【KS5U解析】2020屆高三全國普通高等學校統(tǒng)一招生考試試驗檢測卷1數(shù)學（理科）試題 Word版含解析

1、2020年全國普通高等學校統(tǒng)一招生考試數(shù)學試驗檢測卷1（理科）第卷（選擇題：共60分）一、選擇題：本共12小題，每5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的一項是符合題目要求的1. 已知實數(shù)，和虛數(shù)單位滿足，則（ ）a. 2b. 3c. 4d. 5【答案】b【解析】【分析】由題得，解方程組即得解.【詳解】，整理為，根據(jù)復數(shù)相等條件有，解得，則，故選：b【點睛】本題主要考查復數(shù)相等的概念，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.2. 已知集合，則中所含元素的個數(shù)為（ ）a. 4b. 6c. 8d. 10【答案】d【解析】【分析】根據(jù)，通過列舉法即可

2、得到集合b中的元素，從而得到選項.【詳解】集合中元素要求，故，于是用列舉法可得符合集合的元素有：，共10個元素，故選：d【點睛】本題考查集合的表示方法的應用，考查集合中元素個數(shù)問題，屬于簡單題.3. 周髀算經(jīng)中一個問題：從冬至之日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣的日影子長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分的日影子長的和是尺，芒種的日影子長為尺，則冬至的日影子長為：（ ）a 尺b. 尺c. 尺d. 尺【答案】a【解析】【分析】利用等差數(shù)列通項公式和前項和公式列方程組，求出首項和公差，由此能求出結(jié)果.【詳解】從冬至起，日影長依次記為，根據(jù)題意，有，根

3、據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，有，而，設其公差為，則有，解得，所以冬至的日影子長為尺，故選a.【點睛】該題考查的是有關應用等差數(shù)列解決實際生活中的問題，涉及到的知識點有等差數(shù)列的通項公式以及前項和的有關量的計算，屬于簡單題目.4. 某觀察站與兩燈塔，的距離分別為3km和5km，測得燈塔在觀察站北偏西50°，燈塔在觀察站北偏東70°，則兩燈塔，間的距離為（ ）a. 7b. 8c. d. 【答案】a【解析】【分析】畫出圖形，可知，利用余弦定理即可求出的長.【詳解】根據(jù)題意，畫草圖，結(jié)合題干條件易知，利用余弦定理可得：，故選：a【點睛】本題考查數(shù)形結(jié)合思想與余弦定理在解三角形中的應用，同時考

4、查了數(shù)學建模能力和基本運算能力，屬于基礎題.5. 設函數(shù)，均是定義在上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且滿足，則的值為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】根據(jù)奇偶性函數(shù)定義域關于原點對稱可求出，再根據(jù)奇偶函數(shù)的性質(zhì)列出方程組，即可求出的解析式，即可求出.【詳解】函數(shù)，均是定義域為的偶函數(shù)和奇函數(shù)，即有，解得，有，解得，故選：d【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性，考查考生運用函數(shù)性質(zhì)解決問題的能力，試題注重基礎，針對性強6. 二十世紀第三次科技革命的重要標志之一是計算機發(fā)明與應用，其核心是使用二進制，即用最基本的字符“0”和“1”可以進行無窮盡的各種復雜計算，而且用電子方式實現(xiàn)，即二進制是一個微

5、小的開關用“開”來表示1，“關”來表示0某編程員將一個二進制數(shù)字串進制數(shù)字串，進行編碼，其中稱為第位碼元，但在實際編程中偶爾會發(fā)生碼元出錯（即碼元由0變成1，或者由1變?yōu)?），如果出現(xiàn)錯誤后還可以將碼元，進行校驗修正，其校驗修正規(guī)則為：，其中運算定義為：，即滿足運算規(guī)則為正確，否則錯現(xiàn)程序員給出1101101一組碼元，然后輸入計算機中，結(jié)果僅發(fā)現(xiàn)第位碼元錯誤，則的值為（ ）a. 3b. 4c. 5d. 6【答案】c【解析】【分析】根據(jù)新運算的定義，分別判斷出碼元，的正誤，從而可得結(jié)果.【詳解】，顯然這幾個碼元中，顯然這幾個碼元中必有一個錯誤，于是確定，這3位碼元都是正確的；又，進而，均正確；再

6、由，碼元都正確，故只有錯誤，于是，故選：c【點睛】本題以當今科學技術發(fā)展觀為背景，引導學生關注科技術，注重創(chuàng)新意識同時考查了考生對新運算的理性思維和抽象理解能力這體現(xiàn)了試題重思維、重過程、降低運算量命題思路，試題注重創(chuàng)新，針對性強屬于中檔題7. 二項式的展開式中的系數(shù)是（ ）a. b. 12c. 6d. 【答案】d【解析】【分析】寫出和展開式的通項，再分三種情況討論得解.【詳解】展開式的通項為，展開式的通項為根據(jù)多項式乘法規(guī)則和計數(shù)原理確定的系數(shù)，應分3種情況：； ；，即含項為，故選：d【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，考查二項式展開式的系數(shù)的求法，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.8.

7、 已知，是橢圓：的兩個焦點，、是橢圓上且位于軸上方的任意兩點，且滿足，與交于，則（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】由題意知，點、及均是動態(tài)的，而值是確定，故可采用特殊法取軸，軸求解【詳解】如圖所示：因為，特取軸，軸，所以， ，解得，所以，則則，故選：c【點睛】本題主要考查向量基本概念與運算，還考查了數(shù)形結(jié)合思想和等價轉(zhuǎn)換運算能力，屬于中檔題.9. （ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】本題主要考三角變換的基本運算，同時考查考生的等價轉(zhuǎn)換和數(shù)形結(jié)合思想，這體現(xiàn)了數(shù)學和諧美麗和數(shù)學運算的核心素養(yǎng)試題難度：中偏難【詳解】設，則，即此時三角式表示的是過點，兩點的

8、直線斜率，且，兩點均在單位圓上，如圖所示，結(jié)合圖象知，即，故直線傾斜角為120°，于是，進而，故選c10. 如圖所示是一個正方體，現(xiàn)將其六面分別都涂紅、藍、黃、白、綠、紫6種顏色放干后，再切割為125個同樣大小的正方體，然后放在足夠大的容器內(nèi)均勻攪拌，若從中隨機取出一個小正方體記它的涂有顏色面數(shù)為，則的均值為（ ）a. b. c. d. 【答案】d【解析】【分析】計算出被涂三面、兩面、一面的小正方體的個數(shù)，可得的可能取值為0，1，2，3從而求出數(shù)學期望；【詳解】解：根據(jù)題意正方體內(nèi)部有個小正方體沒有被涂上顏色，僅有一面被涂上顏色的有個，僅有兩個面涂上顏色的有個，有三個面涂上共有8個，

9、故隨機變量的可能取值為0，1，2，3于是，于是期望為故選：d【點睛】本題主要考查對隨機變量的期望理解，命題的衍生方向是與空間幾何體知識相結(jié)合，同時還考查了空間想象能力、抽象思辨力、化歸思想這體現(xiàn)了數(shù)學的和諧與轉(zhuǎn)化、數(shù)學的推理等核心思想屬于中檔題11. 知函數(shù)（，）滿足，其圖象與直線的某兩個交點橫坐標為，且的最小值為現(xiàn)給出了以下結(jié)論且 在上單調(diào)遞減且在上單調(diào)遞增且 是的對稱中心則以上正確的結(jié)論編號為（ ）a. b. c. d. 【答案】c【解析】【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式、奇偶性、單調(diào)性、對稱性逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)及條件的最小值為，可知函數(shù)的最大值為2，的最小正周期為，因為，所以，因

10、為，所以函數(shù)是偶函數(shù)，而，所以于是序號正確，進而知；對于序號：，于是序號錯誤；對于序號，當且僅當取時，解得，即為的單調(diào)增區(qū)間，顯然，又，故序號正確；對于序號，令，解得，即為函數(shù)的對稱中心，顯然是的其中一個對稱中心，故序號正確，綜上知正確的序號為故選：c【點睛】本題以三角函數(shù)函數(shù)為載體，主要考查三角函數(shù)圖象及性質(zhì)概念理解，同時考查了邏輯推理、直觀想象轉(zhuǎn)化能力，試題體現(xiàn)了理性思維、由具體到抽象轉(zhuǎn)化，追尋知識背后的延伸結(jié)論，這是解題的基本功展現(xiàn)，試題難度：中12. 下面各選項用類比推理，現(xiàn)給出了以下四個結(jié)論已知三條直線、，若，則類推出：已知向量、，若，則已知實數(shù)、，若方程有實數(shù)根，則據(jù)判別式，有類推

11、出：已知復數(shù)、，若方程有實數(shù)根，據(jù)判別式，有以原點為圓心，為半徑的圓方程，類推出：以空間原點為球心，以為半徑的球方程為若集合，滿足，則稱，為集合的一種離散即時，有種離散；時，有種離散；時，有種離散；，類推出：時，必有種離散則正確的結(jié)論編號為（ ）a. b. c. d. 【答案】b【解析】【分析】當時，根據(jù)向量的性質(zhì)判斷序號；對于序號，當，時，方程為有實數(shù)根，但不成立；根據(jù)空間中兩點的距離公式判斷序號；對于序號，由，可歸納得出當有個集合時，可類推得種離散【詳解】對于序號，當向量時，若，則，不一定平行故序號不正確；對于序號，若，則方程為有實數(shù)根，但不成立，故序號不成立；對序號，設是球面上的任意點，

12、則，即于是序號正確；對于序號，當有兩個集合時，時，有種離散；當有三個集合時，有種離散；當有四個集合時，時，有種離散；顯然當有個集合時，時，可類推得種離散于是序號正確綜上知本題正確的序號為故選：b【點睛】本題命制是以類比推理為背景，目的是考查學生的類比轉(zhuǎn)換思想和邏輯推理能力，抽象概括能力，試題新穎，符合以生考熟的命題思想，體現(xiàn)了對知識的考查側(cè)重于理解和應用的要求，很好地達到了共性好考個性難考的目的，試題難度：偏難第卷（非選擇題）二、填空題（分單空和多空）：本題共4小題，每5分，共20分13. 設數(shù)列的前項和為，若，則_【答案】729【解析】【分析】利用時，再結(jié)合，可得的值，與兩式相減可得是等比數(shù)

13、列，求出通項，即可求出.【詳解】于是得，即又，再由得，聯(lián)立解得，是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，故答案為：729【點睛】本題考查的是等比數(shù)列即遞推數(shù)列的相關知識點，同時考查了等價轉(zhuǎn)換和運算求解能力，這體現(xiàn)了數(shù)學遷移轉(zhuǎn)化和邏輯推理等核心素養(yǎng)試題難度,屬于中檔題14. 若函數(shù)滿足，當且僅當時，則_【答案】2【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)滿足的關系可得是以6最小正周期的周期函數(shù)，根據(jù)代入解析式即可.【詳解】根據(jù)已知條件，進而有，于是，顯然，則是以6最小正周期的周期函數(shù)，當時，則故答案為：2.【點睛】本題以抽象函數(shù)為載體，研究抽象函數(shù)的結(jié)構特征，且挖掘暗含條件，巧妙地對復合函數(shù)的連續(xù)變形，體現(xiàn)了數(shù)學抽象，

14、數(shù)學化歸等關鍵能力與學科素，屬于中檔題.15. 將一骰子拋擲兩次，若先后出現(xiàn)的點數(shù)分別是、，則函數(shù)僅有一個零點的概率是_；有兩個不相同零點概率是_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】（1）由題得樣本總?cè)萘繛椋儆嬎愠鰸M足數(shù)組有2個，由古典概型的概率公式即得解；（2）求出滿足的數(shù)組有17個，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】（1）根據(jù)題意、，則樣本總?cè)萘繛榕袆e式構成的數(shù)組為當且僅當函數(shù)僅有一個零點時，即；，即符合題意的數(shù)組為和，則此時，于是僅有一個零點時概率為；（2）有兩個不同零點時，即數(shù)組有，共計17個數(shù)組，由古典概型的概率公式得概率，故僅有兩個不同零點概率為故答案為：；【點睛】本

15、題主要考查古典概型的概率公式的計算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平.16. 已知，其中，為參變數(shù)，且若是一個與無關的定值，則_，_【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用降冪升角和余弦的兩角和公式將化簡整理得，若滿足題意只需，將兩式平方相加然后利用特殊角三角函數(shù)值進行計算并檢驗即可得到答案.【詳解】是一個與無關的定值，故，此時為常數(shù)進而有，兩式平方相加得：，整合得即，即，由得或，由得或（舍去），即，當且時，解得，代入驗證中，合題意當且時，解得，代入驗證中不成立故答案為：；【點睛】本題以三角函數(shù)為載體，主要考查三角恒等變換及三角求值的基本運算推理能力，同時還考查等價轉(zhuǎn)化、分類討論、

16、理性思維能力，體現(xiàn)了數(shù)學抽象思維、數(shù)學轉(zhuǎn)化等核心素養(yǎng)，屬于中檔題.三、解答題：本大題共6小題，共70分解答必須寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟17. 已知定義在已知定義在上的函數(shù)上的函數(shù)滿足，由此可歸納出一個結(jié)論“”，使得數(shù)列滿足，則此結(jié)論為_并求的通項公式【答案】或；.【解析】【分析】由可得，結(jié)合，歸納可得出結(jié)論；利用倒序相加法求出的通項公式【詳解】，即從中得啟發(fā)：可歸納得：或可驗證由，即，兩式相加得：共有個中括號，結(jié)合即有，即得【點睛】本題考查數(shù)與式的歸納推理，考查數(shù)列的求和公式，考查學生邏輯推理能力和計算能力，屬于中檔題18. 如圖,三棱柱中,底面是等邊三角形,側(cè)面是矩形,是的中點

17、,是棱上的點,且.（1）證明：平面；（2）若,求二面角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)bm，推導出bcbb1，aa1bc，從而aa1mc，進而aa1平面bcm，aa1mb，推導出四邊形amnp是平行四邊形，從而mnap，由此能證明mn平面abc（2）推導出aba1是等腰直角三角形，設ab，則aa12a，bmama，推導出mcbm，mcaa1，bmaa1，以m為坐標原點，ma1，mb，mc為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角acmn的余弦值【詳解】（1）如圖1，在三棱柱中，連結(jié)，因為是矩形，所以，因為，所以， 又因為，所以平面，所以，又因為，所

18、以是中點，取中點，連結(jié)，因為是的中點，則且， 所以且，所以四邊形是平行四邊形，所以，又因為平面，平面，所以平面.（圖1） （圖2）（2）因為，所以是等腰直角三角形，設，則，.在中，所以.在中，所以，由（1）知，則，如圖2，以為坐標原點，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，.所以，則，設平面的法向量為，則即取得.故平面的一個法向量為，因為平面的一個法向量為，則.因為二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明，考查了利用空間向量法求解二面角的方法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，是中檔題19. 已知橢圓的離心率為，且過點

19、.（1）求橢圓的方程；（2）若是橢圓上的兩個動點，且的角平分線總垂直于軸，求證：直線的斜率為定值.【答案】（）； （）見解析.【解析】【分析】（）由由題意可得，解得a2=6，b2=3，則橢圓方程可求；（）設直線pa的方程為y+1=k（x-2），聯(lián)立直線方程和橢圓方程，求得a的橫坐標，同理求得b的橫坐標，進一步求得a、b的縱坐標的差，代入斜率公式得答案【詳解】（）由題意得解得，所以，橢圓的方程是.()設直線的斜率為，由題意知，直線的斜率為，設，直線的方程為，即聯(lián)立方程組消去得，因為為直線與橢圓的交點，所以，即把換為得，所以，所以 ，所以直線的斜率，故直線的斜率為定值.【點睛】本題考查橢圓標準方程

20、的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，考查計算能力，屬中檔題20. 新型冠狀病毒是一種人傳人，而且隱藏至深、不易被人們直覺發(fā)現(xiàn)危及人們生命的嚴重病毒我們把與這種身帶新型冠狀病毒（稱之為患者）有過密切接觸的人群稱為密切關聯(lián)者已知每位密切關聯(lián)者通過核酸檢測被確診為陽性后的概率為一旦被確診為陽性后即將其隔離某位患者在隔離之前，每天有位密切關聯(lián)者與之接觸（而這個人不與其他患者接觸），其中被感染的人數(shù)為（1）求一天內(nèi)被感染人數(shù)的概率的表達式和的數(shù)學期望；（2）該病毒在進入人體后有14天的潛伏期，在這14天內(nèi)患者無任何癥狀，則為病毒傳播的最佳時間設每位患者在不知自己患病的情況下的第二天又與位密切關聯(lián)者接

21、觸從某一從名患者被帶新型冠狀病毒的第1天開始算起，第天新增患者的數(shù)學期望記為當，求的值；試分析每位密切關聯(lián)者佩戴口罩后與患者接觸能否降低患病的概率，經(jīng)大量臨床數(shù)據(jù)驗證佩戴口罩后被感染患病的概率滿足關系式當取得最大值時，計算所對應的和所對應的值，然后根據(jù)計算結(jié)果說明佩戴口罩的必要性（取）（參考數(shù)據(jù)：，計算結(jié)果保留整數(shù)）【答案】（1），；（2）233280；（人）；（人）；必要性見解析【解析】【分析】（1）設事件：被病毒感染的人群，隨機變量的取值為：0，1，2，得到事件服從二項分布，即可求解（2）根據(jù)題意，第天新增加人數(shù)的數(shù)學期望，即可求解的值求得，利用導數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性和最值，進而得到，分別求得

22、和的人數(shù)，即可得到結(jié)論【詳解】（1）根據(jù)題意，因為任何一個與患者密切接觸的關聯(lián)者，被感染（患?。┑母怕示鶠?，又每天有位密切關聯(lián)者與一患者接觸，設事件：被病毒感染的人群，隨機變量的取值為：0，1，2，顯然事件服從二項分布，即，顯然（2）根據(jù)題意，最初患者自己被感染，即第1天人數(shù)為1，第2天被感染人數(shù)增至為：；第3天被感染人數(shù)增至為：，顯然第天被感染人數(shù)增至為：，第天被感染人數(shù)增至為：，于是根據(jù)題意中均值定義，第天新增加人數(shù)的數(shù)學期望，即，于是根據(jù)題意函數(shù)，求導得：，當且僅當時，此時單調(diào)遞增；當時，即單調(diào)遞減，于是此時，于是（人），（人）經(jīng)過計算得知，戴口罩情況下患者與密切接觸的關聯(lián)者接觸被感染的

23、人數(shù)為16人，而不戴口罩的情況下患者與密切接觸的關聯(lián)者接觸被感染的人數(shù)為6480人，即遠大于，于是戴口罩是非常必要的【點睛】本題以新冠疫情重大突發(fā)事件為背景命題，以病毒人傳人大事件的預防建立數(shù)學模型來考查概率的相關概念、事件的劃分、離散型隨機變量的期望等概念的應用，同時考查了理性思維、抽象思維及邏輯推理、運算求解能力、讀題理解能力、計算能力21. 已知函數(shù)(1)求證：；(2)用表示中的最大值，記，討論函數(shù)零點的個數(shù)【答案】（1）見解析，（2）見解析【解析】【分析】(1) 設求出函數(shù)的最小值即可；(2) 對x和a的范圍進行討論，得出f（x），g（x）在（0，+）上的單調(diào)性，利用單調(diào)性及最值判斷f

24、（x），g（x）的零點個數(shù)，從而得出h（x）的零點個數(shù)【詳解】（1）證明：設，定義域為，則.當時，；當時，故在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以是的極小值點，也是的最小值點，所以，所以（2）解：函數(shù)的定義域為，當時，；當時，所以在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)，所以是的極小值點，也是的最小值點，即若，則，當時，；當時，；當時，.所以，于是只有一個零點.當，則當時，此時，當時，此時所以沒有零點.當，則當時，根據(jù)（1）可知，而，所以又因為，所以在上有一個零點，從而一定存在，使得，即，所以當時，所以，從而，于是有兩個零點和1.故當時，有兩個零點.綜上，當時，有一個零點，當時，沒有零點，當時，有兩個零點.【點睛】本題考查函數(shù)值的求法，考查函數(shù)的零點個數(shù)問題，