復(fù)變期末考試與答案

1、華南農(nóng)業(yè)大學(xué)期末考試試卷（A卷）2005-0睜年第1學(xué)期 考試科目：復(fù)變函數(shù)與積分變換考試類型：（閉卷）考試時間：120分鐘學(xué)號 姓名 年級專業(yè)題號一二三四總分得分評閱人、單項選擇題（本大題共15小題，每小題2分，共30分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯選、多選或未選均無分。1 .下列復(fù)數(shù)中，位于第四象限的復(fù)數(shù)是（A. 4+3iB. -3-3i2 .下列等式中，不成立的等式是（A. z z =Re （z z ）)C.-1+3iD.5-3iC. Arg(3) =arg(3)3.不等式|z|>3所表示的區(qū)域為（）B. arg(-3i) =

2、 arg(-i)D. z z =|z|2A.圓的外部B.上半平面C.角形區(qū)域4 .積分Q 3. 2 dz的值為（）?z| z-2A. 8 二iB.2C. 2二 i5 .下列函數(shù)中，在整個復(fù)平面上解析的函數(shù)是（A. z e B. sin z ezC. tanz eD.圓的內(nèi)部D. 4二 i)D. Re(z) sinz6.在復(fù)平面上，下列命題中，錯誤的是（A. cosz是周期函數(shù)B.ze是解析函數(shù)D. . z2 =|z|B. z =ln4 2二 i 4D. z = ln4 2二iC. eiz =cosz i sin z7,在下列復(fù)數(shù)中，使得ez = J2 + J2i成立的是（A. z =ln2 2

3、 二i 二4C. z =ln2 2二i8.設(shè)C為正向圓周B. 2tH|z|=1,則積分D. 2兀9.設(shè)C為正向圓周1|z|=2,則兔dz等于(A.B. 0C2:iD. -2二 i2 ri10 .以下關(guān)于級數(shù)的命題不正確的是（3 <3 +2i ' A.級數(shù)3 3 2inl 7 Jn1是絕對收斂的n=2十"是收斂的十_ |是收斂的11 .已知z =1十i,則下列正確的是（A. z12.正確的是（7:i312C. z = >/2e6 二D. zj2e3A.在收斂圓內(nèi)，哥級數(shù)絕對收斂C.在收斂圓周上，可能收斂，也可能發(fā)散B.在收斂圓外，哥級數(shù)發(fā)散D.在收斂圓周上，條件收斂

4、13. z=0是函數(shù)z e的(zsinzA.本性奇點C.二級極點B. 一級極點D.可去奇點14 zcosz 在點z - -z = n處的留數(shù)為（A.B.二C.1D. -115.關(guān)于=limz 01mz下列命題正確的是zA. =0B.切不存在C. 二 一1 D. = 1二、填空題（本大題共 5小題，每小題2分，共10分）16 .復(fù)數(shù)白S sin矩形式cos z 二二 3 , i 為 32217 .已知f(z)=(x +ay +x)+i(bxy + y)在復(fù)平面上可導(dǎo)，則 a + b =18 .設(shè)函數(shù) f (z) = jsteht,則 f (z)等于.19.哥極數(shù)工二(-1)/2n Z=rn-n的

5、收斂半徑為20 .設(shè) Zi = -1+i, Z2 =1 一 M , 求 _ |=z2三、計算題(本大題共 4小題，每題7分，共28分)21 .設(shè)C為從原點到2 + 3i的直線段，計算積分I = fC(x-2y) + ixydz22 .設(shè) f (z) = e 2 +COSZ . (1)求 f (z)的解析區(qū)域，(2)求 f '(z). 4-z23 將函數(shù)f (z) -1 在點z = 0處展開為泰勒級數(shù).(z-1)(z-2)24,將函數(shù)f (z)=(z-1)在圓環(huán)0<|2-1|父笛內(nèi)展開成洛朗級數(shù).四、綜合題（共4小題，每題8分，共32分）22_一、25 .已知 u(x,y)=x -

6、y +2x,求一解析函數(shù) f (z) =u(x, y)十iv(x, y),并使f (0) =2i。26 . 計算 Lh (z 1)1z +1)(z3)-1,27,求函數(shù) f (t) = < 1,0,-1 ：t < 00 <t <1的傅氏變換。其它28.求函數(shù) f(t)=cos3t的拉氏變換復(fù)變函數(shù)與積分變換期末試卷答案、選擇題1. D. 2. C.3. A 4. D 5. B 6. D 7. A 8. C 9.B 10.D 11.B12.D13.C14.A 15.B、填空題18. 3(zez -ez 1),31 冗16. z = cos i sin , 17. 1,61

7、9. 1,-1- 3 ( 3 -1)i42分2分2分1分2分1分1分三、計算題(本大題共 4小題，每題7分，共28分)21.設(shè)C為從原點到2 + 3i的直線段，計算積分I = jC(x 2y) + ixydz解：設(shè)曲線C的參數(shù)方程為C:z = (2+3i)t 0<t<1.I = (x -2y) ixydz = (2t -6t 6t2i)(2 3i)dt - 1C2023=C (Yt +6t i)(2+3i)dt = (2+3i)(2t +2t i) |io 10-10-2i.22.設(shè) f(z)= e 2 +cosz. (1)求 f(z)的解析區(qū)域，求 f'(z). 4 -z

8、解：(1)由方程4z2=0得z = N,故f(z)的解析區(qū)域為C2, -2. f =_e_cosz .4-z2e (4 -z2) - -ez( 2z)22(4-z)-sin z所以 f (z) = ,"z厘-sinz.(4-z)23 將函數(shù) f (z) = 在點z = 0處展開為泰勒級數(shù) (z-1)(z-2)解：f (z) = 1 =111+(1-z)co T U2 n 式2)(z-1)(z-2) (z-2) (1-z)QOJ zn=0nr n2<=znn=0|z|<1.24.將函數(shù)f (z)=1e有(z7?在圓環(huán)0<|z-父30內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解:ez的泰勒展式

9、為ez =n!且為函數(shù)的孤立奇點,故e"的羅朗展式為e"n衛(wèi)n!所以f (z)=(z -1) 3nz0 n!(z -1)n四、綜合題（共4小題，每題8分，共32分）,22_一、25.已知 u(x,y)=x -y +2x,求一解析函數(shù) f (z) =u(x, y)十iv(x, y),并使f (0) =2i。解:由柯西一黎曼方程得:v；:u=2y,-：x ；y所以 v(x, y) = 0 2ydx C(y) = 2xy C(y).4 =2x C(y)=口=2x 2, .yex所以 C(y): 0yC(y)dx C =2y C.所以 v(x, y) = 2xy 2y C.從而 f

10、(z) = x2-y2 2x (2xy 2y C)i.又 f (0) =Ci =2i.所以C =2.所以 f (z) = x2- y2 2x (2xy 2y 2)i.26.計算zNdz(z-1)2：z 1)(z-3) -解：由柯西積分定理得11原式=2ni亙亙 dz+2n ij Jz)2(z3)也H(z-1)2憶書修(z+1)二2 二 i(z 1)(z-3)_2_ i 2_2z一 (z 1)2(z-3)2zz+2ni(z1)2(z3) Z2二 i一 162分1分2分2分1分2分2分1分2分二 i.8-1,-1<t <027,求函數(shù)f(t) =1,0 <t <1的傅氏變換。、0, 其它解：F( . ifddt_oO=0 -e