微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應(yīng)用解讀

1、華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系第1頁(yè)共 11 頁(yè) 5 微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應(yīng)用教學(xué)章節(jié)第六章 微分中值定理 5 微分中值定理在研究函數(shù)的凹凸性方面的應(yīng)用教學(xué)目的掌握討論函數(shù)的凹凸性和方法教學(xué)要求弄清函數(shù)凸性的概念，掌握函數(shù)凸性的幾個(gè)等價(jià)論斷，會(huì)求曲線的拐點(diǎn)，能應(yīng)用 函數(shù)的凸性證明某些有關(guān)的命題.教學(xué)重點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的凸性教學(xué)難點(diǎn)利用凸性證明相關(guān)命題教學(xué)方法系統(tǒng)講授法+演示例題教學(xué)程序上面已經(jīng)討論了函數(shù)的升降與極值，這對(duì)函數(shù)性狀的了解是有很大作用的.為了更深入和較精確地掌握函數(shù)的性狀，我們?cè)谶@里再講述一下有關(guān)函數(shù)凸性

2、的概念及其與函數(shù)二階導(dǎo)數(shù)的關(guān) 系什么叫函數(shù)的凸性呢？我們先以?xún)蓚€(gè)具體函數(shù)為例，從直觀上看一看何謂函數(shù)的凸性如函數(shù) y=.x所表示的曲線是向上凸的，而 y=x2所表示的曲線是向下凸的，這與我們?nèi)粘Ａ?xí)慣上 的稱(chēng)呼是相類(lèi)似的或更準(zhǔn)確地說(shuō)：從幾何上看，若 y 二 f(x)的圖形在區(qū)間 I 上是凸的，那么連 接曲線上任意兩點(diǎn)所得的弦在曲線的上方；若y= f(x)的圖形在區(qū)間 I 上是凹的，那么連接曲線上任意兩點(diǎn)所得的弦在曲線的下方如何把此直觀的想法用數(shù)量關(guān)系表示出來(lái)呢？J L設(shè)函數(shù)f (x)在區(qū)間I上是凸的(向下凸)，任意 Xi， X2“(XiCX2曲線y = f(x)上任意兩點(diǎn) A(Xi,f(Xi)，

3、 B(Xi,f(X|)之間的圖象位于弦AB的下方，即任意(Xi,X2)，f(x)的值小于或等于y(X2)f(Xi)(x-Xi) f(xi).對(duì)任意X，(X|,X2)有f(x)一衛(wèi)宜-Xi) f (Xi)，整理得令t二色x)，則有0：t：1，且 x=tXi (1-t)X2，易得X一人=1 _t，上式可寫(xiě)成x2 捲x2-x弦AB在X點(diǎn)的函數(shù)值，弦AB的方程f(x)乞華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系第2頁(yè)共 11 頁(yè)川捲(1-t)x2 _tf (xj (1 -t)f (x2).一、凸函數(shù)定義以及與連續(xù)性的關(guān)系1、凸(凹)函數(shù)的定義定義 1 設(shè)

4、函數(shù) f 為定義在區(qū)間 I 上的函數(shù)，若對(duì) I 上任意兩點(diǎn)x、X2 和任意實(shí)數(shù)扎(0,1)總有 f (丸x + (1-丸)冷)f (x ”(1 丸 f x，)則稱(chēng) f 為 I 上的凸函數(shù).反之，如果總有 f (“ + (1 - k 區(qū))沐 f (x 片仲)哭，則稱(chēng)f為1上的凹函數(shù).注 易證：若一 f 為區(qū)間 I 上的凸函數(shù)，貝Uf 為區(qū)間 I 上的凹函數(shù)，因此，今后只討論凸 函數(shù)的性質(zhì)即可.定義 2 設(shè)曲線 y = f(x)在點(diǎn)(x0, f (x0)處有穿過(guò)曲線的切線，且在切點(diǎn)近旁，曲線在切線的 兩側(cè)分別是嚴(yán)格凸或嚴(yán)格凹的，這時(shí)稱(chēng)(心 f(x0)為曲線 y= f(x)的拐點(diǎn).必須指出；若(x0

5、,f(x。)是曲線 y=f (x)的一個(gè)拐點(diǎn)，y= f(x)在點(diǎn)怡的導(dǎo)數(shù)不一定存在，如 y = Vx在 x = 0 的情形.2、凸函數(shù)的特征引理 f 為 I 上的凸函數(shù)=對(duì)于 I 上任意三點(diǎn)音：X2 : X3總有：f(X2)- f(X1)二f(X3)- f(X2)X2-X,x3-x2f (X)嚴(yán)格凸函數(shù)二上式嚴(yán)格不等式成立證：=記，=X3&，貝y 0 二1及x2=彊占.(1 _ )x3，X3 X1由f的凸性知f(xf(x1)(叫 當(dāng)(X1)=f(X3)(4)從而有華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系（X3-Xi）f（X2）乞（X3-

6、X2）f （Xi）（X2-Xjf（X3）即（X3-X2）f（X2）（X2-M）f（X2）乞（X3-X2）f （Xi）（X2-Xi）f（X3）整理即得式.:二 一Xi,X3I(Xi：X3)- (0,1)記X2=f；.X|(1-)X3，則Xi：X2：X3，x2_ X1由必要性的推導(dǎo)步驟可逆，從(3)式便得式.故f為凸函數(shù).同理便知，曲線上首尾相連的線，其斜率是遞增的，即-Xi,X2,X3I，Xi:： X：X3，有f(X2)- f (Xi).：f(X3) - f (Xi)X2X3f (X)嚴(yán)格凸函數(shù)=上式嚴(yán)格不等式成立定理 設(shè)為開(kāi)區(qū)間上的凸函數(shù)若 I:-=-則在-丨上滿(mǎn)足利普希茨條件，且在上連續(xù).證

7、明(證明開(kāi)區(qū)間上的凸函數(shù)必為連續(xù)函數(shù))當(dāng)取定-二后，由為開(kāi)區(qū)間，必 可選取中的四點(diǎn)滿(mǎn)足：如圖所示，再在門(mén)中任取兩點(diǎn).應(yīng)用引理得到華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系第 3 頁(yè)共 ii 頁(yè)華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系第5頁(yè)共 11 頁(yè)顯然，上述 L 與門(mén)再中的點(diǎn) 無(wú)關(guān)，故在上的每個(gè)內(nèi)閉區(qū)間上滿(mǎn)足利普希茨條件.由此容易推知在：上連續(xù)，再由匕川在上的任意性，又可推知.在，上處處連續(xù).證畢如果 f 是 I 上的可導(dǎo)函數(shù)，則進(jìn)一步有：二、凸函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系定理 1 （可導(dǎo)函數(shù)為凸函數(shù)的等價(jià)

8、命題）設(shè) f 為區(qū)間 I 上的可導(dǎo)函數(shù)，則下述論斷互相等 價(jià)：（1） f為 I 上的凸函數(shù)；（2） 為 I 上的增函數(shù)；（3）對(duì) I 上的任意兩點(diǎn)洛必總有f(X2) f(Xi) f (Xi)(X2- Xi)證（i）=（ii）-J，并取L，使x + A X2 - A k蘭（1-k十）f任X）+打七f（xk卑）蘭（1-兀中）區(qū)二* 1一/*十idf(X) k 1f (xk 1)k 1=S人f (x)二結(jié)論成立.i 4注：由于（6）式中當(dāng)一時(shí)即為凸函數(shù)的定義式（1），所以詹森不等式（6）也可用來(lái)作為凸函 數(shù)的定義，而詹森不等式的應(yīng)用也就是凸函數(shù)的應(yīng)用.對(duì)具體的函數(shù)套用 Jensen 不等式的結(jié)果,可

9、以證明一些較復(fù)雜的不等式這種證明不等 式的方法稱(chēng)為 Jensen 不等式法或凸函數(shù)法.具體應(yīng)用時(shí),往往還用到所選函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性例 4 證明:對(duì)-x, y R,有不等式1(exey).2例 5：設(shè) X0(i =12川,n)，則空nX1X2Xn X1* X2 * I11 * Xnn華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系第12頁(yè)共 11 頁(yè)即InJxn|nn初Qn因In x嚴(yán)格增，故有XmXng 山xn又 Xi不全等-1:不全等，故Xi:1nln vxi八1( 1 n1)In1ni4n*nX1X2|Xn所以n10p0a3+ B3蘭2求證 + P 2.（留為作業(yè)）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編數(shù)學(xué)分析第三版上冊(cè)教案第六章微分中值定理及其應(yīng)用興義民族師范學(xué)院數(shù)學(xué)系第14頁(yè)共 11 頁(yè)( 解函數(shù) f(X)=x3在(0,+