第93節(jié)反常二重積分與三重積分簡介ppt課件

1、 二重積分的積分區(qū)域都是有界的，然而實際應(yīng)用中有時會遇到積分區(qū)域無界如全平面、半平面或有界區(qū)域的外部等的二重積分，如概率論中計算二維正態(tài)分布的分布函數(shù)就是無界區(qū)域上二元函數(shù)的積分，我們稱這樣的二重積分為反常二重積分.RDR解解 如下圖，設(shè)如下圖，設(shè)為圓心在原點，半徑為為圓心在原點，半徑為D22()ed .xyD 例例1 1 設(shè)設(shè)為全平面，討論反常二重積分為全平面，討論反常二重積分222001ded2Rrr 2012e2Rr 2 1eR RRDxyo22()edRxyD 2200dedRrr r RDDR，所以，所以22()edxyD 22()limedRxyRD 2lim 1eRR 事實上，例

2、事實上，例1的方法具有一般性，可以用于討論無界區(qū)的方法具有一般性，可以用于討論無界區(qū)域上一般二元函數(shù)反常積分的收斂性，由此給出反常二重積域上一般二元函數(shù)反常積分的收斂性，由此給出反常二重積分的定義分的定義.無限擴展到無界區(qū)域無限擴展到無界區(qū)域以任何形狀、任何方式連續(xù)變以任何形狀、任何方式連續(xù)變在在),(yxfD D( , )dDf x y Dlim( , )dDDDf x y ( , )d .Df x y 定義定義 假設(shè)假設(shè)為平面上的無界區(qū)域為平面上的無界區(qū)域函數(shù)，如下圖，如果用任意光滑的曲線函數(shù)，如下圖，如果用任意光滑的曲線中劃出有界區(qū)域中劃出有界區(qū)域后，得到的二重積分后，得到的二重積分都存

3、在，且當(dāng)曲線都存在，且當(dāng)曲線時，極限時，極限都存在且總?cè)∠嗤闹?，則稱此極限都存在且總?cè)∠嗤闹担瑒t稱此極限在無界區(qū)域在無界區(qū)域上的反常二重積分，上的反常二重積分，上的二元上的二元D動使得區(qū)域動使得區(qū)域D為函數(shù)為函數(shù)),(yxfD記作記作lim( , )d .DDDf x y 即即( , )dDf x y ( , )dDf x y 這時稱此反常二重積分這時稱此反常二重積分收斂，收斂，( , )dDf x y 發(fā)散發(fā)散.否則稱反常二重積分否則稱反常二重積分xyoDD2edxx 221ed .2xx 例例2 2 證明泊松積分證明泊松積分，并進(jìn)一步計算，并進(jìn)一步計算2ex 解解 由于由于的原函數(shù)不能

4、用初等函數(shù)表示，的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示，因此通過直接積分求極限的方法計算泊松積分因此通過直接積分求極限的方法計算泊松積分. 2222()edeeddxyxyDyx 22ededxyxy 22edxx 由例由例1 1得得222111eded1.2xtxt 2ed,xx 因此泊松積分因此泊松積分tx2 d2dxt 令令，那么，那么，于是，于是221( )e2xf x 注注 是概率統(tǒng)計中非常重要的一種密度是概率統(tǒng)計中非常重要的一種密度函數(shù)函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量的密度函數(shù)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布隨機變量的密度函數(shù)( (如下圖如下圖) )，由本，由本例知它在實數(shù)軸的反常積分為例知它在實數(shù)軸的反常積分為1.1.

5、-3 -2 -1123x0.10.20.30.4yxy 其其它它, 00, 0,),()(yxeyxfyx(,)d d .xyfx yx y 例例3 3 若二元函數(shù)若二元函數(shù)計算反常二重積分計算反常二重積分D因此根據(jù)二重積分的性質(zhì)，只需計算積分區(qū)域因此根據(jù)二重積分的性質(zhì)，只需計算積分區(qū)域在第一象限部分如下圖的二重積分即在第一象限部分如下圖的二重積分即可可. ),(yxf解解 由于被積函數(shù)由于被積函數(shù)僅在第一象限不為僅在第一象限不為0，D1byay=xODx，于是，于是 ba,1,DD時，時，這樣當(dāng)這樣當(dāng)又因又因是無界區(qū)域，是無界區(qū)域， D byxaxyxD ，0),(1故取有界閉區(qū)域故取有界閉

6、區(qū)域，(,)d dxyfx yx y 1()limed dxyaDbx y ()0dedxyxxy 20edxx 1.2 niiiiivfV10),(lim 上的三元函數(shù)，上的三元函數(shù)，并以并以將區(qū)域?qū)^(qū)域),(zyxf niv (1,2, ),in iv idi,max21nddd ),(iii niiiiivf1),( 0 ),(zyxf定義定義 設(shè)設(shè)是空間有界閉區(qū)域是空間有界閉區(qū)域任意分割成任意分割成個小區(qū)域個小區(qū)域和和分別表示第分別表示第個小區(qū)域的體積和直徑，個小區(qū)域的體積和直徑，. .在每個小區(qū)域在每個小區(qū)域上任取一點上任取一點，作和，作和，當(dāng)區(qū)域，當(dāng)區(qū)域無限細(xì)分，即無限細(xì)分，即時，

7、如果極限時，如果極限存在，存在，在區(qū)域在區(qū)域上可積，并稱此極限為函數(shù)上可積，并稱此極限為函數(shù).且記且記則稱函數(shù)則稱函數(shù)iv 1.1.三重積分的定義三重積分的定義),(zyxf( , , )df x y zvdv 其中其中稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)，稱為積分表達(dá)式，稱為積分表達(dá)式，稱為體積元素，稱為體積元素，稱為積分區(qū)域稱為積分區(qū)域. ),(zyxf01( , , )dlim(,)niiiiif x y zvfv 在區(qū)域在區(qū)域上的三重積分，記作上的三重積分，記作( , , )d( , , )d d d .f x y zvf x y zx y z 邊界的小區(qū)域不規(guī)則外其余有代表性的小區(qū)域均為長方體

8、，邊界的小區(qū)域不規(guī)則外其余有代表性的小區(qū)域均為長方體，其棱長可分別為其棱長可分別為、xOy d, d , dxyz dd d dvx y z 在空間直角坐標(biāo)系中，如果用平行于三個坐標(biāo)平面在空間直角坐標(biāo)系中，如果用平行于三個坐標(biāo)平面的平面簇分割積分區(qū)域的平面簇分割積分區(qū)域，得到的小區(qū)域除，得到的小區(qū)域除含含，于是，于是的體積元素可化的體積元素可化，因此三重積分可表示為，因此三重積分可表示為zOxyOz、為為求二重積分的值是將其轉(zhuǎn)化為二次積分來計算求二重積分的值是將其轉(zhuǎn)化為二次積分來計算,求三重積分的積分值也可將其轉(zhuǎn)化為三次積分來計算求三重積分的積分值也可將其轉(zhuǎn)化為三次積分來計算. Oz 軸且穿過

9、區(qū)域軸且穿過區(qū)域的直線與的直線與曲線相交不超過兩個交點的積分區(qū)域曲線相交不超過兩個交點的積分區(qū)域間直角坐標(biāo)系下如何將三重積分化為三次積分，具體方法間直角坐標(biāo)系下如何將三重積分化為三次積分，具體方法下面以平行于下面以平行于為例，介紹在空為例，介紹在空的邊界的邊界如下：如下：同樣同樣yxzoxyDxyD),(2yxzz ),(1yxzz 2,zzx y 作過此點平行于作過此點平行于xOyxyD( , ),x yOz yxzz,1 如下圖，將空間有界閉區(qū)域如下圖，將空間有界閉區(qū)域投影到坐標(biāo)平面投影到坐標(biāo)平面上，得到一個平面有界閉區(qū)域上，得到一個平面有界閉區(qū)域，在，在上任取一點上任取一點軸的直線，軸的

10、直線，邊界曲線交點的邊界曲線交點的和和xyD此直線與此直線與豎坐標(biāo)自下而上依次為豎坐標(biāo)自下而上依次為這樣積分區(qū)域可表示為這樣積分區(qū)域可表示為 12,|,.xyx y zx yDzx yzzx y 21,( , ), ,d ,zx yzx yF x yfx y zz ),(yxFxyD然后，計算然后，計算在平面區(qū)域在平面區(qū)域上的二重積分，即上的二重積分，即上積分得到上積分得到 zyxf,z ,21yxzyxzyx,yx,在對在對積分時，先將積分時，先將暫時看成常數(shù)，而暫時看成常數(shù)，而只看作是只看作是的函數(shù)，將它在區(qū)間的函數(shù)，將它在區(qū)間的二元函數(shù)，記為的二元函數(shù)，記為z關(guān)于關(guān)于 21,( , )d

11、 d, ,d d d .xyxyzx yzx yDDF x yx yfx y zzx y , ,dfx y zv 2211,dd, ,dbyxzx yayxzx yxyfx y zz ( , , )df x y zv 再利用二重積分的計算公式便可求出再利用二重積分的計算公式便可求出)()(,21xyyxybxa xyDx 若平面區(qū)域若平面區(qū)域為為型區(qū)域，如用不等式型區(qū)域，如用不等式表示，那么表示，那么這樣就將三重積分化成了三次積分，通過三次這樣就將三重積分化成了三次積分，通過三次計算定積分求出其積分值計算定積分求出其積分值01, 01, 01,xyxzxy 解解 積分區(qū)域如圖所示，可以用不等式