人教版高中數(shù)學選修2-1第二章《圓錐曲線與方程》中《橢圓及其標準方程》優(yōu)質教案教學設計

1、橢圓及其標準方程（第 1 課時）教學設計一、教學內容解析1地位與作用：本章 是人教版版選修21 的第二章圓錐曲線與方程 ，是高中數(shù)學解析幾何的第二大部分。解析幾何是數(shù)學中一個重要的分支，它聯(lián)系了數(shù)學中的數(shù)與形、代數(shù)與幾何等最基本對象之間的聯(lián)系。在人教版必修2 中，學生已掌握了在平面直角坐標系下研究直線和圓的方法，本章教材進一步利用三種基本圓錐曲線深化代數(shù)與幾何的關系。本章教材內容的順序是：曲線與方程-橢圓-拋物線-雙曲線。這樣安排的用意是，先學曲線與方程，再學圓錐曲線，這樣的順序更有利于學生的學習，符合學生從一般到特殊，具體到抽象的認知規(guī)律。在圓錐曲線的學習過程中，不斷的滲透曲線與方程的思想，

2、為學生理解并掌握“曲線與方程”這一概念奠定了基礎。本節(jié) 是人教版版選修21 的第二章圓錐曲線與方程第2 節(jié)的內容，主要學習橢圓的定義、標準方程及其簡單的應用，分為兩課時，本節(jié)課是第 1 課時，主要學習橢圓的定義及其標準方程。 教材以橢圓為基礎和重點說明了求方程并利用方程討論幾何性質的一般方法，然后在認知拋物線和雙曲線中得到了鞏固和應用，因此橢圓及其標準方程這一節(jié)課起到了承上啟下的作用。2教材處理順序教材在橢圓的定義這個內容的安排上是：先從直觀上認識橢圓，再從畫法中提煉出橢圓的幾何特征，由此抽象概括出橢圓的定義，最后是橢圓定義的簡單應用。這樣的安排不僅體現(xiàn)出課程標準中要求通過豐富的實例展開教學的

3、理念，而且符合學生從具體到抽象的認知規(guī)律，有利于學生對概念的學習和理解。教材在本節(jié)內容中只研究了中心在原點，焦點在x軸上的橢圓的標準方程，讓學生自己去歸納焦點在 y軸上的橢圓的標準方程。這樣的處理給學生提供了一次探究和交流的機會。有利于學生對拋物線標準方程的理解，有利于學生思維能力的提高和學習興趣的培養(yǎng)。3數(shù)學思想方法本節(jié)內容蘊含了：數(shù)形結合思想、轉化化歸思想等。在推導橢圓標準方程過程中讓學生體會移項再平方去根號的方法。二、教學目標和重難點1 教學目標(1)知識與技能目標：理解橢圓的定義；掌握的橢圓的標準方程。(2)過程與方法目標：在橢圓定義的獲知和歸納中，進一步滲透數(shù)形結合的數(shù)學 思想方法；

4、通過橢圓標準方程的推導過程，鞏固用坐標化的方法求動點的軌 跡方程，同時體會含有兩個根式的化簡思路。(3)情感、態(tài)度和價值觀：通過橢圓定義的歸納，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，認識規(guī)律 并利用規(guī)律解決實際問題的能力；通過師生、生生合作學習，增強學生團隊 協(xié)作能力，增強主動與他人合作交流的意識。2教學重點( 1) 掌握橢圓的定義與相關概念；( 2) 掌握橢圓的標準方程。3教學難點橢圓標準方程的推導。三、學生學情分析1學生已有的認知基礎授課班級學生為許昌高級中學高二年級學生。橢圓是圓錐曲線中基礎且重要的一種圖形，在實際生活中經(jīng)常遇到。學生在高一對解析幾何有了初步的了解和認識，對于在平面直角坐標系下的點坐標及長度

5、公式已掌握，具有一定的空間想象能力、抽象概括能力和推理運算的技能，有較好的學習習慣和方法。2學生存在的難點學生在涉及到需要自己建立坐標系，再研究推導出方程仍是一個難點。且之前未接觸過一個式子中含兩個根式相加的情況，故化簡是個問題。3突破策略由教師引領學生觀察所繪出的橢圓的特點， 定點位置， 從而建立合適的直角坐標系。四、教學策略分析1內容突破策略本節(jié)課新知內容分兩大板塊：一是總結概括出橢圓的定義；二是推導出橢圓的標準方程。針對第一板塊內容，主要采取學生先動手畫橢圓，在實踐的過程中發(fā)現(xiàn)一些固定不變的量和量與量之間存在的關系，從而總結出橢圓的定義，并且深刻領悟定義中所說的一些特別要求。針對第二板塊

6、內容，主要是采取教師引導，學生動手，通過一般的求動點軌跡的方法推導出橢圓的標準方程，符合學生的認知規(guī)律。2啟迪學生思維策略：在教學方法的選擇上，采用教師組織引導，學生動手實踐、自主探究、合作交流的 學習方式，力求體現(xiàn)教師的引導者、合作者的作用，突出學生的主體地位 五、教學過程一、創(chuàng)設情景，導入新課1.使學生對橢圓有一1.讓學生觀察幾張典型圖片和行星在太陽系中的運動軌跡，由個感性認識，明白生活此看出一個共同的數(shù)學圖形“橢圓”。實踐中有許多數(shù)學問2.大家還能舉出生活中你所遇到的橢圓嗎？題，數(shù)學來源于實踐，3.用多媒體演5個平面截圓錐得橢圓的例子。同時培養(yǎng)學生學會用教學過程設計意圖數(shù)學的眼光去觀察周

7、 圍事物的能力。2.通過提問激發(fā)學生 課堂上的學習興趣。二、橢圓的定義（分四個環(huán)節(jié)）1 .畫一畫（畫橢圓）將一條繩子的兩端固定在同一個定點上，用筆尖勾起繩子的中點使繩子繃緊，圍繞定點旋轉，筆尖形成的軌跡是什么？（由學生動手在黑板上進行演示，提高學生的動手能力，同時激起學生學習本節(jié)課的興趣）而將繩子的兩端分別固定在兩個定點上，筆尖勾直繩子，移動筆尖，得到的是軌跡是什么？（教師提問，讓學生動手，拿出提前準備好的毛線，兩組同學上黑板畫，其他同學同桌合作在練習本上畫）動畫演示作圖過程2 .認一認（實驗總結）提出問題：作圖過程中，哪些量沒有變？哪些量變了？提出問題：為什么要求作圖過程中筆尖要繃緊？1 .

8、給學生提供一個動 手、動腦的學習機會； 2.學生可通過動手實 踐的過程去體會“滿足 什么樣的條件下的點 的集合為橢圓”，從而 對橢圓定義中的條件 有直觀深刻的認識。3.通過三個問題的設 置，為學生從畫法中發(fā) 現(xiàn)拋物線的幾何特征 奠定基礎。提出問題：筆尖所對應的動點 M到定點的距離有什么長度之 問的關系？總結：筆尖對應的動點M到直線兩個端點的長度之和固定不變。3 .說一說（總結定義）提出問題：根據(jù)剛才動手實踐的過程，能否總結橢圓的定義？（同學自由發(fā)言，再由學生進一步補充完善）我們把平面內到兩個定點 Fi, F2的距離之和等于常數(shù)（大于 汜|）的點的集合叫作橢圓。問題1:定義中的常數(shù)等于|FiF2

9、|,則動點的軌跡是什么？ICF2問題2:定義中的常數(shù)小于|FiF2|,則動點的軌跡是什么？4.橢圓相關概念：兩個定點Fi, F2叫作橢圓的焦點，兩個焦 4 .通過三個典型的問 題，讓學生更深刻地理 解橢圓的定義5 .使學生經(jīng)歷橢圓概 念的生成和完善過程， 提高其歸納概括能力， 加深對橢圓本質的認 識，并逐漸養(yǎng)成嚴謹?shù)?科學作風。點Fi, F2間的距離叫作橢圓的焦距。三、橢圓的標準方程1.求一求（推導橢圓的標準方程）問題3:回顧圓的軌跡方程是如何求的?建系:設點：M x, y1.讓學生由圓的標準 方程的推導過程，類比 的推導橢圓的標準方 程。2.橢圓方程不止一種， 建立的坐標系不同，橢 圓方程的

10、表達形式也 不同，在高中階段只掌 握焦點在坐標軸上的 橢圓的標準方程。3.進一步熟悉用坐標 法求動點軌跡方程的 方法，掌握化簡含根號 等式的方法，提高運算 能力，養(yǎng)成不怕困難的 鉆研精神，感受數(shù)學的 簡潔美、對稱美列式：OM | r得： *y2 r 化簡：x2 y2 r2 問題4:以四種建系方式，哪一種針對求橢圓的標準方程比較 好？（補充說明：橢圓具有一定的對稱美，故所求的式子最好簡潔動手演算：讓學生動手，求推導焦點在x軸上的橢圓的標準方程建系：觀察橢圓的幾何特征，如何建系能使方程更簡潔？ （利用橢圓的對稱性特征）以直線F1F2為x軸，以線段F1F2的垂直平分線為y軸，建 立平面直角坐標系.設

11、點：設焦距為2c c 0 ,則F1 c,0 F2 c,0 .設4.數(shù)形結合的思想的 靈活應用，進一步深化 鞏固數(shù)學思想方法22cy22cy2a x2 y2 c2a兩邊同時平方、2a將上式兩邊平方、4a2 a整理得：Icx a x c整理得：2a2cx c2x22222c x a y2a2cx2cM x,y為橢圓上任意一點，點M與點 F2的距離之和為2a 2a 2c .列式：動點M滿足的幾何約束條件：|MF1| |MF2| 2a 坐標化為：、x c2 y .問一問 問題5 :焦點在y軸上的橢圓的標準方程是什么?x c 2 y2 2a化簡：化簡橢圓方程是本節(jié)課的難點，突破難點的方法 是引導學生思考

12、如何去根號 預案一：移項后兩次平方法22x y 12221a a c分析a2c2的幾何含義，令b2得到焦點在x軸上的橢圓的標準方程為2 x2 a2y21（由學生動手列式，,x2 y c2x2y c22a引導學生觀察焦點在x軸上與焦點在y軸上式子的差異,從而用類比的方法得到焦點在y軸上橢圓的標準方程）如果橢圓的焦點在y軸上，其焦點坐標為F1 0,用同樣的方法可以推出它的標準方程2 y2 a2I21問題6:如何用幾何圖形解釋b2c2?c在橢圓中分別表示哪些線段的1 .鞏固橢圓的定義2 .通過本題的練習， 使學生能加深橢圓的 焦距與標準方程之間 關系的理解，同時會求 標準方程的基本量，教 學時應引導

13、學生逐層 深入，養(yǎng)成求橢圓標準 方程先看焦點位置的 良好習慣。四、課堂探究探究一：判斷分別滿足下列條件的動點M的軌跡是否為橢圓(1)到點Fi 2,0和點F2 2,0的距離之和為6的點的軌跡;(是)(2)到點Fi 2,0和點F2 0,2的距離之和為4的點的軌跡；(不是)(3)到點Fi 2,0和點F2 0,2的距離之和為3的點的軌跡；(不是)探究二：判定下列橢圓的標準方程在哪個軸上，并寫出焦點的 坐標22(1)二匕1;(在x軸上，焦點為 3,0 , 3,0)25 1622(2) 1 ;(在 y 軸上，焦點為 0, 5 , 0,5 )144 16922(3) J -y 1。(在 y 軸上，焦點為 0, 1 , 0,1 )m m 1五、課堂小結問題：這節(jié)課你學到了什么？請談談你的收獲.1 .知識內容收獲：一個定義（橢圓的定義）；兩個方程（橢圓 的兩種標準方程）；及橢圓中a,b,c之間的關系。2 .學習過程收獲：鞏固了動點的軌跡方程的求法；通過推 導橢圓的標準方程的過程，學會了兩個根式相加的式子的化簡 方法，同時提高r自己的運算能力。3 .數(shù)學思想和方法：數(shù)形結合思想；轉化化歸思想；分類討論 思想。目的：培養(yǎng)學生的概括 總結能力六、課后鞏固練習1 .課后思考：當把橢圓的兩個焦點合二為一了后，得到的圖形是什么？你能總結出