垂徑定理教案

1、24.1.2 垂直于弦的直徑一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容圓是軸對(duì)稱圖形、垂徑定理及垂徑定理的推論。2內(nèi)容解析垂徑定理是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了圓的定義以及圓的有關(guān)概念的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究圓的有關(guān)定理作為本章的第一個(gè)定理，本節(jié)內(nèi)容是學(xué)習(xí)本章知識(shí)的基礎(chǔ)，另外也進(jìn)行了情感教育，同時(shí)體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想本節(jié)課首先從趙州橋引入，緊接著出現(xiàn)三個(gè)探究：分別是圓的軸對(duì)稱性、垂徑定理、垂徑定理的推論。圓的軸對(duì)稱性：通過學(xué)生動(dòng)手反復(fù)折疊結(jié)合問題得出結(jié)論；垂徑定理：通過問題串的形式首先給出圖形討論除了垂直外，還有哪些等量關(guān)系等等？學(xué)生通過自主探究合作交流達(dá)成共識(shí)進(jìn)而進(jìn)行剖析定理;垂徑定

2、理的推論：題設(shè)結(jié)論共5要素，是否任意知道2要素，得到其它3要素？老師指導(dǎo)，學(xué)生練習(xí)自主探究合作交流達(dá)成共識(shí)?；谝陨戏治觯梢源_定本課的教學(xué)重點(diǎn)是：1.理解圓的軸對(duì)稱性；掌握垂徑定理及推論；學(xué)會(huì)運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行有關(guān)計(jì)算。二、教材解析本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了圓的有關(guān)概念之后，為了學(xué)習(xí)后面圓的有關(guān)知識(shí)引進(jìn)了垂徑定理。它是為后面學(xué)習(xí)弧、弦、圓心角定理與圓周角定理以及其它有關(guān)圓的知識(shí)作了準(zhǔn)備，尤其利用垂徑定理及推論來計(jì)算線段長度。本節(jié)課的難點(diǎn)是垂徑定理及推論的推導(dǎo)、應(yīng)用。學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中可能不能深刻理解“垂徑定理”。因此在教學(xué)時(shí)，要利用問題串形式來進(jìn)行自主探究合作交流通過教師點(diǎn)撥從而突破重點(diǎn)難點(diǎn)。三、目標(biāo)和目

3、標(biāo)解析1目標(biāo)（1）經(jīng)歷探索圓的軸對(duì)稱性及垂徑定理及推論的過程，進(jìn)一步體會(huì)和理解研究幾何圖形的各種方法。（2）理解并應(yīng)用垂徑定理及推論進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算2目標(biāo)解析目標(biāo)（1）是讓學(xué)生能從反復(fù)的折紙中體會(huì)圓是軸對(duì)稱圖形以及得出垂徑定理，體會(huì)數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想目標(biāo)（2）是讓學(xué)生需要理解垂徑定理及推論的推導(dǎo)，并且運(yùn)用它進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算。四、教學(xué)問題診斷分析垂直于弦的直徑雖然不是本章的第一節(jié)，但是它是本章的第一個(gè)定理，要想讓學(xué)生自主學(xué)習(xí)說出這個(gè)定理并不是件容易的事，尤其從圖形語言翻譯成符號(hào)語言（或者是文字語言），也是對(duì)學(xué)生提出的新的挑戰(zhàn)另外教學(xué)過程流暢也是本節(jié)課的一難點(diǎn)：怎樣自然過渡到引例也將對(duì)我這個(gè)數(shù)學(xué)

4、教學(xué)者提出又一挑戰(zhàn)。當(dāng)然通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，也要讓學(xué)生體會(huì)圓中常作輔助線：連半徑或作垂線。基于以上分析，本課的教學(xué)難點(diǎn)是：垂徑定理及其推論的推導(dǎo)及應(yīng)用。五、教學(xué)過程設(shè)計(jì) （一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣情景:1、出示圖片（各種各樣的橋，有現(xiàn)代，有古代）：欣賞橋美。2、教師介紹：定格堅(jiān)固的石拱橋趙州橋，配置錄音（介紹趙州橋，了解古代人民勤勞和智慧）。3、問題：橋是什么形狀？多媒體演示橋的跨度、拱高是指什么？已知跨度37.4m，拱高7.2m，求主橋的半徑？師生活動(dòng)：教師展示圖片，介紹趙州橋，學(xué)生欣賞，獨(dú)立完成問題，同時(shí)通過教師點(diǎn)撥，學(xué)生合作交流將圖片抽象成幾何圖形，求主橋拱半徑，即求所在圓的半徑，設(shè)置懸念導(dǎo)

5、入課題。設(shè)計(jì)意圖“興趣是最好的老師”，我從趙州橋問題引入課題，一方面讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)來源于生活；另一方面運(yùn)用生活中的實(shí)例講解數(shù)學(xué)知識(shí)，能激發(fā)學(xué)生的興趣和求知欲，同時(shí)也進(jìn)行情感教育。（二）探索歸納，發(fā)現(xiàn)新知探究一：圓的軸對(duì)稱性動(dòng)手操作：拿出教具反復(fù)折疊（要求：兩部分安全重合）問題：1.這樣折疊方式有多少種？ 2.折痕有多少條？ 3.這些折痕有什么特點(diǎn)？師生活動(dòng)：通過學(xué)生自主探究與合作交流，得出結(jié)論：圓是軸對(duì)稱圖形，任何一條直徑所在的直線都是它的對(duì)稱軸。探究二：垂徑定理 如圖:AB是o的弦，CDAB，且AB為直徑。問題：1、圖是軸對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱軸是什么？2、你發(fā)現(xiàn)有哪些相等的線段和??？3、為什么

6、它們相等？4、你能用一句話敘述由已知條件得出結(jié)論嗎？ 圖師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)，學(xué)生折疊，通過自主探究合作交流達(dá)成共識(shí)：垂直弦的直徑平分弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧，從而揭示垂徑定理。5、垂徑定理的題設(shè)和結(jié)論各是什么？師生活動(dòng)：再結(jié)合圖形，師生共同剖析定理：題設(shè)（ABCD，CD為直徑，即過圓心，共2要素），結(jié)論（CE=DE，弧AD =弧AC, 弧BC =弧BD共3要素）。探究三：推論問題：1、垂徑定理題設(shè)和結(jié)論共幾要素？是否是知道任意2要素，得到其它要素？2、如圖：若ABCD，CE=DE，你發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系？3、如圖：若CD是弦，AB為直徑，且CE=DE，你又發(fā)現(xiàn)有哪些等量關(guān)系？_A_D_C_O_B

7、4、如圖：直徑AB 弦CD，則ABCD嗎？由此你能得出什么結(jié)論？圖 如圖 如圖_E_A_D_C_O_B_E_A_D_C_O_B_E_A_D_C_O_B_E_A_D_C_O_B_E_A_D_C_O_B師生活動(dòng)：教師巡回引導(dǎo)，學(xué)生通過練習(xí)2、3、4討論交流，達(dá)成共識(shí)（解決問題1）：五個(gè)要素知道任何2個(gè)，就可得到其它3個(gè)，即知二得三，關(guān)注：平分弦不是直徑，即：垂徑定理的推論。設(shè)計(jì)意圖這一環(huán)節(jié)的設(shè)計(jì)是讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展和形成過程，把接受知識(shí)的過程設(shè)計(jì)成探究過程，也是課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)，讓學(xué)生帶著問題去自主探究、合作交流，要給學(xué)生足夠時(shí)間和空間“從做中學(xué)”（美國教育家杜威提出），在此過程滲透數(shù)形結(jié)合

8、思想，培養(yǎng)學(xué)生合作交流意識(shí)和思維能力。（三）初步應(yīng)用，感悟新知1、下面哪些符合垂直定理的條件？2、如下（1）圖：（1）若MNAB，MN為直徑，則AE= ，弧AM=弧 ，弧AN=弧 。（2）若AE=BE，MN為直徑，則 ， ， 。（3）若MNBC，AE=BE，則 ， ， 。變式1:ABMN，MN為直徑，AB=24，DE=5，求半徑。變式2:AB=24，弓高EM=8，求半徑。變式3: 如圖（2）動(dòng)畫隱去虛線部分，條件不變?nèi)鐖D（3）,求半徑。(3)(2)(1)設(shè)計(jì)意圖練習(xí)1剖析垂徑定理；練習(xí)2考查垂徑定理及推論；變式1利用垂徑定理建立直角三角形；變式2是變式1的變式；變式3利用動(dòng)畫形式由練習(xí)2和變式

9、1、2自然過渡到引例。本環(huán)節(jié)采取變式層層遞進(jìn)的方式很自然的過渡到例題，使學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到優(yōu)化，知識(shí)體系得到完善，從而學(xué)生數(shù)學(xué)理解又一次突破，并且教學(xué)過程自然流暢。在些過程中既要關(guān)注學(xué)生回答的積極性、主動(dòng)性、準(zhǔn)確性，及時(shí)將理論用于實(shí)踐，又要關(guān)注學(xué)生是否會(huì)考慮到連半徑建立直角三角形也為后面的學(xué)習(xí)作鋪墊，達(dá)到突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)的目的。（四）典型例題，應(yīng)用新知例1：改變變式3圖中數(shù)據(jù)，讓學(xué)生嘗試解決引例問題。（引例）1300多年前,我國隋朝建造的趙州石拱橋(如圖)的橋拱是圓弧形,它的跨度(弧所對(duì)是弦的長)為 37.4 m,拱高(弧的中點(diǎn)到弦的距離,也叫弓形高)為7.2m,求橋拱的半徑(精確到0.1m)

10、。（即：AB=37.4m，EM=7.2m，求半徑）師生活動(dòng):(1)學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試解答：學(xué)生寫出解答過程，讓一個(gè)學(xué)生板演，教師巡視指導(dǎo);（2）合作交流，反饋矯正:教師規(guī)范解答過程，學(xué)生小組內(nèi)交流解答過程，有疑問或困惑的地方，互相交流提示；（3）學(xué)生完成解答過程。.ABO歸納小結(jié)：（1）OA2=AE2+OE2；（2）轉(zhuǎn)化直角三角形。變式1： 如右圖，已知在O中，弦AB的長為8厘，米，圓心O到AB的距離為3厘米，求O的半徑。 師生活動(dòng):學(xué)生自主探究、合作交流，教師引導(dǎo)相結(jié)合作出輔助線，.ACDBO完成解答過程。變式2：已知：如右圖，在以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB交小圓于C，D兩點(diǎn)。求證

11、：ACBD。教師引導(dǎo)學(xué)生說出證明過程。小結(jié)：教師點(diǎn)撥：對(duì)于圓中有關(guān)弦、圓心到弦的距離、求半徑的問題，常作輔助線：連半徑或作出圓心到弦的垂線段，構(gòu)成直角三角形，運(yùn)用垂徑定理和勾股定理解決有關(guān)問題。其中，O的半徑r，圓心到弦的距離d、弦a之間的關(guān)系是：=d+（）。在a，d，r三個(gè)量中，知道任何兩個(gè)量可以求出第三個(gè)量。設(shè)計(jì)意圖由例題到變式的設(shè)計(jì)，由易到難、由淺入深，達(dá)到“一題問出萬題來一花引來萬花開”的效果。變式也是數(shù)學(xué)教學(xué)中鞏固知識(shí)，提高能力的最好辦法。（五）歸納小結(jié)，分層作業(yè)小結(jié)：教師與學(xué)生一起回顧本節(jié)課所學(xué)的主要內(nèi)容，并請(qǐng)學(xué)生回答以下問題：1.圓是軸對(duì)稱圖形嗎？它的對(duì)稱軸是什么？2.垂徑定理是

12、什么？你是怎么得出這個(gè)定理的？3.垂徑定理的推論是什么？你是怎么得出這個(gè)推論的？4.本節(jié)課運(yùn)用哪些數(shù)學(xué)思想方法？常作的輔助線有哪些？5通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你能解決哪些問題？還有哪些困惑？設(shè)計(jì)意圖：通過小結(jié)，使學(xué)生梳理本節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心垂徑定理及推論，運(yùn)用它可以證明線段相等、弧相等、計(jì)算線段的長度以及用垂徑定理和勾股定理解決有關(guān)問題分層作業(yè)：必做題：教科書第9頁練習(xí)第3題，習(xí)題1.2第2題選做題：已知半徑為5的圓的兩條平等弦的長度分別為6和8，則兩弦之間的距離是多少？設(shè)計(jì)意圖分層作業(yè)有較大的彈性，尊重學(xué)生個(gè)體差異，滿足多樣化學(xué)習(xí)需要，讓不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到應(yīng)有的發(fā)展。（六）目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)1、判斷：（1）直徑是圓的對(duì)稱軸。 （ ）（2）垂直平分弦的直徑垂直平分弦所對(duì)的兩條弧。 （ ）（3）平分弦的直徑垂直于弦并且平分弦所對(duì)兩條弧。 （ ）設(shè)計(jì)意圖剖析垂徑定理及其推論、圓的軸對(duì)稱性。2、選擇：已知如圖AB=8，O半徑為5，M為AB上一動(dòng)點(diǎn)，則OM的長不可能為（ ）A、2 B、3 C、4 D、5設(shè)計(jì)意圖考查垂徑定理。3、已知：如右圖ABDE，AB=8，OE=5，求O的半徑。設(shè)計(jì)意圖利用垂徑定理建立直角三角形。4、已知：如右圖DC、OD為半徑，且