾與患心臟病有關(guān)嗎？用圖加以分析有關(guān)嗎？用圖加以分析.患心臟病患心臟病未患心臟病未患心臟病合計合計每晚都打鼾每晚都打鼾30224254不打鼾不打鼾241 3551 379合計合計541 5791 633 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：利用等高條形圖定性分析兩個分類變量之間是否有利用等高條形圖定性分析兩個分類變量之間是

14、否有關(guān)系關(guān)系，圖形如下：圖形如下： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進行動物試驗，得為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進行動物試驗，得到如下的列聯(lián)表：到如下的列聯(lián)表：患病患病未患病未患病總計總計服用藥服用藥104555沒有服用藥沒有服用藥203050總計總計3075105試用圖形判斷服用藥和患病之間是否有關(guān)系試用圖形判斷服用藥和患病之間是否有關(guān)系 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：相應(yīng)的等高條形圖如下：相應(yīng)的等高條形圖如下：從圖形可以看出從圖形可以看出，服用藥的樣本中患病的比例明顯低于沒服用藥的樣本

15、中患病的比例明顯低于沒有服用藥的樣本中患病的比例有服用藥的樣本中患病的比例，因此可以認為：服用藥和因此可以認為：服用藥和患病之間有關(guān)系患病之間有關(guān)系 欄目鏈接欄目鏈接題型二題型二 獨立性檢驗方法獨立性檢驗方法K2公式公式 欄目鏈接欄目鏈接例例2調(diào)查者詢問了調(diào)查者詢問了72名大學(xué)生在購買食品時是否看營養(yǎng)說名大學(xué)生在購買食品時是否看營養(yǎng)說明得到下表所示的數(shù)據(jù)，從表中數(shù)據(jù)分析看不看說明書與明得到下表所示的數(shù)據(jù)，從表中數(shù)據(jù)分析看不看說明書與大學(xué)生的性別之間有沒有關(guān)系大學(xué)生的性別之間有沒有關(guān)系.看營養(yǎng)說明看營養(yǎng)說明不看營養(yǎng)說明不看營養(yǎng)說明合計合計男大學(xué)生男大學(xué)生28836女大學(xué)生女大學(xué)生132036合計

16、合計442872 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2某中學(xué)一位高三班主任對本班某中學(xué)一位高三班主任對本班50名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和名學(xué)生學(xué)習(xí)積極性和對待班級工作的態(tài)度進行長期的調(diào)查，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)對待班級工作的態(tài)度進行長期的調(diào)查，得到的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表所示：如下表所示： 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接(1)如果隨機調(diào)查這個班的一名學(xué)生，那么抽到積極參如果隨機調(diào)查這個班的一名學(xué)生，那么抽到積極參加班級工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太積極參加班加班級工作的學(xué)生的概率是多少？抽到不太積極參加班級工作且學(xué)習(xí)積極性

17、一般的學(xué)生的概率是多少？級工作且學(xué)習(xí)積極性一般的學(xué)生的概率是多少？(2)能否在犯錯誤的概率不超過能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為學(xué)生的前提下認為學(xué)生的積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系？的積極性與對待班級工作的態(tài)度有關(guān)系？ 欄目鏈接欄目鏈接題型三題型三 獨立性檢驗的實際應(yīng)用獨立性檢驗的實際應(yīng)用 欄目鏈接欄目鏈接例例3 下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表：下表是某地區(qū)的一種傳染病與飲用水的調(diào)查表：得病得病不得病不得病合計合計干凈水干凈水52466518不干凈水不干凈水94218312合計合計146684830(1)這種產(chǎn)染病是否與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由；這種產(chǎn)染病是否

18、與飲用水的衛(wèi)生程度有關(guān)，請說明理由；(2)若飲用干凈水得病若飲用干凈水得病5人，不得病人，不得病50人，飲用不干凈水得病人，飲用不干凈水得病9人，不得病人，不得病22人按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水人按此樣本數(shù)據(jù)分析這種疾病是否與飲用水有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時的差異有關(guān)，并比較兩種樣本在反映總體時的差異 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接得病得病不得病不得病合計合計干凈水干凈水55055不干凈水不干凈水92231合計合計147286 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3現(xiàn)有兩種治療運動員膝關(guān)節(jié)損失的藥方，為了比現(xiàn)有兩種治療運動

19、員膝關(guān)節(jié)損失的藥方，為了比較兩藥方的療效收集的數(shù)據(jù)如下表；較兩藥方的療效收集的數(shù)據(jù)如下表；藥藥方方再發(fā)再發(fā)病人病人不再發(fā)不再發(fā)病人病人藥藥方方12504 750藥藥方方21004 900(1)試判斷藥方的選擇對療效是否有關(guān)；試判斷藥方的選擇對療效是否有關(guān)；(2)哪種藥方療效好？哪種藥方療效好？ 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接第二章推理與證明第二章推理與證明21.1合合 情情 推推 理理 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接歸納推理歸納推理 欄目鏈接欄目鏈接點評：這是典型的歸納推理模式點評：這是典型的歸納推理模式，應(yīng)該認真

20、把應(yīng)該認真把握只是在取特殊值時握只是在取特殊值時，要多驗證幾個要多驗證幾個，力求探力求探尋到一般性的規(guī)律尋到一般性的規(guī)律，以免因為片面而導(dǎo)致錯誤以免因為片面而導(dǎo)致錯誤 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接兩條直線最多有一個交點，兩條直線最多有一個交點，3條直線最多有條直線最多有3個交點，個交點，4條直線最多有條直線最多有6個交點，個交點，5條直線最多有條直線最多有10個交點，個交點，試歸納試歸納n條直

21、線最多有多少個交點條直線最多有多少個交點 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接點評點評；在幾何問題中在幾何問題中，經(jīng)常由經(jīng)常由n2，3，4，歸歸納出納出f(n)的表達式的表達式，關(guān)鍵是尋找遞推關(guān)系關(guān)鍵是尋找遞推關(guān)系 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3設(shè)平面內(nèi)有設(shè)平面內(nèi)有n條直線條直線(n3)，其中有且僅有兩條直線互，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點，若用相平行，任意三條直線不過同一點，若用f(n)表示這表示這n條條直線交點的個數(shù)，求直線交點的個數(shù)，求f(4)及及f(n)分析：分析：f(4)可以具體求出可以具體求出，求求f

22、(n)可由可由f(3)，f(4)，f(5)，中歸納得出中歸納得出 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接類比推理類比推理如右圖，在三棱錐如右圖，在三棱錐SABC中，中，SASB，SBSC，SCSA，且，且SA、SB、SC和底面和底面ABC所成的角分別為所成的角分別為1，2，3，三側(cè)面，三側(cè)面SBC，SAC，SAB的面積分別為的面積分別為S1，S2，S3，類比三角形中的，類比三角形中的正弦定理，給出三棱錐正弦定理，給出三棱錐SABC的一個猜想的一個猜想 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接點評：從本例可以看出點評：從本例可以看出，

23、在從平面三角形到空間四面在從平面三角形到空間四面體的類比過程中體的類比過程中，三角形的三條邊對應(yīng)于四面體的三三角形的三條邊對應(yīng)于四面體的三個側(cè)面?zhèn)€側(cè)面，邊長對應(yīng)于面積邊長對應(yīng)于面積，三個內(nèi)角對應(yīng)于四面體的三個內(nèi)角對應(yīng)于四面體的三條側(cè)棱與底面所成的角三條側(cè)棱與底面所成的角 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4過棱錐各側(cè)棱中點的截面叫做中截面，類比三角形中過棱錐各側(cè)棱中點的截面叫做中截面，類比三角形中位線定理位線定理“A1B1AB且且A1B1AB”，可得三棱錐中截面，可得三棱錐中截面的性質(zhì)定理：的性質(zhì)定理：_.答案：答案：平面平面A1B1C1平面平面ABC，且，且SA1B1C1S

24、ABC 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接在等差數(shù)列在等差數(shù)列an中，有中，有amanaras(其中其中mnrs)，類，類比以上結(jié)論得等比數(shù)列中的類似結(jié)論，并證明之比以上結(jié)論得等比數(shù)列中的類似結(jié)論，并證明之分析：等比數(shù)列中的乘法、乘方類比等差數(shù)列中的加法、乘分析：等比數(shù)列中的乘法、乘方類比等差數(shù)列中的加法、乘法法解析：解析：類比等差數(shù)列中的結(jié)論可得在等比數(shù)列類比等差數(shù)列中的結(jié)論可得在等比數(shù)列bn中中，bmbnbrbs(其中其中mnrs)證明如下：證明如下：bmbnb1qm1b1qn1bqmn2，brbsb1qr1b1qs1bqrs2(其中其中q為公比為公比)，又又mnrs，bmbnbrbs.

25、欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接點評：等差數(shù)列和等比數(shù)列是一對很好的類比對象點評：等差數(shù)列和等比數(shù)列是一對很好的類比對象，它，它們在很多方面可以進行類比們在很多方面可以進行類比等差數(shù)列中的加、減、倍等差數(shù)列中的加、減、倍數(shù)通常與等比數(shù)列中的乘、除、乘方相對應(yīng)數(shù)通常與等比數(shù)列中的乘、除、乘方相對應(yīng) 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練5已知已知bn為等比數(shù)列，為等比數(shù)列，b52，則，則b1b2b3b929.若若an為為等差數(shù)列，等差數(shù)列，a52，則，則an的類似結(jié)論為的類似結(jié)論為(D)Aa1a2a3a929Ba1a2a929Ca1a2a929Da1a2a929 欄目鏈接欄目鏈接

26、 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：對向量對向量a，b，有有(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.證明：證明：(ab)2(ab)(ab)(ab)a(ab)ba2baabb2a22abb2.(ab)(ab)(ab)a(ab)ba2baabb2a2b2.對象歸納整理對象歸納整理，便于記憶與運用。便于記憶與運用。在實數(shù)運算中有公式：在實數(shù)運算中有公式：(ab)2a22abb2；(ab)(ab)a2b2.類比以上結(jié)論得向量的運算公式并證明類比以上結(jié)論得向量的運算公式并證明 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接點評：類比是對知識進行串接梳理的好方法點評：類比是對知識進行串接梳理的好方法，在平在平時

27、的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)時時的學(xué)習(xí)與復(fù)習(xí)時，常常把有類比關(guān)系的對象歸納常常把有類比關(guān)系的對象歸納整理整理，便于記憶運用。便于記憶運用。 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練6類比實數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運算類比實數(shù)的加法和向量的加法，列出它們相似的運算性質(zhì)性質(zhì).答案：答案：abba(ab)ca(bc)a0a 欄目鏈接欄目鏈接第二章推理與證明第二章推理與證明21.2演演 繹繹 推推 理理 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接“三段論三段論”模式及其理解模式及其理解將下列的演繹推理寫成將下列的演繹推理寫成“三段論三段論”的形式的形式(1)菱形的對角線相互垂直，正方

28、形是菱形，所以正方形菱形的對角線相互垂直，正方形是菱形，所以正方形的對角線相互垂直；的對角線相互垂直；(2)奇數(shù)不能被奇數(shù)不能被2整除，整除，(21001)是奇數(shù)，所以是奇數(shù)，所以(21001)不不能被能被2整除；整除；(3)一次函數(shù)的圖象是直線，一次函數(shù)的圖象是直線，y2x1是一次函數(shù)，所以是一次函數(shù)，所以y2x1的圖象是直線的圖象是直線 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：根據(jù)根據(jù)“三段論三段論”的概念的概念，可以得到：可以得到：(1)每個菱形的對角線都相互垂直每個菱形的對角線都相互垂直，大前提大前提正方形是菱形正方形是菱形，小前提小前提所以正方形的對角線相互垂直結(jié)論所以正方形的對角線相互垂直結(jié)論

29、(2)一切奇數(shù)都不能被一切奇數(shù)都不能被2整除整除，大前提大前提(21001)是奇數(shù)是奇數(shù)，小前提小前提所以所以(21001)不能被不能被2整除結(jié)論整除結(jié)論(3)所有的一次函數(shù)的圖象是直線所有的一次函數(shù)的圖象是直線，大前提大前提y2x1是一次函數(shù)是一次函數(shù)，小前提小前提所以所以y2x1的圖象是直線結(jié)論的圖象是直線結(jié)論 欄目鏈接欄目鏈接點評：這些基本問題有助于準(zhǔn)確理解點評：這些基本問題有助于準(zhǔn)確理解“三段論三段論”的表述形式的表述形式，應(yīng)該重點掌握應(yīng)該重點掌握 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1將下列的演繹推理寫成將下列的演繹推理寫成“三段論三段論”的形式的形式(1)三角形內(nèi)角

30、和為三角形內(nèi)角和為180，所以正三角形的內(nèi)角和是，所以正三角形的內(nèi)角和是180；(2)0.332 是有理數(shù)；是有理數(shù)；(3)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補兩直線平行，同旁內(nèi)角互補A與與B是兩條平行直線是兩條平行直線的同旁內(nèi)角，所以的同旁內(nèi)角，所以AB180. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接給定一個推理：給定一個推理：因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，因為所有邊長都相等的凸多邊形是正多邊形，大前提大前提而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，小前提而菱形是所有邊長都相等的凸多邊形，小前提所以菱形是正多邊形結(jié)論所以菱形是正多邊形結(jié)論(1)上面的推理形式正確嗎？上面

31、的推理形式正確嗎？(2)推理的結(jié)論正確嗎？為什么？推理的結(jié)論正確嗎？為什么？ 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：上述推理的形式正確上述推理的形式正確，但大前提是錯誤的但大前提是錯誤的(因為因為所有邊長都相等所有邊長都相等，內(nèi)角也相等的凸多邊形才是正多邊內(nèi)角也相等的凸多邊形才是正多邊形形)，所以所得的結(jié)論是錯誤的所以所得的結(jié)論是錯誤的點評：這道題要求在準(zhǔn)確理解點評：這道題要求在準(zhǔn)確理解“三段論三段論”的形式基礎(chǔ)上的形式基礎(chǔ)上，進一步學(xué)會判斷推理形式是否為進一步學(xué)會判斷推理形式是否為“三段論三段論”以及以及“三段三段論論”的各組成部分是否正確的各組成部分是否正確 欄目鏈接欄目鏈接 欄目

32、鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2有一段演繹推理是這樣的：有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面，則平行直線平行于平面，則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線于平面內(nèi)所有直線；已知直線b 平面平面，直線，直線a平面平面，直線直線b平面平面，則直線，則直線b直線直線a.”這個推理的結(jié)論顯然是這個推理的結(jié)論顯然是錯誤的，這是因為錯誤的，這是因為(A)A大前提錯誤大前提錯誤 B小前提錯誤小前提錯誤C推理形式錯誤推理形式錯誤 D非以上錯誤非以上錯誤解析：解析：直線平行于平面直線平行于平面，并不平行于平面內(nèi)所有直線并不平行于平面內(nèi)所有直線 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接演繹推理在證明幾何問題中的應(yīng)用演繹推

33、理在證明幾何問題中的應(yīng)用如圖，如圖，D、E、F分別是分別是BC、CA、AB上的點，上的點，BFDA，DEBA，用，用“三段論三段論”證明：證明：EDAF. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接證明：證明：同位角相等同位角相等，兩直線平行兩直線平行，大前提大前提BFD與與A是同位角是同位角，且且BFDA，小前提小前提FDAE.結(jié)論結(jié)論兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，大前提大前提DEBA，且且FDAE，小前提小前提四邊形四邊形AFDE是平行四邊結(jié)論是平行四邊結(jié)論平行四邊形的對邊相等平行四邊形的對邊相等，大前提大前提ED和和AF是平行四邊形是平行四邊形AFDE

34、的對邊的對邊，小前提小前提EDAF.結(jié)論結(jié)論 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3如圖，在梯形如圖，在梯形ABCD中，中，ABDCDA，AC和和BD是梯形的對角線，用是梯形的對角線，用“三段論三段論”證明：證明：AC平分平分BCD，DB平分平分ABC. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接分析：理清圖形中的線段關(guān)系分析：理清圖形中的線段關(guān)系，角度關(guān)系角度關(guān)系，由由ADC是等是等腰三角形知腰三角形知，12，又又ADBC，知知13，等量等量代換得代換得23，結(jié)論得證結(jié)論得證證明：證明：等腰三角形兩底角相等等腰三角形兩底角相等，大前提大前提ADC是等腰三角形是等腰三角形，小前提小前提

35、12.結(jié)論結(jié)論兩條平行線段被第三條直線所截兩條平行線段被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等內(nèi)錯角相等，大前提大前提1和和3是平行線是平行線AD、BC被被AC截得的內(nèi)錯角小前提截得的內(nèi)錯角小前提13結(jié)論結(jié)論 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接等于同一個角的兩個角相等等于同一個角的兩個角相等，大前提大前提21，3，1，小前提小前提23，即即AC評分評分BCD.結(jié)論結(jié)論同理可證：同理可證：DB平分平分ABC. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接演繹推理在代數(shù)問題中的應(yīng)用演繹推理在代數(shù)問題中的應(yīng)用設(shè)設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于是整數(shù)集的一個非空子集，對于kA，如果，如果k1A，且且k1A，那么稱是，那么稱

36、是k是是A的一個的一個“孤立元孤立元”，給定，給定S1，2，3，4，5，6，7，8，由，由S的的3個元素構(gòu)成的所有集個元素構(gòu)成的所有集合中，不含合中，不含“孤立元孤立元”的集合共有的集合共有_個個 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：設(shè)設(shè)Aa，b，c是集合是集合S的的3個元素構(gòu)成的不含個元素構(gòu)成的不含“孤立元孤立元”的集合的集合，則由則由“孤立元孤立元”的定義可知的定義可知，a，b，c是三個連續(xù)整數(shù)是三個連續(xù)整數(shù)“孤立元孤立元”的定義大前提的定義大前提給定給定A1，2，3，小前提小前提所以集合所以集合A不含不含“孤立元孤立元”結(jié)論結(jié)論同理可得不含同理可得不含“孤立元孤立元”的集合還有

37、的集合還有2，3，4，3，4，5，4，5，6，5，6，7，6，7，8，故不含故不含“孤立元孤立元”的集合共有的集合共有6個個答案：答案：6 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4已知已知lg3m，用，用“三段論三段論”計算計算lg0.9的值的值解析：解析：lgannlga(a0)，大前提大前提，lg9lg32，小前提小前提lg92lg3，結(jié)論結(jié)論又又lglgalgb(a0，b0)，大前提大前提lg0.9lg.小前提小前提lg0.9lg9lg102lg312m1結(jié)論結(jié)論 欄目鏈接欄目鏈接第二章推理與證明第二章推理與證明22.1綜合法和分析法綜合法和分析法 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈

38、接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接用綜合法、分析法證明代數(shù)問題用綜合法、分析法證明代數(shù)問題已知：已知：a，b(0，)，且，且ab，求證：，求證：a3b3a2bab2.證明：證明：證法一證法一(分析法分析法)要證要證a3b3a2bab2，即證即證(ab)(a2abb2)ab(ab)，因為因為ab0，故只需證故只需證a2abb2ab，即證即證a22abb20，即證即證(ab)20，因為因為ab，所以所以(ab)20成立成立，所以所以a3b3a2bab2成立成立 欄目鏈接欄目鏈接證法二證法二(綜合法綜合法)由由ab，知知(ab)20，即即a22abb20，則則a2abb2ab，又又ab0，則則(ab)(a

39、2abb2)ab(ab)，即即a3b3a2bab2. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接用綜合法、分析法證明幾何問題用綜合法、分析法證明幾何問題如下圖，在三棱柱如下圖，在三棱柱ABCA1B1C1 中，側(cè)棱中，側(cè)棱AA1底面底面ABC，ABBC，D為為AC 的中點的中點求證：求證：AB1平面平面BC1D. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接證明：證明：連接連接B1C(如下圖如下圖)，設(shè)設(shè)B1C與與BC1相交于點相交于點O，連接連接OD，

40、四邊形四邊形BCC1B1是平行四邊形是平行四邊形， 點點O為為B1C的中點的中點D為為AC的中點的中點，OD為為AB1C的中位線的中位線，ODAB1又又OD平面平面BC1D，AB1 平面平面BC1D，AB1平面平面BC1D. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接(2014肇慶一模肇慶一模)如圖，如圖，AB是圓是圓O的直徑，點的直徑，點C是弧是弧AB的中的中點，點點，點V是圓是圓O所在平面外一點，所在平面外一點，D是是AC的中點，已知的中點，已知AB2，VAVBVC2.(1)求證：求證：OD平面平面VBC；(2)求證：求證：AC平面平面VOD； 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接證明：證明：(1)

41、O、D分別是分別是AB和和AC的中點的中點，ODBC.又又OD 平面平面VBC，BC平面平面VBC，OD平面平面VBC.(2)VAVB，O為為AB中點中點，VOAB.連接連接OC，在在VOA和和VOC中中，OAOC，VOVO，VAVC，VOAVOC，VOAVOC90，VOOC. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接ABOCO，VO平面平面ABC.AC平面平面ABC，ACVO.又又VAVC，D是是AC的中點的中點，ACVD.VOVDV，AC平面平面VOD. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3如右圖，在長方體如右圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，證明：平面中，證明：平面A1

42、BD平面平面CB1D1. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接證明：證明：因為因為ABCDA1B1C1D1為長方體為長方體，所以有所以有A1D1綊綊BC，即四邊形即四邊形A1BCD1為平行四邊形為平行四邊形，從而有從而有A1BCD1.又已知又已知A1B 平面平面CB1D1，CD1平面平面CB1D1，進而有進而有A1B平面平面CB1D1；同理有；同理有A1DB1C，從而有從而有A1D平面平面CB1D1.又已知又已知A1BA1DA1，所以有平面所以有平面A1BD平面平面CB1D1. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接4(2014珠海一模珠海一模)如圖，在三棱柱如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，四邊

43、中，四邊形形A1ABB1為菱形，為菱形，A1AB45，四邊形，四邊形BCC1B1為矩形，為矩形，若若AC5，AB4，BC3.(1)求證：求證：BC平面平面A1B1C1；(2)求證：求證：AB1平面平面A1BC. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接解析：解析：(1)證明：證明：四邊形四邊形BCC1B1為矩形為矩形，BCB1C1.BC 平面平面A1B1C1，B1C1平面平面A1B1C1，BC平面平面A1B1C1.(2)在在ABC中中，AC5，AB4，BC3，AC2AB2BC2，ABC90，即即CBAB.又又四邊形四邊形BCC1B1為矩形為矩形，CBBB1. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接BB1

44、ABB，CB平面平面AA1B1B.又又AB1平面平面AA1B1B，CBAB1.四邊形四邊形A1ABB1為菱形為菱形，AB1A1B.CBA1BB，AB1平面平面A1BC. 欄目鏈接欄目鏈接第二章推理與證明第二章推理與證明22.2反證法反證法 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接用反證法證明否定性命題用反證法證明否定性命題設(shè)設(shè)an，bn分別是公比為分別是公比為p，q(p，qR，且，且pq)的兩的兩個等比數(shù)列，如果個等比數(shù)列，如果cnanbn，證明數(shù)列，證明數(shù)列cn不可能是等比不可能是等比數(shù)列數(shù)列分析：因為結(jié)論是否定的分析：因為結(jié)論是否定的，所以用反證法證明所以用反證法證明 欄目鏈接

45、欄目鏈接證明：證明：假設(shè)假設(shè)cn是等比數(shù)列是等比數(shù)列，則則cc1c3，即即(a1pb1q)2(a1b1)(a1p2b1q2)，展開并整理得展開并整理得a1b1(pq)20.由于由于a1，b1是等比數(shù)列中的項是等比數(shù)列中的項，所以所以a10，b10，那么那么pq，這與已知條件矛盾這與已知條件矛盾，所所以以，數(shù)列數(shù)列cn不可能是等比數(shù)列不可能是等比數(shù)列點評點評:本題很好地體現(xiàn)了反證法證明否定性數(shù)學(xué)命題的巨大作本題很好地體現(xiàn)了反證法證明否定性數(shù)學(xué)命題的巨大作用用，同時也十分清晰地展示了反證法的證明步驟同時也十分清晰地展示了反證法的證明步驟 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練1如圖，設(shè)如圖，設(shè)SA，S

46、B是圓錐是圓錐SO的兩條母線，的兩條母線，O是底面圓心，是底面圓心，C是是SB上一點，求證：上一點，求證：AC與平面與平面SOB不垂直不垂直證明：證明：假設(shè)假設(shè)AC平面平面SOB，直線直線SO在平面在平面SOB中中，SOAC.SO底面圓底面圓O，SOAB.又又ABACA，SO平面平面SAB.平面平面SAB底面圓底面圓O，這顯然出現(xiàn)矛盾這顯然出現(xiàn)矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立，即即AC與平面與平面SOB不垂直不垂直 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接用反證法證明用反證法證明“至少、至多至少、至多”問題問題 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接證明：證明：假設(shè)假設(shè)a，b，c都不大于都不大于0，即即a0，b

47、0，c0，則則abc0，而而abc(x1)2(y2)2(z1)2330，即即abc0，與假設(shè)矛盾與假設(shè)矛盾，所以所以a，b，c中至少有一個大于中至少有一個大于0.點評：采用反證法證明結(jié)論中至少或至多形式時點評：采用反證法證明結(jié)論中至少或至多形式時，可以使可以使得推證方向明確、推證過程清晰得推證方向明確、推證過程清晰，有利于問題的整體解有利于問題的整體解決決 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2已知已知x0，y0，且，且xy2.試證：，中至少有一個小試證：，中至少有一個小于于2.分析：如果從正面證明分析：如果從正面證明，需要對某一個分式小于需要對某一個分式小于2或兩個分或兩個分

48、式都小于式都小于2等進行分類討論等進行分類討論，而從反面證明而從反面證明，則只要證明兩則只要證明兩個分式都不小于個分式都不小于2是不可能的于是考慮采用反證法是不可能的于是考慮采用反證法 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接用反證法證明唯一性命題用反證法證明唯一性命題 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練3求證：方程求證：方程2x3有且只有一個根有且只有一個根證明：證明：2x3，xlog23，這說明方程至少有一個根這說明方程至少有一個根下面用反證法證明方程下面用反證法證明方程2x3的根是唯一的的根是唯一的假設(shè)方

49、程假設(shè)方程2x3有兩個根有兩個根x1，x2(x1x2)，則則2x13，2x23，兩式相除得兩式相除得，2x1x21，如果如果x1x20，則則2x1x21，這與這與2x1x21相矛盾；相矛盾；如果如果x1x20，則則2x1x21，這也與這也與2x1x21相矛盾相矛盾，因此因此，x1x20，即即x1x2，這與這與x1x2矛盾矛盾，所以方程所以方程2x3有且只有一個根有且只有一個根 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接當(dāng)正面入手較困難時宜用反證法當(dāng)正面入手較困難時宜用反證法已知已知abc0，abbcac0，abc0，求證：求證：a0，b0，c0.證明：證明：假設(shè)假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)不全是正數(shù)，即至

50、少有一個小于或等于即至少有一個小于或等于0.又又abc0，不妨假設(shè)不妨假設(shè)a0，則則bc0，bca0，a(bc)0，a(bc)0，又又bc0，abbcac0，這與已知相矛盾這與已知相矛盾假設(shè)不成立假設(shè)不成立，故故a0，b0，c0. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接點評：當(dāng)一些問題直接證明比較難時點評：當(dāng)一些問題直接證明比較難時，可以考慮用反可以考慮用反證法證法，它是從否定結(jié)論出發(fā)它是從否定結(jié)論出發(fā)，利用已知、公理、定理、利用已知、公理、定理、性質(zhì)等性質(zhì)等，進行推理，直至產(chǎn)生矛盾，進行推理，直至產(chǎn)生矛盾( (與已知、假設(shè)或明與已知、假設(shè)或明顯成立的事實相矛盾，或自相矛盾顯成立的事實相矛盾，或自

51、相矛盾) ) 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練4若若a3b32，求證：，求證：ab2.分析：本題若直接證明分析：本題若直接證明，難度較大而本題結(jié)論的反面更難度較大而本題結(jié)論的反面更簡單簡單，所以宜用反證法所以宜用反證法證法一證法一假設(shè)假設(shè)ab2，則則a2b，2a3b3(2b)3b3，即即2812b6b2，即即(b1)20，這是不可能的這是不可能的ab2. 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接31.1數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的相關(guān)概念數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù)的相關(guān)概念 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接1了解引入復(fù)數(shù)的必要性了解引入復(fù)數(shù)的必要性，了解數(shù)系的擴

52、充了解數(shù)系的擴充過程過程2理解復(fù)數(shù)的基本概念理解復(fù)數(shù)的基本概念3理解復(fù)數(shù)相等的充要條件理解復(fù)數(shù)相等的充要條件4了解了解“虛數(shù)不能比較大小虛數(shù)不能比較大小”的確切含義的確切含義5了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接 欄目鏈接欄目鏈接題型一題型一 復(fù)數(shù)的基本概念復(fù)數(shù)的基本概念 欄目鏈接欄目鏈接例例1判斷下列命題是否正確判斷下列命題是否正確(1)1ai(aR)是一個復(fù)數(shù)是一個復(fù)數(shù)(2)若若aR，則，則(a1)i是純虛數(shù)是純虛數(shù)(3)若若a，bR，且，且ab，則，則aibi.(4)若若(x21)(x23x2)i是純虛數(shù)，則實數(shù)是純虛數(shù)，則實數(shù)x1. 欄目鏈接欄目鏈接