向量基礎(chǔ)知識(shí)匯總

1、向量基礎(chǔ)知識(shí)梳理1向量：既有，又有的量叫向量.2. 向量的幾何表示：以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作 .3. 向量的有關(guān)概念：(1) 零向量：長(zhǎng)度為 的向量叫做零向量，記作 .(2) 單位向量：長(zhǎng)度為 的向量叫做單位向量.(3) 相等向量：且的向量叫做相等向量.(4) 平行向量(共線向量)：方向的向量叫做平行向量，也叫共線向量. 記法：向量a平行于b，記作. 規(guī)定：零向量與 平行.廠1.向量的加法法則乞/ .(1) 三角形法則如圖所示，已知非零向量 a, b,在平面內(nèi)任取一點(diǎn) A，作AB = a, BC = b,則向量叫做a與ILU uuub的和(或和向量)，記作，即a+ b = AB + BC

2、 =上述求兩個(gè)向量和的作圖法則，叫做向量求和的三角形法則.對(duì)于零向量與任一向量 a 的和有 a+ 0=+=.(2) 平行四邊形法則為鄰邊作 ，則對(duì)角線上的向量 = a+ b，這個(gè)法則叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法則.2. 向量加法的運(yùn)算律(1) 交換律：a+ b=.(2) 結(jié)合律：(a+ b)+ c=.3. 向量的減法(1) 定義：a b= a +( b),即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的 .umruun(2) 作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)0,作OA= a, OB = b，則向量a b =.如圖所示.(3) 幾何意義：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，則這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為,uuu uun

3、被減向量的終點(diǎn)為的向量.例如：0A 0B =.1向量數(shù)乘運(yùn)算實(shí)數(shù)入與向量a的積是一個(gè) ,這種運(yùn)算叫做向量的 ，記作,其長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：(1) |刊=(2)掃(0)的方向時(shí)，與a方向相同 時(shí)，與a方向相反特別地，當(dāng) =0 或 a= 0 時(shí)，0a =或 X) =.2. 向量數(shù)乘的運(yùn)算律(1) X ( g)=.(2) ( X+ p) a =.(3) X (a + b)=.特另U地，有(一 X a =;X (a b) =.3. 共線向量定理向量a (0)與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)X使.4. 向量的線性運(yùn)算向量的、運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對(duì)于任意向量a、b,以及任意實(shí)數(shù) X 口、匹，恒有 X

4、 ( pa土!pb)=.1. 平面向量基本定理(1) 定理：如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè) 向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的 向量a,實(shí)數(shù)X, X,使a =.(2) 基底：把 的向量e1, e2叫做表示這一平面內(nèi) 向量的一組基底.2.兩向量的夾角與垂直(1)夾角：已知兩個(gè)=0 (0°<180° ,叫做uuu uuua 和 b,作 OA = a, OB = b，則向量a與b的夾角. 范圍：向量 a與b的夾角的范圍是 . 當(dāng)0= 0°寸，a與b. 當(dāng)0= 180°時(shí)，a與b.(2)垂直：如果 a與b的夾角是，則稱a與b垂直，記作.3.平面向量的坐標(biāo)表示(1

5、) 向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè) 的向量，叫作把向量正交分解.(2) 向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè) i, j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量 a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) x, y使得a=，則叫作向量a的坐標(biāo)，叫作向量的坐標(biāo)表示.ULUI(3) 向量坐標(biāo)的求法：在平面直角坐標(biāo)系中，若A (x, y),則OA =，若A (X1,屮)，B (X2,uuu y2),貝H AB =.1平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算()若a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),則a+ b =,即兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和.(2) 若a =( X1 , y1)

6、, b=( X2 , y2),貝U a- b =,即兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這 兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差.(3) 若a =( x , y),入 R ,貝U淪=,即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來(lái)向量的相應(yīng)坐標(biāo).2. 兩向量共線的坐標(biāo)表示設(shè) a =( X1 , yj , b=( X2 , y2).(1) 當(dāng) a / b 時(shí)，有.(2) 當(dāng)a / b且X2y2豐0時(shí)，有.即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例.uuu uuu3. 若RP =滬卩2 ,貝V P與卩1、P2三點(diǎn)共線.當(dāng)當(dāng)當(dāng)P位于線段PlP2的內(nèi)部，特別地 X= 1時(shí)，P為線段P1P2的中點(diǎn);P位于線段PlP2的延長(zhǎng)線上；P位于線段PlP2的反向延長(zhǎng)

7、線上.1 平面向量數(shù)量積(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b,我們把數(shù)量 叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a b, 即卩a b = |a|b|cos 0,其中B是a與b的夾角.(2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為(3) 投影：設(shè)兩個(gè)非零向量 a、b的夾角為0貝U向量a在b方向的投影是 ，向量b在a方向上的投影是2. 數(shù)量積的幾何意義a b的幾何意義是數(shù)量積 a b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影 的乘積.3. 向量數(shù)量積的運(yùn)算律(1) a b = (交換律);(2) (掃) b= (結(jié)合律);(3) (a + b) c = (分配律).1 .平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若a =( X1,

8、 yj, b=( X2, y2),貝U a b=.即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于 .2. 兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示設(shè)兩個(gè)非零向量 a =( X1 , y1) , b=( X2 , y2),則a丄b? .3. 平面向量的模(1) 向量模公式：設(shè) a=( X1 , yj ,則|a=.、ILW(2) 兩點(diǎn)間距離公式：若 A (X1 , y1), B (x2 , y2),貝V |AB| =4. 向量的夾角公式設(shè)兩非零向量 a=( X1 , y1) , b =( x2 , y2), a與b的夾角為 0貝U cos 0=.向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a/ b( bz 0